河南省湘豫名校联考2024届高三上学期一轮诊断测试数学试卷

这是一份河南省湘豫名校联考2024届高三上学期一轮诊断测试数学试卷，共15页。试卷主要包含了本试卷共6页，函数的大致图象为，已知，则下列不等式恒成立的是等内容，欢迎下载使用。
2023年9月高三一轮复习诊断考试（一）
数学
注意事项：
1．本试卷共6页．时间120分钟，满分150分．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在试卷指定位置，并将姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上，然后认真核对条形码上的信息，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．作答非选择题时，将答案写在答题卡上对应的答题区域内．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将试卷和答题卡一并收回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知命题p：，，则为（ ）
A．，B．，C．，D．，
2．已知全集，集合，，则集合（ ）
A． B．C． D．
3．若曲线在点处的切线在y轴上的截距为1，则（ ）
A．-1B．0C．1D．2
4．把函数的图象上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），然后把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图象，若的一个极值点为，则的最小正数为（ ）
A． B． C． D．
5．函数的大致图象为（ ）
A．B．
C．D．
6．若函数在上单调递增，则实数a的最大值是（ ）
A． B． C． D．
7．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，D为AB边上一点，，，，则的最小值为（ ）
A． B．2C． D．
8．函数在上存在极大值和极小值，且，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知，则下列不等式恒成立的是（ ）
A．B． C． D．
10．已知函数的导函数为，曲线上存在不同的两点，，且，成立，则下列满足上述条件的函数是（ ）
A． B． C． D．
11．已知角，都是锐角，且，，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C． D．
12．已知定义在上的函数在区间上满足，当时，；当时，．若直线与函数的图象有6个不同的交点，各交点的横坐标为，且，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．用指数模型：描述累计一个池塘甲种微生物的数量y随时间t（单位：天）的变化规律，则该池塘甲种微生物的数量增加到原来的3倍需要的时间约为______天．（，结果精确到0.1）．
14．一场大雨过后，某市上空出现了圆弧形状的彩虹，某研究小组欲测量人们在地面可观察到的该彩虹（最外环）的弧长，已知彩虹所在圆面垂直于水平面，示意图如图所示，彩虹最高点为A，EF为彩虹所在圆面与水平面BCD的交线，点B为EF的中点，若在点C处测得点A的仰角为45°，在点D处测得点A的仰角为30°，并测得，，，则彩虹（）所在圆的半径为______m，彩虹（）的长度为______m．（第一空3分，第二空2分）
15．已知奇函数的定义域为R，，则______．
16．若不等式在上恒成立，则实数a的取值范围是______．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分）
已知函数，且相邻两个极值点的差的绝对值为．
（1）当时，求函数的值域；
（2）若，求的值．
18．（本小题满分12分）
已知函数，，的图象经过点，，且．
（1）求不等式的解集；
（2）若，不等式恒成立，求此关于x的不等式的解集．
19．（本小题满分12分）
某公司为宣传其产品，设计一大型广告立牌置于公司楼下显目位置，广告立牌垂直于地面，其设计图如下所示，由直角和以BC为直径的半圆拼接而成，，AB固定于地面，且AB=10m，点P为半圆上一点（异于B，C两点），四边形ABPC为梯形，，该广告立牌右侧有一条垂直于AB的直线小道L（直线小道路面与地面平齐），与AB的延长线交于点D，且BD=10m．
