广东省佛山市南海区九江中学2023-2024学年高二上学期12月月考数学试题

这是一份广东省佛山市南海区九江中学2023-2024学年高二上学期12月月考数学试题，共14页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.疫情期间，为了宣传防护工作，某宣传小组从A，B，C，D，E，F六个社区中随机选出两个进行宣传，则该小组到E社区宣传的概率为（ ）
A.B.C.D.
2.在空间直角坐标系中，点B是点在平面内的射影，则（ ）
A.B.C.D.
3.已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率为，长轴长为12，则椭圆方程为（ ）
A.B..
C.或D.
4.若过点的直线与以点，为端点的线段相交，则直线的倾斜角取值范围为（ ）
A.B.C.D.
5.在直三棱柱中，，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A.B.C.D.
6.若点在圆C：上，则直线与圆C的位置关系是（ ）
A.相离B.相切C.相交Ｄ.不确定
7.在一段时间内，若甲去参观市博物馆的概率0.6，乙去参观市博物馆的概率为0.3，且甲乙两人各自行动，则在这段时间内，甲乙两人至少有一个去参观博物馆的概率是（ ）
8.在直三棱柱中，，，设点M是棱的中点，点P在底面所在平面内，若平面分别与平面和平面所成的锐二面角相等，则点P到点B的最短距离是（ ）
A.B.C.1D.
二、多选题（共4小题）
9.设A，B为两个随机事件，若，，则下列结论中正确的是（ ）
A.若，则B.若，则A，B相互独立
C.若A与B相互独立，则D.若A与B相互独立，则
10.已知，分别是椭圆C：的左、右焦点，P为椭圆C上异于长轴端点的动点，则下列结论正确的是（ ）
A.的周长为10B.面积的最大值为
C.的最小值为1D.椭圆C的离心率为
11.如图，在四棱柱中，四边形是正方形，，，且，则（ ）
A.B.
C.D.直线与平面所成的角为
12.已知圆O：，过直线l：上一点P作圆O的两条切线，切点分别为A，B，则（ ）
A.若点，则直线的方程为
B.面积的最小值为
C.直线过定点
D.以线段为直径的圆可能不经过点O
三、填空题（共4小题）
13.已知正方形，以该正方形其中一边的端点A、B为焦点，且过另外C，D两点的椭圆的离心率为__________.
14.在空间直角坐标系中，点，，，则P到直线的距离为__________.
15.甲、乙两队进行自由式轮滑速度障碍赛决赛，采取五场三胜制（当一队赢得三场比赛时，该队获胜，比赛结束），根据以往比赛成绩可知；甲队每场比赛获胜的概率为.比赛结果没有平局，且各场比赛结果相互独立，则甲队获胜的概率为__________.
16.由直线上的一点向圆引切线，则切线长（此点到切点的线段长）的最小值为__________.
四、解答题（共6小题）
17.的三个顶点分别为，，，M是的中点.
（1）求边上的中线所在直线的方
（2）求的面积.
18.甲、乙两人进行摸球游戏，游戏规则是：在一个不透明的盒子中装有质地、大小完全相同且编号分别为1，2，3，4的4个球，甲先随机摸出一个球，记下编号，设编号为m，放回后乙再随机摸出一个球，也记下编号，设编号为n，用表示摸球的结果，如果，算甲赢，否则算乙赢
（1）写出该实验的样本空间；
（2）这种游戏规则公平吗？请说明理由.
19.如图，在长方体中，，，P为上的点.
（1）求证；平面；
（2）求二面角的余弦值.
20.已知椭圆的长轴长为2a，焦点是、，点到直线的距离为，过点且倾斜角为45°的直线l与圆交于A、B两点.
（1）求椭圆的方程；
（2）求线段的长.
21.已知圆：和：.
（1）求圆和圆的公共弦所在直线的方程和公共弦长；
（2）求过点且与圆相切的直线方程.
22.如图，是的直径，垂直于所在的平面，C是圆周上不同于A，B的一动点.
（1）证明：是直角三角形；
（2）若，且当直线与平面所成角正切值为时，直线与平面所成角的正
参考答案
一、选择题（共8小题）
1.D【解答】解：从A，B，C，D，E，F六个社区中随机选出两个的结果有，，，，，，，，，，，，，，，共15种，
其中该小组到E社区宣传的结果有，，，，，共5种，
因此该小组到E社区宣传的概率为.
2.A【解答】解：因为点B是点在平面内的射影，
所以，所以，所以.
3.C【解答】解：由题意知，，，所以，，∴，
又因为椭圆的对称轴是坐标轴，则焦点可能在x或y轴上.
∴椭圆方程：或.
4.A【解答】解：如图，，，，
∵，，
∴所在直线的倾斜角为45°，所在直线的倾斜角为120°.
∴若直线l与线段相交，则直线l的倾斜角的取值范围是，即.
5.C【解答】解：因为，，，所以，所以，
又因为侧棱与底面垂直，所以以C为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
易得，，，，
所以，，设异面直线与所成角为，则.
