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2023-2024学年浙江省台金七校联盟高一上学期11月期中联考数学试题（含解析）
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这是一份2023-2024学年浙江省台金七校联盟高一上学期11月期中联考数学试题（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.设集合A={x|1≤x≤3}，B={x|2A. {x|1≤x<4}B. {x|12.下列各组函数是同一个函数的是( )
A. y= x2与y=|x|
B. y=( x)2与y=3x3
C. y=x2−9x+3与s=t−3
D. y= (x+1)(x−2)与y= (x+1) (x−2)
3.已知3a=5，3b=7，则9a−b=( )
A. 57B. 75C. 4925D. 2549
4.已知n∈N∗，则“nan=a”是“a>0”的( )
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
5.函数f(x)=(2x−2−x)(x4−x2)的图象大致为( )
A. B.
C. D.
6.已知a>1，b>12，且2a+b=3，则1a−1+12b−1的最小值为( )
A. 1B. 92C. 9D. 12
7.定义在R上的偶函数f(x)在(0,+∞)上单调递增，且f(−2)=0，则不等式xf(x+2)≥0的解集是( )
A. [−4,+∞)B. (−∞,−4)∪(0,+∞)
C. (−2,+∞)D. (−∞,−4]∪(−2，0]
8.取整函数最早出现在著名科学家阿兰⋅图灵(Alan Turing)在20世纪30年代提出的图灵机理论中。图灵机是一种理论上的计算模型，其中操作包括整数运算和简单逻辑判断。由于图灵机需要进行整数计算，因此取整函数成为了必需的工具之一。现代数学中，常用符号[x]表示为不超过x的最大整数，如[1.4]=1，现有函数f(x)=x−[x]，f(x)=k x在区间[1,5]上恰好有三个不相等的实数解，则k的取值范围是( )
A. [ 66, 55)B. [ 55,12)C. [12, 33)D. [ 55, 33)
二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）
9.我们常拿背诵圆周率π(π=3.14159265358979323846264338327950288⋯)来衡量某人的记忆水平，如果记圆周率π小数点后第n位数字为f(n)，则下列说法正确的是( )
A. y=f(n)，n∈N∗是一个函数B. 当n=6时，f(n)=3.14159
C. f(4)=f(8)D. f(n)∈{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}
10.已知定义在R上的函数f(x)是奇函数，且x>0时f(x)=3x+4x，则下列叙述正确的是( )
A. 当x<0时f(x)=−3x−4x
B. f(0)=0
C. f(x)在区间(−1,0)上单调递减
D. 函数y=f(x)在区间(0,+∞)上的最小值为4 3
11.下列命题叙述正确的是( )
A. ∀a，b∈R+且a>b时，当m>0时，a+mb+m>ab
B. ∀a，b∈R+且a>b时，当m<0时，b+ma+mC. ∀a，b∈R+且a>b时，当m>0时，b+ma+m>ba
D. ∃a，b∈R+且a>b时，当m>0时，b−ma−m12.若函数f(x)在定义域D内的某区间M上单调递增，且f(x)x在M上也单调递增，则称f(x)在M上是“强增函数”，则下列说法正确的是( )
A. 若函数f(x)=x+1x，则存在M使f(x)是“强增函数”
B. 若函数f(x)=x2+x3，则f(x)为定义在R上的“强增函数”
C. 若函数f(x)=2x，则存在区间M，使f(x)在M上不是“强增函数”
D. 若函数f(x)=x2+(a−3)x+a在区间[1,+∞)上是“强增函数”，则a=1
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13.823+ (3−π)2+(1681)−34= ．
14.函数y=(−x2+4x)12的单调递增区间是 ．
15.函数f(x)=x2+2x,x⩽1,8x−5,x>1.当f(f(a))=8时，实数a= ．
16.已知函数y=f(x)与函数y=g(x)，满足g(x)=f(−x)，当y=f(x)和y=g(x)在区间[a,b]上单调性不同，则称区间[a,b]为函数y=f(x)的“异动区间”.若区间[−1,2]是函数f(x)=|(15)x−t|的“异动区间”，则t的取值范围是 ．
四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.(本小题10分)
已知集合A={x|x−8x+3<0}，B={x|(x−1)(x−3a−2)≤0}．
(1)若a=3，求A∪B，(∁RA)∩B;
(2)若A∩B=B，求实数a的取值范围．
18.(本小题12分)
已知二次函数f(x)=ax2+bx(a,b为实数，且a≠0)，满足条件f(x+3)=f(−x−1)．
(1)方程f(x)=x有两个相等的实数根时，求函数f(x)的解析式;
(2)不等式f(x)≥2x−1的解集是{x|−1≤x≤2}，求函数f(x)的解析式．
19.(本小题12分)
已知函数f(x)=ax+1x2+2，其中a>0．
(1)当a=2，求函数的值域;
(2)g(x)=(x3+2x)⋅f(x)，求g(x)区间[−2,2]上的最小值．
20.(本小题12分)
已知指数函数y=f(x)，且f(−2)=19，定义在R上的函数g(x)=−f(x)+n3f(x)+m是奇函数．
(1)求f(x)和g(x)的解析式;
(2)若对任意的t∈R，不等式g(t2+1)+g(2t2+2kt)<0恒成立，求实数k的取值范围．
21.(本小题12分)
天气渐冷，某电子设备生产企业准备投入生产“暖手宝”。预估生产线建设等固定成本投入为100万，每生产x万个还需投入生产成本R(x)万元，且据测算R(x)=12x,0⩽x⩽8,x2+5x−100,820.若该公司年内共生产该款“暖手宝”x万只，每只售价45元并能全部销售完．
