云南省昆明市五华区2023-2024学年九年级上学期期中数学试题（含解析）

这是一份云南省昆明市五华区2023-2024学年九年级上学期期中数学试题（含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．2023年杭州亚运会的参赛人数创下了亚运历史之最，参赛运动员超过名．数据用科学记数法表示为( )
A．B．C．D．
2．如图，，于点，若，则等于( )
A．B．C．D．
3．下列计算正确的是( )
A． B． C． D．
4．如图，，平分．证明的依据是( )
A．B．C．D．
5．数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何的研究对象之一，下列数学曲线是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
6．按一定规律排列的式子：，，，，⋯，第n个式子是（ ）
A．B．
C．D．
7．若关于x的一元二次方程有实数根，则k的值可以是（ ）
A．2B．C．D．3
8．某中学对学生最喜欢的课外体育项目进行了随机抽样调查，要求每人只能选择其中的一项，根据得到的数据，绘制的不完整统计图如图所示，则下列说法中不正确的是( )

A．这次调查的样本容量是
B．全校名学生中，估计最喜欢排球的大约有人
C．扇形统计图中，跳绳所对应的圆心角是
D．被调查的学生中，最喜欢羽毛球的有人
9．青年志愿团队到某地开展志愿服务活动，他们从距离活动地点的地方出发．一部分人骑自行车先走，过了后，其余的人乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车速度是骑车志愿者速度的倍，设骑车志愿者的速度为 ．根据题意，下列方程正确的是（ ）
A．B．C．D．
10．如图，四边形是的内接四边形，若，，则所对圆心角为( )
A．B．C．D．
11．对于某个一次函数，下列根据对话得出的结论中错误的是( )
A．B．C．D．
12．如图，在正方形中，，点从点开始沿边向点以的速度移动，同时点从点开始沿边，按的路线以的速度移动．设的面积为单位：，运动时间为单位：，则关于的函数图象大致是( )
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分）
13．若代数式有意义，则实数x的取值范围是 ．
14．如果一个正多边形的一个外角是60°，那么这个正多边形的边数是 ．
15．化简： ．
16．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A，B在x轴上，点A的坐标是，，，若将菱形绕点A顺时针旋转得到菱形，则点的坐标是 ．
三、解答题（本大题共8小题，共56分）
17．计算： ．
18．玉璧、玉环为我国的传统玉器，通常为正中带圆孔的扁圆型器物，据《尔雅•释器》记载：“肉倍好，谓之壁；肉好若一，谓之环．”如图1，“肉”指边（阴影部分），“好”指孔，其比例关系见图示．以考古发现来看，这两种玉器的“肉”与“好”未必符合该比例关系．