所以异面直线与所成角的余弦值为.
6.B【解答】解：由圆C：的圆心为，半径为2，所以到直线的距离，又在圆C：上，则，
故，所以直线与圆C相切.
7.D【解答】解：依题意，在这段时间内，甲乙都不去参观博物馆的概率为，则在这段时间内，甲乙两人至少有一个去参观博物馆的概率是.
8.A【解答】解：设点P在平面内的射影为，M在平面内的射影为M，
平面分别与平面所成的锐二面角为，平面分别与平面所成的锐二面角为，在直三棱柱中，点C的射影为，的射影为B，
则有，，又因为，所以，
故，因为，
设点P到的垂直距离为h，则，
在中，，所以，
故点P到点B的最短距离为时，即点P到点B的最短距离为.
二、多选题（共4小题）
9.BD【解答】解：对于A，若，则，故A错误；
对于B，因为，，
所以，所以A，B相互独立，故B正确；
对于C，A与B相互独立，则，也相互独立，则，故C错误；
对于D，A与B相互独立，则，也相互独立，
所以，故D正确.
10.ABD【解答】解：∵椭圆C：，∴，，，
∴的周长为，∴A正确；
∴面积的最大值，∴B正确；
∴的最小值为，又P为椭圆C上异于长轴端点的动点，∴C错误；
∴椭圆C的离心率为，∴D正确.
11.ACD【解答】解：，A正确；
，B错误；
，故，C正确；
连接，如图：即直线与平面所成的角，
，，D正确.
故选：ACD.
12.BCD【解答】解：A选项，若，则直线的方程为，，以P为圆心，4为半径的圆的方程为，即，
由，两式相减得，，故A不正确；
B选项，O到直线l：的距离为，
而，所以的最小值为，
所以三角形面积的最小值为，故B正确；
C选项，设，，线段的中点坐标为，所以以为直径的圆的方程为，，
由，两式相减得，，
由，解得，所以直线过定点，故C正确；
D选项，由A选项，由，解得或，
即，，，
即此时以线段AB为直径的圆可能不经过点O，故D正确.
三、填空题（共4小题）
13.
【解答】解：如图所示，不妨设正方形的边长为1，
根据椭圆定义知，，所以，
故椭圆的离心率为.故答案为：.
14.
【解答】解：∵点，，，
∴依题意得，，
∴点P到直线的距离.故答案为：.
15.
【解答】解：设事件A为“甲队最终获得胜利”，
①比赛进行三场，甲队均胜，；
②比赛进行四场，甲队前三场恰好胜二场，输一场，第四场胜，；
③比赛进行五场，甲队第五场胜，前四场恰好胜二场，输二场，，
则.故答案为：.
16.
【解答】解：∵圆的圆心为，半径
∴圆心C到直线的距离为
当点P在直线上运动时，P与圆心C在直线上的射影重合时，
切线长达到最小值.设切点为A，得中，
即切线长（此点到切点的线段长）的最小值为.故答案为：
四、解答题（共6小题）
17.【详解】（1）由题意可知：的中点M为，
则边上的中线所在直线的方程为，即.
（2）由（1）可得：，且点到直线的距离，故的面积.
18.【解答】解：（1）由题意可得样本空间为
（2）这种游戏规则是不公平的，理由如下：
设甲赢为事件A，乙赢为事件B，则A，B为对立事件，
由题意事件A包含的基本事件有，，，，，共6个.
由古典概型的概率计算公式可得，
所以，所以，即这种游戏规则不公平.
19.【解答】证明：（1）连接，，
在长方体中，可得，，，，
所以平面平面，而平面，所以平面；
（2）因为，，可得，，，，，则，，，
设平面的法向量，平面的法向量即是平面的法向量，
设，则，即，
令，则，即，
则，即，令，，，即，
所以，，，
所以.
设二面角的平面角为，由图知，为锐角，所以.
20.【解答】解：（1）由已知且，解得.
则有，故椭圆方程为.
（2）直线l：，联立直线与椭圆方程，，
设，，则有，，，
则，所以长为.
21.【解答】解：（1）由题意可知：将两圆方程相减可得：，
也即，故圆和圆的公共弦所在直线的方程为，
圆：可化为，圆心坐标，半径，由点到直线的距离公式可得：到公共弦的距离，由垂径定理知：公共弦长，
（2）由（1）知：圆：，圆心坐标，半径，
过点作圆的切线方程，当切线斜率不存在时，切线方程为；
当切线斜率存在时，设切线方程为，也即，
由点到直线的距离公式可得：，
解得：，所以此时切线方程为：，
综上：过点且与圆相切的直线方程为或.
22.【解答】（1）证明：∵C在圆O上.∴，∵平面，∴，
∵平面，∴平面，∴，∴是直角三角形.
（2）解：如图，过A作于H，∵平面，∴，
∴平面，则就是要求的角. ……（8分）
∵平面，∴是与平面所成角，…（9分）∵，
又，∴.…（10分）
∴在中，，…（11分）
∴在中，，
故与平面所成角正弦值为. …（12.分）