2023-2024学年江苏省常州市金坛区高二上学期期中数学试题（含解析）

这是一份2023-2024学年江苏省常州市金坛区高二上学期期中数学试题（含解析），共21页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.在平面直角坐标系xOy中，直线y=− 3x+1的倾斜角为
( )
A. π6B. π3C. 2π3D. 5π6
2.若方程mx2+1−my2=1表示焦点在y轴上的双曲线，则实数m的取值范围为
( )
A. m1C. 00上有一点A，它关于原点的对称点为B，点F为椭圆的右焦点，且AF⊥BF，∠ABF=π12，则椭圆的离心率为
( )
A. 12B. 63C. 33D. 22
7.若方程x+b=3− 4x−x2有两个不等的实根，则实数b的取值范围为
( )
A. (1−2 2,1+2 2)B. (1−2 2,−1]
C. [−1,1+2 2)D. (1−2 2,3]
8.已知实数x，y满足x|x|+y|y|3=1，则| 3x+y−6|的取值范围是
．( )
A. [6− 6,3)B. [3− 62,3)C. [6− 6,6)D. [3− 62,6)
二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）
9.下列说法错误的是( )
A. 平面直角坐标系内的任意一条直线都存在倾斜角和斜率
B. 点0,2关于直线y=x+1的对称点为1,1
C. 直线x−y−2=0与两坐标轴围成的三角形的面积是2
D. 经过点1,1且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为x+y−2=0
10.已知直线l:(m+1)x+(m−1)y−2m=0(m∈R)，圆O:x2+y2=1，则
( )
A. 直线l恒过定点(1,1)
B. 当直线l与圆O相切时，m=1
C. 当m=12时，直线l被圆O截得的弦长为2 155
D. 当m=2时，直线l上存在点C，使得以C为圆心，1为半径的圆与圆O相交
11.已知点P在圆x2+y−32=8上，点A0,−1，B0,1，C7,0，则
( )
A. PA= 2PBB. 当▵PAB面积最大时，PA=2 2
C. 当∠PCA最小时，PC=5 2D. 当∠PCA最大时，PC=5 2
12.在数学史上，平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线.在平面直角坐标系xOy中，动点Px,y到两个定点F1−1,0，F21,0的距离之积等于1，化简得曲线C:x2+y2+1= 4x2+1.则下列结论正确的是
( )
A. 满足PF1=PF2的点P有两个B. PF1+PF2的最小值为2
C. △F1PF2的面积大于12D. OP的最大值为 2
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13.若曲线C:x29−k+y21−k=1是双曲线，则其焦距为______．
14.若过点M2,1的直线l与圆O:x2+y2=8交于A，B两点，则弦AB最短时直线l的方程为______．
15.双曲线C;x2a2−y2b2=1a>0,b>0的右顶点为A，点M，N均在C上，且关于y轴对称，若直线AM，AN的斜率之积为−54，则C的离心率为______．
16.已知F1，F2分别为椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦点，过F1的直线与C交于P，Q两点，若|PF1|=2|PF2|=3|F1Q|，则C的离心率是______．
四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.(本小题10分)
已知两条直线l1:3+mx+4y=5−3m，l2:2x+5+my=8.设m为实数，分别根据下列条件求m的值．
(1)l1//l2；
(2)直线l1在x轴与l2在y轴上的截距之积等于−1．
18.(本小题12分)
在①焦点到准线的距离是2，②准线方程是x=−1，③通径的长等于4.这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答．
问题：在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C:y2=2pxp>0，______．
(1)求抛物线C的方程；
(2)若过2p,0的直线l与抛物线C相交于点A、B，求证：▵AOB是直角三角形．
注；如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．
19.(本小题12分)
瑞士数学家欧拉(Euler) 1765年在所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．
已知△ABC的三个顶点为A(4,3)，B(5,2)，C(1,0)．
(1)求△ABC外接圆的方程;
(2)求△ABC欧拉线的方程．
20.(本小题12分)
如图，已知⊙C的圆心在原点，且与直线x+3y+4 10=0相切．
(1)求⊙C的方程；
(2)点P在直线x=8上，过点P引⊙C的两条切线PA、PB，切点为A、B．
①求四边形OAPB面积的最小值；
②求证：直线AB过定点．
21.(本小题12分)
在直角坐标系xOy中，直线y=−2x是双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的一条渐近线，点A 2,2在双曲线C上，设Mm,nn≠0为双曲线上的动点，直线AM与y轴相交于点P，点M关于y轴的对称点为N，直线AN与y轴相交于点Q．
(1)求双曲线C的方程；
(2)在x轴上是否存在一点T，使得TP+TQ=PQ，若存在，求T点的坐标；若不存在，说明理由；
(3)求M点的坐标，使得▵MPQ的面积最小．
22.(本小题12分)
如图，已知点F1,F2分别是椭圆C:x24+y23=1的左、右焦点，A，B是椭圆C上不同的两点，且F1A=λF2B(λ>0)，连接AF2,BF1，且AF2,BF1交于点Q．
(1)当λ=2时，求点B的横坐标；
(2)若▵ABQ的面积为12，试求λ+1λ的值．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查直线的倾斜角与斜率，属于基础题．
根据题意，确定直线的斜率，根据斜率为倾斜角的正切值，即可得解．
【解答】
解：由题意，直线y=− 3x+1的斜率为− 3，
设直线y=− 3x+1的倾斜角为α，
则有tanα=− 3，
又α∈[0,π)，
∴α=2π3，
故选C．
2.【答案】A
【解析】【分析】由焦点在y轴上的双曲线方程的结构特征列出关于m的不等式组求解即得．
解：因方程mx2+1−my2=1表示焦点在y轴上的双曲线，
则有1−m>0m0 ,k≠1 ,a≠0)，
当k>1时，设椭圆上任意一点Px,y,
Qx,0,Aa,0B−a,0，
则PQ2AQ⋅BQ=y2x−ax+a=y2x2−a2
=y2a2−ky2−a2=1k=a2ka2，
当0