河南省南阳市卧龙区2023-2024学年九年级上学期期中数学试题（含解析）

这是一份河南省南阳市卧龙区2023-2024学年九年级上学期期中数学试题（含解析），共22页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．下列二次根式中，能与合并的是（ ）
A．B．C．D．
2．下列各式计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
3．如果a是一元二次方程的根，则代数式的值为（ ）
A．2021B．2022C．2023D．2024
4．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值为（ ）
A．0B．8C．0或8D．2或8
5．李师傅去年开了一家商店，今年1月份开始盈利，2月份盈利2000元，4月份的盈利达到2880元，且从2月到4月，若每月盈利的平均增长率都相同．那么按照这个平均增长率，预计五月份这家商店的盈利将达到（ ）元．
A．3320B．3440C．3450D．3456
6．如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍不能判定的是（）

A．B．C．D．
7．如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE∥AC，AE、CD相交于点O，若S△DOE：S△COA=1：25，则S△BDE与S△CDE的比是（ ）
A．1：3B．1：4C．1：5D．1：25
8．如图，是的中位线，的角平分线交于点F，，，则的长为（ ）
A．2B．3C．6D．8
9．一种燕尾夹如图1所示，图2是在闭合状态时的示意图，图3是在打开状态时的示意图（数据如图，单位：mm），则从闭合到打开B，D之间的距离减少了（ ）
A．25 mmB．20mmC．15 mmD．8mm
10．如图，在一单位为1的方格纸上，△A1A2A3，△A3A4A5，△A5A6A7…，都是斜边在x轴上，斜边长分别为2，4，6，…的等腰直角三角形，若A1A2A3的顶点坐标分别为A1(2，0)，A2(1，−1)，A3(0，0)，则依图中所示规律，A2022的坐标为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．若式子在实数范围内有意义，则实数的取值范围是 ．
12．如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点，，都在横线上．若线段，则线段的长是 ．

13．如图，王师傅要建一个矩形羊圈，羊圈的一边利用长为的住房墙，另外三边用长的彩钢围成，为了方便进出，在垂直于住房墙的一边要留出安装木门．若要使羊圈的面积为，则所围矩形与墙垂直的一边长为 ．
14．如图，在菱形中，，交于点，为上一动点（不与点重合），连接并延长，交于点，点为的中点，连接．若点为的中点，则 ．
15．如图1，在△ABC中，∠B＝36°，动点P从点A出发，沿折线A→B→C匀速运动至点C停止．若点P的运动速度为1cm/s，设点P的运动时间为t（s），AP的长度为y（cm），y与t的函数图象如图2所示．当AP恰好平分∠BAC时，t的值为 ．
三、解答题（共8小题75分）
16．计算：
(1)
(2)
17．下面是小聪同学用配方法解方程的过程，请仔细阅读后，解答下面的问题．
解：移项，得，①
二次项系数化为1，得，②
配方，得，，③
由此可得，④
，⑤
整个解答过程是否正确？若不正确，从第 步开始出现错误，错误的原因是 ，这种方法解方程．
18．观察下列各式并按规律填空：；；…
(1) ；
(2)按此规律第n个等式可以表示为 ；
(3)请写出（2）中等式的推导过程．
19．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，．
(1)以原点为位似中心，在轴的右侧画出的一个位似，使它与的位似比为；
(2)画出将向左平移2个单位，再向上平移1个单位后得到的；
(3)判断和是位似图形吗?若是，请在图中标出位似中心点，并写出点的坐标．
20．已知关于x的一元二次方程．
(1)若是该方程的一个根，求m的值及另一个根；
(2)若该方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围．
21．商场将进货价为30元的台灯以40元的价格售出，平均每月能售出600个，这种台灯的售价每上涨2元，其销量就减少20个．
(1)为了实现销售这种台灯平均每月10000元的销售利润，售价应定为多少元？
(2)在这样的销售模式下，当售价定为多少元时，其销售利润达到最大，求最大利润．
22．某数学兴趣小组要完成一个项目学习，测量凌霄塔的高度．如图，塔前有一棵高4米的小树，发现水平地面上点E、树顶C和塔顶A恰好在一条直线上，测得米，D、E之间有一个花圃距离无法测量；然后，在E处放置一平面镜，沿后退，退到G处恰好在平面镜中看到树顶C的像，米，测量者眼睛到地面的距离为1.6米；已知，，，点B、D、E、G在同一水平线上．请你求出凌霄塔的高度．（平面镜的大小厚度忽略不计）
23．如图1，在矩形ABCD中，AB=2，BC=5，BP=1，∠MPN=90°，将∠MPN绕点P从PB处开始顺时针方向旋转，PM交边AB于点E，PN交边AD于点F，当PE旋转至PA处时，∠MPN的旋转随即停止.
