初中数学沪科版九年级下册24.5 三角形的内切圆精品练习

这是一份初中数学沪科版九年级下册24.5 三角形的内切圆精品练习，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共12小题，共36分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.三边长分别为6、8、10的三角形的内切圆的半径长为( )
A. 2B. 3C. 4D. 5
2.如图，△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、AC分别相切于点D、E、F，若∠DEF=55°，则∠A的度数是．( )
A. 35°B. 55°C. 70°D. 125°
3.如图，在一张Rt△ABC纸片中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4，⊙O是它的内切圆．小明用剪刀沿着⊙O的切线DE剪下一块三角形ADE，则△ADE的周长为( )
A. 4B. 5C. 6D. 8
4.如图，在△ABC中，点D为△ABC的内心，∠A=60°，CD=2，BD=4.则△DBC的面积是( )
A. 4 3B. 2 3C. 2D. 4
5.下列命题中正确的有( )
A. 长度相等的弧是等弧B. 相等的圆心角所对的弦相等
C. 等边三角形的外心与内心重合D. 任意三点可以确定一个圆
6.如图，点O为△ABC的内心，∠A=50°，则∠BOC的度数为( )
A. 120°
B. 125°
C. 115°
D. 130°
7.如图，在△ABC中，∠B=60°，AB=3+ 3，△ABC内切圆⊙O半径为 3，将CA绕点C逆时针方向旋转60°得CD，连接AD交BC于点M，则点M到AB与点M到CD的距离之比为( )
A. 3B. 32C. 3 3D. 33
8.如图，是△ABC的外接圆，I是△ABC的内心，AI的延长线与圆相交于点D，连接BI，BD，DC，则下列说法中错误的一项是( )
A. 线段DB绕点D顺时针旋转一定能与线段DC重合
B. 线段DB绕点D顺时针旋转一定能与线段DI重合
C. ∠ABI绕点B顺时针旋转一定能与∠IBC重合
D. 线段CD绕点C顺时针旋转一定能与线段CA重合
9.如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，连接BD，BE，CE，若∠CBD=25°，则∠BEC的大小为( )
A. 100°B. 110°C. 115°D. 120°
10.如图，⊙O是直角△ABC的内切圆，点D，E，F为切点，点P是EPD上任意一点(不与点E，D重合)，则∠EPD=( )
A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 75°
11.如图，⊙O内切于△ABC，切点分别为D，E，F.已知∠B=50°，∠C=60°，连接OE，OF，DE，DF，那么∠EDF等于( )
A. 40°
B. 55°
C. 65°
D. 70°
12.如图，点O是△ABC的内心，也是△DBC的外心.若∠A=84°，则∠D的度数( )
A. 42°
B. 66°
C. 76°
D. 82°
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
13.如图所示的网格由边长为1个单位长度的小正方形组成，点A、B、C在平面直角坐标系中的坐标分别为(3,6)、(−3,3)、(7,−2)，则△ABC内心的坐标为 ．
14.我国古代数学家赵爽的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形(如图所示)，若直角三角形的内切圆半径为3，小正方形的面积为49，则大正方形的面积为 ．
15.在《九章算术》卷九中记载了一个问题：“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何?”其意思是：“今有直角三角形勾(短直角边)长为8步，股(长直角边)长为15步，问该直角三角形能容纳的圆(内切圆)的直径是多少步?”根据题意，该内切圆的直径为 步.
