黑龙江省牡丹江市第二高级中学2023-2024学年高三上学期第四次阶段考试数学试题

这是一份黑龙江省牡丹江市第二高级中学2023-2024学年高三上学期第四次阶段考试数学试题，共15页。试卷主要包含了答题前，考生务必用直径0，本卷命题范围，若平面向量两两夹角相等，且，则，设集合，若，则的取值可能是，下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
考生注意：
1.本试卷满分150分，考试时间120分钟.
2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效.
4.本卷命题范围：集合与逻辑､不等式､函数与导数､三角函数与解三角形､数列､平面向量､复数､随机变量及其分布､成对数据的统计分析､立体几何.
一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
1.已知是虚数单位，若是纯虚数，则实数（ ）
A.1 B. C. D.
2.圆周率是指圆的周长与圆的直径的比值，我国南北朝时期的数学家祖冲之用“割圆术”将圆周率算到了小数后面第七位，成为当时世界上最先进的成就，“割圆术”是指用圆的内接正多边形的周长来近似替代圆的周长，从正六边形起算，并依次倍增，使误差逐渐减小，如图所示，当圆的内接正多边形的边数为360时，由“割圆术”可得圆周率的近似值可用代数式表示为（ ）
A. B. C. D.
3.已知数列成等差数列，成等比数列，则的值是（ ）
A. B. C.-1 D.1
4.“”是“函数是奇函数”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
5.已知幂函数的图象过点是函数图象上的任意不同两点，则下列结论中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
6.若平面向量两两夹角相等，且，则（ ）
A.2 B.5 C.2或5 D.或
7.已知函数，其中，且恒成立，若在区间上恰有3个零点，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8.将一个半径为2的球削成一个体积最大的圆锥，则该圆锥的内切球的半径为（ ）
A. B. C. D.
二､多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.设集合，若，则的取值可能是（ ）
A.-3 B.1 C.-1 D.0
10.下列说法正确的是（ ）
A.一组数的第75百分位数为15.5
B.在经验回归方程中，当解释变量每增加1个单位时，相应变量增加0.6个单位
C.数据的方差为，则数据的方差为
D.一个容量为50的样本方差，则这组样本数据的总和等于100
11.如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，为等边三角形，平面平面，点在线段上，交于点，则下列结论正确的是（ ）
A.若平面，则为的中点
B.若为的中点，则三棱锥的体积为
C.平面与平面的夹角为
D.若，则直线与平面所成角的正弦值为
12.已知函数和有相同的极大值，若存在使得成立，则（ ）
A.
B.
C.当时，
D.若的根记为的根记为，且，则
三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.若向量共线，则实数的值是__________.
14.已知实数，且，则的最小值为__________.
15.如图所示，为了测量某座山的山顶到山脚某处的距离（垂直于水平面），研究人员在距研究所处的观测点处测得山顶的仰角为，山脚的俯角为.若该研究员还测得到处的距离比到处的距离多，且，则__________.
16.已知函数是定义在上的奇函数，且当时，.若存在等差数列，且，使得数列为等比数列，则的最小值为__________.
四､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤.
17.（10分）
已知，且.
（1）求的值；
（2）求的值.
18.（12分）
在中，内角的对边分别为，已知.
（1）若，求和；
（2）求的最小值.
19.（12分）
如图，已知长方体中，，连接，过点作的垂线交于，交于.
（1）求证：平面；
（2）求点到平面的距离.
20.（12分）
已知正项数列的前项和为，且.
（1）求；
（2）设，数列的前项和为，证明：.
21.（12分）
为了检测某种抗病毒疫苗的免疫效果，需要进行动物与人体试验.研究人员将疫苗注射到400只小白鼠体内，一段时间后测量小白鼠的某项指标值，按分组，绘制频率分布直方图如图所示，实验发现小白鼠体内产生抗体的共有320只，其中该项指标值不小于60的有220只.
（1）填写完成上面的列联表（单位：只），并根据列联表及的独立性检验，判断能否认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关.
（2）为检验疫苗二次接种的免疫抗体性，对第一次注射疫苗后没有产生抗体的小白鼠进行第二次注射疫苗，结果又有60只小白鼠产生抗体.
①用频率估计概率，求一只小白鼠最多注射两次疫苗后产生抗体的概率；
②以①中确定的概率作为人体最多注射两次疫苗后产生抗体的概率，进行人体接种试验，现有40人进行接种试验，设最多注射两次疫苗后产生抗体的人数为随机变量，当时，取得最大值，求.
参考公式：（其中为样本容量）
22.（12分）
已知曲线在处的切线方程为.
（1）求的值；
（2）已知为整数，关于的不等式在时恒成立，求的最大值.
牡丹江二中2023—2024学年度第一学期高三第四次阶段性考试·数学
参考答案､提示及评分细则
1.B ，所以解得.
2.D 设圆的半径为1，正多边形的圆心角为，边长为，所以，即.
3.A 依题意，，故.