(1)求出利润G(万元)关于年产量x万个的函数解析式G(x);
(2)当产量至少为多少个时，该公司在该款“暖手宝”生产销售中才能收回成本;
(3)当产量达到多少万个时，该公司所获得的利润最大?并求出最大利润．
22.(本小题12分)
定义在(−1,1)的函数f(x)满足：对任意的x，y∈(−1,1)，都有f(x)+f(y)=f(x+y1+x2+y2)，且当x∈(0,1)时，f(x)<0．
(1)求证：函数f(x)是奇函数;
(2)求证：函数f(x)在(0,1)上是减函数;(3)若f(−12)=1，且∀x∈[−12,12]，∀a∈[−1,1]，f(x)≥−t2+4at−4恒成立，求实数t的取值范围．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查集合的交集运算，属于基础题．
根据题意利用交集的定义即可得到结果．
【解答】
解：∵A={x|1≤x≤3}，B={x|2∴A∩B={x|2故选C．
2.【答案】A
【解析】解：A．y= x2=|x|，两个函数的定义域和对应法则相同，是同一函数，
B.y=( x)2定义域为x|x⩾0，y=3x3的定义域为R，两个函数的定义域不相同，不是同一函数，
C.y=x2−9x+3(x≠−3)，s=t−3的定义域为R，，两个函数的定义域不相同，不是同一函数，
D.y= (x+1)(x−2)的定义域为(x+1)(x−2)≥0，得{x|x≥2或x≤−1}，
y= (x+1) (x−2)的定义域为x+1≥0x−2≥0，得{x|x≥2}，
即两个函数的定义域不相同，不是同一函数，
故选：A．
分别判断两个函数的定义域和对应法则是否相同即可．
本题主要考查同一函数的判断，根据函数的定义域和对应法则是否相同是解决本题的关键，是基础题．
3.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了指数函数的运算，属于基础题．
将 9a−b转化为 32a32b即可得解．
【解答】
解：由3a=5，3b=7，可得9a−b=32a−2b= 32a32b=2549；
故选D．
4.【答案】B
【解析】【分析】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，属于基础题．
根据根式的性质进行判断即可．
【解答】解：当n是奇数时，对于任意实数a总有nan=a，也就是说由nan=a推不出a>0，而由a>0总能得出nan=a，所以“nan=a”是“a>0”成立的必要不充分条件．
5.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查函数的作法，涉及到函数的奇偶性，函数值的估计，属于基础题．
先根据函数的奇偶性进行排除，再利用特值法进行排除即可得．
【解答】
解：因为f−x=2−x−2x−x4−−x2=−2x−2−xx4−x2=−fx，
所以函数f(x)为奇函数，故排除A，C；
当x=0.5时，20.5−2−0.5>0, 0.54−0.52<0，则f0.5<0，故排除B，
故选D．
6.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了由基本不等式求最值，属于基础题．
将已知条件化简为(4a−4)+(2b−1)=1，原式可变形为[4(a−1)+(2b−1)](1a−1+12b−1)，使用基本不等式可得结果．
【解答】
解：因为2a+b=3所以(4a−4)+(2b−1)=1，
由已知a>1，b>12，
则1a−1+12b−1=[4(a−1)+(2b−1)](1a−1+12b−1)
=(2b−1a−1+4(a−1)2b−1+5)≥9，
当且仅当a=76，b=23时，等号成立．
7.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查函数的奇偶性和单调性的判断和运用，考查分类讨论思想和运算能力，属于中档题．
对x讨论，可得x的不等式组，结合函数的单调性与奇偶性解不等式可得所求解集．
【解答】
解：因为 fx 是偶函数，所以由 f(−2)=0 ，得f(2)=f(−2)=0
当 x⩾0 时，由 xf(x+2)⩾0⇒f(x+2)⩾0=f(2)⇒f(|x+2|)⩾f(2) ，
因为 fx 在 0,+∞ 上单调递增，所以 f(|x+2|)⩾f(2)⇒|x+2|⩾2⇒x⩾0 或 x⩽−4 ，
故 x⩾0 ；
当 x<0 时，由 xf(x+2)⩾0⇒f(x+2)⩽0=f(2)⇒f(|x+2|)⩽f(2) ，
因为 fx 在 0,+∞ 上单调递增，所以 f(|x+2|)⩽f(2)⇒|x+2|⩽2⇒−4⩽x⩽0 ，综上可得：x⩾−4
故选：A
8.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查新定义，函数零点问题，属于中档题．
正确画出函数图象，要使函数y=k x的图象与函数f(x)的图象恰有3个交点，只需2k<1且 5k≥1，求解即可．
【解答】
解：当x∈[1,2)时，[x]=1，f(x)=x−1，
当x∈[2,3)时，[x]=2，f(x)=x−2，
当x∈[3,4)时，[x]=3，f(x)=x−3，
当x∈[4,5)时，[x]=4，f(x)=x−4，
当x=5时，f(x)=0，
要使得f(x)=k x在区间[1,5]上恰好有三个不相等的实数解，显然k>0，
所以函数f(x)与函数y=k x有三个交点，
作出函数y=f(x)和y=k x两个函数图象如下：
要使函数y=k x的图象与函数f(x)的图象恰有3个交点，只需2k<1且 5k≥1，
得 55≤k<12，那么实数k的取值范围是 55≤k<12．
故选B．
9.【答案】ACD
【解析】【分析】
本题主要考查了函数的定义的简单应用，属于基础试题．
根据函数的定义即可求解．
【解答】
解：由f(n)的定义可知，给定一个n，由唯一确定的数和它对应，根据函数的定义可知f(n)是一个函数，故A正确；
根据f(n)的定义，f(6)=2，故B错误；
根据f(n)的定义，f(4)=f(8)=5，故C正确；
根据f(n)的定义，值域：{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}，故D正确．
故选ACD．
10.【答案】BCD
【解析】【分析】