16.如图，在△ABC中，内切⊙O与边AB相切于点D，AB=10，AC=12，BC=14，则BD的长是 ．
三、解答题（本大题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.(本小题8分)
如图，⊙O是△ABC的外接圆，点E是△ABC的内心，AE的延长线交BC于点F，交⊙O于点D，连接BD，BE．
(1)求证：DB=DE；
(2)若AE=3，DF=4，求DB的长．
18.(本小题8分)
如图，I是△ABC的内心，AI的延长线交△ABC的外接圆于点D．
(1)求证：∠BAD=∠CBD；
(2)求证：BD=ID．
19.(本小题8分)
已知：△ABC．
(1)尺规作图：用直尺和圆规作出△ABC内切圆的圆心O.(只保留作图痕迹，不写作法和证明)
(2)如果△ABC的周长为14cm，内切圆的半径为1.3cm，求△ABC的面积．
20.(本小题8分)
如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，点D、E分别在AC、BC上，且CD⋅BC=AC⋅CE，以E为圆心，DE长为半径作圆，⊙E经过点B，与AB、BC分别交于点F、G．
(1)求证：AC是⊙E的切线．
(2)若AF=4，CG=5，
①求⊙E的半径；
②若Rt△ABC的内切圆圆心为I，则IE=______．
21.(本小题8分)
如图，已知O是△ABC的内心，连接OA，OB，OC.若△ABC内切圆的半径为2，△ABC的周长为12，求△ABC的面积．
22.(本小题8分)
如图，一个含有30°角的直角三角形内接于圆，点D是AC上的点，AD=2DC，请仅用无刻度直尺按下列要求作图．
(1)在图1中作直角三角形的外心O；
(2)在图2中作直角三角形的内心H．
23.(本小题8分)
如图，⊙O的内接四边形ABCD中，AC，BD是它的对角线，AC的中点I是△ABD的内心．求证：
(1)OI是△IBD的外接圆的切线；
(2)AB+AD=2BD．
24.(本小题8分)
如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D、E、F，∠ABC=60°，∠ACB=70°．
(1)求∠BOC的度数．
(2)求∠EOF的度数．
25.(本小题8分)
如图，已知△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠CAB的平分线交BC于点D，交⊙O于点E，连接EB，作∠BEF=∠CAE，交AB的延长线于点F．
(1)求证：EF是⊙O的切线；
(2)若BF=10，EF=20，求⊙O的半径和AD的长．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：∵三角形的三边长分别为6、8、10，
∴62+82=102，
∴三角形是直角三角形，
∴三角形的内切圆半径r=6+8−102=2.
故选：A.
先根据勾股定理的逆定理求出三角形是直角三角形，然后利用直角边为a、b，斜边为c的三角形的内切圆半径为a+b−c2进行计算即可．
本题考查了三角形的内切圆与内心：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．记住直角边为a、b，斜边为c的三角形的内切圆半径为a+b−c2.
2.【答案】C
【解析】如图，连接OD、OF，
∵△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、AC分别相切于点D、E、F，∴∠ODA=∠OFA=90°．
∵∠DEF=55°，∴∠DOF=2∠DEF=2×55°=110°．
∵∠A+∠ADO+∠AFO+∠DOF=360°，
∴∠A=360°−90°−90°−110°=70°.故选C．
3.【答案】C
【解析】解：如图，设△ABC的内切圆切三边于点F，H，G，连接OF，OH，OG，
∴四边形OHCG是正方形，
由切线长定理可知：AF=AG，
∵DE是⊙O的切线，
∴DM=DF，EM=EG，