(1)若图1中两个大圆的直径相等，求璧与环的“肉”的面积之比；
(2)图2为某玉环及其从正面看得到的平面图形．现利用圆规与无刻度的直尺判断该玉环的比例关系是否符合“肉好若一”．
作法：如图3．
①在大圆上任取两点，，连接；
②延长，用圆规与无刻度的直尺，过点作射线的垂线交大圆于点；
③连接，交小圆于，两点，分别以点和点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于，两点，作直线，交于点，以点为圆心，的长为半径作圆（虚线）．
请你完成下面的证明．
证明：由作法②得，
．
弦是大圆的直径（ ）（填推理依据）．
由作法③得为的 ．
作法③得到的圆（虚线）与大圆不重合，
所以该玉环的比例关系 “肉好若一”（填：“符合”或“不符合”）．
19．某新能源汽车区域销售部希望确定一个适当的季度目标，对完成目标的员工进行奖励，以调动员工的积极性．现对名员工某季度的销售额进行统计和分析．
数据收集(单位：万元)：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．
数据整理：
数据分析：
问题解决：
(1)填空： ， ；
(2)若将季度销售额不低于万元确定为销售目标，则有 名员工获得奖励；
(3)销售部对数据分析后，最终对一半的员工进行了奖励．某员工反映：“我这个季度的销售额是万元，比平均数万元高，所以我的销售额超过了一半的员工，为什么我没拿到奖励？”假如你是负责人，请你给出合理的回复．
20．国庆节期间，明明、亮亮两家人一起去旅行．他们入住了某酒店相邻的两间客房，客房分别记为，．每间客房配有两张房卡，其中客房的房卡分别记为，，客房的房卡分别记为，，这张房卡外观完全相同．
(1)明明从4张房卡中随机取出一张，只试一次就能打开一间客房的概率为 ；
(2)爸爸外出购物时告诉亮亮他带走了房卡，亮亮从剩下的张房卡中随机取出一张，请用列表法或画树状图法中的一种方法，求他只试一次就能打开一间客房的概率．
21．用张甲种木板(规格：)和张乙种木板(规格：)制作，两种顶部无盖的木盒若干个，，两种木盒尺寸(单位：)如图．为了降低成本，制作木盒时，甲种木板不裁开，除棱以外其他地方不拼接，且甲、乙两种木板刚好全部用完．
(1)求可制作，两种木盒各多少个？
(2)已知种木盒的销售单价是种木盒的两倍，且两种木盒的销售单价之和不低于元而不超过元，设种木盒的销售单价为元．当制作这批木盒的成本为元时，为使这批木盒的销售利润最大，两种木盒的销售单价应分别定为多少元？销售这批木盒的最大利润为多少元？
22．如图，在▱中，平分，平分，，．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若点恰好在上，且，设的周长为，的周长为，，求常数的值．
23．如图，为的直径，为上一点，为上一点，，过点作交的延长线于点，交于点，连接，，在的延长线上取点，使．

