吉林省长春市二道区第五十三中学2023-2024学年九年级上学期期中数学试题(无答案)

这是一份吉林省长春市二道区第五十三中学2023-2024学年九年级上学期期中数学试题(无答案)，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）
1．下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
2．如表是代数式的值的情况，根据表格中的数据，可知方程的根是（ ）
A．B．C．D．
3．下列事件是必然事件的是（ ）
A．明天一定下雪B．抛掷一枚普通硬币，得到正面朝上
C．经过有信号灯的路口，遇见绿灯D．直角三角形的两个锐角互余
4．如图，的顶点均在正方形网格的格点上，则的值为（ ）
4题图
A．B．C．1D．
5．如图，正方形与正方形是位似图形，为位似中心，相似比为，点的坐标为，则点的坐标为（ ）
5题图
A．B．C．D．
6．如图，在．将沿图中的剪开．剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ）．
A．B．
C．D．
7．如图是一架人字梯，已知，两梯脚之间的距离米，与地面的夹角为，则人字梯长为（ ）
7题图
A．米B．米C．米D．米
8．如图，直角三角形的直角顶点在坐标原点，，若点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，则的值是（ ）
8题图
A．B．C．D．2
二、填空题（本大题共6小题，共18．0分）
9．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为______．
10．一只蚂蚁在如图所示的方格地板上随机爬行，每个小方格形状大小完全相同，当蚂蚁停下时，停在地板中阴影部分的概率为______．
11．若是整数，则正整数的最小值为______．
12．如图，河坝横断面迎水坡的坡比是（坡比是坡面的铅直高度与水平宽度之比），坝高米，则坡面的长度是______米．
12题图
13．如图，在平面直角坐标系中，顶点、分别在第一象限和轴正半轴上，点为边上一点，过点作交于点．若、两点纵坐标分别为、，且，则点的纵坐标为______．
13题图
14．如图所示，在Rt中，是斜边上的中线，、分别为、的中点，若，则______．
14题图
三、解答题
15．（10分，每小题5分）
（1）解方程：．（2）计算：．
16．（6分）小慧用因式分解法解一元二次方程时，她的做法如下：
方程两边同时除以，得，（第一步）
系数化为1，得（第二步）
（1）小慧的解法是不正确的，她从第______步开始出现了错误．
（2）请用小慧的方法完成这个题的解题过程．
17．（6分）2023年第19届亚运会的吉祥物为“宸宸”、“琮琮”、“莲莲”．如图，现有三张正面印有这三种吉祥物的不透明的卡片，依次记为、、，这三张卡片除正面图案不同外，其余均相同．将这三张卡片背面向上洗匀，小亮从中随机抽取一张，记下图案后背面向上放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张．请用画树状图（或列表）的方法，求小亮两次抽到的卡片图案上都是莲莲的概率．
18．（6分）实数、在数轴上的位置如图所示．化简．
19．（6分）以下各图均是由边长为1的小正方形组成的网格，的顶点均在格点上．利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法．
（1）在图①中，点为的边的中点，在边上找一点，连接，使的面积为面积的．
（2）在图②中，的面积为______．
（3）在图②中，在的边上找一点，连接，使的面积为．
20．（6分）长泰大桥是长春市最高的双塔斜拉式高架桥，大桥属于双塔双索面混凝土特大斜拉桥桥型，图①是大桥的实物图，图②是大桥的示意图．假设你站在桥上点处测得拉索与水平桥面的夹角是，点处距离大桥立柱底端的距离为97米，已知大桥立柱上点距立柱顶端点的距离为5米，求大桥立柱的高．（结果精确到1米）[参考数据：]
21．（8分）商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，为了尽快减少库存商场决定采取适当的降价措施经调查发现，每件商品降价1元，商场平均每天可多售出2件，设每件商品降价元，据此规律，请回答：
（1）商场日销售量增加______件，每件商品盈利______元（用含的代数式表示）
（2）在上述条件不变，销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2100元?
（3）商场能否平均每天盈利2300元?如能，请求出每件商品降价多少元，若不能，请说明理由．
22．（8分）如图，在矩形中，为边上一点，将点沿翻折恰好落到边上的点处．
（1）求证：；
（2）若，则______．
23．（10分）【命题】在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
【证明】如图①，在Rt中，．求证：．
方法一：如图②，作斜边上的中线，则．
∵，
∴．
∴是______三角形．
∴．
方法二：如图③，作点关于的对称点，连接．
∵，
∴．
∴是等边三角形．
∴______．
∴．
（1）阅读上面两种不完整的证明方法后，请补全证明过程．
（2）【应用】如图①，在Rt中，，且．点是边上一点．
①若，点到边的距离为______．
②若，求点到边的距离．
（3）【延伸】如图①，在Rt中，．，点是边上一点，连接．若，直接写出的最小值．
24．（12分）如图，在中，，动点从点出发，沿以每秒5个单位长度的速度向终点匀速运动，设点的运动时间为秒，过点作的垂线交于点．
（1）______．
（2）求的长，（用含有的代数式表示）
（3）若将点绕点逆时针旋转于点．
①求的长（用含的代数式表示）
②在点运动的同时，作点关于点的对称点，连结．当为等腰三角形时，直接写出的值．
……
0
1
2
3
4
……
……
12
6
2
0
0
2
6
12
……