本题考查函数的性质，利用基本不等式求最值，属于基础题；
根据函数f(x)是奇函数，且x>0时f(x)=3x+4x，求出当x<0时f(x)即可判断ABCD。
【解答】
解：因为定义在R上的函数f(x)是奇函数，且x>0时f(x)=3x+4x，
所以f(0)=0，
当x<0时，−x>0，f(−x)=3(−x)+4−x=−3x−4x，即f(x)=−f(−x)=3x+4x，故A错误，B正确；
当x<0时，f(x)=3x+4x，∴f(x)在区间(−1,0)上单调递减，C正确；
当x>0时f(x)=3x+4x⩾2 3x·4x=4 3，当且仅当3x=4x即x=2 33时取等号，
故函数y=f(x)在区间(0,+∞)上的最小值为4 3，D 正确．
11.【答案】CD
【解析】【分析】
本题主要考查利用作差法比较大小，考查全称量词命题及存在量词命题真假的判断，属于中档题．
根据作差比较大小，结合已知条件及全称量词命题及存在量词命题真假判断即可．
【解答】
解：a+mb+m−ab=mb−ab+mb，∀a，b∈R+且a>b时，当m>0时，b+m>0,b>0，b−a<0，
则a+mb+m−ab<0，则a+mb+mb+ma+m−ba=ma−ba+ma，∀a，b∈R+且a>b时，当m<0时，a+m符号不确定，故选项B错误；
b+ma+m−ba=ma−ba+ma，∀a，b∈R+且a>b时，当m>0时，a+m>0，a>0，a−b>0，m>0，
b+ma+m−ba>0，b+ma+m>ba，故选项C正确；
b−ma−m−ba=b−ama−ma，当m>0时，当a，b∈R+且a>b，a>m时，a−m>0，a>0，b−a<0，m>0，b−ma−m−ba<0，b−ma−m12.【答案】ACD
【解析】【分析】
本题主要考查函数的新定义问题，属于中档题．
根据“强增函数”的定义，结合函数的单调性逐项判断即可．
【解答】
解：对于A，根据对勾函数单调性可知，f(x)=x+1x在(−∞,−1)上为增函数，y=f(x)x=1+1x2在(−∞,−1)上也是增函数，
故存在区间(−∞,−1)使f(x)=x+1x为“强增函数”，A正确；
对于B，y=f(x)x=x+x2在R上不是单调递增函数，故f(x)不是定义在R上的“强增函数”，B错误；
对于C，f(x)=2x在R上为增函数，y=f(x)x=2xx，且f(1)1=2即存在区间M，使f(x)在M上不是“强增函数”，C正确；
对于D，若函数f(x)=x2+(a−3)x+a在区间[1,+∞)上是“强增函数”，
则f(x)=x2+(a−3)x+a在[1,+∞)上为增函数，
所以−a−32⩽1，解得a≥1，又y=f(x)x=x+(a−3)+ax在[1,+∞)上为增函数，
由对勾函数的单调性可知， a⩽1，则a⩽1，综上a=1，D正确．
故选ACD．
13.【答案】π+358
【解析】【分析】
本题考查指数幂的运算，属于基础题．
利用指数幂的运算性质即可求解．
【解答】
解：823+ (3−π)2+(1681)−34=23×23+π−3+(23)4×(−34)=22+π−3+(23)−3=π+1+278=π+358．
14.【答案】[0,2]
【解析】【分析】
本题考查复合函数的单调性，一元二次函数的图象与性质，是较易题．
先求出函数的定义域，可看出y=(−x2+4x)12是由y= t和t=−x2+4x复合而成的复合函数，根据复合函数的单调性“同增异减”的原则，可以得出函数的单调递增区间．
【解答】
解：因为y=(−x2+4x)12= −x2+4x
由−x2+4x≥0，得0≤x≤4，定义域为[0,4]，
令t=−x2+4x，
因为y= t是增函数，
则t=−x2+4x在[0,2]上单调递增，在[2,4]上单调递减，
故函数y=(−x2+4x)12的单调增区间为[0,2]，
故答案为[0,2]．
15.【答案】8
【解析】【分析】
本题考查分段函数求函数值，以及分类讨论的思想，属于基础题．
根据解析式分类讨论a的范围，代入对应的解析式，列出方程进行求解．
【解答】
解：设fa=m，则fm=8，
当m>1时，8m−5=8，解得m=813，不合题意；
当m⩽1时，由m2+2m=8，得m=−4，
∴fa=−4，
当a⩽1时，由a2+2a=a+12−1⩾−1，
∴fa=−4无解，
当a>1时，由8a−5=−4，得a=8，
综上若f(f(a))=8，则实数a=8，
故答案为：8．
16.【答案】(−∞,125]∪[25,+∞)
【解析】【分析】
本题以函数的单调性为载体，考查函数的综合应用，属于较难题．
当t⩽0时，函数f(x)=15x− t，g(x)=5x− t，根据函数的单调性进行判定；
当t>0时，画出函数f(x)=15x−t的图象与函数g(x)=|5x−t|的图象，根据图象可求出结果．
【解答】
解：由题意知，g(x)=f(−x)=5x−t，
当t⩽0时，函数f(x)=15x− t在[−1,2]上单调递减，
此时g(x)=5x− t在[−1,2]上单调递增，满足题意；
当t>0时，函数f(x)=15x−t的图象与函数g(x)=|5x−t|的图象有如图所示的两种情况：
由图可知，当函数f(x)=15x−t的零点x0=lg15 t满足x0≤−2或x0⩾2时，
区间[−1,2]为函数f(x)=15x−t的“异动区间”，
由lg15t⩾2或lg15t⩽−2，得0综上得t⩽125或t⩾25．
17.【答案】解(1) a=3时
集合A={x|−3∴A∪B={x|−3(∁RA)∩B={x|8≤x≤11}；
(2)∵A∩B=B，
∴B⊆A，
∴−3<3a+2<8
∴a∈(−53,2)．
【解析】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．
(1)确定集合A，B，再根据集合的并集，补集，交集运算即可；
(2)根据A∩B=B得B⊆A，即可求得实数a的取值范围．
18.【答案】解(1)∵f(x+3)=f(−x−1)，
∴y=f(x)的图象关于直线x=1对称，
又根据条件“f(x)=x有两个相等的实数根”，列方程组如下：
−b2a=1,(b−1)2=0，∴a=−12b=1，∴f(x)=−12x2+x;
(2)∵ax2+(b−2)x+1≥0的解集是{x|−1≤x≤2}
∴即方程ax2+(b−2)x+1=0有实数根−1，2，且a<0
∴根据韦达定理：−b−2a=1,1a=−2，∴a=−12,b=52，
∴f(x)=−12x2+52x.