(1)求证：是的切线；
(2)若的半径为，，求的长．
24．在平面直角坐标系中，已知抛物线．
(1)若，当时，求的取值范围；
(2)已知点，，都在该抛物线上，若，求的取值范围．
参考答案与解析
1．B
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
【详解】解：．
故选：B
2．C
【分析】本题考查了平行线的性质，先求得，进而根据对顶角相等即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∴．
故选：C．
3．D
【分析】根据同底数幂的乘法，同底数幂的除法，积的乘方，合并同类项，逐项分析判断即可求解．
【详解】解：A、与不属于同类项，不能合并，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，积的乘方，合并同类项，掌握以上运算法则是解题的关键．
4．D
【分析】本题考查了全等三角形的判定；根据角平分线的定义得出，进而根据证明两三角形全等，即可求解．
【详解】解：平分，
，
在与中，
，
，
故选：D．
5．C
【分析】根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
【详解】解：选项A、B、D都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，选项C能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，
故选：C．
【点睛】本题考查的是中心对称图形的概念．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
6．C
【分析】本题主要考查了单项式的规律探索，分别找到单项式次数和系数的规律是解题的关键，观察可知第n个式子的系数为：，第n个式子的次数为：，据此可得答案．
【详解】解：由题知，奇数项的系数为正，偶数项的系数为负，且各项系数的分子的绝对值都1，分母为从1开始的连续奇数，
∴第n个式子的系数为：；
观察单项式列中各单项式的次数可知，
，
，
，
…，
∴第n个式子的次数为：，
∴第n个式子可表示为：．
故选：C．
7．A
【分析】利用一元二次方程根的判别式求解即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根，
∴，
∴，
∵，
∴ ，
∴四个选项中，只有A选项，符合题意，
故选A．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，．
8．C
【分析】本题主要考查了求样本容量、求扇形统计图的圆心角度数、由样本估计总体；从统计图获取信息，逐项分析判断，即可求解．
【详解】解：，
这次调查的样本容量为，故A选项不符合题意；
最喜欢羽毛球的有（人），
最喜欢排球的有（人），
（人），
全校名学生中，估计最喜欢排球的大约有人，故B选项不符合题意；
，
扇形统计图中，跳绳所对应的圆心角是，故C选项符合题意；
（人），
被调查的学生中，最喜欢羽毛球的有人，故D选项不符合题意；
故选：C
9．B
【分析】本题考查了列分式方程；骑车师生的速度为 ，则汽车的速度是 ，根据题意列出分式方程，即可求解．
【详解】解：∵骑车师生的速度为 ，汽车的速度是骑车师生速度的倍，
汽车的速度是 ，
又
∴．
故选：B
10．D
【分析】本题考查了圆内接四边形对角互补，三角形内角和定理，圆周角定理；连接，．根据圆内接四边形对角互补可得，根据三角形内角和定理得出，进而根据圆周角定理，即可求解．
【详解】解：如图，连接，．
，
，
，
，
故选：D
11．A
【分析】本题考查了一次函数的性质，根据题意可得一次函数)的图象经过一、三、四象限，，进而逐项分析判断，即可求解．
【详解】解：∵一次函数的图象不经过第二象限，且经过点，
∴一次函数)的图象经过一、三、四象限，，
∴，．
∴，，
∴，
∴结论中错误的是A，
故选：A
12．A
【分析】本题考查了一次函数与二次函数的应用，动点问题的函数图象；分别求得点在上运动时，点在上运动时的函数解析式，即可求解．
【详解】解：当点在上运动时，
则，函数图象为一次函数；
当点在上运动时，
则，
则，函数图象为二次函数；
故选：A
13．
【分析】根据二次根式的被开方数的非负性求解即可得．
【详解】解：要使代数式有意义，必须有，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的被开方数的非负性是解题关键．
14．6
【详解】解：根据多边形的外角和等于360°和正多边形的每一个外角都相等，得多边形的边数为360°÷60°=6．
故答案为：6.
15．##
【分析】利用分式的同分母加减法，再对分子进行因式分解，约分，即可解答．
【详解】解：
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式的同分母加减法，因式分解，熟练运用计算法则是解题的关键．
16．1+3，−3##3+1，−3
【分析】如图，过点作于点E，根据菱形，旋转的性质可得，求，的长，由四边形是菱形，可证三点共线，进而可求的长，然后可得点的坐标．
【详解】解：如图，过点作于点E，
∵四边形是菱形，
∴，
由旋转的性质得：，
∴轴，，
∴，
由勾股定理得，，
∵四边形是菱形，
∴，
∴轴，
∴点三点共线，
∴，
∵A的坐标是，
∴，
∴，
∴点的坐标是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了菱形的性质，旋转的性质，含的直角三角形，勾股定理等知识．熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
17．
【分析】根据零指数幂、负整数指数幂，求一个数的立方根，算术平方根，化简绝对值进行计算即可求解．
【详解】解：
【点睛】本题考查了零指数幂、负整数指数幂，求一个数的立方根，算术平方根，化简绝对值；熟练掌握以上运算法则是解题的关键．
18．(1)
(2)90°的圆周角所对的弦为直径；垂直平分线；不符合
【分析】本题考查了求圆的面积；的圆周角所对的弦为直径；垂直平分线；
（1）根据圆环面积可进行求解；
（2）根据的圆周角所对的弦为直径；垂直平分线完成填空即可求解．
【详解】（1）解：由图1可知：璧的“肉”的面积为；
环的“肉”的面积为，
∴它们的面积之比为；
故答案为；
（2）由作法②得，
．
弦是大圆的直径（的圆周角所对的弦为直径）．
由作法③得为的垂直平分线．
作法③得到的圆（虚线）与大圆不重合，
所以该玉环的比例关系不符合“肉好若一”．
故答案为：的圆周角所对的弦为直径；垂直平分线；不符合．
19．(1)；
(2)
(3)见解析
【分析】本题考查频数分布表，平均数，中位数，利用中位数做决策等；
（1）根据所给数据可得的值及按从小到大顺序排列，第位和第位分别是，，可得中位数；
（2）根据频数分布表求得答案；
（3）利用中位数的含义进行决策比利用平均数作决策更合理，从而可得答案．
【详解】（1）解：，
将个数据按由大到小的顺序排列如下：
，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，
位置在中间的两个数为，，它们的平均数为，
这组数据的中位数为，
．
故答案为：；；
（2）解：由个数据可知：不低于万元的个数为，
若将月销售额不低于万元确定为销售目标，则有名员工获得奖励，
故答案为：；
（3）解：由（1）可知：名员工的销售额的中位数为万元，
∴名员工的销售额有一半的人，即人超过万元，
公司对一半的员工进行了奖励，说明销售额在万元及以上的人才能获得，
而员工甲的销售额是万元，低于万元，
∴员工甲不能拿到奖励．
20．(1)
(2)
【分析】本题考查了概率公式求概率，画树状法求概率；
（1）根据概率公式求概率即可求解；
（2）根据画树状图法求概率即可求解．
【详解】（1）解：明明从4张房卡中随机取出一张，只试一次就能打开一间客房的概率．
故答案为：；
（2）画树状图为：

