湖北省随州市曾都区、随县5校联考2023-2024学年九年级上学期月考数学试题（含解析）

这是一份湖北省随州市曾都区、随县5校联考2023-2024学年九年级上学期月考数学试题（含解析），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．是关于x的一元二次方程的解，则（ ）
A．B．C．D．
3．已知二次函数，下列说法正确的是（ ）
A．对称轴为B．顶点坐标为C．函数的最大值是－3D．函数的最小值是－3
4．如图，正五边形内接于，连接，则（ ）

A．B．C．D．
5．如图，在中，，将绕点C逆时针旋转得到，点A，B的对应点分别为D，E，连接．当点A，D，E在同一条直线上时，下列结论不一定正确的是（ ）
A．B． C．D．
6．据国家统计局发布的《2022年国民经济和社会发展统计公报》显示，2020年和2022年全国居民人均可支配收入分别为3.2万元和3.7万元．设2020年至2022年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为x，依题意可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
7．我国古代数学名著《九章算术》中有这样一道题：“今有圆材，径二尺五寸．欲为方版，令厚七寸，问广几何？”结合右图，其大意是：今有圆形材质，直径为25寸，要做成方形板材，使其厚度达到7寸．则的长是（ ）

A．寸B．25寸C．24寸D．7寸
8．如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB是直径，∠BCD=120°，过D点的切线PD与直线AB交于点P，则∠ADP的度数为（ ）
A．40°B．35°C．30°D．45°
9．图(1)是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在L时，拱顶(拱桥洞的最高点)离水面2m，水面宽为4m．如果水面宽度为6m，则水面下降 ( )
A．3.5 B．3C．2.5D．2
10．将进货单价为50元的某种商品按零售价每个60元出售时，每周能卖出100个，若这种商品零售价每涨价1元，周销售量就减少2个，但物价部门规定，最高售价不能高于成本价的，则每周获得的最大利润为（ ）
A．元B．元C．元D．元
二、填空题
11．当方程是关于x一元二次方程时，的值 ．
12．已知圆锥的母线长13，圆锥的高12，则这个圆锥的侧面积是 ．
13．如图，在平面直角坐标系中，轴于点B，将绕点B逆时针旋转得到．若点A的坐标为，则点C的坐标为 ．
14．如图，的内切圆与、、、分别相切于点、、，且，，，则图中由线段、及组成的阴影部分的面积是 ．
15．抛物线的对称轴是直线，且过点．顶点位于第二象限，其部分图像如图所示，给出以下判断：①；②；③；④抛物线上有两点和，若，且，则；⑤直线与抛物线两个交点的横坐标分别为，，则．其中正确的是 （填写序号）．
16．如图，在矩形中，，，动点P在矩形的边上沿运动．当点P不与点A、B重合时，将沿对折，得到，连接，则在点P的运动过程中，线段的最小值为 ．
三、解答题
17．解方程：
(1)
(2)
18．把抛物线先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到抛物线．
(1)直接写出抛物线的函数关系式；
(2)点能否在拋物线上？请说明理由；
19．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，．
(1)求a的取值范围；
(2)若，满足，求a的值．
20．如图，AB为的直径，是弦，点D是的中点，，交的延长线于点E．
(1)判断直线与的位置关系，并说明理由；
(2)若，的半径为5，求的长．
21．（1）如图1，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上，点A的坐标为，画出关于原点O成中心对称的，并写出点C的对应点的坐标______；
（2）如图2，是由小正方形组成的的网格，点A，B，C均在格点上．
①点M在线段右侧的格点上，点A绕点M顺时针旋转度可与点B重合，则______；点A转过的路径长为______；
②在图中确定的外心（仅用无刻度的直尺在给定的网格中完成画图，画图过程用虚线表示）．

22．一次足球训练中，小明从球门正前方20m的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为15m时，球达到最高点，此时球离地面3m．已知球门高OB为2.44m，现以O为原点建立如图所示直角坐标系．
(1)求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）．
(2)对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点O正上方2.25m处？
23．如图①，在等腰直角三角形中，，D，E分别为的中点，F为线段上一动点（不与D，E重合），将线段绕点A按逆时针方向旋转得到，连接．