（1）如图2，在旋转中发现当PM经过点A时，PN也经过点D，求证：△ABP ∽△PCD
（2）如图3，在旋转过程中，的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由
（3）设AE，连结EF，则在旋转过程中，当为何值时，△BPE与△PEF相似.
含答案与解析
1．A
【分析】将每个选项的二次根式化简，同类二次根式即可直接合并，直接判断即可．
【详解】A.，能与合并，故正确；
B.，不能与合并，故错误；
C.，不能与合并，故错误；
D.，不能与合并，故错误；
故选：A
【点睛】此题考查同类二次根式，解题关键是先将二次根式化成最简二次根式再进行判断．
2．D
【分析】根据二次根式的加法法则可判断A和B；根据二次根式的除法法则可判断C；根据二次根式的乘法法则可判断D；
【详解】和不是同类二次根式，不能合并，故A计算错误，不符合题意；
和2不是同类二次根式，不能合并，故B计算错误，不符合题意；
，故C计算错误，不符合题意；
，故D计算正确，符合题意．
故选D．
【点睛】本题考查二次根式的加法、除法和乘法计算．掌握各运算法则是解题关键．
3．B
【分析】根据方程根的定义得到，则，整体代入代数式即可得到答案．
【详解】解：∵a是一元二次方程的根，
∴，
∴
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】此题考查了一元二次方程根的定义、代数式的求值等知识，根据一元二次方程根的定义得到是解题的关键．
4．C
【分析】根据一元二次方程的根的判别式与根的个数的关系，计算即可得出答案．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，
整理，可得：，
解得：，，
∴m的值为0或8．
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式与根的个数的关系、解一元二次方程，解本题的关键在熟练掌握一元二次方程的根的判别式与根的个数的关系．一元二次方程的根的判别式与根的个数的关系：当时，方程有两个不等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
5．D
【分析】设每月盈利的平均增长率为x，列方程解方程进而即可求解；
【详解】解：设每月盈利的平均增长率为x，
根据题意，，
解得：（舍去），
五月份这家商店的盈利为（元）．
故选：D．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，正确列出方程是解题的关键．
6．C
【分析】先根据得出，再由相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可．
【详解】解：∵，
∴．
A、∵，故本选项不符合题意；
B、∵，故本选项不符合题意；
C、∵与的大小无法判定，
∴无法判定，故本选项符合题意；
D、∵，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．
7．B
【详解】解：∵DE∥AC，
∴△DOE∽△COA，
又S△DOE：S△COA=1：25，
∴，
∵DE∥AC，
∴△BDE∽△BAC，
∴，
∴，
∴S△BDE与S△CDE的比是1：4，
故选B．
8．B
【分析】根据三角形中位线定理得到，，根据角平分线的定义、平行线的性质得到，证明，结合图形计算，得到答案．
【详解】解：∵是的中位线，
∴，，，
∵，，
∴，，
∵是的角平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、平行线的性质，等腰三角形的判定，熟知三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
9．A
【分析】连接图2、图3中的BD，图2中证明△AEF∽△ABD，利用相似三角形的性质求得BD，在图3中证明四边形EFDB是矩形，求得BD，进而作差即可求解．