∵∠ACB=90°，BC=3，AC=4，
∴AB= AC2+BC2=5，
∵⊙O是△ABC的内切圆，
∴内切圆的半径=12(AC+BC−AB)=1，
∴CG=1，
∴AG=AC−CG=4−1=3，
∴△ADE的周长=AD+DE+AE=AD+DF+EG+AE=AF+AG=2AG=6．
故选：C．
设△ABC的内切圆切三边于点F，H，G，连接OF，OH，OG，得四边形OHCG是正方形，由切线长定理可知：AF=AG，根据DE是⊙O的切线，可得DM=DF，EM=EG，根据勾股定理可得AB=5，再求出内切圆的半径=12(AC+BC−AB)=1，进而可得△ADE的周长．
本题考查了三角形的内切圆与内心，勾股定理，切线的性质，解决本题的关键是掌握切线的性质．
4.【答案】B
【解析】解：过点B作BH⊥CD于点H．
∵点D为△ABC的内心，∠A=60°，
∴∠DBC+∠DCB=12(∠ABC+∠ACB)=12(180°−∠A)，
∴∠BDC=90°+12∠A=90°+12×60°=120°，
则∠BDH=60°，
∵BD=4，
∴DH=2，BH=2 3，
∵CD=2，
∴△DBC的面积=12CD⋅BH=12×2×2 3=2 3，
故选：B．
过点B作BH⊥CD于点H.由点D为△ABC的内心，∠A=60°，得∠BDC=120°，则∠BDH=60°，由BD=4，求得BH，根据三角形的面积公式即可得到结论．
本题考查了三角形内心的相关计算，熟练运用含30°角的直角三角形的性质是解题的关键．
5.【答案】C
【解析】A.等弧必须是同圆或等圆中长度相等的弧，故本选项错误；B.在同圆或等圆中相等的圆心角所对的弦相等，故本选项错误；C.若一个三角形的外心与内心恰好重合，则这个三角形是等边三角形，故本选项正确；D.不在同一直线上的任意三点确定一个圆，故本选项错误．故选C．
6.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查的是三角形的内心，三角形内角和定理．根据三角形内角和定理得到∠ABC+∠ACB=130°，根据三角形的内心得到BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，根据三角形内角和定理计算即可．
【解答】
解：∵∠A=50°，
∴∠ABC+∠ACB=180°−50°=130°，
∵点O为△ABC的内心，
∴BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB=12×(∠ABC+∠ACB)=65°，
∴∠BOC=180°−65°=115°，
故选C．
7.【答案】D
【解析】解：过点O分别作AB，BC，AC边得垂线，垂足分别为E，F，G，连接BO，如图，
∵△ABC内切圆⊙O，即点O为△ABC的内心，亦即BO平分∠ABC，
∴E，F，G分别为AB，BC，AC于⊙O的切点，OE=OF=OG= 3，
由切线长定理可知：AE=AG，BE=BF，
∵∠ABC=60°，
∴∠OBE=∠OBF=12∠ABC=30°，
则BE=OEtan30∘= 3 33=3，
∵AB=3+ 3，
∴AE=AG= 3，
∴四边形AEOG为正方形，
∴∠BAC=90°，
∵将CA绕点C逆时针方向旋转60°得CD，
∴∠DAC=∠ACD=∠D=60°，
故：∠ACB=30°，∠AMC=∠DMC=90°，则∠DCM=30°，
∴AM=AC⋅sin30°，CM=AC⋅cs30°，
则点M到AB与点M到CD的距离之比为：AM⋅sin30°CM⋅sin30∘=AC⋅sin30°⋅sin30°AC⋅cs30∘⋅sin30∘= 33．
故选：D．
过点O分别作AB，BC，AC边得垂线，垂足分别为E，F，G，连接BO，如图，由内心和切线长定理可知，∠OBE=∠OBF=12∠ABC=30°，BE=3，可得AE=AG= 3，进而可证四边形AEOG为正方形，由此得∠BAC=90°，由旋转可得∠DAC=∠ACD=∠D=60°，再利用含30°的直角三角形可得距离，进而求得比值．
