江西省赣西重点学校2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题（A卷）（含答案）

这是一份江西省赣西重点学校2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题（A卷）（含答案），共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（每小题5分共40分）
1．若经过点和的直线的斜率为2，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
2．设点，直线过点，且与线段相交，则直线的斜率取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
3．平面内点P到、的距离之和是10，则动点P的轨迹方程是（ ）
A．B．
C．D．
4．已知，是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，则的最大值是（ ）
A．B．9C．16D．25
5．平面直角坐标系中点满足，则点的轨迹为（ ）
A．线段B．圆C．椭圆D．不存在
6．已知，分别是双曲线的左、右两个焦点，点在双曲线的右支上，且，则（ ）
A．B．C．D．
7．我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.已知四棱锥是阳马，平面，且，若，则（ ）

A．B．
C．D．
8．已知向量，，若，，则的值为（ ）
A．3或1B．2C．1或2D．2
二、多选题（每小题5分共20分）
9．以直线与坐标轴的交点为焦点的抛物线的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
10．已知过点的直线与椭圆交于、两点，则弦长可能是（ ）
A．1B．C．D．3
11．设、为空间中的任意两个非零向量，下列各式中正确的有（ ）
A．B．
C．D．
12．下列结论错误的是（ ）
A．过点，的直线的倾斜角为
B．若直线与直线垂直，则
C．直线与直线之间的距离是
D．过两点的直线方程为
三、填空题（每小题5分共20分）
13．已知点到直线的距离为2，则 ．
14．已知双曲线和椭圆有相同的焦点，则的最小值为 .
15．如图，的二面角的棱上有，两点，直线，分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于已知，，，则的长为

16．已知，是空间单位向量，，若空间向量满足，，，且对于任意，，，则的最小值为 ，此时 ．
四、解答题（共70分）
17（10分）．已知三角形的三个顶点是.
(1)求边所在的直线方程； (2)求边上的高所在直线的方程.
18（12分）．已知直线.
(1)求证：直线过定点M；
(2)若直线分别交x轴、轴的正半轴于点A、B，O为坐标原点，求的最小值.
19（12分）．已知是椭圆的两个焦点，，为上一点.
(1)求椭圆的标准方程； (2)若为上一点，且，求的面积.
20（12分）．设点P是抛物线上的一个动点.
(1)求点到的距离与点到直线的距离之和的最小值；
(2)若，求的最小值.
21（12分）．已知，．
(1)求； (2)当时，求实数k的值．
22（12分）．如图，在直三棱柱中，，，，是的中点，求：
(1)求异面直线与所成角的余弦值；
(2)点到平面的距离；
(3)求与平面所成角的正弦值.
高二数学期中考试参考答案：（A卷）
一单选题
1．C 2．C 3．B 4．D 5．A 6．A 7．D 8．A
二多选题
9．BD 10．BC 11．BD 12．ACD
三填空题
13． 14．9 15． 16． 1 3
四解答题
17【详解】（1）由题意可得,
由斜截式可得直线方程为；分
（2）,所以边上的高所在直线的斜率为，
由点，所以边上的高所在直线方程为分
18．【详解】（1）证明：直线整理可得
当时不论为何值，，此时，， 则直线恒过定点分
（2）设，，其中，，则直线AB的方程可写成，
将代入得，， 分
故，
当且仅当时取等号， 故的最小值为分
19．【详解】（1）解：设椭圆的焦距为，因为，可得，所以，
则，，
由椭圆的定义可得，所以，
故椭圆C的标准方程为分
（2）解：由，可得，
又由椭圆的定义，可得，
平方得，即，
解得，所以的面积分
20．【详解】（1）如图，易知抛物线的焦点为，准线为，由抛物线的定义知点到直线的距离等于点到焦点的距离.
于是，问题转化为在曲线上求一点，使点到点的距离与点到的距离之和最小.
显然，连接与抛物线的交点即为所求点，故最小值为＝.
分
（2）如图，过点作垂直于准线于点，过点作垂直准线于点，交抛物线于点，

此时，，那么,即最小值为分
21．【详解】（1）因为，，分
所以，，分
所以分
（2）因为，，
所以，分
由（1），
因为，所以，
所以，解得分
22．【详解】（1）因为直三棱柱，所以平面，又因为，所以两两垂直，以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立如图所示空间直角坐标系分，
由题意可得，所以，，所以，
即异面直线与所成角的余弦值为分
（2）设平面的法向量，
因为，，
所以，解得，分
又因为，所以点到平面的距离分
（3）设与平面所成角为， 则，即与平面所成角的正弦值为分