安徽省蚌埠市铁路中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题（Word版附解析）

这是一份安徽省蚌埠市铁路中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题（Word版附解析），共21页。
1. 若直线l的一个方向向量为，求直线的倾斜角（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求出直线斜率，进而求出直线倾斜角即得.
【详解】直线l的一个方向向量为，则直线斜率为，
所以直线的倾斜角为.
故选：C
2. 如图，在四棱锥中，底面ABCD是平行四边形，已知，，，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用空间向量加法法则直接求解．
【详解】连接BD，如图，
则
故选：A．
3. 已知点与点关于直线对称，则点的坐标为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据对称列式求解.
【详解】设,则，选D.
【点睛】本题考查关于直线对称点问题，考查基本分析求解能力，属基础题.
4. 在一平面直角坐标系中，已知，，现沿轴将坐标平面折成60°二面角，则折叠后，两点间的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】平面直角坐标系中已知，，现沿轴将坐标平面折成60°的二面角后，通过向量的数量积转化求解距离即可．
【详解】解：平面直角坐标系中已知，，沿轴将坐标平面折成60°的二面角后，
作AC⊥x轴，交x轴于C点，作BD⊥x轴，交x轴于D点，
则，的夹角为120°
∴，
,
即折叠后，两点间的距离为.
故选：D．
【点睛】本题考查与二面角有关的立体几何综合题，解题时要认真审题，注意数形结合思想的合理运用．
5. 如果实数，满足，则的范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设，求的范围救等价于求同时经过原点和圆上的点的直线中斜率的范围，结合图象，易得取值范围.
【详解】解：设，则表示经过原点的直线，为直线的斜率.
如果实数，满足和，即直线同时经过原点和圆上的点.
其中圆心，半径
从图中可知，斜率取最大值时对应的直线斜率为正且刚好与圆相切，设此时切点为
则直线的斜率就是其倾斜角的正切值，易得，，
可由勾股定理求得，于是可得到为的最大值；
同理，的最小值为－1.
则的范围是.
故选：B.
6. 抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离是，则该双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. 2D.
【答案】A
【解析】
【分析】先求得抛物线的焦点，根据点到直线的距离公式列方程，求得，由此求得双曲线的离心率.
【详解】抛物线即的焦点坐标为，
双曲线的渐近线方程为，即，
所以点到直线的距离为，则，
则双曲线的离心率为.
故选：A
7. 直线与圆的位置关系为（ ）
A. 相离B. 相切C. 相交或相切D. 相交
【答案】C
【解析】
【分析】利用几何法，判断圆心到直线的距离与半径的关系，判断直线与圆的位置关系即可．
【详解】由已知得，圆的圆心为（0，0），半径为，
所以圆心到直线的距离为.
因，所以
所以圆心到直线的距离为，所以直线与圆相交或相切；
故选：C．
8. 在正方体中，点在上运动（包括端点），则与所成角的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，设，则，，利用，即可得出答案．
【详解】设与所成角为，
如图所示，不妨设，
则，，，，
，，．
设，
则，．
所以，
当时，，此时与所成角为，
当时，，
此时，当且仅当时等号成立，
因为在上单调递减，所以，
综上，．
故选：B．
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分.在每小题有多项符合题目要求）
9. 下列说法正确的有（ ）
A. 若直线经过第一、二、四象限，则在第二象限
B. 直线过定点
C. 过点斜率为的点斜式方程为
D. 斜率为，在y轴截距为3的直线方程为．
【答案】ABC
【解析】
【分析】
由直线过一、二、四象限，得到斜率，截距，可判定A正确；由把直线方程化简为，得到点都满足方程，可判定B正确；由点斜式方程，可判定C正确；由斜截式直线方程可判定D错误．
【详解】对于A中，由直线过一、二、四象限，所以直线的斜率，截距，
故点在第二象限，所以A正确；
对于B中，由直线方程，整理得，
所以无论a取何值点都满足方程，所以B正确；
对于C中，由点斜式方程，可知过点斜率为的点斜式方程为，所以C正确；
由斜截式直线方程得到斜率为，在y轴上的截距为3的直线方程为，
所以D错误．
故选：ABC．
【点睛】本题主要考查了直线的方程的形式，以及直线方程的应用，其中解答中熟记直线的点斜式的概念及形式，以及直线的斜率与截距的概念是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题.