共有6种等可能的结果，其中他只试一次就能打开一间客房的结果数为3，
所以他只试一次就能打开一间客房的概率．
21．(1)种木盒个，可制作两种木盒个
(2)种木盒的销售单价是元，种木盒的销售单价是元，最大利润元
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用；
（1）设可制作种木盒个，可制作两种木盒个，根据题意可得，制作一个种木盒需要长、宽均为的木板5个，制作一个种木盒需要长、宽均为的木板1个，长为、宽为的木板4个，列关系式求解即可；
（2）设种木盒的销售单价为元．则设种木盒的销售单价为元，利润为元，根据题意列出函数关系式，结合“两种木盒的销售单价之和不低于元而不超过元”，得出，根据一次函数的性质即可求解．
【详解】（1）解：设可制作种木盒个，可制作两种木盒个，
则
解得：，
答：可制作种木盒个，可制作两种木盒个；
（2）设种木盒的销售单价为元．则设种木盒的销售单价为元，利润为元，
则，
，
两种木盒的销售单价之和不低于元而不超过元，
，
，
，
随的增大而增大，
当元时，最大为元，
此时种木盒的销售单价是元，种木盒的销售单价是元，最大利润元．
22．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，矩形的判定定理，勾股定理；
（1）先证明四边形是平行四边形，根据角平分线的定义可得平分，平分，进而得出，即可得证；
（2）证明是等边三角形，设，则，，勾股定理求得，进而求得的周长，的周长，根据题意可得，即可求解．
【详解】（1）证明：，，
四边形是平行四边形，
四边形是平行四边形，
，
，
平分，平分，
，
，
平行四边形是矩形；
（2）解：如图，
四边形是平行四边形，
，，，，
，，
平分，
，
，
，
同理：，
，是等边三角形，
，
设，则，，
由（1）可知，，
的周长为，的周长为，，
∴
∴．
23．(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，根据是的直径，得出，进而证明，得出，结合已知条件可得，进而得出，即可得证；
（2）作于点，则，证明，根据相似三角形的性质求得，进而求得，证明，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，即可求解．
【详解】（1）证明：连接，则，
，
是的直径，，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的半径，且，
是的切线．
（2）解：作于点，则，
，
，
∴，
由（1）得，
，
的半径为，
，
∴，
，，
，
，
，
，
，
，
∵，
∴，
，，且，
，，
，
的长为．
【点睛】本题考查了切线的性质与判定，相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．
24．(1)
(2)或
【分析】本题考查了二次函数的性质；
（1）将代入解析式，得出，可得对称轴为直线，进而分别求得最大值与最小值，即可求解；
（2）根据题意分，两种情况讨论，根据二次函数的性质结合题意列出关于不等式，解不等式，即可求解．
【详解】（1）解：当时，，
抛物线开口向上，对称轴为直线，
比距离对称轴远，
时，为函数最小值，
当时，为函数最大值，
当时，；
（2）对称轴为直线，
当时，抛物线开口向上，函数有最小值，
∴，
∵，
∴，即，
，
解得，
当时，抛物线开口向下，函数有最大值，
∴，
∵，
∴，即，
，
解得，
的取值范围是或．

函数图象不经过第二象限．

函数图象经过点．
销售额/万元
频数
平均数
众数
中位数