【详解】解：如图2，连接BD，
∵AE=CF=28，BE=DF=35 ，
∴，又∠EAF=∠BAD，
∴△AEF∽△ABD，
∴，又EF=20，
∴，解得：BD=45，
如图3，连接BD，
∵BEDF，BE=DF，
∴四边形EFDB是平行四边形，
∵∠BEF=90°，
∴四边形EFDB是矩形，则BD=EF=20，
∴从闭合到打开B，D之间的距离减少了45-20=25（mm），
故选：A．
【点睛】本题考查相似三角形的应用、平行四边形的判定、矩形的判定与性质，理解题意，会利用相似三角形的判定与性质解决实际问题是解答的关键．
10．D
【分析】根据下标确定出下标为偶数时的点的坐标，得到规律：当下标是2、6、10…时，横坐标为1，纵坐标为下标的一半的相反数，当下标是4、8、12．…时，横坐标是2，纵坐标为下标的一半，然后确定出第2022个点的坐标即可．
【详解】解：观察点的坐标变化发现：
当下标为偶数时的点的坐标，得到规律：
当下标是2、6、10…时，横坐标为1，纵坐标为下标的一半的相反数，
当下标是4、8、12．…时，横坐标是2，纵坐标为下标的一半，
因为2022÷4=505…2，
所以横坐标为1，纵坐标为=-1011，
故选：D．
【点睛】本题是对点的坐标变化规律的考查，根据2022是偶数，求出点的下标是偶数时的变化规律是解题的关键．
11．
【分析】根据二次根式有意义的条件，即可求解．
【详解】解：根据题意得：，
解得：．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的被开方数为非负数是解题的关键．
12．6
【分析】如图，过点A作于点F，交过点B的平行线于点D，交C的邻近平行线于点E，根据题意，，利用平行线分线段成比例定理计算即可．
【详解】解：如图，过点A作于点F，交过点B的平行线于点D，交C的邻近平行线于点E，根据题意，，

所以．
解得．
∴．
故答案为：6．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握定理是解题的关键．
13．##8米
【分析】设所围矩形与墙垂直的一边长为时，羊圈面积为，此时所围矩形与墙平行的一边长为米，利用矩形的面积计算公式，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再结合住房墙的长度为，即可确定所围矩形与墙垂直的一边长的长度．
【详解】解：设所围矩形与墙垂直的一边长为时，羊圈面积为，此时所围矩形与墙平行的一边长为米，
由题意得：，
整理得：，
解得：或，
当时，，不符合题意，舍去；
当时，，符合题意，
当所围矩形与墙垂直的一边长为时，羊圈面积为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
14．
【分析】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形中位线，由菱形的性质可得，，，由勾股定理计算出，由三角形中位线定理可得，，证明可得，再由，即可得到答案，熟练掌握相关知识并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：∵四边形是菱形，，
，，，
在中，由勾股定理，得，
∵点为的中点，
∴是的中位线，
，，
，
∵点为的中点，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
15．##
【分析】根据函数图像可得AB=4=BC，作∠BAC的平分线AD，∠B＝36°可得∠B＝∠DAC＝36°，进而得到，由相似求出BD的长即可．
【详解】根据函数图像可得AB=4，AB+BC=8，
∴BC=AB=4，
∵∠B＝36°，
∴，
作∠BAC的平分线AD，
∴∠BAD＝∠DAC＝36°＝∠B，
∴AD=BD，，
∴AD=BD=AC，
设，
∵∠DAC＝∠B＝36°，
∴，
∴，
∴，
解得： ，（舍去），
∴，
此时(s)，
故答案为：.
