数学九年级下册第三章 圆9 弧长及扇形的面积精品练习

这是一份数学九年级下册第三章 圆9 弧长及扇形的面积精品练习，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共12小题，共36分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.如图，线段AB经过⊙O的圆心，AC，BD分别与⊙O相切于点C，D.若AC=BD=4，∠A=45°，则CD的长度为( )
A. π
B. 2π
C. 2 2π
D. 4π
2.如图，在半径为5的⊙O中，将劣弧AB沿弦AB翻折，使折叠后的AB恰好与OA、OB相切，则劣弧AB的长为( )
A. 53πB. 52πC. 54πD. 56π
3.如图，⊙O的内接正六边形ABCDEF的边长为1，则BC的长为( )
A. 14π
B. 13π
C. 23π
D. π
4.如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，点C，D在直径AB的两侧．若∠AOC：∠AOD：∠DOB=2：7：11，CD=4，则CD的长为( )
A. 2πB. 4πC. 2π2D. 2π
5.如图，由六段相等的圆弧组成的三叶花，每段圆弧都是四分之一圆周，OA=OB=OC=2，则这朵三叶花的面积为( )
A. 3π-3B. 3π-6C. 6π-3D. 6π-6
6.如图，正方形OABC的边长为4，以O为圆心，EF为直径的半圆经过点A，连接AE，CF相交于点P，将正方形OABC从OA与OF重合的位置开始，绕着点O逆时针旋转90°，交点P运动的路径长是( )
A. 2 2πB. 83πC. 4 5D. 6 2
7.如图，在▱ABCD中，∠B=60°，⊙C的半径为3，则图中阴影部分的面积是( )
A. πB. 2πC. 3πD. 6π
8.如图，在边长为6的正方形ABCD中，以BC为直径画半圆，则阴影部分的面积是( )
A. 9B. 6C. 3D. 12
9.如图，△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°，AB=2，点P从C点出发，沿CB运动到点B停止，过点B作射线AP的垂线，垂足为Q，则点Q运动的路径长为( )
A. 2 33B. 3C. 3π6D. π3
10.
如图，△ABC中，∠C=90∘，∠BAC=30∘，AB=2，点P从C点出发，沿CB运动到点B停止，过点B作射线AP的垂线，垂足为Q，点Q运动的路径长为
( )
A. 233
B. 3
C. 3π6
D. π3
11.如图，△ABC内接于⊙O，∠B=65°，∠C=70°.若BC=2 2，则BC⌢的长为
( )
A. πB. 2πC. 2πD. 2 2π
12.如图，将▵ABC绕点C旋转60∘得到▵A'B'C，已知AC=6，BC=4，则线段AB扫过的图形面积为
( )
A. 3π2B. 8π3C. 6πD. 10π3
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
13.如图所示，点C在AB上，若AB=1+ 3，AC= 2，∠BAC=45∘，则AB的长度为 ．
14.如图，在扇形BOC中，∠BOC=60°，OD平分∠BOC交BC于点D，点E为半径OB上一动点．若OB=2，则阴影部分周长的最小值为______．
15.在边长为3的正方形OABC中，D为边BC上一点，且CD=1，以O为圆心，OD为半径作圆，分别与OA、OC的延长线交于点E、F，则阴影部分的面积为 ．
16.如图，直径AB为6的半圆，绕A点逆时针旋转60°，此时点B到了点B'，则图中阴影部分的面积是____________．
三、解答题（本大题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.(本小题8分)
如图，矩形ABCD的边BC与⊙O相切，切点为P，AD与⊙O相交于点E，F，连接PE，PF．
(1)求证：PE=PF．
(2)若AB=3，⊙O的半径为6，求扇形OEF(即阴影部分)的面积．
18.(本小题8分)
如图，AB是⊙O的直径，BD，BC是弦，∠ABD=45°，CD与AB交于点F.点E是BA的延长线上一点，且EC=EF．
(1)判断CE与⊙O的位置关系，并证明你的结论．
