人教版数学九年级上册 第二十四章 圆 学案

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圆 【课标要求】：1．理解圆的定义和圆的有关概念； 2.理解圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系，并能运用它们之间的关系解决有关问题； 3.掌握垂径定理及其应用 【复习目标】： 1．知道圆、弧、弦、圆心角、圆周角等基本概念；认识圆的对称性；了解圆锥的侧面展开图是扇形。 2．能用垂径定理，圆心角、弧、弦之间关系定理，圆周角定理及推论，等进行简单的运算和推理；会通过作图的方法理解确定圆的条件。 3．会用折叠、旋转、圆的对称性及分类讨论的思想方法探索图形的有关性质，能将有关弦长、半径的实际计算问题转化成解直角三角形问题解决。圆的对称性 【知识梳理】： 一. 知识结构图：弧、弦、圆心角的关系圆的基本性质同弧上的圆周角与圆心角的关系三角形内切圆三角形的外接圆点与圆的位置关系与圆有关的位置关系切线直线与圆的位置关系圆与圆的位置关系圆等分圆正多边形和圆弧长扇形的面积有关圆的计算圆锥的侧面积与全面积二．圆的基本概念 (1)圆的定义 ： ①在一个平面内，线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形成的图形叫做圆；②到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆； (2)弦：连结圆上___________的线段叫做弦． (3)直径：___________的弦叫做直径． O(4)弧：圆上任意两点间的部分叫做___________． (5)优弧：___________叫做优弧． (6)劣弧：___________叫做劣弧． (7)等弧：在同圆或等圆中，___________的弧叫做等弧．(8) 弦心距： 叫弦心距。 三、圆的基本性质（1）圆的对称性:①圆是轴对称图形,经过圆心的每一条直线都是它的对称轴.圆有无数条对称轴. ②圆是中心对称图形,并且绕圆心旋转任何一个角度都能与自身重合,即圆具有旋转不变性.（2）同圆或等圆中圆心角、弧、弦之间的关系:(1)在同圆或等圆中,如果圆心角相等,那么它所对的弧相等,所对的弦相等.(2)在圆中,如果弧相等,那么它所对的圆心角相等,所对的弦相等.(3)在一个圆中,如果弦相等,那么它所对的弧相等,所对的圆心角相等.如下图 ∵ ∠COD =∠AOB∴ AB=CD（3）圆周角：①定义:顶点在圆周上，两边和圆相交的角，叫做圆周角.②性质:(1)在同一个圆中,同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.（如图1） （2）在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的所有的圆周角相等.相等的圆周角所对的弧相等.（如图2） （3）性质 3:半圆或直径所对的圆周角都相等,都等于900(直角). （4）性质4: 900的圆周角所对的弦是圆的直径.（如图3） （图1） （图2） （图3） ∵∠ADB与∠AEB 、∠ACB 是同弧所对的圆周角 ∴∠ADB=∠AEB =∠ACB∵AB是⊙O的直径 ∴ ∠ACB=9004、例题讲解作圆的直径与找90度的圆周角也是圆里常用的辅助线1. 在⊙O中，弦AB所对的圆心角∠AOB=100°，则弦AB所对的圆周角为____________.（05年上海）2.如图，AB是⊙O的直径,BD是⊙O的弦，延长BD到点C,使DC=BD,连接AC交⊙O与点F. （1）AB与AC的大小有什么关系?为什么? （2）按角的大小分类, 请你判断△ABC属于哪一类三角形， 并说明理由.(05宜昌)5、垂径定理及推论 (1)垂径定理 垂直于弦的直径___________，并且___________． (2)推论 平分弦(不是直径)的直线___________，并且__________．弦的垂直平分线_______________________________________________. 平分弦所对的一条弧的直径，__________________________________. 如图，∵CD是圆O的直径,CD⊥AB∴AP=BP， ，6、例题讲解3、如图,已知⊙O的半径OA长为5,弦AB的长8,OC⊥AB于C,则OC的长为 _______.4、如图，圆O的弦AB＝8 ㎝ ， DC＝2㎝，直径CE⊥AB于D， 求半径OC的长。5、如图，P为⊙O的弦BA延长线上一点，PA＝AB＝2，PO＝5，求⊙O的半径。关于弦的问题，常常需要过圆心作弦的垂线段，这是一条非常重要的辅助线。圆心到弦的距离、半径、弦长构成直角三角形，便将问题转化为直角三角形的问题。四、三角形的外接圆与内切圆:三角形的外心就是三角形各边垂直平分线的交点.三角形的内心就是三角形各角平分线的交点.不在同一直线上的三点确定一个圆.熟练掌握以下的结论：记住：在具体计算时往往用到的是面积法和方程思想例题讲解：已知:如图,⊙O是Rt△ABC的内切圆,∠C是直角,∠AC=3,BC=4求⊙O的半径r.2、已知:如图,△ABC的面积S=4cm2,周长等于10cm.求内切圆⊙O的半径r.