(1)求证：．
(2)如图②，连接，交于点H．
①证明：在点F的运动过程中，总有；
②若，直接写出当的长度是多少时，为为等腰三角形？
24．如图所示，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且，．

备用图
(1)求抛物线的解析式；
(2)若连接、．动点从点出发，在线段上以每秒个单位长度向点做匀速运动；同时，动点从点出发，在线段上以每秒个单位长度向点做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接，设运动时间为秒．在、运动的过程中，当为何值时，四边形的面积最小，最小值为多少？
(3)点是抛物线上位于轴上方的一点，点在轴上，是否存在以点为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．
含答案与解析
1．B
【详解】解：由中心对称图形的定义：“把一个图形绕一个点旋转180°后，能够与自身完全重合，这样的图形叫做中心对称图形”
根据定义，A、C、D都不是中心对称图形，只有B是中心对称图形.
故选：B.
2．A
【分析】本题考查了一元二次方程的解，把代入方程，得到，等式两边乘以2即可得到答案．正确掌握代入法，找到a和b的关系是解决本题的关键．
【详解】解：把代入方程得：，
解得：，
故，
故选：A．
3．C
【分析】根据二次函数的图象及性质进行判断即可．
【详解】二次函数的对称轴为，顶点坐标为
∵
∴二次函数图象开口向下，函数有最大值，为
∴A、B、D选项错误，C选项正确
故选：C
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数图象和性质是解题的关键．
4．D
【分析】先计算正五边形的内角，再计算正五边形的中心角，作差即可．
【详解】∵，
∴，
故选D．
【点睛】本题考查了正五边形的外角，内角，中心角的计算，熟练掌握计算公式是解题的关键．
5．C
【分析】本题考查了旋转的性质以及等边三角形的性质与判定，由旋转的性质得出，，则可得，即是等边三角形，根据等边三角形的性即可出结论．灵活运用旋转的性质是本题的关键．
【详解】解：∵将绕点C逆时针旋转得到，
∴，，，
∵点A，D，E在同一条直线上，
∴，即绕点C逆时针旋转得到，
∴，故A选项是正确的；
∵，，
∴为等边三角形，
∵，
∴，
∵，
∴，故B选项是正确的；
∵，，
∴为等边三角形，即，故D选项是正确的；
∵绕点C逆时针旋转得到，
故，
∴，
但题干缺少条件，无法知道，
∴结论不一定正确的是C选项，
故选：C．
6．B
【分析】设2020年至2022年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为x，根据题意列出一元二次方程即可．
【详解】设2020年至2022年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为x，
根据题意得，．
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键．
7．C
【分析】根据矩形的性质，勾股定理求解．
【详解】由题意知，四边形是矩形，
在中，
故选：C．
【点睛】本题考查矩形的性质，勾股定理；由矩形的性质得出直角三角形是解题的关键．
8．C
【分析】连接，即，又，故，所以；又因为为切线，利用切线与圆的关系即可得出结果．
【详解】解：连接BD，
∵∠DAB=180°﹣∠C=60°，
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠ABD=90°﹣∠DAB=30°，
∵PD是切线，
∴∠ADP=∠ABD=30°，
故选C．
【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，直径对圆周角等于直角，弦切角定理，弦切角等于它所夹的弧对的圆周角求解．
9．C
【分析】由图中可以看出，所求抛物线的顶点在原点，对称轴为轴，可设此函数解析式为：，利用待定系数法求出解析式，再根据水面宽度为6m时，求出当x=3时，对应y值即可解答．
【详解】解：设此函数解析式为：，；
那么应在此函数解析式上．
则
即得，
那么．
当x=3时，
∴水面下降(-2)-(-4.5)=2.5（米）
故选：C.
【点睛】根据题意得到函数解析式的表示方法是解决本题的关键，关键在于找到在此函数解析式上的点．
10．C
【分析】本题考查了二次函数的实际应用题，主要考查了列二次函数解析式，求二次函数的最值．设降价x元，表示出利润y与x的函数关系式，再根据题意求出自变量x的取值范围即可求出最大利润．
【详解】解：设涨价x元，每周获利，
∵最高售价不能高于成本价的，
∴，
∴，
∵，
∴当时，随x的增大而增大，
故当时，y的最大值为，
故应选：C
11．-1
【详解】解：由题意得：
解(1)得，m=±1，
当m=1时，m−1=0，不合题意，
当m=−1时，m−1≠0，故m=−1
故答案为：-1．
12．65
【分析】根据勾股定理求出圆锥的底面半径，再利用扇形面积公式求解.
【详解】解：由勾股定理得，圆锥的底面半径为(cm)，
圆锥的底面周长（cm），
圆锥的侧面积().
故答案为：.
【点睛】本题考查了圆锥的计算，理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系，理解母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长是解答关键.
