湖南省邵阳市武冈市2024届高三上学期期中考试 数学试卷及参考答案

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高三数学
本试卷分为问卷和答卷.考试时量120分钟，满分150分.请将答案写在答题卡上.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知，若复数为纯虚数，则复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
3. 若向量，则“”是“向量的夹角为钝角”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C 充要条件D. 既不充分也不必要条件
4. 设等差数列的公差为，前项和为，若，且，则（ ）
A B. C. 1D. 3
5. 已知某种垃圾的分解率为，与时间（月）满足函数关系式（其中，为非零常数），若经过12个月，这种垃圾的分解率为10%，经过24个月，这种垃圾的分解率为20%，那么这种垃圾完全分解，至少需要经过（ ）（参考数据：）
A. 48个月B. 52个月C. 64个月D. 120个月
6. 已知函数的部分图象如图所示，其中.在已知的条件下，则下列选项中可以确定其值的量为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知向量满足，且，则（ ）
A. B. C. D.
8. 已知函数，当时，恒成立，则m的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.
9. 关于函数，下列结论正确是（ ）
A. 的最小正周期为B. 的最大值为2
C. 在上单调递减D. 是的一条对称轴
10. 设等比数列的公比为，其前n项和为，前n项积为，并满足，，，下列结论正确的有（ ）
A. B.
C. 是数列中的最大项D. 是数列中的最大项
11. 已知过抛物线T：的焦点F的直线l交抛物线T于A，B两点，交抛物线T的准线与点M，，，则下列说法正确的有（ ）
A. 直线l的倾斜角为150°B.
C. 点F到准线距离为8D. 抛物线T的方程为
12. 如图，在直四棱柱中，分别为侧棱上一点，，则（ ）

A.
B. 可能为
C. 的最大值为
D. 当时，
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知，则_____.
14. 某班派遣五位同学到甲，乙，丙三个街道进行打扫活动，每个街道至少有一位同学去，至多有两位同学去，且两位同学去同一个街道，则不同的派遣方法有_________种.
15. 已知体积为96的四棱锥的底面是边长为的正方形，底面ABCD的中心为，四棱锥的外接球球心O到底面ABCD的距离为2，则点P的轨迹的长度为_________.
16. 已知函数有两个极值点，且，则实数m的取值范围是__________.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知数列满足
（1）令，求证：数列为等比数列；
（2）求数列的前项和为.
18. 如下图，在直三棱柱中，，分别为，的中点，且，.
（1）求三棱锥的体积；
（2）求直线与平面所成角的余弦值.
19. 某公司有A，B，C型三辆新能源电动汽车参加阳光保险，每辆车需要向阳光保险缴纳800元的保险金，若在一年内出现事故每辆车可赔8000元的赔偿金（假设每辆车每年最多赔偿一次）.设型三辆车一年内发生事故的概率分别为，，，且每辆车是否发生事故相互独立.
（1）求该公司获赔的概率；
（2）设获赔金额为X，求X的分布列和数学期望.
20. 在中，a、b、c分别为角所对的三边，若
（1）求角C；
（2）若，求的最大值.
21. 如图，椭圆，点在椭圆C上，为其上下顶点，且，过点P作两直线与分别交椭圆C于两点，若直线与的斜率互为相反数.

（1）求椭圆的标准方程；
（2）求的最大值.
22 已知函数.
（1）若在上为单调函数，求实数a的取值范围：
（2）若，记的两个极值点为，，记的最大值与最小值分别为M，m，求的值.