【点睛】此题考查了图形与函数图象间关系、相似三角形的判定与性质、解一元二次方程，关键是证明．
16．(1)
(2)
【分析】（1）先根据完全平方公式去括号并进行二次根式除法运算，然后根据二次根式的加减计算法则求解即可；
（2）先进行乘方运算、化简二次根式、负整数指数幂以及化简绝对值，然后进行二次根式的加减计算即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【点睛】本题主要考查了二次根式的混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键．
17．不正确，③，右边没有加上1，，
【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，由解题过程即可判断错误的步骤，根据配方法解一元二次方程即可得到答案，熟练掌握配方法解一元二次方程是解此题的关键．
【详解】解：解答过程不正确，从第③步开始出现错误，错误原因是右边没有加上1，
移项得：，
二次项系数化为1得：，
配方，得：，即，
由此可得：，
，
故答案为：③，右边没有加上1．
18．(1)
(2)
(3)见解析
【分析】本题考查了二次根式的应用，数字类规律探索，完全平方公式，根据已知等式发现一般规律是解题关键．
（1）根据已知等式，发现一般规律，即可得到答案；
（2）根据（1）所得结论，即可得到答案；
（3）根据二次根式的性质以及完全平方公式进行化简，即可得到答案
【详解】（1）解：；
；
…
观察发现一般规律：，
，
故答案为：；
（2）解：由（1）得可知，第n个式子可以表示为：；
故答案为：；
（3）解：
．
19．(1)作图见解析
(2)作图见解析
(3)是位似图形，点为所求位似中心，见解析，点的坐标为
【分析】（1）根据位似图形的作法，按要求即可得到答案；
（2）根据点的平移法则，将三角形顶点平移后连接各个顶点即可得到答案；
（3）根据位似图形的定义与性质做出判断，并得到位似中心点及其坐标．
【详解】（1）解：如图所示：
即为所作图形；
（2）解：如图所示：
即为所作图形；
（3）解：和是位似图形，如图所示：
点为所求位似中心，点的坐标为．
【点睛】本题考查复杂作图-位似图形、图形平移，熟记位似图形的定义与性质、点的平移法则是解决问题的关键．
20．(1)，
(2)且
【分析】（1）先根据方程的解的定义把代入原方程求出m的值，则可确定原方程变为，然后解方程得到方程的另一根；
（2）根据判别式的意义得到且，，然后解不等式即可．
【详解】（1）将代入一元二次方程，得，
解得．
当时，代入原方程，得，
∴，，
∴．
（2）∵一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴且，
解得且，
即m的取值范围是且．
【点睛】本题主要考查方程根与系数的关系及根的判别式，由方程根的情况得到判别式的符号是解题的关键．
21．(1)80元或50元
(2)当售价定为65元时，其销售利润达到最大，最大利润为12250元
【分析】本题考查了一元二次方程和二次函数的实际应用，根据题意准确列出方程和函数表达式是解决问题的关键．
（1）根据“销售利润每个台灯的利润销售量”列方程解出即可；
（2）根据“销售利润每个台灯的利润销售量”，“每个台灯的利润售价进价”列出二次函数，用二次函数的性质，求出最大值即可．
【详解】（1）解：设这种台灯上涨了元，
根据题意，得，
整理，得，
解得或，
当 时，售价为：（元），
当 时，售价为：（元），
答：售价应定为80元或50元；
（2）解：设台灯的售价为元，利润为元，
依题意：，
，
∴当时，元，
答：当售价定为65元时，其销售利润达到最大，最大利润为12250元．
22．凌霄塔的高度为42米，见解析
【分析】先证明，求出的长，再证明即可求出答案．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴解得：，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
解得：，
∴凌霄塔的高度为42米．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，正确理解题意是解题关键．
23．（1）见解析；（2）的值是定值，该定值为 ；（3）当或时，△BPE与△PEF相似
【分析】（1）因为在矩形中，所以只要再证明∠BAP=∠CPD即可；（2）证明边比为定值，考虑相似三角形，过点F作FG⊥BC于G，创造△PGF并证明其与△EBP 相似；（3）使△BPE ∽△PFE，那么，算出m值，反证相似.
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形
∴∠B=∠C=90°
∴∠BAP+∠BPA=90°
∵∠MPN=90°
∴∠CPD+∠BPA=90°
∴∠BAP=∠CPD
∴△ABP ∽△PCD
（2）过点F作FG⊥BC于G
∴∠FGP=90°
∴∠FGP=∠B，∠PFG+∠FPG=90°
易知四边形ABGF是矩形，
∴FG=AB=2
∵∠MPN=90°
∴∠EPB+∠FPG=90°
∴∠EPB=∠FPG
∴△EBP ∽△PGF
∴
∴的值是定值，该定值为
（3）∵AE
∴BE
①当时，
∵∠B=∠EPF=90°
∴△BPE ∽△PFE
∴
∴
∴
②当时，
∵∠B=∠EPF=90°
∴△BPE ∽△PEF
∴
∴
∴
综上，当或时，△BPE与△PEF相似.
【点睛】本题考查了相似三角形的判定定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交；两边对应成比例且夹角相等；三边对应成比例；两角对应相等以及性质定理：对应角相等，对应边成比例.