13．
【分析】本题考查坐标与图形的性质，解直角三角形，等边三角形的判定和性质．作轴于H，证明是等边三角形，求出，解直角三角形即可解决问题．
【详解】解：如图，作轴于H，
∵，轴．
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：
14．##
【分析】本题考查了求扇形面积，正方形的性质与判定，切线长定理，先得出是直角三角形，进而证明四边形是正方形，根据阴影部分面积等于正方形的面积减去个圆的面积，即可求解．
【详解】解：∵，，，
∴
∴，
∵的内切圆与、、、分别相切于点、、，
∴
∴四边形是矩形，
又∵，
∴四边形是正方形，则，
如图所示，连接，，，
∴
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
15．②⑤##⑤②
【分析】根据题意得到a、b、c的关系式，可以用a表示出b、c，进而得到含a的二次函数关系式，结合图像确定符号，对选项逐一判断即可．
【详解】解：∵抛物线的开口向下，
∴，
抛物线的对称轴为直线，
∴，即，
∴，
解得：，故①错误；
抛物线经过点，
，
，
∴，故③错误；
∵抛物线对称轴为直线，抛物线与x轴的一个交点为，
∴抛物线与轴的另一个交点为，
因此，当自变量时，函数值，故②正确；
∵，
∴点P到对称轴的距离为，点Q到对称轴的距离为，
∵，
又∵，
∴，
∴，
∴点P到对称轴的距离小于点Q到对称轴的距离，
∵，
∴，故④错误；
联立解析式：，
即，
得，
，
，故⑤正确．
综上分析可知，正确的有：②⑤．
故答案为：②⑤．
【点睛】本题考查二次函数图象和性质的综合运用，有一定难度，解题的关键是根据图像判断a、b、c的符号，再根据题意表示出a、b、c的关系，最后结合函数与方程，不等式的知识进行解答．
16．##
【分析】本题考查了矩形与折叠问题，圆外一点到圆上的距离的最值问题，解题的关键是：根据折叠的性质得出在为圆心，2为半径的弧上运动，进而分类讨论当点在上时，当点在上时，当在上时，即可求解．
【详解】解：在矩形中，，，
，，
如图所示，当点在上时，
，
在为圆心，2为半径的弧上运动，
当，，三点共线时，最短，
此时，
当点在上时，如图所示，
此时，
当在上时，如图所示，此时，
综上所述，的最小值为，
故答案为：．
17．(1)，
(2)，
【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握公式法与因式分解的方法解一元二次方程是解本题的关键；
（1）先计算，再利用求根公式求解即可；
（2）先移项，再把化为，再化为两个一次方程，再解一次方程即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴，；
（2），
∴，
∴，即，
∴或，
解得：，．
18．(1)
(2)点不在抛物线上，理由见解析
【分析】（1）根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行求解；
（2）解法一，二：把点代入得，根据方程无解，即可得出结论；解法三：根据二次函数的最小值即可判断，即可求解．
【详解】（1）解：把抛物线先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到抛物线：（或）
（2）解法一：把点代入得
，
∴，方程无解，所以点不在抛物线上；
解法二：把点代入得，，
∵，方程无解，所以点不在抛物线上；
解法三：∵抛物线：，
∴函数的最小值为，
∴点不在拋物线上．
19．(1)
(2)
【分析】（1）根据方程有两个不相等的实数根, 可知方程的判别式大于0，据此列不等式即可求解；
（2） 根据根与系数的关系得出，代入中即可求解．
本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，若x1，x2是方程ax2+bx+c=0的两个根, 则有x1+x2=−ba，x1x2=ca，掌握该知识点是解答本题的关键．
【详解】（1）（1）∵方程有两个不相等的实数根，
∴，即
∴；
（2）∵，，
由得，，
∴，解得，，
∵，
∴
20．(1)直线与相切，理由见解析
(2)
【分析】（1）连接，首先根据同弧所对的圆周角相等和等边对等角得到，证明出，得到，证明出直线与相切；
（2）过点D作，连接，，根据题意得到，，，证明出，得到，然后利用勾股定理得到，进而求解即可．
【详解】（1）直线与相切，理由如下：
如图所示，连接，
∵点D是的中点，
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∵
∴
∵是的半径
∴直线与相切；
（2）如图所示，过点D作，连接，
∵
∴
∵，，
∴，
∴
∴
∵的半径为5，
∴
∴
∴
∴．
【点睛】此题考查了同弧所对的圆周角相等，切线的判定，等边对等角，勾股定理，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
21．（1）图见解析；，（2）①；；②见解析．
【分析】本题考查了作中心对称的图形，三角形的外心，勾股定理以及弧长公式．
（1）利用中心对称的性质作出、、的对称点，顺次连接即可；
（2）①根据旋转的性质得到，且，利用弧长公式即可求解；
②根据三角形的外心即为三角形三边垂直平分线的交点，结合网格的特点，作出和的垂直平分线的交点即可．
【详解】解：（1）如图所示，