（1）若沿该造型外部边缘增加铁丝加以固定，求铁丝长度（即）的最大值及此时的值；（2）若，行人M（视为质点，行人高度忽略不计）沿直线小道L向该广告立牌走近，当对底边AB观察的视线所张的角最大时，求从M处观察P点时仰角的正切值．
23．（本小题满分12分）
已知函数与互为反函数，函数．
（1）求函数的值域；
（2证明：．
24．（本题5分）（本小题满分12分）
已知平面四边形ABDC中，对角线CB为钝角∠ACD的平分线，CB与AD相交于点O，，，．
（1）求CO的长；
（2）若，求的面积．
25．（本小题满分12分）
已知函数，．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）讨论函数的单调性；
（3）若，不等式恒成立，求整数a的最大值．
湘豫名校联考
2023年9月高三一轮复习诊断考试（一）
数学参考答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．C【命题意图】本题考查全称量词命题及其否定形式，考查了逻辑推理的核心素养．
【解析】全称量词命题的否定为存在量词命题，根据的定义，可知C选项正确．故选C．
2．B【命题意图】本题考查集合的交、并、补集的运算，考查了数学运算的核心素养．
【解析】由题可得，所以，所以．故选B．
3．A【命题意图】本题考查导数的几何意义，考查了数学运算的核心素养．
【解析】因为点在曲线上，所以．因为，所以该曲线在点A处的切线斜率．所以切线方程为．令，则，故．故选A．
4．D【命题意图】本题考查三角函数的图象变换，考查了直观想象、逻辑推理的核心素养．
【解析】根据题意，图象上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到的图象，再向右平移个单位长度得到的图象．又函数的一个极值点为，所以，，即，．故时，可取到最小正数．故选D．
5．D【命题意图】本题考查函数的图象，考查了直观想象的核心素养．
【解析】因为，所以函数为奇函数，排除A，B选项；因为，排除C选项，故选D．
6．A【命题意图】本题考查三角函数的单调性，考查了数学运算的核心素养．
【解析】由题意得．令，，则，所以在上单调递增．易知，所以，所以．所以实数a的最大值为，故选A．
7．D【命题意图】本题考查三角形的面积公式和基本不等式的应用，考查了数学运算的核心素养．
【解析】由题可得，所以，所以，等式两边同除以ab，得，所以，当且仅当时，等号成立，故选D．
8．C【命题意图】本题考查函数的极值、导数的应用，考查了数学运算的核心素养．
【解析】 当时，方程在上有两个不同的实根，，且，则解得；当时，，不满足题意；当时，的图象开口向下，若方程在上有两个不同的实根，，则的极大值点大于极小值点，与题意矛盾．综上所述，，故选C．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．AB【命题意图】本题考查不等式的性质，指数函数、对数函数的单调性，考查了数学运算、逻辑推理的核心素养．
【解析】根据题意，得．因为在上为增函数，所以，A选项正确；因为在上为增函数，所以，B选项正确；易知在上单调递减，在上单调递增，所以与的大小不确定，C选项错误；，即，设，，则，令，得．因为当时，；当时，，所以在上单调递增，在上单调递减．所以，的大小不确定，D选项错误，故选AB．
10．AC【命题意图】本题考查函数的概念、导数的运算、导数的几何意义，考查了数学抽象、数学运算的核心素养．
【解析】记，，．A选项，因为，所以．当时，；当时，．所以，所以的值域为，所以存在，使得，．A选项正确；B选项，，易知的值域为，所以不存在，使得，B选项错误；C选项，因为，所以的值域为R．所以一定存在，使得，，C选项正确；D选项，因为，所以的值域为，所以不存在，使得，D选项错误．故选AC．
11．11题题干有误，学生统一都得分．
12．ACD【命题意图】本题考查函数的图象与性质、函数与方程，考查了直观想象、数学运算的核心素养．
【解析】因为，所以，所以，A选项正确；当时，，所以．又，，所以．所以，B选项错误；因为当时，，所以当时，的图象关于直线对称，所以．又，所以，C选项正确；因为与，与关于直线对称，所以．又与关于直线对称，所以．所以，所以．由题意可画图判断（图略），所以，D选项正确，故选ACD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．2.5【命题意图】本题考查指数的运算、函数的应用，考查了数学运算的核心素养．
【解析】由题意，池塘甲种微生物的数量增加到原来的3倍，则，即．所以，即．所以（天）．
14．1200（3分） 800 （2分）【命题意图】本题考查余弦定理的应用和扇形知识，考查了数学运算、直观想象的核心素养．