4.C 当时，是奇函数.若为奇函数，则，则，故（-1舍去），故“”是“函数是奇函数”的充要条件.
5.D 设幂函数，图象经过点，所以，解得，所以.因为函数在定义域内单调递增，所以当时，，所以，选项错误；又因为函数单调递增，所以当时，，选项D正确.所以，选项错误.
6.C 平面向量两两夹角相等，则或.当，时，即向量同向共线，则；当时，.
7.A 因为恒成立，则，所以，则，当时，，因为，则，因为在区间上恰有3个零点，则即，解得，，假设不存在，则或，解得或因为存在，则，因为，则.所以可得.
8.D 设圆锥的底面半径为，则圆锥的高为，所以圆锥的体积，令，则，所以，则，当时，，当时，，所以在上递增，在上递减，所以当，即时，圆锥的体积最大，此时圆锥的高为，母线长为.设圆锥的内切球半径为，圆锥的截面如图所示，则，因为，所以，解得.
9.ABD 因为，所以或或，所以或或.
10.CD 因为，所以这组数据的第75百分位数是第8个数，即为错误；由回归方程可知，当解释变量每增加1个单位时，相应变量减少0.6个单位，错误；选项，由，可得，C正确；由，得，所以这组样本数据的总和等于，故D正确.
11.ABD 对，因为平面平面，平面平面，所以，因为是正方形，所以为中点，又，所以为中点，故正确；对，取中点，连接，因为为等边三角形，所以，又平面平面，平面平面平面，所以平面，可得，因为为中点，所以点到平面的距离为，所以，故B正确；对C，取中点，连接，因为为等边三角形，所以，因为底面是正方形，，又平面平面，平面平面平面，所以平面，因为平面，所以，又，所以平面，因为平面，所以，又，平面平面，所以为二面角的平面角，，故二面角不是，故C错误；对，由题意，，因为，所以，因为为等腰三角形，可求得，在中，由余弦定理可得，解得.在中，，所以高，设点到平面的距离为，利用等体积法，，所以，解得，所以直线与平面所成角的正弦值为，故D正确.
12.ACD ，令，解得，令，解得在上单调递增，上单调递减，在处取得极大值，令，解得，令，解得在上单调递增，上单调递减，在处取得极大值，依据题意，和有相同的极大值，故，解得，故A正确；作出函数图象如图所示，若，则，故B错误；由图象可知，当时，，C正确；对于，若时，则，则有，可得，同理可得，故D正确.
13. 与共线，，解得.
14. ，当且仅当时等号成立.
15. 设，则，则在中由余弦定理可得：，解得：，则.过点作研究人员在距研究所处的观测点处测得山顶的仰角为，山脚的俯角为，则，，则，，则.
16. 当时，，当时，函数是定义在上的奇函数，又为等差数列，且设，
且函数是奇函数，数列为等比数列，.令，则.令，观察得：.令在单调递增，即在单调递增，为的唯一零点.当时，单调递减，当时，单调递增，.
17.解：（1）.
（2）
..
18.解：（1）因为，代入，得，
所以.
由正弦定理，得.
.
（2）根据余弦定理，由，得，
当且仅当，即时，取最小值.
19.（1）证明：根据题意，平面平面，得.
又平面平面，
所以平面，得.
同理，平面，得.
因为平面平面，
所以平面.
（2）解：因为平面，所以点到平面的距离等于点到平面的距离，设为，因为，即，即.
又，所以.
故点到平面的距离等于.
20.解：（1）当时，，即，
由数列为正项数列可知，，又，
即数列是首项为1，公差为1的等差数列，即，则.
当时，，当时，成立，
所以.
（2）由（1）可知，，则，当时，，
，成立，，成立，当时，
，
即.综上可知，，得证.
21.解：（1）由频率分布直方图知，该项指标值不小于60的频率为，有260（只），则列联表如下（单位：只）：
零假设为：注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60无关联，
根据列联表中数据，得，
根据的独立性检验，推断不成立，即认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关，此推断犯错误的概率不大于0.025.
（2）①令事件“小白鼠第一次注射疫苗产生抗体”，事件“小白鼠第二次注射疫苗产生抗体”，事件“小白鼠最多注射2次疫苗后产生抗体”，记事件发生的概率分别为，
则.
所以一只小白鼠最多注射2次疫苗后产生抗体的概率.
②依题意，随机变量，
因为最大，显然，且，
因此
则解得，
而是整数，所以.
22.解：（1）由题知，，
在处的切线方程为.
（2）由（1）知，
在上是增函数，关于的不等式在时恒成立，
不等式，
即在时恒成立.
设，则.
设，则在区间是增函数，
存在，使，
当时，，当时，，
在区间单调递减，在区间单调递增，
，
，又为整数，的最大值为3.抗体
指标值
合计
小于60
不小于60
有抗体
没有抗体
合计
0.50
0.40
0.25
0.15
0.100
0.050
0.025
0.455
0.708
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
抗体
指标值
合计
小于60
不小于60
有抗体
100
220
320
没有抗体
40
40
80
合计
140
260
400