10. 关于空间向量，以下说法正确的是（ ）
A. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线
B. 已知为空间的一个基底，若，则也是空间的基底
C. 若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面
D. 两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线
【答案】BCD
【解析】
【分析】计算得到，或，A错误，若共面，则共面，不成立，故B正确，化简得到，C正确，若这两个向量不共线，则存在向量与其构成空间的一个基底，故D正确，得到答案.
【详解】，故，故或，A错误；
若共面，设，则共面，不成立，故也是空间的基底，B正确；
，则，即，故，，，四点共面，C正确；
若这两个向量不共线，则存在向量与其构成空间的一个基底，故D正确.
故选：BCD.
11. 已知平面的法向量为，点为内一点，若点到平面的距离为4，则的值为（ ）
A. 2B. 1C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】利用向量法可知，点到平面的距离公式为 ，代入相关数值，通过解方程即可求解.
【详解】解：由向量法可知，点到平面的距离公式为，
又，
，
由点到平面距离为4，有
解得或
故选：AD
【点睛】本题考查的是点面距离的计算问题，核心是会利用向量法中点到平面的距离公式，考查运算求解能力，属于基础题.
12. 已知双曲线C经过点，且与椭圆有公共的焦点，点M为椭圆的上顶点，点P为C上一动点，则（ ）
A. 双曲线C的离心率为B.
C. 当P为C与的交点时，D. 的最小值为1
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据题意中的点求出双曲线方程，结合离心率的定义即可判断A；根据双曲线的渐近线，结合图形即可判断B；根据椭圆与双曲线的定义，结合余弦定理计算即可判断C；由两点距离公式，结合二次函数的性质即可判断D.
【详解】A：由题意，，设双曲线的标准方程为，
将点代入得，所以双曲线方程为，
得其离心率为，故A正确；
B：由A选项的分析知，双曲线的渐近线方程为，如图，
，所以，得，故B错误；
C：当P为双曲线和椭圆在第一象限的交点时，由椭圆和双曲线的定义知，
，解得，
又，在中，由余弦定理得，故C正确；
D：设，则，
所以，
当时，，故D正确.
故选：ACD.
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 若空间向量和的夹角为锐角，则的取值范围是________
【答案】且
【解析】
【分析】结合向量夹角公式、向量共线列不等式来求得的取值范围.
【详解】依题意且.
故答案为：且
14. 已知，，直线：，：，且，则的最小值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据两条直线的一般式方程及垂直关系，求出，满足的条件，再由基本不等式求出最小值即可．
【详解】因为，所以，即，
因为，，所以，
当且仅当，即，时等号成立，
所以的最小值为．
故答案为：．
15. 直线分别与轴，轴交于两点，点在圆上，则面积的取值范围______．
【答案】
【解析】
【分析】由题意求得所以，，从而求得，再根据直线与圆的位置关系可求得点到直线距离，再结合面积公式即可求解.
【详解】因为直线分别与轴，轴交于，两点，
所以，，因此．
因为圆的圆心为，半径，
设圆心到直线的距离为，
则，
因此直线与圆相离．
又因为点在圆上，
所以点到直线距离的最小值为，
最大值为，即，
又因面积为，
所以面积的取值范围为．
故答案为：

16. 瑞士数学家欧拉（LenhardEuler）1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知的顶点，，其欧拉线方程为，则顶点的坐标可以是_________
【答案】或
【解析】
【分析】设，依题意可确定的外心为，可得出一个关系式，求出重心坐标，代入欧拉直线方程，又可得出另一个关系式，解方程组，即可得出结论.
【详解】设的垂直平分线为，的外心为欧拉线方程为
与直线的交点为，
∴①
由，，重心为，
代入欧拉线方程，得②
由 ①②可得或 .
故答案为：或.
【点睛】本题以数学文化为背景，考查圆的性质和三角形的外心与重心，考查逻辑思维能力和计算能力，属于较难题.
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 已知圆圆心为，且经过点.
（1）求圆的标准方程；
（2）已知直线与圆相交于两点，求.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据条件求出圆的半径,再结合圆心坐标求出标准方程即可;
（2）求出圆心到直线的距离,再由垂径定理求出.
【小问1详解】
因为圆的圆心为,且经过点,
所以圆的半径,
所以圆的标准方程为.
【小问2详解】
由（1）知，圆的圆心为，半径，
所以圆心到直线的距离,
所以由垂径定理，得.
18. 已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为．
（1）求顶点的坐标；
（2）求的面积．
【答案】（1）的坐标为，的坐标为
（2）
【解析】
【分析】（1）设，，由题意列方程求解即可得出答案.