本题考查三角形的内心，切线长定理，解直角三角形，利用切线长定理证明四边形AEOG为正方形是解决问题得关键．
8.【答案】D
【解析】【分析】
考查了三角形的内切圆和内心，圆的有关知识，旋转的性质，证明BD=ID是本题的关键．
根据I是△ABC的内心，得到AI平分∠BAC，BI平分∠ABC，由角平分线的定义得到∠BAD=∠CAD，∠ABI=∠CBI根据三角形外角的性质得到∠BDI=∠DIB，根据等腰三角形的性质得到BD=DI．
【解答】
解：∵I是△ABC的内心，
∴AI平分∠BAC，BI平分∠ABC，
∴∠ABI=∠IBC，∠BAD=∠DAC，
∴CD=BD，
∴选项A，C正确
∵∠DBC=∠DAC
∴∠DBC=∠DAB
∴∠DBC+∠IBC=∠DAB+∠ABI
∴∠IBD=∠BID
∴BD=ID
∴选项B正确
故选：D．
9.【答案】C
【解析】解：在⊙O中，∠CBD=25°，
∴∠CAD=25°，
∵点E是△ABC的内心，
∴∠BAC=2∠CAD=50°，
∴∠EBC+∠ECB=(180°−50°)÷2=65°，
∴∠BEC=180°−65°=115°．
故选：C．
根据圆周角定理可求∠CAD=25°，再根据三角形内心的定义可求∠BAC，再根据三角形内角和定理和三角形内心的定义可求∠EBC+∠ECB，再根据三角形内角和定理可求∠BEC的度数．
本题考查了三角形的内心，圆周角定理，三角形内角和定理，关键是得到∠EBC+∠ECB的度数．
10.【答案】B
【解析】解：连接OE，OD，
∵⊙O是直角△ABC的内切圆，点D，E，F为切点，
∴OE⊥BC，OD⊥AC，
∴∠C=∠OEC=∠ODC=90°，
∴四边形OECD是矩形，
∴∠O=90°，
∴∠EPD=12∠O=45°，
故选：B．
连接OE，OD，由切线的性质易证四边形OECD是矩形，则可得到∠O的度数，由圆周角定理进而可求出∠EPD的度数．
此题主要考查了圆周角定理以及切线的性质和四边形内角和定理等知识，得出∠O=90°是解题关键．
11.【答案】B
【解析】解：∵∠A+∠B+∠C=180°，∠B=50°，∠C=60°，
∴∠A=70°，
∵⊙O内切于△ABC，切点分别为D、E、F，
∴∠OEA=∠OFA=90°，
∴∠EOF=360°−∠A−∠OEA−∠OFA=110°，
∴∠EDF=12∠EOF=55°．
故选：B．
根据三角形的内角和定理求出∠A，根据多边形的内角和定理求出∠EOF，根据圆周角定理求出∠EDF即可．
本题考查了对三角形的内切圆与内心，三角形的内角和定理，多边形的内角和定理，圆周角定理等知识点的理解和掌握，能求出∠EOF的度数是解此题的关键．
12.【答案】B
【解析】解：如图，连接OB，OC，
∵点O是△ABC的内心，∠A=84°，
∴OB，OC是∠ABC，∠ACB的平分线，
∴∠OBC=12∠ABC，∠OCB=12∠ACB，
∴∠BOC=180°−∠OBC−∠OCB=180°−12(∠ABC+∠ACB)=180°−12(180°−∠A)=90°+12∠A=132°，
∵点O也是△DBC的外心，
∴∠D=12∠BOC=66°，
则∠D的度数为66°．
故选：B．
连接OB，OC，根据点O是△ABC的内心，∠A=84°，可得∠BOC=90°+12∠A=132°，再根据点O也是△DBC的外心，和圆周角定理即可解决问题．
本题考查了三角形的内切圆与内心，圆周角定理，三角形的外接圆与外心，解决本题的关键是掌握内心与外心的区别．
13.【答案】(2,3)
【解析】解：如图：
所以△ABC内心I的坐标为(2,3 )．
故答案为：( 2,3 )．
本题考查了三角形的内切圆与内心、坐标与图形性质，解决本题的关键是掌握三角形的内心定义．
14.【答案】289
【解析】【分析】
本题主要考查了三角形的内切圆的性质，正方形的性质及勾股定理的应用，同时也利用了完全平方公式和一元二次方程，综合性强，能力要求高．
设内切圆的圆心为O，连接OE、OD，则四边形EODC为正方形，然后利用内切圆和直角三角形的性质得到AC+BC=AB+6，(BC−AC)2=49，接着利用完全平方公式进行代数变形，最后解关于AB的一元二次方程解决问题．