【解析】本题主要考查了函数解析式的求解、一元二次方程与一元二次不等式的关系，涉及二次函数的性质．
(1)由已知利用二次函数的性质可得−b2a=1,(b−1)2=0即可求解；
(2)由已知可得方程ax2+(b−2)x+1=0有实数根−1，2，且a<0，再由韦达定理即可求解．
19.【答案】解：(1)当a=2时，f(x)=2x+1x2+2，
令t=2x+1，
则有f(x)=F(t)=4tt2−2t+9=0,t=04t+9t−2,t≠0,
∵函数y=t+9t∈(−∞,−6]∪[6,+∞)，
∴t+9t−2∈(−∞,−8]∪[4,+∞)，
∴4t+9t−2∈[−12,0)∪(0,1]，
∴f(x)的值域是[−12,1]；
(2)g(x)=(x3+2x)⋅f(x)=ax2+x=a(x+12a)2−14a，x∈[−2,2]且a>0，
∴当−12a≤−2时，即a∈(0,14]时，函数y=g(x)在区间[−2,2]上单调递增，
此时g(x)min=g(−2)=4a−2;
当−2<−12a≤2时，即a∈(14,+∞)时，函数y=g(x)在区间[−2,−12a)上单调递减，
在区间[−12a,2]上单调递增，
此时g(x)min=g(−12a)=−14a，
综上所述：g(x)min={4a−2,a∈(0,14]−14a,a∈(14,+∞)．
【解析】本题考查求函数的值域、二次函数的最值，属于中档题．
(1)令t=2x+1，则有f(x)=F(t)=4tt2−2t+9=0,t=04t+9t−2,t≠0，利用函数函数y=t+9t∈(−∞,−6]∪[6,+∞)，即可求出结果；
(2)求出g(x)=(x3+2x)⋅f(x)=ax2+x=a(x+12a)2−14a，x∈[−2,2]且a>0，分−12a≤−2和−2<−12a≤2讨论，即可求出结果．
20.【答案】解：(1)设f(x)=ax，(a>0且a≠1)，f(−2)=a−2=19，
∴a=3，∴f(x)=3x;
∴g(x)=−3x+n3x+1+m是定义在R上的奇函数，
∴g(0)=n−1m+3=0g(−x)=−3−x+n3−x+1+m=n·3x−1m·3x+3=−g(x)=3x−n3x+1+m,
∴n=1，(3−m)(3x−1)=0对x∈R恒成立，
∴m=3n=1，∴g(x)=1−3x3x+1+3，
(2)∵g(t2+1)+g(2t2+2kt)<0恒成立，
所以g(t2+1)<−g(2t2+2kt)=g(−2t2−2kt)恒成立，
又∵g(x)=1−3x3x+1+3=−13⋅3x−13x+1=13⋅(23x+1−1)
可知y=g(x)在R上单调递减，
∴t2+1>−2t2−2kt恒成立，
∴3t2+2kt+1>0恒成立，∴△=4k2−12<0，
∴k∈(− 3, 3).
【解析】本题考查函数的奇偶性、函数的单调性的综合应用，属于中档题．
(1)由已知求出f(x)的解析式，然后利用g(x)为奇函数，得g(0)=0，g(−x)=−g(x)恒成立，解方程组即可求出m，n的值，
(2)由已知函数g(x)在定义域(−∞,+∞)上为减函数，将g(t2−2t)+g(2t2−k)<0转化为t2+1>−2t2−2kt恒成立求解即可．
21.【答案】解：总销售额：45x万元，总成本：固定成本100+R(x)万元，利润G:
G(x)=45x−R(x)−100=892x−100,020
(2)G(x)≥0时，取x最小值即可，
仅需892x−100≥0，x>2.24719万，取22472个
(3)当x∈(0,8]时，G(x)max=256，
当x∈(8,20]时，G(x)max=G(20)=400，
当x∈(20,+∞)时，G(x)=−(x−10)−400x−10+450≤410，
当且仅当x=30万个时，利润最大为410万．
【解析】本题重点考查分段函数和基本不等式的实际应用，属于一般题．
(1)求出总销售额和总成本，利用分段函数即可求解;
(2)G(x)≥0时，取x最小值即可，仅需892x−100≥0，解不等式即可;
(3)对x进行分类讨论，利用基本不等式即可求解．
22.【答案】解：(1)证明：令x=y=0得：f0=0
设任意x∈(−1,1)，则−x∈(−1,1)，∴f(x)+f(−x)=f(0)=0，即f(−x)=−f(x)，x∈(−1,1)，
∴函数fx是奇函数；
(2)证明：在(0,1)上对于任意的x1，x2且x1>x2时，
f(x1)−f(x2)=f(x1)+f(−x2)=f(x1−x21+x12+x22)，
此时，1−x1−x21+x12+x22=1+x12+x22−x1+x21+x12+x22=(x1−12)2+(x2+12)2+121+x12+x22>0
∴0根据函数y=f(x)在x∈(0,1)时f(x)<0可知，
∴f(x1−x21+x12+x22)<0，
∴f(x1)(3)根据(1)，(2)可知，对于任意的x∈[−12,12]，y=f(x)∈[−1,1]，则有对于任意a∈[−1,1]，
恒有−t2+4at−4≤−1，所以−t2−4t−3≤0,−t2+4t−3≤0，解得t∈(−∞,−3]∪[−1,1]∪[3,+∞).