(2)若EF=2AF=4，求阴影部分的面积．
19.(本小题8分)
如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC=45°，OC//AD，AD交BC 的延长线于D，AB交OC于E．

(1)求证：AD是⊙O的切线；
(2)若AE=5，BE=3，求图中阴影部分的面积．
20.(本小题8分)
如图所示，AB为⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且BC=6 cm，AC=8 cm，∠ABD=45°．

(1)求BD的长；
(2)求图中阴影部分的面积．
21.(本小题8分)
如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是A(2,4)、B(1,2)、C(5,3).以点(0,0)为旋转中心，将△ABC顺时针旋转90°，得到△A1B1C1．
(1)在坐标系中画出△A1B1C1．
(2)若△ABC上有一点P(m,n)，直接写出旋转后对应点P1的坐标．
(3)求旋转中线段AC所经过部分的面积．
22.(本小题8分)
如图，AB是⊙O的弦，C是⊙O外一点，OC⊥OA，CO交AB于点P，交⊙O于点D，且CP=CB．
(1)判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
(2)若∠A=30°，OP=1，求图中阴影部分的面积．
23.(本小题8分)
如图，AB为⊙O的直径，AC，DC为弦，∠ACD=60°，P为AB延长线上的点，∠APD=30°．
(1)求证：DP是⊙O的切线；
(2)若⊙O的半径为3cm，求图中阴影部分的面积．
24.(本小题8分)
如图，△ABC是圆O的内接三角形，连结BO并延长交AC于点D，设∠ACB=α，∠BAC=mα．
(1)若α=30°，求∠ABD的度数；
(2)若∠ADB=nα+90°，求证m+n=1；
(3)若弧AB长是⊙O周长的14，2∠ADB=5∠CBD，求SABDSBCD．
25.(本小题8分)
如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠ACB=60°，AD经过圆心O交⊙O于点E，连接BD，∠ADB=30°．
(1)判断直线BD与⊙O的位置关系，并说明理由；
(2)若AB=2 3，求图中阴影部分的面积．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：连接OC、OD，
∵AC，BD分别与⊙O相切于点C，D．
∴OC⊥AC，OD⊥BD，
∵∠A=45°，
∴∠AOC=45°，
∴AC=OC=4，
∵AC=BD=4，OC=OD=4，
∴OD=BD，
∴∠BOD=45°，
∴∠COD=180°-45°-45°=90°，
∴CD的长度为：90π×4180=2π，
故选：B．
连接OC、OD，根据切线性质和∠A=45°，易证得△AOC和△BOD是等腰直角三角形，进而求得OC=OD=4，∠COD=90°，根据弧长公式求得即可．
本题考查了切线的性质，等腰直角三角形的判定和性质，弧长的计算等，证得∠COD=90°是解题的关键．
2.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了对称的性质和弧长公式．
作O点关于AB的对称点O'，连接O'A、O'B，如图，利用对称的性质得到OA=OB=O'A=O'B，则可判断四边形OAO'B为菱形，再根据切线的性质得到O'A⊥OA，O'B⊥OB，则可判断四边形OAO'B为正方形，然后根据弧长公式求解．
【解答】
解：如图，作O点关于AB的对称点O'，连接O'A、O'B，
∵OA=OB=O'A=O'B，
∴四边形OAO'B为菱形，
∵折叠后的AB与OA、OB相切，
∴O'A⊥OA，O'B⊥OB，
∴四边形OAO'B为正方形，
∴∠AOB=90°，
∴劣弧AB的长=90⋅π⋅5180=52π.
故选：B．
3.【答案】B
【解析】解：如图，连接OB，OC，
∵六边形ABCDEF为正六边形，
∴∠COB=360°×16=60°，
∵OB=OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴OB=OC=BC=1，
∴BC的长为60π×1180=13π.