【解答】
解：如图，设内切圆的圆心为O，连接OE、OD，
则四边形EODC为正方形，
∴OE=OD=3=AC+BC−BA2，
∴AC+BC−AB=6，
∴AC+BC=AB+6，
∴(AC+BC)2=(AB+6)2，
∴BC2+AC2+2BC×AC=AB2+12AB+36，
而BC2+AC2=AB2，
∴2BC×AC=12AB+36①，
∵小正方形的面积为49，
∴(BC−AC)2=49，
∴BC2+AC2−2BC×AC=49②，
把①代人②中得
AB2−12AB−85=0，
∴(AB−17)(AB+5)=0，
∴AB=17(负值舍去)，
∴大正方形的面积为289．
故答案为：289．
15.【答案】6
【解析】解：根据勾股定理得：斜边= 82+152=17，
其内切圆半径r=a+b−c2=8+15−172=3步
∴内切圆直径=6(步)，
故答案为：6．
根据勾股定理求出直角三角形的斜边，根据直角三角形的内切圆的半径的求法确定出内切圆半径，得到直径．
此题考查了三角形的内切圆与内心，掌握Rt△ABC中，两直角边分别为为a、b，斜边为c，其内切圆半径r=a+b−c2是解题的关键．
16.【答案】6
【解析】【分析】
本题考查了三角形的内切圆与内心，切线长定理，解三元一次方程组的方法，根据切线长定理列方程是解题的关键．设AD=AE=x，CE=CF=y，BD=BF=z，根据切线长定理列出方程，解方程组即可得到结论．
【解答】
解：设AC与⊙O相切于E，BC与⊙O相切于F，
∵⊙O是△ABC的内切圆，
∴设AD=AE=x，CE=CF=y，BD=BF=z，
∵AB=10，AC=12，BC=14，
∴x+y=12y+z=14x+z=10，
解得z=6，
∴BD的长是6，
故答案为：6．
17.【答案】(1)证明：∵点E是△ABC的内心，
∴AE平分∠BAC，BE平分∠ABC，
∴∠BAD=∠CAD，∠ABE=∠CBE，
又∵∠CAD与∠CBD所对弧为DC，
∴∠CAD=∠CBD=∠BAD．
∴∠BED=∠ABE+∠BAD，∠DBE=∠CBE+∠CBD，
即∠BED=∠DBE，
故DB=DE．
(2)解：∵∠D=∠D，∠DBF=∠CAD=∠BAD，
∴△ABD∽△BFD，
∴BDFD=ADBD①，
∵DF=4，AE=3，设EF=x，
由(1)可得DB=DE=4+x，
则①式化为4+x4=7+x4+x，
解得：x1=2，x2=−6(不符题意，舍去)，
则DB=4+x=4+2=6．
【解析】(1)依据三角形内心的性质可得∠BAD=∠CAD，∠ABE=∠CBE，由圆周角定理的推论可得∠CAD=∠CBD=∠BAD.从而可证∠BED=∠DBE，根据等角对等边即可得结论；
(2)由∠D=∠D，∠DBF=∠CAD=∠BAD，即可判定△ABD∽△BFD，所以BDFD=ADBD，设EF=x，可化为4+x4=7+x4+x，解得x=2，从而可求DB的长．
本题考查了三角形内心的性质、圆周角定理的推论，相似三角形的判定与性质，证明△ABD∽△BFD是解题的关键．
18.【答案】证明：(1)∵点I是△ABC的内心，
∴∠BAD=∠CAD，
∵∠CBD=∠CAD，
∴∠BAD=∠CBD；
(2)如图，连接BI，

∵点I是△ABC的内心，
∴∠BAD=∠CAD，∠ABI=∠CBI，
∵∠CBD=∠CAD，
∴∠BAD=∠CBD，
∴∠BID=∠ABI+∠BAD，
∴∠ABI=∠CBI，∠BAD=∠CAD=∠CBD，
∵∠IBD=∠CBI+∠CBD，
∴∠BID=∠IBD，
∴ID=BD．
【解析】(1)根据圆周角定理和角平分线的定义即可得到结论；
(2)要证明ID=BD，只要求得∠BID=∠IBD即可．
本题考查了三角形的内切圆和内心，三角形的外接圆和外心，垂径定理，圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解此题的关键，有一定的难度．
19.【答案】解：(1)如图，点O即为所求；
(2)由题意，△ABC的面积=12×14×1.3=9.1(cm2).
