1.河北省石家庄市五校联合体2022-2023学年高一下学期期中数学试题

这是一份1.河北省石家庄市五校联合体2022-2023学年高一下学期期中数学试题，共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．如图，若向量对应的复数为z，则z表示的复数为（ ）
A．B．C．D．
2．设如图，在平行四边形中，下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3．如图正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是（ ）
A．B．C．D．
4．若某圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，则它的体积为（ ）
A．B．C．D．
5．若复数，，其中i是虚数单位，则的最大值为（ ）
A．2B．3C．D．
6．在中，，，，则（ ）
A．B．1C．D．2
7．设点不共线，则“”是“与的夹角为钝角”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
8．粽子，古时北方也称“角黍”，是由粽叶包裹糯米､泰米等馅料蒸煮制成的食品，是中国汉族传统节庆食物之一，端午食粽的风俗，千百年来在中国盛行不衰，粽子形状多样，馅料种类繁多，南北方风味各有不同，某四角蛋黄粽可近似看成一个正四面体，蛋黄近似看成一个球体，且每个粽子里仅包裹一个蛋黄，若粽子的棱长为，则其内可包裹的蛋黄的最大体积约为（ ）
(参考数据：)
A．B．C．D．
二、多选题
9．下列说法中不正确的是（ ）
A．正四棱柱一定是正方体
B．圆柱的母线和它的轴不一定平行
C．正棱锥的侧面是全等的等腰三角形
D．以直角三角形的一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体为圆锥
10．已知复数，，则下列说法正确的是（ ）
A．的共轭复数不是B．
C．复数D．复数为纯虚数
11．下列说法正确的是（ ）
A．若与是共线向量，则
B．若，，则与可以作为平面内所有向量的基底
C．已知是圆的直径，点是圆上异于、的点，且，则向量在向量上的投影向量为
D．若，是单位向量，且，则
12．已知正方体的棱长为2，，，分别为，，的中点，则下列结论中正确的是（ ）

A．直线与直线垂直B．直线与平面平行
C．点与点到平面的距离相等D．平面截正方体所得的截面面积为
三、填空题
13． .
14．已知以为起点的向量，在正方形网格中的位置如图所示、网格纸上小正方形的边长为1，则 .

15．设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面.下列正确命题的序号是 .
①若，，，则 ②若，，，则
③若，，，则 ④若，，，则
16．如图，在离地面高400的热气球上，观测到山顶C处的仰角为15°，山脚A处的俯角为45°，已知，求山的高度 .
.
四、解答题
17．已知复数，，其中是实数.
(1)若，求实数的值；
(2)若是纯虚数，求.
18．如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长是2，D，E是CC1，BC的中点，AE=DE.求:
(1)正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长；
(2)正三棱柱ABC-A1B1C1的表面积.
19．已知在中，点是边上靠近点的四等分点，点在边上，且，设与相交于点．记，．

(1)请用，表示向量；
(2)若，设，的夹角为，若，求证：．
20．如图，在长方形中，，．
(1)求证：；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
21．在锐角中，角，，所对的边为，，，已知.
(1)求角；
(2)若，求的取值范围.
22．如图1，四边形是矩形，将沿对角线折起成，连接，如图2，构成三棱锥.过动点作平面的垂线，垂足是.
(1)当落在何处时，平面平面，并说明理由；
(2)在三棱锥中，若为的中点，判断直线与平面的位置关系，并说明理由；
(3)设是及其内部的点构成的集合，，当时，求三棱锥的体积的取值范围.
参考答案：
1．C2．D3．A4．A5．D6．B7．C8．C
9．ABD10．ACD11．BCD12．BD
13． 14．215．②16．
17．(1)1；
(2).
【详解】（1）复数，则，又a是实数，
因此，解得，
所以实数a的值是1.
（2）复数，，则，
因为是纯虚数，于是，解得，因此，又，
则，即有，
所以.
18．(1)2
(2)
【详解】（1）由题意BE=EC=1，DE=AE=2×sin60°=，
根据正三棱柱得CC1⊥面ABC，又BC⊂面ABC，所以CC1⊥BC，
在Rt△ECD中，CD=，
又D是CC1的中点，故侧棱长为2.
（2）底面积为S1=2S△ABC=2×2×=2，侧面积为S2=3=3×2×2=12.
所以棱柱表面积为S=S1 +S2=12+2.
19．(1)
(2)证明见解析
【详解】（1），由题意得，
所以．
（2）由题意，．
∵，，∴．
∴，
∴．
20．(1)证明过程见详解
(2)
【详解】（1）在长方体中，,,，平面，
平面，平面，，
又，可得,，平面，
平面.
平面，.
（2）记交于点，连接，
由（1）得平面，
所以为斜线在平面上的射影，
为与平面所成的角.
在长方体中，,，
在中，，，
.
直线与平面所成角的正弦值为.
21．(1)；
(2)．
【详解】（1）在中，由，得，
由余弦定理得，又，解得，
所以.
（2）在锐角中，由（1）知，，则，解得，
由正弦定理得，，即，，
因此
，而，有，于是，
所以的取值范围是．
22．(1)落上，理由见解析；
(2)直线与平面平行，理由见解析；
(3).
【详解】（1）当落上时，平面平面.
因为，所以平面，
所以平面.
因为平面，
所以平面平面.
（2）直线与平面平行.
证明如下：取的中点，连结.
因为平面，
所以，
在Rt和Rt中，，
所以，
所以，
因为为的中点，
所以，又在矩形中，，
所以，因为平面平面，
所以平面，
在中，分别为的中点，所以，
因为平面平面，
所以平面，又在平面中，，
所以平面平面，因为平面，
所以平面.
（3）在矩形中，作交于，
已知，由题意知
在中，作，交于，
沿将折起成后，
又，
所以平面.
因为平面，
所以，又，
在平面中，，
所以平面，
因此，当时，满足题意的的集合组成的图形为线段，
因为在Rt中，
所以，当时，取得最大值为，
当时，取得最小值为，
因为四面体的体积为，
①当取得最大值时，即与重合时，
四面体的体积取得最大值；
②当取得最小值时，即与重合时，
四面体的体积取得最小值.
综上，当时，四面体的体积的取值范围是.