【解析】本题考查函数的基本知识，处理函数的奇偶性，单调性以及不等式恒成立问题，属于中档题．
(1)赋值令x=y=0，求得f(0)，再由f(−x)+f(x)=0即可证明；
(2)设0(3)由单调性求得f(x)的最大值，得到−t2+4at−4≤−1，对a∈[−1,1]恒成立，再由−t2−4t−3≤0,−t2+4t−3≤0求得t的范围．
1.设集合A={x|1≤x≤3}，B={x|2
A. y= x2与y=|x|
B. y=( x)2与y=3x3
C. y=x2−9x+3与s=t−3
D. y= (x+1)(x−2)与y= (x+1) (x−2)
3.已知3a=5，3b=7，则9a−b=( )
A. 57B. 75C. 4925D. 2549
4.已知n∈N∗，则“nan=a”是“a>0”的( )
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
5.函数f(x)=(2x−2−x)(x4−x2)的图象大致为( )
A. B.
C. D.
6.已知a>1，b>12，且2a+b=3，则1a−1+12b−1的最小值为( )
A. 1B. 92C. 9D. 12
7.定义在R上的偶函数f(x)在(0,+∞)上单调递增，且f(−2)=0，则不等式xf(x+2)≥0的解集是( )
A. [−4,+∞)B. (−∞,−4)∪(0,+∞)
C. (−2,+∞)D. (−∞,−4]∪(−2，0]
8.取整函数最早出现在著名科学家阿兰⋅图灵(Alan Turing)在20世纪30年代提出的图灵机理论中。图灵机是一种理论上的计算模型，其中操作包括整数运算和简单逻辑判断。由于图灵机需要进行整数计算，因此取整函数成为了必需的工具之一。现代数学中，常用符号[x]表示为不超过x的最大整数，如[1.4]=1，现有函数f(x)=x−[x]，f(x)=k x在区间[1,5]上恰好有三个不相等的实数解，则k的取值范围是( )
A. [ 66, 55)B. [ 55,12)C. [12, 33)D. [ 55, 33)
二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）
9.我们常拿背诵圆周率π(π=3.14159265358979323846264338327950288⋯)来衡量某人的记忆水平，如果记圆周率π小数点后第n位数字为f(n)，则下列说法正确的是( )
A. y=f(n)，n∈N∗是一个函数B. 当n=6时，f(n)=3.14159
C. f(4)=f(8)D. f(n)∈{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}
10.已知定义在R上的函数f(x)是奇函数，且x>0时f(x)=3x+4x，则下列叙述正确的是( )
A. 当x<0时f(x)=−3x−4x
B. f(0)=0
C. f(x)在区间(−1,0)上单调递减
D. 函数y=f(x)在区间(0,+∞)上的最小值为4 3
11.下列命题叙述正确的是( )
A. ∀a，b∈R+且a>b时，当m>0时，a+mb+m>ab
B. ∀a，b∈R+且a>b时，当m<0时，b+ma+m
D. ∃a，b∈R+且a>b时，当m>0时，b−ma−m
A. 若函数f(x)=x+1x，则存在M使f(x)是“强增函数”
B. 若函数f(x)=x2+x3，则f(x)为定义在R上的“强增函数”
C. 若函数f(x)=2x，则存在区间M，使f(x)在M上不是“强增函数”
D. 若函数f(x)=x2+(a−3)x+a在区间[1,+∞)上是“强增函数”，则a=1
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13.823+ (3−π)2+(1681)−34= ．
14.函数y=(−x2+4x)12的单调递增区间是 ．
15.函数f(x)=x2+2x,x⩽1,8x−5,x>1.当f(f(a))=8时，实数a= ．
16.已知函数y=f(x)与函数y=g(x)，满足g(x)=f(−x)，当y=f(x)和y=g(x)在区间[a,b]上单调性不同，则称区间[a,b]为函数y=f(x)的“异动区间”.若区间[−1,2]是函数f(x)=|(15)x−t|的“异动区间”，则t的取值范围是 ．
四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.(本小题10分)
已知集合A={x|x−8x+3<0}，B={x|(x−1)(x−3a−2)≤0}．
(1)若a=3，求A∪B，(∁RA)∩B;
(2)若A∩B=B，求实数a的取值范围．
18.(本小题12分)
已知二次函数f(x)=ax2+bx(a,b为实数，且a≠0)，满足条件f(x+3)=f(−x−1)．
(1)方程f(x)=x有两个相等的实数根时，求函数f(x)的解析式;
(2)不等式f(x)≥2x−1的解集是{x|−1≤x≤2}，求函数f(x)的解析式．
19.(本小题12分)
已知函数f(x)=ax+1x2+2，其中a>0．
(1)当a=2，求函数的值域;
(2)g(x)=(x3+2x)⋅f(x)，求g(x)区间[−2,2]上的最小值．
20.(本小题12分)
已知指数函数y=f(x)，且f(−2)=19，定义在R上的函数g(x)=−f(x)+n3f(x)+m是奇函数．
(1)求f(x)和g(x)的解析式;
(2)若对任意的t∈R，不等式g(t2+1)+g(2t2+2kt)<0恒成立，求实数k的取值范围．
21.(本小题12分)
天气渐冷，某电子设备生产企业准备投入生产“暖手宝”。预估生产线建设等固定成本投入为100万，每生产x万个还需投入生产成本R(x)万元，且据测算R(x)=12x,0⩽x⩽8,x2+5x−100,8
(1)求出利润G(万元)关于年产量x万个的函数解析式G(x);
(2)当产量至少为多少个时，该公司在该款“暖手宝”生产销售中才能收回成本;
(3)当产量达到多少万个时，该公司所获得的利润最大?并求出最大利润．
22.(本小题12分)
