四川省成都市重点学校2023-2024学年高二上学期第一阶段考试数学试题

这是一份四川省成都市重点学校2023-2024学年高二上学期第一阶段考试数学试题，共5页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
考试时间120分钟满分150分
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1. 向量，若，则（ ）
A. B.
C. D.
2. 椭圆的焦距为（ ）
A. 6B. 3C. 2D. 1
3. 设是两条不同的直线，是两个不同的平面. 则下列说法错误的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
4. 一组数据按从小到大排列为，若该组数据的第60百分位数是众数的倍，则这组数据的平均数是（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 7
5. 将2个不同的小球随机放入甲、乙、丙3个盒子，则2个小球在同一个盒子的概率为（ ）
A. B. C. D.
6. 过三点的圆的一般方程为（ ）
A. B.
C. D.
7. 如图，空间四边形中，，点在上，且，点为中点，则（ ）
A. B.
C. D.
8. 点在以为焦点的椭圆上，若线段的中点在轴上，则是的（ ）
A. 3倍B. 4倍C. 5倍D. 7倍
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符号题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分）
9. 若与为两条不重合的直线，它们的倾斜角分别是，，下列命题是真命题的为（ ）
A. 若，则两条直线的斜率相等
B. 若两条直线的斜率相等，则
C. 若，则
D. 若，则
10．某保险公司为客户定制了5个险种：甲，一年期短险；乙，两全保险；丙，理财类保险；丁，定期寿险；戊，重大疾病保险，各种保险按相关约定进行参保与理赔. 该保险公司对5个险种参保客户进行抽样调查，得出如下的统计图例：
用该样本估计总体，以下四个选项正确的是（ ）
A. 54周岁以上参保人数影少B. 18～29周岁人群参保总费用最少
C. 丁险种更受参保人青睐D. 30周岁以上的人群约占参保人群20%
11. 如图，两个共底面的正四棱锥组成一个八面体，且该八面体的各棱长均相等，则（ ）
A. 异面直线与所成的角为
B.
C. 平面平面
D. 直线与平面所成的角为
12. 在平面直角坐标系中，圆，点为直线上的动点，则（ ）
A. 圆上有且仅有两个点到直线的距离为
B. 已知点，圆上的动点，则的最小值为
C. 过点作圆的一条切线，切点为，可以为
D. 过点作圆的两条切线，切点为，则直线恒过定点
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 某高中共有学生2000人，其中高一和高二各有800人，现采用分层抽样的方法抽取容量为25的样本，那么高二抽取的人数为__________.
14. 若直线的一个方向向量是，则实数的值为__________.
15. 已知三棱锥中，平面，则三棱锥的外接球的表面积为__________.
16. 已知为椭圆的左、右焦点，点为该椭圆上一点，且满足，若的外接圆面积是其内切圆面积的64倍，则该椭圆的离心离为__________.
四、解答题（本大题共6题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明或演算过程）
17. 已知直线的方程为.
（1）若直线的倾斜角为，求的值；
（2）已知直线在轴，轴上的截距分别为，若，求直线的方程.
18. 中国人民志愿军被称为“最可爱的人”，2023年7月27日是抗美援朝胜利70周年，为了解抗美援朝英雄事迹、某党支部组织了抗美援朝知识竞赛活动、现抽取其中50名党员的成绩，按进行分组，得到如下的频率分布直方图.
（1）求图中的值及估计这50名党员的成绩的平均数；
（2）若采用分层随机抽样的方法，从成绩在和内的党员中共抽取4人，再从这4人中任选2人在会上进行演讲，求这2人的成绩不在同一区间的概率.
19. 已知，，动圆与圆外切且与圆内切. 圆心的轨迹为曲线.
（1）求曲线C的方程；
（2）是否存在过点的直线交曲线C于A、B两点，使得点Q为中点时，直线的斜率与直线OQ的斜率乘积为定值？如果存在，求出这个定值，如果不存在，说明理由。
20. 已知在多面体中，且平面平面.
（1）设点F为线段BC的中点，试证明平面；
（2）若直线与平面所成的角为，求二面角的余弦值.
21. 已知为坐标原点，直线，设圆的半径为1，圆心在直线上.
（1）若圆心也在直线上，过点作圆的切线，求切线方程；
（2）若圆上存在点，使，求圆心的横坐标的取值范围.
22. 已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，过且垂直于轴的直线被椭圆所截得的线段长为3.
（1）求椭圆的方程；
（2）直线与椭圆交于两点，射线交椭圆于点，若，求直线的方程.