【解析】(1)作∠ABC，∠ACB的角平分线交于点O，点O即为所求；
(2)△ABC的面积=12(a+b+c)⋅r计算即可．
本题考查尺规作图−作三角形的内切圆，三角形的内切圆与内心等知识，解题的关键掌握三角形的内心是角平分线的交点，属于中考常考题型．
20.【答案】(1)∵CD⋅BC=AC⋅CE，
∴CDAC=CECB，
∵∠DCE=∠ACB，
∴△CDE∽△CAB，
∴∠EDC=∠A=90°，
∴ED⊥AC，
∵点D在⊙E上，
∴AC是⊙E的切线；
(2)①如图1，过E作EH⊥AB于H，
∴BH=FH，
∵∠A=∠AHE=∠ADE=90°，
∴四边形AHED是矩形，
∴ED=AH，ED//AB，
∴∠B=∠DEC，
设⊙E的半径为r，则EB=ED=EG=r，
∴BH=FH=AH−AF=DE−AF=r−4，
EC=EG+CG=r+5，
在△BHE和△EDC中，
∵∠B=∠DEC，∠BHE=∠EDC=90°，
∴△BHE∽△EDC，
∴BHED=BEEC，即r−4r=rr+5，
∴r=20，
∴⊙E的半径为20；
② 130．
【解析】证明：(1)见答案；
(2)①见答案；
②如图2，过I作IM⊥BC于M，过I作IQ⊥AB于Q，
由①得：FH=BH=r−4=20−4=16，AB=AF+2BH=4+2×16=36，
BC=2r+5=2×20+5=45，
∴AC= 452−362=27，
∵I是Rt△ABC的内心，
∴IM=AB+AC−BC2=36+27−452=9，
∴AQ=IM=9，
∴BQ=BM=36−9=27，
∴EM=27−20=7，
在Rt△IME中，由勾股定理得：IE= IM2+EM2= 92+72= 130，
故答案为： 130．
【分析】
(1)证明△CDE∽△CAB，得∠EDC=∠A=90°，所以AC是⊙E的切线；
(2)①如图1，作辅助线，构建矩形AHED，设⊙E的半径为r，表示BH和EC的长，证明△BHE∽△EDC，
列比例式代入r可得结论；
②如图2，作辅助线，构建直角△IME，分别求IM和ME的值，利用勾股定理可求IE的长．
本题考查了相似三角形的性质和判定、圆的切线的性质和判定、直角三角形内切圆的半径、切线长定理等知识，最后一问有难度，作辅助线，构建直角△IEM是关键，掌握直角三角形内切圆半径r=a+b−c2(a、b是直角三角形的两直角边，c为斜边)．
21.【答案】解：设切点为D，E，F，连接OD，OE，OF，
∴OD=OE=OF=2，
∵△ABC的周长为12，
∴AB+BC+AC=12，
∴△ABC的面积为：12×AB×OD+12×BC×OE+12×AC×OF=12×(AB+BC+AC)×2=12×12×2=12．

【解析】设切点为D，E，F，连接OD，OE，OF，将三角形面积表示为12×AB×OD+12×BC×OE+12×AC×OF，结合周长可得结果．
本题考查了三角形的面积，内切圆的性质，解题的关键是将面积用三个三角形的和表示．
22.【答案】解：(1)如图1中，点O即为所求；
(2)如图2中，点H即为所求．

【解析】(1)连接BD，延长BD交⊙O于点J，连接AJ，延长AJ交BC的延长线于点K，.连接KD，延长KD交AB与点O，点O即为所求；
(2)同法作出点K，连接KD，延长KD交⊙O于点T，连接CT交BJ与点H，点H即为所求．
本题考查作图−复杂作图，三角形的外接圆与外心，三角形的内切圆与内心等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
23.【答案】解：(1)∵∠CID=∠IAD+∠IDA，∠CDI=∠CDB+∠BDI=∠BAC+∠IDA=∠IAD+∠IDA
∴∠CID=∠CDI，
∴CI=CD．
同理，CI=CB．
故点C是△IBD的外心．
连接OA，OC，
∵I是AC的中点，且OA=OC，
∴OI⊥AC，即OI⊥CI．
∴OI是△IBD外接圆的切线．
(2)由(1)可得：
∵AC的中点I是△ABD的内心，
∴∠BAC=∠CAD