定义在(−1,1)的函数f(x)满足：对任意的x，y∈(−1,1)，都有f(x)+f(y)=f(x+y1+x2+y2)，且当x∈(0,1)时，f(x)<0．
(1)求证：函数f(x)是奇函数;
(2)求证：函数f(x)在(0,1)上是减函数;(3)若f(−12)=1，且∀x∈[−12,12]，∀a∈[−1,1]，f(x)≥−t2+4at−4恒成立，求实数t的取值范围．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查集合的交集运算，属于基础题．
根据题意利用交集的定义即可得到结果．
【解答】
解：∵A={x|1≤x≤3}，B={x|2
2.【答案】A
【解析】解：A．y= x2=|x|，两个函数的定义域和对应法则相同，是同一函数，
B.y=( x)2定义域为x|x⩾0，y=3x3的定义域为R，两个函数的定义域不相同，不是同一函数，
C.y=x2−9x+3(x≠−3)，s=t−3的定义域为R，，两个函数的定义域不相同，不是同一函数，
D.y= (x+1)(x−2)的定义域为(x+1)(x−2)≥0，得{x|x≥2或x≤−1}，
y= (x+1) (x−2)的定义域为x+1≥0x−2≥0，得{x|x≥2}，
即两个函数的定义域不相同，不是同一函数，
故选：A．
分别判断两个函数的定义域和对应法则是否相同即可．
本题主要考查同一函数的判断，根据函数的定义域和对应法则是否相同是解决本题的关键，是基础题．
3.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了指数函数的运算，属于基础题．
将 9a−b转化为 32a32b即可得解．
【解答】
解：由3a=5，3b=7，可得9a−b=32a−2b= 32a32b=2549；
故选D．
4.【答案】B
【解析】【分析】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，属于基础题．
根据根式的性质进行判断即可．
【解答】解：当n是奇数时，对于任意实数a总有nan=a，也就是说由nan=a推不出a>0，而由a>0总能得出nan=a，所以“nan=a”是“a>0”成立的必要不充分条件．
5.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查函数的作法，涉及到函数的奇偶性，函数值的估计，属于基础题．
先根据函数的奇偶性进行排除，再利用特值法进行排除即可得．
【解答】
解：因为f−x=2−x−2x−x4−−x2=−2x−2−xx4−x2=−fx，
所以函数f(x)为奇函数，故排除A，C；
当x=0.5时，20.5−2−0.5>0, 0.54−0.52<0，则f0.5<0，故排除B，
故选D．
6.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了由基本不等式求最值，属于基础题．
将已知条件化简为(4a−4)+(2b−1)=1，原式可变形为[4(a−1)+(2b−1)](1a−1+12b−1)，使用基本不等式可得结果．
【解答】
解：因为2a+b=3所以(4a−4)+(2b−1)=1，
由已知a>1，b>12，
则1a−1+12b−1=[4(a−1)+(2b−1)](1a−1+12b−1)
=(2b−1a−1+4(a−1)2b−1+5)≥9，
当且仅当a=76，b=23时，等号成立．
7.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查函数的奇偶性和单调性的判断和运用，考查分类讨论思想和运算能力，属于中档题．
对x讨论，可得x的不等式组，结合函数的单调性与奇偶性解不等式可得所求解集．
【解答】
解：因为 fx 是偶函数，所以由 f(−2)=0 ，得f(2)=f(−2)=0
当 x⩾0 时，由 xf(x+2)⩾0⇒f(x+2)⩾0=f(2)⇒f(|x+2|)⩾f(2) ，
因为 fx 在 0,+∞ 上单调递增，所以 f(|x+2|)⩾f(2)⇒|x+2|⩾2⇒x⩾0 或 x⩽−4 ，
故 x⩾0 ；
当 x<0 时，由 xf(x+2)⩾0⇒f(x+2)⩽0=f(2)⇒f(|x+2|)⩽f(2) ，
因为 fx 在 0,+∞ 上单调递增，所以 f(|x+2|)⩽f(2)⇒|x+2|⩽2⇒−4⩽x⩽0 ，综上可得：x⩾−4
故选：A
8.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查新定义，函数零点问题，属于中档题．
正确画出函数图象，要使函数y=k x的图象与函数f(x)的图象恰有3个交点，只需2k<1且 5k≥1，求解即可．
【解答】
解：当x∈[1,2)时，[x]=1，f(x)=x−1，
当x∈[2,3)时，[x]=2，f(x)=x−2，
当x∈[3,4)时，[x]=3，f(x)=x−3，
当x∈[4,5)时，[x]=4，f(x)=x−4，
当x=5时，f(x)=0，
要使得f(x)=k x在区间[1,5]上恰好有三个不相等的实数解，显然k>0，
所以函数f(x)与函数y=k x有三个交点，
作出函数y=f(x)和y=k x两个函数图象如下：
要使函数y=k x的图象与函数f(x)的图象恰有3个交点，只需2k<1且 5k≥1，
得 55≤k<12，那么实数k的取值范围是 55≤k<12．
故选B．
9.【答案】ACD
【解析】【分析】
本题主要考查了函数的定义的简单应用，属于基础试题．
根据函数的定义即可求解．
【解答】
解：由f(n)的定义可知，给定一个n，由唯一确定的数和它对应，根据函数的定义可知f(n)是一个函数，故A正确；
根据f(n)的定义，f(6)=2，故B错误；
根据f(n)的定义，f(4)=f(8)=5，故C正确；
根据f(n)的定义，值域：{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}，故D正确．
故选ACD．
10.【答案】BCD
【解析】【分析】
