5.湖北省武汉市部分重点中学2022-2023学年高一下学期期末联考数学试题

这是一份5.湖北省武汉市部分重点中学2022-2023学年高一下学期期末联考数学试题，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．设为虚数单位，复数z满足，则为（ ）．
A．B．5C．2D．
2．从小到大排列的数据1，2，3，x，4，5，6，7，8，y，9，10的下四分位数为（ ）．
A．3B．C．8D．
3．已知平面向量，，那么在上的投影向量的坐标是（ ）．
A．B．
C．D．
4．圆台的上、下底面半径分别是1和5，且圆台的母线长为5，则该圆台的体积是（ ）．
A．B．C．D．
5．在边长为4的正方形中，动圆Q的半径为1、圆心在线段（含端点）上运动，点P是圆Q上及其内部的动点，则的取值范围是（ ）．
A．B．C．D．
6．某校高三（1）班（45人）和高三（2）班（30人）进行比赛，按照分层抽样的方法从两个班共抽取10名同学，相关统计情况如下：高三（1）班答对题目的平均数为，方差为；高三（2）班答对题目的平均数为，方差为，则这10人答对题目的方差为（ ）
A．B．C．D．
7．某数学兴趣小组要测量一个球体建筑物的高度，已知点A是球体建筑物与水平地面的接触点（切点），地面上B，C两点与点A在同一条直线上，且在点A的同侧．若小明同学在B，C处分别测得球体建筑物的最大仰角为和，且米，则该球体建筑物的高度为（ ）米．

A．B．C．D．
8．已知正四棱锥的底面边长为1，侧棱长为，的中点为E，过点E作与垂直的平面，则平面截正四棱锥所得的截面面积为（ ）．
A．B．C．D．
二、多选题
9．已知复数，，是方程的三个解，则下列说法正确的是（ ）．
A．B．
C．，，中有一对共轭复数D．
10．伯努利试验是在同样的条件下重复地、相互独立地进行的一种随机试验，其特点是每次试验只有两种可能结果．若连续抛掷一枚质地均匀的硬币n次，记录这n次实验的结果，设事件M＝“n次实验结果中，既出现正面又出现反面”，事件N＝“n次实验结果中，最多只出现一次反面”，则下列结论正确的是（ ）．
A．若，则M与N不互斥B．若，则M与N相互独立
C．若，则M与N互斥D．若，则M与N相互独立
11．已知P是所在平面内一点，则下列说法正确的是（ ）．
A．若，则P是的重心
B．若P与C不重合，，则P在的高线所在的直线上
C．若，则P在的延长线上
D．若且，则的面积是面积的
12．如图，在四边形中，和是全等三角形，，，，．下面有两种折叠方法将四边形折成三棱锥．折法①；将沿着折起，得到三棱锥，如图1．折法②：将沿着折起，得到三棱锥，如图2．下列说法正确的是（ ）．

A．按照折法①，三棱锥的外接球表面积恒为
B．按照折法①，存在满足
C．按照折法②﹐三棱锥体积的最大值为
D．按照折法②，存在满足平面，且此时与平面所成线面角正弦值为
三、填空题
13．在正三角形中，，D是的中点，E是的中点，则 ．
14．从A，B等5名志愿者中随机选3名参加核酸检测工作，则A和B至多有一个入选的概率为 ．
15．已知向量，满足，，则的最大值为 ．
16．如图是一座山峰的示意图，山峰大致呈圆锥形，峰底呈圆形，其半径为，峰底A到峰顶S的距离为，B是山坡上一点，且，．为了发展当地旅游业，现要建设一条从A到B的环山观光公路．若从A出发沿着这条公路到达B的过程中，要求先上坡，后下坡．则当公路长度最短时，的取值范围为 ．

四、解答题
17．某校为了提高学生对数学学习的兴趣，举办了一场数学趣味知识答题比赛活动，共有1000名学生参加了此次答题活动．为了解本次比赛的成绩，从中抽取100名学生的得分（得分均为整数，满分为100分）进行统计．所有学生的得分都不低于60分，将这100名学生的得分进行分组，第一组，第二组，第三组，第四组 （单位：分），得到如下的频率分布直方图．