故选：B．
连接OC、OB，求出圆心角∠COB的度数，再利用弧长公式解答即可；
本题考查了正多边形和圆，弧长公式，等边三角形的判定和性质，解题的关键是能够求得扇形的圆心角，难度不大．
4.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了勾股定理和弧长公式，能求出半径OD的长是解此题的关键．
根据平角定义和已知求出∠AOD=70°，∠DOB=110°，∠COA=20°，则∠COD=90°，解直角三角形求出半径OD，再根据弧长公式求解即可．
【解答】
解：∵∠AOC：∠AOD：∠DOB=2：7：11，
∠AOD+∠DOB=180°，
∴∠AOD=77+11×180°=70°，∠DOB=110°，∠COA=20°．
∴∠COD=∠COA+∠AOD=90°．
∵OD=OC，CD=4，
∴2OD2=42．
∴OD=2 2．
∴CD的长是90π×2 2180= 2π，
故选：D．
5.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了扇形的面积、直角等腰三角形的面积、弓形的面积等知识点．解决本题的关键是根据弦长得到圆的半径．先算出16三叶花即一个小弓形的面积，再算三叶花的面积．一个小弓形的面积=扇形面积-三角形的面积．
【解答】
解：如图，弧OA是⊙M上满足条件的一段弧，连接AM、MO，
由题意知∠AMO=90∘，AM=OM．
∵AO=2，∴AM= 2．
S扇形AMO=14⋅π⋅MA2=12π，
S△AMO=12AM⋅MO=1，
∴S弓形AO=12π-1，
∴S三叶花=6×(12π-1)=3π-6．
6.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查轨迹、正方形的性质、旋转变换、圆的有关知识、弧长公式等知识，如图，连接AC.首先证明∠EPF=135°，推出点P在与K为圆心的圆上，点P的运动轨迹是EPF，在⊙K上取一点M，连接ME、MF、EK、FK，则∠M=180°-∠EPF=45°，推出∠EKF=2∠M=90°，因为EF=8，所以KE=KF=4 2，根据弧长公式计算即可解决问题．
【解答】
解：如图，连接AC．
∵AOCB是正方形，
∴∠AOC=90°，
∴∠AFC=12∠AOC=45°，
∵EF是直径，
∴∠EAF=90°，
∴∠APF=∠AFP=45°，
∴∠EPF=135°，
∴点P在与K为圆心的圆上，点P的运动轨迹是EPF，
在⊙K上取一点M，连接ME、MF、EK、FK，则∠M=180°-∠EPF=45°，
∴∠EKF=2∠M=90°，
∵EF=8，
∴KE2+KF2=EF2，
∴KE2=32，
∴KE=KF=4 2，
∴P运动的路径长=90π⋅4 2180=2 2π，
故选A.
7.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查平行四边形的性质，扇形面积的计算，先根据平行四边形的性质可以求得∠C的度数，然后根据扇形面积公式即可求得阴影部分的面积．
【解答】
解： 在▱ABCD中，∠B=60°，
∴∠C=120°．
∵⊙C的半径为3，
∴S阴影=120×π×32360=3π．
故选C．
8.【答案】A
【解析】解：设AC与半圆交于点E，半圆的圆心为O，连接BE，OE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠OCE=45°，
∵OE=OC，
∴∠OEC=∠OCE=45°，
∴∠EOC=90°，
∴OE垂直平分BC，
∴BE=CE，
∴弓形BE的面积=弓形CE的面积，
∴S阴影=SABE=S△ABC-S△BCE=12×6×6-12×6×3=9，
故选：A．
设AC与半圆交于点E，半圆的圆心为O，连接BE，OE，证明BE=CE，得到弓形BE的面积=弓形CE的面积，则S阴影=SABE=S△ABC-S△BCE=12×6×6-12×6×3=9．
本题主要考查了求不规则图形的面积，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，圆的性质，熟知相关知识是解题的关键．
9.【答案】D
【解析】∵AQ⊥BQ，∴点Q在以AB为直径的⊙O上运动，运动路径为BC⌢，连接OC，如图，
∵∠ACB=90°，OA=OB，∴CO=OA=1，∴∠COB=2∠CAB=60°，∴BC⌢的长为60×π×1180=π3．
10.【答案】D
【解析】解：∵AQ⊥BQ，
∴点Q在以AB为直径的⊙O上运动，运动路径为BC⌒，连接OC，如图，
∵∠ACB=90∘，OA=OB，AB=2，
∴CO=OA=1，
∴∠COB=2∠CAB=60∘，
∴BC⌒的长为60×π×1180=π3，
故选：D.