本题考查函数的性质，利用基本不等式求最值，属于基础题；
根据函数f(x)是奇函数，且x>0时f(x)=3x+4x，求出当x<0时f(x)即可判断ABCD。
【解答】
解：因为定义在R上的函数f(x)是奇函数，且x>0时f(x)=3x+4x，
所以f(0)=0，
当x<0时，−x>0，f(−x)=3(−x)+4−x=−3x−4x，即f(x)=−f(−x)=3x+4x，故A错误，B正确；
当x<0时，f(x)=3x+4x，∴f(x)在区间(−1,0)上单调递减，C正确；
当x>0时f(x)=3x+4x⩾2 3x·4x=4 3，当且仅当3x=4x即x=2 33时取等号，
故函数y=f(x)在区间(0,+∞)上的最小值为4 3，D 正确．
11.【答案】CD
【解析】【分析】
本题主要考查利用作差法比较大小，考查全称量词命题及存在量词命题真假的判断，属于中档题．
根据作差比较大小，结合已知条件及全称量词命题及存在量词命题真假判断即可．
【解答】
解：a+mb+m−ab=mb−ab+mb，∀a，b∈R+且a>b时，当m>0时，b+m>0,b>0，b−a<0，
则a+mb+m−ab<0，则a+mb+m
b+ma+m−ba=ma−ba+ma，∀a，b∈R+且a>b时，当m>0时，a+m>0，a>0，a−b>0，m>0，
b+ma+m−ba>0，b+ma+m>ba，故选项C正确；
b−ma−m−ba=b−ama−ma，当m>0时，当a，b∈R+且a>b，a>m时，a−m>0，a>0，b−a<0，m>0，b−ma−m−ba<0，b−ma−m
【解析】【分析】
本题主要考查函数的新定义问题，属于中档题．
根据“强增函数”的定义，结合函数的单调性逐项判断即可．
【解答】
解：对于A，根据对勾函数单调性可知，f(x)=x+1x在(−∞,−1)上为增函数，y=f(x)x=1+1x2在(−∞,−1)上也是增函数，
故存在区间(−∞,−1)使f(x)=x+1x为“强增函数”，A正确；
对于B，y=f(x)x=x+x2在R上不是单调递增函数，故f(x)不是定义在R上的“强增函数”，B错误；
对于C，f(x)=2x在R上为增函数，y=f(x)x=2xx，且f(1)1=2
对于D，若函数f(x)=x2+(a−3)x+a在区间[1,+∞)上是“强增函数”，
则f(x)=x2+(a−3)x+a在[1,+∞)上为增函数，
所以−a−32⩽1，解得a≥1，又y=f(x)x=x+(a−3)+ax在[1,+∞)上为增函数，
由对勾函数的单调性可知， a⩽1，则a⩽1，综上a=1，D正确．
故选ACD．
13.【答案】π+358
【解析】【分析】
本题考查指数幂的运算，属于基础题．
利用指数幂的运算性质即可求解．
【解答】
解：823+ (3−π)2+(1681)−34=23×23+π−3+(23)4×(−34)=22+π−3+(23)−3=π+1+278=π+358．
14.【答案】[0,2]
【解析】【分析】
本题考查复合函数的单调性，一元二次函数的图象与性质，是较易题．
先求出函数的定义域，可看出y=(−x2+4x)12是由y= t和t=−x2+4x复合而成的复合函数，根据复合函数的单调性“同增异减”的原则，可以得出函数的单调递增区间．
【解答】
解：因为y=(−x2+4x)12= −x2+4x
由−x2+4x≥0，得0≤x≤4，定义域为[0,4]，
令t=−x2+4x，
因为y= t是增函数，
则t=−x2+4x在[0,2]上单调递增，在[2,4]上单调递减，
故函数y=(−x2+4x)12的单调增区间为[0,2]，
故答案为[0,2]．
15.【答案】8
【解析】【分析】
本题考查分段函数求函数值，以及分类讨论的思想，属于基础题．
根据解析式分类讨论a的范围，代入对应的解析式，列出方程进行求解．
【解答】
解：设fa=m，则fm=8，
当m>1时，8m−5=8，解得m=813，不合题意；
当m⩽1时，由m2+2m=8，得m=−4，
∴fa=−4，
当a⩽1时，由a2+2a=a+12−1⩾−1，
∴fa=−4无解，
当a>1时，由8a−5=−4，得a=8，
综上若f(f(a))=8，则实数a=8，
故答案为：8．
16.【答案】(−∞,125]∪[25,+∞)
【解析】【分析】
本题以函数的单调性为载体，考查函数的综合应用，属于较难题．
当t⩽0时，函数f(x)=15x− t，g(x)=5x− t，根据函数的单调性进行判定；
当t>0时，画出函数f(x)=15x−t的图象与函数g(x)=|5x−t|的图象，根据图象可求出结果．
【解答】
解：由题意知，g(x)=f(−x)=5x−t，
当t⩽0时，函数f(x)=15x− t在[−1,2]上单调递减，
此时g(x)=5x− t在[−1,2]上单调递增，满足题意；
当t>0时，函数f(x)=15x−t的图象与函数g(x)=|5x−t|的图象有如图所示的两种情况：
由图可知，当函数f(x)=15x−t的零点x0=lg15 t满足x0≤−2或x0⩾2时，
区间[−1,2]为函数f(x)=15x−t的“异动区间”，
由lg15t⩾2或lg15t⩽−2，得0
17.【答案】解(1) a=3时
集合A={x|−3
(2)∵A∩B=B，
∴B⊆A，
∴−3<3a+2<8
∴a∈(−53,2)．
【解析】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．
(1)确定集合A，B，再根据集合的并集，补集，交集运算即可；
(2)根据A∩B=B得B⊆A，即可求得实数a的取值范围．
18.【答案】解(1)∵f(x+3)=f(−x−1)，
∴y=f(x)的图象关于直线x=1对称，
又根据条件“f(x)=x有两个相等的实数根”，列方程组如下：
−b2a=1,(b−1)2=0，∴a=−12b=1，∴f(x)=−12x2+x;
(2)∵ax2+(b−2)x+1≥0的解集是{x|−1≤x≤2}
∴即方程ax2+(b−2)x+1=0有实数根−1，2，且a<0
∴根据韦达定理：−b−2a=1,1a=−2，∴a=−12,b=52，
∴f(x)=−12x2+52x.