∴∠BDC=∠DAC=∠BAC，
又∵∠ACD=∠DCF，
∴△ADC∽△DFC，
∴ACCD=ADDF，
∵AC=2CI
∴AC=2CD
∴AD=2DF
同理可得：AB=2BF
∴AB+AD=2BF+2DF=2BD．
【解析】(1)根据三角形内心的性质和同弧上圆周角的性质，以及等角对等边即可证得C是△IBD的外心，然后证得OI⊥CI，即可证得OI是△IBD的外接圆的切线；
(2)根据(1)可以得到AI=CD，AB=2BF，即可证得．
本题考查了圆的切线的证明，以及三角形的内心的计算，证得C是△IBD的外心是关键．
24.【答案】解：(1)∵⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D、E、F，
∴BO，CO分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，
∴∠OBC=12∠ABC=30°，∠OCB=12∠ACB=35°，
∴∠BOC=180°−30°−35°=115°；
(2)如图所示；连接OE，OF．
∵∠ABC=60°，∠ACB=70°，
∴∠BAC=180°−60°−70°=50°．
∵AB是圆O的切线，
∴∠OFA=90°．
同理∠OEA=90°．
∴∠BAC+∠EOF=180°．
∴∠EOF=130°．
∴∠EDF=65°．
【解析】(1)由切线长定理可知BO，CO分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，则∠OBC和∠OCB的度数可求出，进而可求出∠BOC的度数；
(2)连接OE，OF.由三角形内角和定理可求得∠A=50°，由切线的性质可知：∠OFA=90°，∠OEA=90°，从而得到∠A+∠EOF=180°，故可求得∠EOF=130°由圆周角定理可求得∠EDF=65°．
本题主要考查的是切线的性质、切线长定理、三角形、四边形的内角和、圆周角定理，求得∠EOF的度数是解题的关键．
25.【答案】(1)证明：连接OE，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，
即∠AEO+∠OEB=90°，
∵AE平分∠CAB，
∴∠CAE=∠BAE，
∵∠BEF=∠CAE，
∴∠BEF=∠BAE，
∵OA=OE，
∴∠BAE=∠AEO，
∴∠BEF=∠AEO，
∴∠BEF+∠OEB=90°，
∴∠OEF=90°，
∴OE⊥EF，
∵OE是⊙O的半径，
∴EF是⊙O的切线；
(2)解：如图，设⊙O的半径为x，则OE=OB=x，
∴OF=x+10，
在Rt△OEF中，由勾股定理得：OE2+EF2=OF2，
∴x2+202=(x+10)2，
解得：x=15，
∴⊙O的半径为15；
∵∠BEF=∠BAE，∠F=∠F，
∴△EBF∽△AEF，
∴BEAE=BFEF=1020=12，
设BE=a，则AE=2a，
由勾股定理得：AE2+BE2=AB2，
即a2+(2a)2=302，
解得：a=6 5，
∴AD=2a=12 5，
∵∠CAE=∠BAE，
∴CE=BE，
∴OE⊥BC，
∵OE⊥EF，
∴BC/​/EF，
∴ABAF=ADAE，即3040=AD12 5，
∴AD=9 5．
【解析】(1)连接OE，根据圆周角定理得∠AEB=90°，根据角平分线的定义和同圆的半径相等，等边对等角及等量代换可得∠OEF=90°，根据切线的判定定理可得结论；
(2)如图，设⊙O的半径为x，则OE=OB=x，根据勾股定理列方程可得x的值，证明△EBF∽△AEF，列比例式BEAE=BFEF=1020=12，设BE=a，则AE=2a，根据勾股定理列方程可得a的值，证明BC/​/EF，列比例式可得结论．
本题考查的是切线的判定，平行线分线段成比例定理，垂径定理，相似三角形的判定和性质，圆周角定理的应用，掌握切线的判定定理是解(1)题的关键，证明△EBF∽△AEF，确定AE和BE的关系是解(2)题的关键．