由AQ⊥BQ，得点Q在以AB为直径的⊙O上运动，运动路径为BC⌒，连接OC，代入弧长公式即可．
本题主要考查了圆周角定理，弧长公式，确定点Q在以AB为直径的⊙O上运动是解题的关键．
11.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查圆周角定理，弧长公式，等腰直角三角形的性质的等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．连接OB，OC.首先证明△OBC是等腰直角三角形，求出OB即可解决问题．
【解答】
解：连接OB，OC．
∵∠A=180°-∠ABC-∠ACB=180°-65°-70°=45°，
∴∠BOC=90°，
∵BC=2 2，
∴OB=OC=2，
∴BC的长为90×π×2180=π，
故选：A．
12.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了旋转的性质的运用，扇形的面积公式的运用，解答时根据旋转的性质求解是关键．根据图形可以得出AB扫过的图形的面积=S扇形ACA'+S△ABC-S扇形BCB'-S△A'B'C，由旋转的性质就可以得出S△ABC=S△A'B'C，就可以得出AB扫过的图形的面积=S扇形ACA'-S扇形BCB'，求出其值即可．
【解答】
解：∵△ABC绕点C旋转60°得到△A'B'C，
∴△ABC≌△A'B'C，
∴S△ABC=S△A'B'C，∠BCB'=∠ACA'=60°．
∵AB扫过的图形的面积=S扇形ACA'+S△ABC-S扇形BCB'-S△A'B'C，
∴AB扫过的图形的面积=S扇形ACA'-S扇形BCB'，
∴AB扫过的图形的面积=60×π×62360-60×π×42360=103π.
故选D．
13.【答案】5 26π
【解析】如图所示，设圆心为O，连接OA，OB，OC，BC，过点C作CT⊥AB于点T．
∵∠CTA=90∘，∠CAT=45∘，AC= 2，
∴AT=TC=1．
∵AB=1+ 3，
∴BT= 3，
∴tan∠CBT=CTBT= 33，
∴∠CBT=30∘，
∴∠AOC=2∠CBT=60∘，∠COB=2∠CAB=90∘．
∵OA=OC，
∴△AOC是等边三角形，
∴OA= 2，∠AOB=150∘，
∴AB的长度为150×π× 2180=5 26π．
14.【答案】6 2+π3
【解析】【分析】
本题考查与圆有关的计算，掌握轴对称的性质，弧长的计算方法是正确计算的前提，理解轴对称解决路程最短问题是关键．
利用轴对称的性质，得出当点E移动到点E'时，阴影部分的周长最小，此时的最小值为弧CD的长与CD'的长度和，分别进行计算即可．
【解答】
解：如图，作点D关于OB的对称点D'，连接D'C交OB于点E'，连接E'D、OD'，
此时E'C+E'D最小，即：E'C+E'D=CD'，
由题意得，∠COD=∠DOB=∠BOD'=30°，
∴∠COD'=90°，
∴CD'= OC2+OD'2= 22+22=2 2，
CD的长l=30π×2180=π3，
∴阴影部分周长的最小值为2 2+π3=6 2+π3．
故答案为：6 2+π3．
15.【答案】3-3-π3
【解析】解：在Rt△OCD中，OD=OC2+CD2=(3)2+12=2，
∴∠COD=30∘，
在Rt△COD和Rt△AOG中，
OC=OAOD=OG,
∴Rt△COD≌Rt△AOG(HL)
∴AG=CD=1，∠AOG=∠COD=30∘，
∴∠DOG=30∘，
∴阴影部分的面积=3×3-12×1×3×2-30π×22360=3-3-π3，
故答案为：3-3-π3.