【解析】本题主要考查了函数解析式的求解、一元二次方程与一元二次不等式的关系，涉及二次函数的性质．
(1)由已知利用二次函数的性质可得−b2a=1,(b−1)2=0即可求解；
(2)由已知可得方程ax2+(b−2)x+1=0有实数根−1，2，且a<0，再由韦达定理即可求解．
19.【答案】解：(1)当a=2时，f(x)=2x+1x2+2，
令t=2x+1，
则有f(x)=F(t)=4tt2−2t+9=0,t=04t+9t−2,t≠0,
∵函数y=t+9t∈(−∞,−6]∪[6,+∞)，
∴t+9t−2∈(−∞,−8]∪[4,+∞)，
∴4t+9t−2∈[−12,0)∪(0,1]，
∴f(x)的值域是[−12,1]；
(2)g(x)=(x3+2x)⋅f(x)=ax2+x=a(x+12a)2−14a，x∈[−2,2]且a>0，
∴当−12a≤−2时，即a∈(0,14]时，函数y=g(x)在区间[−2,2]上单调递增，
此时g(x)min=g(−2)=4a−2;
当−2<−12a≤2时，即a∈(14,+∞)时，函数y=g(x)在区间[−2,−12a)上单调递减，
在区间[−12a,2]上单调递增，
此时g(x)min=g(−12a)=−14a，
综上所述：g(x)min={4a−2,a∈(0,14]−14a,a∈(14,+∞)．
【解析】本题考查求函数的值域、二次函数的最值，属于中档题．
(1)令t=2x+1，则有f(x)=F(t)=4tt2−2t+9=0,t=04t+9t−2,t≠0，利用函数函数y=t+9t∈(−∞,−6]∪[6,+∞)，即可求出结果；
(2)求出g(x)=(x3+2x)⋅f(x)=ax2+x=a(x+12a)2−14a，x∈[−2,2]且a>0，分−12a≤−2和−2<−12a≤2讨论，即可求出结果．
20.【答案】解：(1)设f(x)=ax，(a>0且a≠1)，f(−2)=a−2=19，
∴a=3，∴f(x)=3x;
∴g(x)=−3x+n3x+1+m是定义在R上的奇函数，
∴g(0)=n−1m+3=0g(−x)=−3−x+n3−x+1+m=n·3x−1m·3x+3=−g(x)=3x−n3x+1+m,
∴n=1，(3−m)(3x−1)=0对x∈R恒成立，
∴m=3n=1，∴g(x)=1−3x3x+1+3，
(2)∵g(t2+1)+g(2t2+2kt)<0恒成立，
所以g(t2+1)<−g(2t2+2kt)=g(−2t2−2kt)恒成立，
又∵g(x)=1−3x3x+1+3=−13⋅3x−13x+1=13⋅(23x+1−1)
可知y=g(x)在R上单调递减，
∴t2+1>−2t2−2kt恒成立，
∴3t2+2kt+1>0恒成立，∴△=4k2−12<0，
∴k∈(− 3, 3).
【解析】本题考查函数的奇偶性、函数的单调性的综合应用，属于中档题．
(1)由已知求出f(x)的解析式，然后利用g(x)为奇函数，得g(0)=0，g(−x)=−g(x)恒成立，解方程组即可求出m，n的值，
(2)由已知函数g(x)在定义域(−∞,+∞)上为减函数，将g(t2−2t)+g(2t2−k)<0转化为t2+1>−2t2−2kt恒成立求解即可．
21.【答案】解：总销售额：45x万元，总成本：固定成本100+R(x)万元，利润G:
G(x)=45x−R(x)−100=892x−100,0
(2)G(x)≥0时，取x最小值即可，
仅需892x−100≥0，x>2.24719万，取22472个
(3)当x∈(0,8]时，G(x)max=256，
当x∈(8,20]时，G(x)max=G(20)=400，
当x∈(20,+∞)时，G(x)=−(x−10)−400x−10+450≤410，
当且仅当x=30万个时，利润最大为410万．
【解析】本题重点考查分段函数和基本不等式的实际应用，属于一般题．
(1)求出总销售额和总成本，利用分段函数即可求解;
(2)G(x)≥0时，取x最小值即可，仅需892x−100≥0，解不等式即可;
(3)对x进行分类讨论，利用基本不等式即可求解．
22.【答案】解：(1)证明：令x=y=0得：f0=0
设任意x∈(−1,1)，则−x∈(−1,1)，∴f(x)+f(−x)=f(0)=0，即f(−x)=−f(x)，x∈(−1,1)，
∴函数fx是奇函数；
(2)证明：在(0,1)上对于任意的x1，x2且x1>x2时，
f(x1)−f(x2)=f(x1)+f(−x2)=f(x1−x21+x12+x22)，
此时，1−x1−x21+x12+x22=1+x12+x22−x1+x21+x12+x22=(x1−12)2+(x2+12)2+121+x12+x22>0
∴0
∴f(x1−x21+x12+x22)<0，
∴f(x1)
恒有−t2+4at−4≤−1，所以−t2−4t−3≤0,−t2+4t−3≤0，解得t∈(−∞,−3]∪[−1,1]∪[3,+∞).
【解析】本题考查函数的基本知识，处理函数的奇偶性，单调性以及不等式恒成立问题，属于中档题．
(1)赋值令x=y=0，求得f(0)，再由f(−x)+f(x)=0即可证明；
(2)设0
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