2023-2024学年辽宁省本溪市第一中学高二上学期11月期中考试数学试题（含解析）

这是一份2023-2024学年辽宁省本溪市第一中学高二上学期11月期中考试数学试题（含解析），共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合A=x∈Zx+1≥0，B=xx2−x−60,且a≠1)与二次函数y=(a−1)x2−x在同一坐标系内的图象可能是 ( )
A. B.
C. D.
6.3D打印是快速成型技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层打印的方式来构造物体的技术，如图所示的塔筒为3D打印的双曲线型塔筒，该塔筒是由离心率为 10的双曲线的一部分围绕其旋转轴逐层旋转打印得到的，已知该塔筒(数据均以外壁即塔筒外侧表面计算)的上底直径为6 2cm，下底直径为9 2cm，喉部(中间最细处)的直径为8cm，则该塔筒的高为
( )
A. 272cmB. 18cmC. 27 22cmD. 18 2cm
7.将一个棱长为1的正方体放入一个圆柱内，正方体可自由转动，则该圆柱体积的最小值为( )
A. π3B. 3 3π4C. π6D. 6π6
8.已知函数fx=−x2−4x−2,x≤0,lnx,x>0,若函数gx=3f2x−m+3fx+m有5个不同的零点，则实数m的取值范围是
( )
A. −∞,−2B. −∞,−6
C. 6∪−∞,−6D. −∞,−6∪6,+∞
二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）
9.若直线l过点4,−2且在两坐标轴上的 截距互为相反数，则直线l的方程为
( )
A. x−2y=0B. x+2y=0C. x+y−2=0D. x−y−6=0
10.已知圆C1:x2+y2+2mx−10y+m2=0，圆C2:x2+y2+4y−5=0，则下列说法正确的是
( )
A. 若点1,1在圆C1的内部，则−20，且2x+2y+xy−5=0，则下列结论错误的是
( )
A. xy的取值范围是0,1B. x+y的取值范围是2,52
C. 4x+y的最小值是2D. x+4y的最小值为2
12.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点 3, 32，直线l：y=−12x+m与椭圆C交于M，N两点，且线段MN的中点为P，O为坐标原点，直线OP的斜率为32，则下列结论正确的是
( )
A. C的离心率为12
B. C的方程为x212+y2=1
C. 若m=1，则MN=3 52
D. 若m=12，则椭圆C上存在E，F两点，使得E，F关于直线l对称
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13.已知tanα=2，则sinπ+2α2cs2α−1的值为______．
14.已知抛物线E：y2=8x的准线为l，A0,3，点B是E上任意一点，过B作BC⊥l，垂足为C，则AB+BC的最小值为______．
15.如图，在边长为4的正方形ABCD中，点M是正方形ABCD外接圆上任意一点，则AB⋅AM的取值范围是______．
16.已知F1,F2分别是双曲线C:y2a2−x2b2=1a>0,b>0的上、下焦点，经过点F2且与y轴垂直的直线与C的一条渐近线相交于点P，且P在第四象限，四边形PF1QF2为平行四边形，若C的离心率的取值范围是 213, 5，则直线QF2的倾斜角α的取值范围是______．
四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.(本小题10分)
已知函数fx=−2sin2x+cs2x−π3+1．
(1)求函数fx 的 最小正周期；
(2)将函数fx 的 图象向右平移π3个单位长度后得到gx的图象，当x∈0,π2时，求gx的值域．
18.(本小题12分)
已知半径为4的圆C与直线l1:3x−4y+8=0相切，圆心C在y轴的负半轴上．
(1)求圆C的方程；
(2)已知直线l2:kx−y+3=0与圆C相交于A,B两点，且▵ABC的面积为8，求直线l2的方程．
19.(本小题12分)
如图，在直四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD为矩形，且AA1=4，AB=1，AD=2，P为棱BB1的中点．
(1)求P到AC1的距离；