根据勾股定理求出OD，根据直角三角形的性质求出∠COD，证明Rt△COD≌Rt△AOG，得到AG=CD=1，∠AOG=∠COD=30∘，根据三角形面积公式、扇形面积公式计算，得到答案．
本题考查的是扇形面积计算、正方形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握扇形面积公式、全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
16.【答案】6π
【解析】【分析】
本题主要考查扇形面积的计算，由旋转得出阴影部分的面积等于扇形AB'A的面积是解题的关键．
由旋转的性质可得半圆AB'和和半圆AB的面积相等，所以阴影部分的面积和为扇形AB'A的面积，计算扇形AB'A的面积即可得到答案．
【解答】
解：∵半圆，绕A点顺时针旋转60°，
∴把阴影部分的半圆旋转到空白处，
阴影部分的面积=以AB'为直径的半圆的面积+扇形ABB'的面积-以AB为直径的半圆的面积=扇形ABB'的面积．
∵AB=6，∠BAB'=60°，
∴S阴影=S扇形AB'B=60π×62360=6π，
故答案为6π．
17.【答案】(1)证明：连接OP，OP与AD相交于点G.∵BC与⊙O相切，切点为P，∴OP⊥BC，∴∠OPB=90°.∵四边形ABCD是矩形，∴AD // BC.∴∠OGE=∠OPB=90°，∴OG⊥EF，∴ EP⌢=FP⌢ ，∴EP=FP．
(2)解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠B=90°，∴∠A=∠B=∠OPB=90°，∴四边形ABPG是矩形，∴PG=AB=3.∵OP=6，∴OG=3.∴在Rt△OGE中， cs∠EOG
=OGOE=36=12 ，∴∠EOG=60°.∵ EP⌢=FP⌢ ，∴∠EOF=2∠EOG=120°.∴ S扇形OEF=
120×π×62360=12π ．

【解析】略
18.【答案】解：(1)CE与⊙O相切．
证明：如图，连接OC，OD.∵∠ABD=45°，∴∠AOD=2∠ABD=90°.∵OC=OD，∴∠OCD=∠ODC.∵EC=EF，∴∠ECF=∠EFC.∵BFD=∠EFC，∴∠ECF=∠BFD.∵∠AOD=90°，∴∠ODC+∠BFD=90°.∴∠OCD+∠ECF=90°， 即∠ECO=90°，∴OC⊥CE.∵OC是⊙O的半径，∴CE为⊙O的切线．
(2)如图，连接AD.∵EF=2AF=4，∴EA=AF=2，CE=EF=4. 设⊙O的半径为r， 则OE=r+2. 在Rt△OCE中，∠OCE=90°，∴OC2+CE2=OE2，∴r2+42=(r+2)2. 解得r=3. 在Rt△BOD中，∠BOD=90°，∴ S▵OBD=12OB⋅OD=92 .∵ S扇形OBD=90×π×32360
=9π4 ，∴ S阴影=S扇形OBD-S▵OBD=9π4-92 ，∴阴影部分的面积为 9π4-92 ．

【解析】略
19.【答案】解：(1)连接OA．
∵AD//OC，
∴∠AOC+∠OAD=180°，
∵∠AOC=2∠ABC=2×45°=90°，
∴∠OAD=90°，
∴OA⊥AD，
∵OA是⊙O的半径，
∴AD是⊙O的切线；
(2)∵AO=CO且∠AOC=90°，
∴∠ACO=∠CAO=45°，即∠B=∠ACE，
∵∠CAE=∠BAC，
∴△AEC∽△ACB，
∴AEAC=ACAB，
∴AC2=AE·AB=5×(5+3)=40，
∴AC=2 10，
在Rt△AOC中，
∵2OA2=AC2=40，
∴AO=CO=2 5，
S阴影=S扇形OAC-S△AOC=90π×(2 5)2360-12×(2 5)2=5π-10．

【解析】本题考查切线的判定，圆周角定理，相似三角形的性质和判定，勾股定理，扇形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
(1)连接OA，根据平行线的性质得到∠AOC+∠OAD=180°，再根据圆周角定理得到∠AOC=2∠ABC=90°，得到∠OAD=90°，由切线的判定即可得到结论；
(2)根据等腰三角形的性质和已知条件证得∠B=∠ACE，即可证得△AEC∽△ACB，根据相似三角形的性质求得AC，再根据勾股定理求得圆的半径，即可求得扇形OAC的面积，根据面积的和差即可求得阴影部分的面积．
20.【答案】解：(1)如图所示：连OD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵BC=6cm，AC=8cm，
∴AB=10cm．
∴OB=5cm．
∵OD=OB，
∴∠ODB=∠ABD=45°．
∴∠BOD=90°．
∴BD= OB2+OD2=5 2(cm)；
(2)S阴影=S扇形-SΔOBD=90360π⋅52-12×5×5=25π-504(cm2).