（2）先求出和直线所在的方程，再由点到直线的距离公式求出边上的高，即可求出的面积．
【小问1详解】
设，因为边上的中线所在直线方程为，
边上的高所在直线方程为，
所以，解得，即的坐标为．
设，因为边上的中线所在直线方程为，
边上的高所在直线方程为，
所以，解得，即的坐标为．
【小问2详解】
因为，所以．
因为边所在直线的方程为，即，
所以点到边的距离为，即边上的高为，
故的面积为．
19. 已知直三棱柱，侧面是正方形，点在线段上，且，点为的中点，，．
（1）求异面直线与所成的角；
（2）求平面与平面夹角的余弦值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用直棱柱的结构特征 ，结合线面垂直的性质，建立空间直角坐标系，利用直线与直线所成角的向量求法，计算得结论；
（2）分别求出两个平面的法向量，利用平面与平面所成角的向量求法，即可得到结果．
【小问1详解】
因为侧面是正方形，，，所以，
因为三棱柱直三棱柱，所以面，而，平面，因此，，
所以，，两两垂直．
以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，如下图：
因此，，，，而点为的中点，所以，
因为在线段上，所以设，
因此 ，
因为，所以解得，
因此，即，
因为，所以，
因此异面直线与所成的角为.
【小问2详解】
设平面的法向量为，而，
因此由得，取得，，
所以是平面的一个法向量，
设平面的法向量为，，，
因此由得，取得，，
所以是平面的一个法向量.
设平面与平面夹角为，则，
因此，
所以平面与平面夹角的余弦值为．
20. 已知双曲线的焦点坐标为，，实轴长为4，
（1）求双曲线的标准方程；
（2）若双曲线上存在一点使得，求的面积．
【答案】（1）；（2）1．
【解析】
【分析】（1）由题可知的值即可求出双曲线的标准方程；
（2）由双曲线的定义及面积公式即可求出.
【详解】（1）设双曲线方程为，
由条件知，，
∴，
∴双曲线的方程为．
（2）由双曲线的定义可知，．
∵，
∴，即
∴，
∴的面积．
21. 在四棱锥中，底面为直角梯形，，，侧面底面，，.
（1）若的中点为，求证：平面；
（2）若与底面所成的角为，求与平面的所成角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）取的中点，连接.先证明四边形是平行四边形，即可得出，然后即可证明线面平行；
（2）先证明平面，即可得出.然后建立空间直角坐标系，得出点以及向量的坐标，求出平面的法向量，根据向量求得与平面的所成角的正弦值，进而求得余弦值.
【小问1详解】
如图1，取的中点，连接，
分别为的中点，
，且.
且，
且，
四边形是平行四边形，
.
平面，平面，
平面.
【小问2详解】
若是中点，取中点为，连结.
分别是的中点，
.
，
.
由底面为直角梯形且，，.
，
.
由侧面底面，平面平面，面，
平面，
在平面的投影在直线上.
又与底面所成的角为，
与底面所成角的平面角，
为等边三角形，.
以为原点，分别以所在的直线为轴，如图2建空间直角坐标系，
则，，，，
则，，.
设平面PBD的法向量，
则，即，
取，得，
.
设与平面的所成角为，
则.
，
，
与平面的夹角的余弦值为.
22. 已知抛物线C：的焦点为F，斜率为1的直线l经过F，且与抛物线C交于A，B两点，．
（1）求抛物线C的方程；
（2）过抛物线C上一点作两条互相垂直的直线与抛物线C相交于两点（异于点P），证明：直线恒过定点，并求出该定点坐标．
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据条件，得到直线l方程为，设，联立抛物线方程，根据抛物线的弦长求得p，即得答案；
（2）求得a的值，设直线的方程为，联立抛物线方程，得根与系数的关系，利用，得到或，代入直线方程，分离参数，求得定点坐标，证明结论.
【小问1详解】
设，
由题意知，则直线l方程为，
代入，得，，
∴，
由抛物线定义，知，，
∴，∴，
∴抛物线的方程为.
【小问2详解】
证明：在抛物线上，，
由题意，直线的斜率不为0，设直线的方程为，
设，
由，得 ，
则，且，
又，
，
由题意，可知, ,
故，
故，
整理得 ，即，
或，即或．
若，则 ，
此时直线过定点，不合题意；
若，则，
此时直线过定点，符合题意，
综上，直线过异于P点的定点．
【点睛】方法点睛：直线和抛物线的位置关系中，证明直线过定点问题，一般是设出直线方程，利用根与系数的关系化简，求得参数之间的关系式，再对直线分离参数，求得定点坐标，进而证明直线过定点.