(2)求AC1与平面A1C1P所成角的正弦值．
20.(本小题12分)
在▵ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2−csB=bcsA+2csC．
(1)求角B的大小．
(2)若O是▵ABC的内心，且AO=2，CO=3，求AC和BO．
21.(本小题12分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是直角梯形，且AD//BC，AD⊥DC，BC=2AD=2 2,DC=2，正三角形PCD所在平面与平面ABCD垂直，E,F分别为DC,PC的中点．
(1)求证：AB⊥平面PAE；
(2)求二面角F−BD−C 的 平面角的余弦值．
22.(本小题12分)
已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0过点2, 2，离心率为 22．
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知C的下顶点为A，不过A的直线l与C交于点E,F，线段EF的中点为G，若∠AGE=2∠GAF，试问直线l是否经过定点？若经过定点，请求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】【分析】解不等式可得集合 A 与 B ，进而可得 A∩B ．
解：因为 A=x∈Zx+1≥0=x∈Zx≥−1 ， B=xx2−x−60 ，则 C 为锐角，
又 C 为最大内角，故 ▵ABC 为锐角三角形．
故选：C
4.【答案】A
【解析】【分析】对于A，借助于长方体模型，很容易判断结论错误；对于B，运用面面平行的传递性易得；
对于C，通过平行平面的性质和线面垂直的性质即得；对于D，借助于两平面的法向量的垂直关系可得．
解：
对于A，如图，在长方体 ABCD−A1B1C1D1 中，设平面 ADD1A1 为平面 α ，平面 A1B1C1D1 为平面 β ，
平面 DCC1D1 为平面 γ ，显然满足 α⊥β,β⊥γ ，但是平面 α 与平面 γ 不平行，故A错误；
对于B，根据面面平行的传递性，若 α//β,β//γ ，则 α//γ 成立，故B正确；
对于C，若 m⊥β,α//β ，则 m⊥α ，又 n⊥α ，所以 m//n ，故C正确；
对于D，设直线 m,n 的方向向量分别为 a,b ，若 m⊥α,n⊥β,m⊥n ，
则平面 α,β 的一个法向量分别为 a,b ，且 a⊥b ，所以 α⊥β ，故D正确．
故选A．
5.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查二次函数和对数函数的图象，属于中档题．
根据二次函数的开口方向，对称轴及对数函数的增减性，逐个检验即可得出答案．
【解答】解：由对数函数y=lgax(a>0且a≠1)与二次函数y=a−1x2−x可知，
①当00,b>0 ，
因为双曲线的离心率为 10= 1+ba2 ，所以 b2=9a2 ．
又喉部(中间最细处)的直径为 8cm ，所以 2a=8,a=4 ，所以双曲线的方程为 x216−y2144=1 ．
由题意可知 xA=3 2,xB=9 22 ，代入双曲线方程，得 yA=3 2,yB=−21 22 ，
所以该塔筒的高为 yA−yB=27 22 ．
故选：C．
7.【答案】B
【解析】【分析】当圆柱底面直径和高刚好等于正方体的的体对角线时体积最小，然后可解．
解：由题意知，当圆柱底面直径和高刚好等于正方体的的体对角线时体积最小，
正方体的体对角线长为 3
所以，此时圆柱的底面半径为 r= 32 ，高为 2r= 3 ，
所以该圆柱体积的最小值为 πr2⋅2r=2π× 323=3 3π4 ．
故选：B．
8.【答案】B
【解析】【分析】根据解析式画出 fx 草图，将问题化为 y=fx 的图象与直线 y=1 ， y=m3 共有5个交点，数形结合有 y=fx 的图象与直线 y=m3 有1个交点，即可求参数范围．
解：作出函数 fx 的图象如图所示，

函数 gx=3f2x−m+3fx+m ，且 gx 有5个零点，
等价于 3fx−mfx−1=0 有5个解，即 fx=1 或 fx=m3 共有5个解，
等价于 y=fx 的图象与直线 y=1 ， y=m3 共有5个交点．
由图得 y=fx 的图象与直线 y=1 在4个交点，
所以 y=fx 的图象与直线 y=m3 有1个交点，则直线 y=m3 应位于直线 y=−2 下方，
所以 m3