【解析】本题考查了圆周角定理，勾股定理，等腰直角三角形的性质，扇形的面积，三角形的面积，连接OD构造直角三角形是解题的关键．
(1)由AB为⊙O的直径，得到∠ACB=90°，由勾股定理求得AB，OB=5cm.连OD，得到等腰直角三角形，根据勾股定理即可得到结论；
(2)根据S阴影=S扇形-S△OBD即可得到结论．
21.【答案】解：(1)如图，△A1B1C1即为所求作．
(2)P1(n,-m)．
(3)线段AC所经过部分的面积=S扇形COC1-S扇形AOA1=90⋅π360(OC2-OA2)=π4⋅(32+52-22-42)=7π2，

【解析】(1)分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可．
(2)利用旋转变换的性质判断即可．
(3)利用扇形的面积公式计算即可．
本题考查作图-旋转变换，扇形的面积的计算等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
22.【答案】解：(1)直线BC与⊙O相切，
理由：连接OB，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA，
∵CP=CB，
∴∠CPB=∠CBP，
在Rt△AOP中，∵∠OAP+∠APO=90°，
∵∠APO=∠CPB，
∴∠OBA+∠CBP=90°，
即：∠OBC=90°，
∴OB⊥BC，
又∵OB是半径，
∴直线BC与⊙O相切；
(2)∵∠A=30°，∠AOP=90°，
∴∠APO=60°，
∴∠CPB=∠APO=60°，
∵CP=CB，
∴△PBC是等边三角形，
∴∠PCB=∠CBP=60°，
∴∠OBP=∠POB=30°，
∴OP=PB=PC=BC=1，OC=2，
∵∠OBC=90°，
∴OB= OC2-BC2= 3，
∴阴影部分的面积=S△OBC-S扇形OBD=12×1× 3-30⋅π×( 3)2360= 32-π4．
【解析】本题考查了切线的判定，等边三角形的判定和性质，勾股定理，扇形面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．
(1)根据等边对等角得到∠OAB=∠OBA，∠CPB=∠CBP，推出∠OBA+∠CBP=90°，即OB⊥BC，于是得到结论；
(2)根据三角形的内角和定理得到∠APO=60°，推出△PBC是等边三角形，得到∠PCB=∠CBP=60°，求得BC=1，OC=2，根据勾股定理得到OB= 3，根据三角形和扇形的面积公式即可得到结论．
23.【答案】(1)证明：
连接OD，
∵∠ACD=60°，
∴由圆周角定理得：∠AOD=2∠ACD=120°，
∴∠DOP=180°-120°=60°，
∵∠APD=30°，
∴∠ODP=180°-30°-60°=90°，
∴OD⊥DP，
∵OD为半径，
∴DP是⊙O切线；
(2)解：∵∠P=30°，∠ODP=90°，OD=3cm，
∴OP=6cm，由勾股定理得：DP=3 3cm，
∴图中阴影部分的面积=12×3×3 3-16×π×32
=9 32-32π．
【解析】(1)连接OD，求出∠AOD，求出∠DOB，求出∠ODP，根据切线判定推出即可；
(2)求出OP、DP长，分别求出扇形DOB和三角形ODP面积，即可求出答案．
24.【答案】解：(1)连接OA，如图：
∵∠ACB=α=30°，
∴∠AOB=2∠ACB=60°，
