黑龙江省哈尔滨市第六中学校2023-2024学年高三上学期期中数学试题

这是一份黑龙江省哈尔滨市第六中学校2023-2024学年高三上学期期中数学试题，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.复数的虚部是（ ）
A.B.C.D.
2.若，则“”是复数“”为纯虚数的（ ）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
3.已知集合，，则（ ）
A.B.C.D.
4.若，，，则实数，，之间有大小关系为（ ）
A.B.C.D.
5.已知等差数列的前项和为，公差为2，且、、成等比数列，则（ ）
A.B.5C.D.20
6.已知，则的值为（ ）
A.B.C.D.
7.在中，点是线段上一点，点是线段上一点，且，，则（ ）
A.B.C.D.
8.设为等比数列的前项和，且，则（ ）
A.B.C.或D.或
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.下列说法正确的是（ ）
A.命题“，”的否定是“，”
B.幂函数在上为减函数，则的值为1
C.图象关于点成中心对称
D.若，则的最大值是
10.下列说法正确的是（ ）
A.若为第一象限角，则为第一或第三象限角
B.函数是偶函数，则的一个可能值为
C.是函数的一条对称轴
D.若扇形的圆心角为，半径为，则该扇形的弧长为
11.已知函数对都有，且函数的图像关于点对称，当时，，则下列结论正确的是（ ）
A.B.在区间上单调递减
C.是上的偶函数D.函数有6个零点
12.已知点为所在平面内一点，且，则下列选项正确的是（ ）
A.B.直线必过边的中点
C.D.若，且，则
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.如图，点，，，均在正方形网格的格点上.若（，），则__________.
14.已知定义在上的可导函数满足：，，则的解集为__________.
15.已知数列、满足，，其中是等差数列，且，则__________.
16.在锐角中角、、的对边分别为、、，记，，若，则__________.
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（本题10分）已知函数.
（1）求函数的单调减区间以及在区间上的最大值和最小值；
（2）若，，求的值.
18.（本题12分）如图，在长方体中，，，为棱的中点.
（1）证明：平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值.
19.（本题12分）已知等差数列的前项和为，，且，，成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
20.（本题12分）在中，，.
（1）求；
（2）求的最大值.
21.（本题12分）已知数列的前项和为满足：.
（1）求证：数列是等比数列；
（2）令，对任意，是否存在正整数，使都成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
22.（本题12分）已知函数.
（1）若函数在处取得极值，求实数的值，并求函数的极值；
（2）若当时，怕成立，求实数的取值范围；
（3）证明：当时，.
哈尔滨市第六中学校2021级高三上学期期中考试数学试卷答案
一、选择题
1-4CCDB5-8CDCD
二、选择题
9.BD10.AC11.AD12.ACD
三、填空题
13.14.15.202416.4
四、解答题
17.【答案】（1）减区间为，，；
（2）
【详解】（1），
由，解得，减区间为，
又，所以，
由正弦函数性质知.，.
（2）由题意，而，所以，
所以，
所以.
18.【答案】（1）证明见解析；（2）
【详解】（1）证明：因为是长方体，所以侧平面，
而平面，所以，
在中，，，，所以，所以，
又，，平面，因此平面.
（2）如图所示，以点为坐标原点，以，，分别为，，轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，，，
设是平面的法向量，
则，
设是平面的法向量，则，
所以.
19.【答案】（1）（2）
【详解】（1）由题意，，在等差数列中，设公差为，
由，得，则，
又，，成等比数列，7，，成等比数列，
得，即，得，
，，数列的通项公式为：.
（2）由题意及（1）得，，在数列中，，
在数列中，，，
，，
两式相减得.
.
20.【答案】（1）（2）
【详解】（1）由正弦定理可得，由于，所以，
故，
化简得，由于，所以，
由于为三角形的内角，所以.
（2）由正弦定理可得，所以，，
故，其中，
故当时，取最大值1，故的最大值为.
21.【答案】（1）详见解析；（2）的值为1，2，3.
（1）当时，，解得，
当时，由得，
两式相减，得，即，
则，故数列是以为首项，公比为3的等比数列.
（2）由（1）知，，
所以，
则，
由对任意都成立，得，
即对任意都成立，又，所以的值为1，2，3.
22.【答案】（1）；极大值为，极小值为
（2）；（3）证明见解析
【详解】（1），又在处取得极值，
，解得：，，
则，
当时，；当时，；
在，上单调递增；在上单调递减，
的极大值为；极小值为；
综上所述；极大值为，极小值为.
（2），
令，则；
（ⅰ）当，即时，恒成立，，
则在上单调递增，又，恒成立，满足题意；
（ⅱ）当，即或时，
令，解得：，；
当时，，在上恒成立，
则在上单调递增，又，恒成立，满足题意；
当时，，又，，；
当时，；当时，；
在上单调递减，在上单调递增，
则当时，，不合题意；
综上所述：实数的取值范围为.
（3）由（2）知：当时，在上恒成立，即；
令，则，；，
，
即当时，.