点的坐标；
（2）①点M如图所示，其中；
∵，
∴点A转过的路径长为；
②如图，点O是的外心．

22．(1)，球不能射进球门
(2)当时他应该带球向正后方移动2.5米射门
【分析】（1）求出抛物线的顶点坐标，再设其为顶点式，待定系数法求出函数表达式，在求出当时，的值即可比较判断；
（2）设小明带球向正后方移动米，则移动后的抛物线为，把点代入得抛物线求出，故可求解．
【详解】（1）由题意，得抛物线的顶点坐标为，
设抛物线为，
把点代入，得，解得，
∴抛物线的函数表达式为，
当时，，
∴球不能射进球门．
（2）设小明带球向正后方移动m米，则移动后的抛物线为，
把点代入得，
解得，（舍去），
∴当时他应该带球向正后方移动2.5米射门．
【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，把实际问题转化为数学问题解决．
23．(1)证明见解析
(2)①证明见解析，②1或
【分析】（1）由旋转的性质得：，，推出，是等腰直角三角形，得到，根据即可证明；
（2）①证明，进一步可得结果；②分为，此时，进而求得结果；当时，推出，从而求得结果；当时，点F的点E重合，不合题意．
【详解】（1）证明：由旋转的性质得：，，
，即，
是等腰直角三角形，，
，
在和中，
，
；
（2）①证明：∵点D是的中点，点E是的中点，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
同理（1）得，，
，
；
②解：由题意得：，
，
如图1，

当时，，，
，
，
；
如图2，
当时，，
，
，
，
，
，
；
当时，，
，
此时F点和E点重合，不符合题意，
综上所述：或1时，是等腰三角形．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是正确分类，找出条件．
24．(1)
(2)时，四边形的面积最小，最小值为
(3)存在，或
【分析】（1）根据交点式列出函数解析式，即可求解；
（2）根据题意可得是等腰直角三角形，过点作轴，垂足为，根据列出函数关系式，进而根据二次函数的性质，即可求解；
（3）过点作轴的平行线，交轴于点，过点作，设，证明，可得，进而列出方程，解方程即可求解．
【详解】（1）解：∵，，则，,
∴抛物线解析式为；
（2）
是等腰直角三角形，由点的运动可知：
，过点作轴，垂足为，
，
又，则，
当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，
，，
，
当时，四边形的面积最小，即为；
（3）解：存在，或
当点在的右侧时，如图所示，
过点作轴的平行线，交轴于点，过点作，
∵是以为直角为直角顶点的等腰直角三角形，
∴，
∴，
又
∴
∴，
设，
∴，
解得：或（舍去）
∴；
当点在的右侧时，同理可得
解得：或（舍去）
∴．
综上所述，或．