2023-2024学年浙江省S9联盟高二上学期期中联考数学试题（含解析）

这是一份2023-2024学年浙江省S9联盟高二上学期期中联考数学试题（含解析），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合M=−1,0,1,2，N=xx2−2x−3≥0，则M∩N=( )
A. −1,0,1B. 0,1,2C. −1D. −1
2.已知复数z=1−i2+i(i为虚数单位)，则z的虚部为
( )
A. −35B. −35iC. 35D. 35i
3.已知向量a=m,2，b=4,−8，若a=λb，则实数m的值是
( )
A. −4B. −1C. 1D. 4
4.函数y=12x2−2x+1的单调递减区间为
( )
A. −∞,1B. 1,+∞C. −∞, 2D. 2,+∞
5.已知直线l1：ax−3y−3=0，l2：3x−ay+1=0，则“a=3”是“l1//l2”的
( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
6.将正方形ABCD沿对角线AC折起，并使得平面ABC垂直于平面ACD，直线AB与CD所成的角为
( )
A. 90∘B. 60∘C. 45∘D. 30∘
7.已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，若点P满足AP=35AB+23AD+14AA1，则点P到直线AB的距离为
( )
A. 25144B. 7312C. 1312D. 10515
8.设m∈R，若过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx−y−m+2=0交于点Px,y，则PA⋅PB的最大值是
( )
A. 52B. 2C. 3D. 5
二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）
9.已知A−1,−2，B2,4两点到直线l：ax+y+1=0的距离相等，则实数a的值可能为
( )
A. −4B. 3C. −2D. 1
10.(多选题)某校进行了一次创新作文大赛，共有100名同学参赛，经过评判，这100名参赛者的得分都在[40,90]之间，其得分的频率分布直方图如图所示，则下列结论正确的是( )
A. 得分在[40,60)之间的共有40人
B. 从这100名参赛者中随机选取1人，其得分在[60,80)的概率为0.5
C. 估计得分的众数为55
D. 这100名参赛者得分的中位数为65
11.已知a>b>0，且ab=1，则下列式子中正确的有
( )
A. lg2a+lg2b>0B. lg2a⋅lg2b4D. b2−1a>0
12.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=2，E，F，G分别为B1C1，A1D1，CD的中点，O，P分别为BE，CC1上的动点，作平面α//BE截正方体的截面为β，则下列说法正确的是
( )
A. β不可以是六边形
B. 存在点P，使得BE⊥FP
C. 当α经过点F，P时，点D到平面α的距离的最大值为2 63
D. OP+PG的最小值为6 55
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13.平面α与平面β垂直，平面α与平面β的法向量分别为u=−2,0,5，v=t,3,2，则t值是_________．
14.在三棱柱ABC−A1B1C1中，底面是棱长为1的正三角形，侧棱AA1⊥底面ABC，点D在棱BB1上，且BD=1，则AD与平面AA1C1C所成角的正弦值为 ．
15.在平面直角坐标系中，横坐标与纵坐标都在集合A=0,1,2,3,4,5内取值的点中任取一个点，此点正好在直线y=2x上的概率为___________．
16.设函数fx的定义域为R，fx+1为奇函数，fx+2为偶函数，当x∈1,2时，fx=ax3+bx.若f0+f3=6，则f20234=_________．
四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.(本小题10分)
已知A2,3，B−4,1，C0,−3．
(1)求直线AB和AC的斜率；
(2)若点D在线段BC(包括端点)上移动时，求直线AD的斜率的变化范围．
18.(本小题12分)
如图，正四面体(四个面都是正三角形)OABC的棱长为1，M是棱BC的中点，点N满足ON=2NM，点P满足AP=23AN．
(1)用向量OA，OB，OC表示OP；
(2)求OP．
19.(本小题12分)
在下列所给的三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答．
①与直线x−2y+5=0垂直；
②过点2,−3；
③与直线2x+y+2=0平行．
问题：已知直线l过点P1,−1，且________．
(1)求直线l的一般式方程；
(2)已知M3,−1，O为坐标原点，在直线l上求点N坐标，使得MN−ON最大．
20.(本小题12分)
如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AA1=AC=3，AB=4，BC=5，点D是线段BC的中点，
(1)求证：AB⊥A1C
(2)求D点到平面A1B1C的距离；
21.(本小题12分)
如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是一个矩形，EF//AC,AC=2EF,AB=AE=2,AD=4，∠BAE=120∘．
(1)求证：AE//平面BFD；
(2)若平面EAB⊥平面ABCD，求平面EAB与平面FCD的夹角的余弦值．
22.(本小题12分)
已知a,b,c 分别为▵ABC 三个内角A,B,C 的对边，cs2A+cs2C=1+cs2B 且b=1，
(1)求B；
(2)若AB⋅AC0，所以 B正确；
选项C：2a+2b≥2 2a⋅2b=2 2a+b≥2 22 ab=4，
当且仅当a=b时，等号成立．
又因为a>b>0，所以 C正确；
选项D：因为ab=1，则b=1a，
b2−1a=b2−b=b−122−14
又因为a>b>0，则1>b>0，
所以当b=12时，b2−1a