【解析】设彩虹最高点A到水平面BCD的距离为x m，由题易得点A到平面BCD的距离即为AB的长度，则，．在中，由余弦定理得，即，整理得，解得（舍去）或．易得．设圆弧所在圆的半径为R m，圆心为O，则，所以．所以．故彩虹（）的长度为．
15．2024 【命题意图】本题考查抽象函数的性质，考查了逻辑推理的核心素养．
【解析】因为为奇函数，所以．由，可得，即．设，则，所以为奇函数，所以g(0)=0，且g(1-x)=g(1+x)，所以的图象关于直线对称．由，得，所以，所以．所以的周期为4．所以，所以．
16．[1,+) 【命题意图】本题考查导数的应用与不等式恒成立问题，考查了数学运算的核心素养．
【解析】由，得，变形得，所以．令，则．当时，，所以在上为增函数，若，则不等式恒成立．若，则，，所以恒成立，即恒成立，设，，则．当时，，所以单调递增；当时，，所以单调递减．所以的最大值为，所以．故实数a的取值范围是．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．【命题意图】本题考查三角恒等变换和三角函数图象的性质，考查了数学运算的核心素养．
【解析】（1）因为
．
由题意得的最小正周期为，，所以，即．
所以．
当时，，所以．
所以，故函数的值域为．
（2）由，得，所以．
所以．
18．【命题意图】本题考查函数的单调性和含参一元二次不等式的解法，考查了数学运算的核心素养．
【解析】（1）由题意可得，，，所以，
两式相乘，整理得．
由，得，所以．
易知为减函数，又，所以当时，．
故不等式的解集为．
（2）因为为减函数，又，所以．所以的值域为．
因为，不等式恒成立，则．
所以．所以原不等式变为，
当时，不等式两边同除以a，得．
所以当时，解得；
当时，解得；
当时，解得；
当时，原不等式等价于，即．
综上可得，当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为．
19．【命题意图】本题考查三角函数的应用和基本不等式的应用，考查了直观想象、数学运算的核心素养．
【解析】（1）因为为直角三角形，设，，
又，所以．
因为在直角中，，所以，．
所以（其中）．
当，即时，取到最大值，为，
所以．
（2）依题意，设，，，，则，
所以，，
所以，
当且仅当时等号成立．
所以当时，对底边AB观察的视线所张的角最大．
因为，易得，所以，平面AMD，所以．
因为，，所以，所以．
所以从M处观察P点时仰角的正切值为．
20．【命题意图】本题考查函数的性质及其应用，考查了数学运算、直观想象的核心素养．
【解析】（1）因为，
令，则，，所以．
所以当时，；当时，．
故所求函数的值域为．
（2）根据题意，易得，．欲证，即证．
令，．
则．
令，，则．
易知恒成立，所以在R上为减函数，又，所以．
又恒成立，所以当时，，即，故在上单调递增；
当时，，即，故在上单调递减，
所以，即恒成立，故．
21．【命题意图】本题考查正弦定理、余弦定理的应用，考查了数学运算的核心素养．
【解析】（1）在中，由余弦定理得，
解得或（舍去）．
因为，所以．所以，
解得（负值舍去），所以．
因为，
所以．
所以．
所以．
（2）在中，由正弦定理可得，
则，所以．
因为，所以，
所以，所以，
由余弦定理可得，解得．
因为，
所以
，
所以．
22．【命题意图】本题考查导数及其应用，考查了数学抽象、数学运算、逻辑推理等核心素养．
【解析】（1）当时，，所以．
因为，，
所以曲线在点处的切线方程为，即．
（2）因为，，所以，．
①当，即时，，所以在上单调递增，
②当，即时，由，得；
由，得．所以在上单调递增，在上单调递减．
综上所述，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减．
（3）因为，恒成立，即恒成立，
令，则，显然在上单调递减．
又，，
所以存在唯一实数，使得，即，亦即．
所以当时，；当时，．
所以在上单调递增，在上单调递减．
所以，所以．
①若，则在上单调递增，
所以在上恒成立，所以符合题意．
②若，则，所以成立，故符合题意；
③若，则在上单调递减，
当时，，且，
又，所以当时，．
下证当时，，即证．
则，易知单调递减．
所以当时，，
所以在上单调递减．所以．
故时符合题意；
当时，，取，则．
因为，不满足，
所以当时，不符合题意；
综上所述，满足条件的整数a的最大值为2．题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
B
A
D
D
A
D
C
AB
AC
ABD
ACD