(1)求图中m的值，并估计此次答题活动学生得分的中位数；
(2)根据频率分布直方图，估计此次答题活动得分的平均值．若对得分不低于平均值的同学进行奖励，请估计参赛的学生中有多少名学生获奖．（以每组中点作为该组数据的代表）
18．某电视台举行冲关直播活动，该活动共有三关，只有一等奖和二等奖两个奖项，参加活动的选手从第一关开始依次通关，只有通过本关才能冲下一关.已知第一关的通过率为0.7，第二关通过率为0.5，第三关的通过率为0.3，三关全部通过可以获得一等奖（奖金为300元），通过前两关就可以获得二等奖（奖金为200元），如果获得二等奖又获得一等奖，则奖金可以累加为500元.假设选手是否通过每一关相互独立，现有甲、乙两位选手参加本次活动.
(1)求甲最后没有得奖的概率；
(2)已知甲和乙都通过了第一关，求甲和乙最后所得奖金总和为700元的概率.
19．已知为锐角三角形，且．
(1)若，求；
(2)已知点在边上，且，求的取值范围．
20．已知四棱锥的底面是直角梯形，，，，，，侧面是正三角形，侧棱长，如图所示．
(1)证明：平面平面；
(2)求直线与平面所成角的余弦值．
21．在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足．
(1)当时，求的值；
(2)当，且取得最大值时，求的面积．
22．如图，在四面体中，是边长为2的等边三角形，为直角三角形，其中D为直角顶点，．E、F，G、H分别是线段、、、上的动点，且四边形为平行四边形．

(1)当二面角从增加到的过程中，求线段在平面上的投影所扫过的平面区域的面积；
(2)设，，且是以为底的等腰三角形，当为何值时，多面体的体积恰好为．
参考答案：
1．D2．B3．C4．B5．A6．D7．B8．A
9．BC10．AD11．ABD12．ACD
13．/-1.514．/15．/16．
17．(1)，中位数为82.5．
(2)，有520名学生获奖．
【详解】（1）由频率分布直方图知：，解得，
设此次竞赛活动学生得分的中位数为，
因数据落在内的频率为0.4，落在内的频率为0.8，从而可得，
由，得，
所以估计此次竞赛活动学生得分的中位数为82.5．
（2）由频率分布直方图及（1）知：
数据落在，，，的频率分别为0.1，0.3，0.4，0.2，
，
此次竞赛活动学生得分不低于82的频率为，
则，
所以估计此次竞赛活动得分的平均值为82，在参赛的1000名学生中估计有520名学生获奖
18．(1)
(2)
【详解】（1）甲第一关没通过的概率为，
第一关通过且第二关没通过的概率为，
故甲没有得奖的概率．
（2）记甲和乙通过了第二关且最后获得二等奖为事件，
通过了第二关且最后获得一等奖为事件，
则，，
甲和乙最后所得奖金总和为700元，
甲和乙一人得一等奖，一人得二等奖，
若甲得了一等奖，乙得了二等奖的概率为，
若乙得了一等奖，甲得了二等奖的概率为，
甲和乙最后所得奖金总和为700元的概率．
19．(1)；
(2).
【详解】（1）因为，
所以，即，
又，，
所以，
所以，即，又，，
所以，即；
（2）因为，所以，又，
可得，
在中，，
所以，
在中，，
因为为锐角三角形，
所以，得，
所以，
所以，即的取值范围为.
20．(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）证明：取的中点F，连接、、，
在直角梯形中，，
所以
又，,
又是边长为2的正三角形，所以，，
所以，则．
由题意知，，且，，平面，
所以平面，
又平面，所以平面平面．
（2）过D作交于H，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，则为直线与平面所成角，
设点D到平面的距离为d，
由于,
则，
连接，在中，因为，，
由余弦定理可得．
又为直角三角形，于是，
设直线与平面所成角为，则，
又，所以．
.
21．(1)6
(2)
【详解】（1）由，
根据正弦定理得：，
又由余弦定理得，，
∴，
∴．
（2）由（1）知，若，则，则，与题设矛盾．
所以，于是有
，
当且仅当时，有最大值，此时最大．
此时，，，，
由正弦定理得．
所以．
22．(1)
(2)
【详解】（1）∵，
∴A在平面上的投影满足，即A在平面上的投影在线段的中垂线上．
如图所示，将补成边长为2的正三角形，

当二面角为时，即点A在平面上，此时A为M，
当二面角为时，此时为中点N，
故在平面上的投影所扫过的平面区域为，
而，
故线段在平面上的投影所扫过的平面区域的面积为．
（2）∵，，且为等腰三角形，∴．
取中点O，连接，，，

由题意得：，，，
满足，根据勾股定理可知，
又平面
∴平面．
∴，
而多面体的体积恰好为，
即多面体的体积恰为四面体体积的一半．
设点F到平面的距离为，点C到平面的距离为，
因为四边形为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面，
因为平面，平面平面，所以，则，
所以，则，
则
又，所以
∴，
∴．
设点A到平面的距离为，
∴，
∴．
∴，
∴，整理得，
解得：或．
又因为，所以.