∵OA=OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠ABD=60°；
(2)延长BD交⊙O于E，连接CE，如图：
∵BE为⊙O直径，
∴∠BCE=90°，即∠ACE=90°-α，
△CDE中，∠E=∠A=mα，∠EDC=∠ADB=nα+90°，
∴∠DCE=180°-∠E-∠EDC=90°-mα-nα，即∠ACE=90°-mα-nα，
∴90°-α=90°-mα-nα，
∴m+n=1；
(3)过D作DM⊥BC于M，作DN⊥AB于N，如图：
∵弧AB长是⊙O周长的14，
∴∠AOB=90°，
∴△AOB是等腰直角三角形，∠ABO=45°，∠ACB=12∠AOB=45°，
∴△DCM、△BDN是等腰直角三角形，
∵2∠ADB=5∠CBD，
∴2(∠CBD+∠ACB)=5∠CBD，
∴2∠ACB=3∠CBD，
∴∠CBD=30°，
∴∠BAC=180°-∠ACB-∠CBD-∠ABO=60°，
设MD=MC=t，
在Rt△DCM中，CD= 2MD= 2t，
在Rt△BDM中，BD=2DM=2t，
在Rt△BDN中，DN=BD 2= 2t，
在Rt△ADN中，AD=DNsin∠BAC=DNsin60∘=2 63t，
∴SABDSBCD=ADCD=2 33．
【解析】(1)连接OA，由∠ACB=α=30°，得∠AOB=2∠ACB=60°，根据OA=OB，即得△AOB是等边三角形，故∠ABD=60°；
(2)延长BD交⊙O于E，连接CE，用两种方法表示∠ACE，列方程变形即可得证明；
(3)过D作DM⊥BC于M，作DN⊥AB于N，由弧AB长是⊙O周长的14，可得∠AOB=90°，从而可证△AOB、△DCM、△BDN是等腰直角三角形，根据2∠ADB=5∠CBD，可得∠CBD=30°，∠BAC=60°，设MD=MC=t，在Rt△DCM中，CD= 2MD= 2t，在Rt△BDM中，BD=2DM=2t，在Rt△BDN中，DN=BD 2= 2t，在Rt△ADN中，AD=2 63t，即可得SABDSBCD=ADCD=2 33．
本题考查圆的性质及综合应用，涉及等边三角形的判定及性质、等腰直角三角形的判定与性质、解直角三角形、勾股定理等知识，解题的关键是用含t的代数式表示CD和AD的长度．
25.【答案】解：(1)直线BD与⊙O相切，
理由：如图，连接BE，
∵∠ACB=60°，
∴∠AEB=∠C=60°，
连接OB，
∵OB=OC，
∴△OBE是等边三角形，
∴∠BOD=60°，
∵∠ADB=30°，
∴∠OBD=180°-60°-30°=90°，
∴OB⊥BD，
∵OB是⊙O的半径，
∴直线BD与⊙O相切；
(2)如(1)中图，
∵AE是⊙O的直径，
∴∠ABE=90°，
∵AB=2 3，
AE2-BE2=AB2
∴AE=4，
∴OB=2，
∵OB⊥BD，∠ADB=30°，
∴OD=4
∴BD=2 3，
∴图中阴影部分的面积=S△OBD-S扇形BOE=12×2×2 3-60π×22360=2 3-2π3．
【解析】(1)连接BE，根据圆周角定理得到∠AEB=∠C=60°，连接OB，根据等边三角形的性质得到∠BOD=60°，根据切线的判定定理即可得到结论；
(2)根据圆周角定理得到∠ABE=90°，根据勾股定理得到OB，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．
本题考查了直线与圆的位置关系，等边三角形的判定和性质，勾股定理，扇形面积的计算，正确地作出辅助线是解题的关键．