2023-2024学年重庆市荣昌中学高一（上）期中数学试卷

这是一份2023-2024学年重庆市荣昌中学高一（上）期中数学试卷，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（5分）已知集合A＝{x|x≤2，x∈N}，B＝{0，1，2，3}，则A∩B＝（ ）
A．{0，1，2}B．{1，2}C．{2}D．∅
2．（5分）集合U＝{1，2，3，4，5}，A＝{2，4，5}，B＝{1，3，5}，则A∩（∁UB）＝（ ）
A．{2}B．{4}C．{2，4}D．{2，4，5}
3．（5分）“a＜11”是“∃x∈R，x2﹣2x+a＜0”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
4．（5分）“a＞b＞0”是“a2＞b2＞0”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
5．（5分）设f（x）是定义域为R的函数，且“∀x＞0，f（x）＞0”为假命题，则下列命题为真的是（ ）
A．∀x＞0，f（x）≤0B．∃x≤0，f（x）＞0
C．∃x＞0，f（x）≤0D．∀x≤0，f（x）≤0
6．（5分）设a，b，c∈R，且a＞b＞c，则下列各不等式中恒成立的是（ ）
A．ac＞bcB．|b|＞|c|C．a2＞b2D．a+c＞b+c
7．（5分）​的最小值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
8．（5分）如果a，b，c，d∈R，则正确的是（ ）
A．若a＞b，则
B．若a＞b，则ac2＞bc2
C．若a＞b，c＞d，则a+c＞b+d
D．若a＞b，c＞d，则ac＞bd
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
（多选）9．（5分）下列说法正确的是（ ）
A．任何集合都是它自身的真子集
B．集合{a，b}共有4个子集
C．集合{x|x＝3n+1，n∈Z}＝{x|x＝3n﹣2，n∈Z}
D．集合{x|x＝1+a2，a∈N*}＝{x|x＝a2﹣4a+5，a∈N*}
（多选）10．（5分）下列各组函数是同一函数的是（ ）
A．f（x）＝x2﹣2x﹣1与g（s）＝s2﹣2s﹣1
B．与
C．与g（x）＝
D．f（x）＝x与
（多选）11．（5分）下列命题为真命题的是（ ）
A．若a＞b＞0，则
B．若m＞n＞0，则
C．如果c＞a＞b＞0，那么
D．a≥b＞﹣1，则
（多选）12．（5分）已知正数a，b满足a+2b＝2ab，则下列说法一定正确的是（ ）
A．a+2b≥4B．a+b≥4C．ab≥2D．a2+4b2≥8
三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）已知集合A＝{3，|a|}，B＝{a，1}，A∪B＝{1，2，3，﹣2}，则a的值为 ．
14．（5分）关于x的不等式ax2+bx+2≥0的解集是{x|x≤1或x≥2}，则a+b＝ ．
15．（5分）函数f（x）＝+的定义域为 ．
16．（5分）已知正实数m，n满足m+2n＝1，则的最小值为 ．
四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（10分）设集合U＝R，A＝{x|0≤x≤3}，B＝{x|m﹣1≤x≤2m}．
（1）m＝3，求A∩（∁UB）；
（2）若B∪A＝A，求m的取值范围．
18．（12分）设A＝{﹣1，3}，B＝{x|x2﹣ax+3b＝0}，已知B≠∅，且“x∈B”是“x∈A”的充分条件，求3a+4b的值．
19．（12分）已知函数y＝x2﹣2ax+a
（1）设a＞0，若关于x的不等式y＜3a2+a的解集为A，B＝[﹣1，2]，且x∈A的充分不必要条件是x∈B，求a的取值范围．
（2）方程y＝0有两个实数根x1、x2，
①若x1、x2均大于0，试求a的取值范围．
②若，求实数a的值．
20．（12分）已知函数f（x）＝ax2+bx+18，f（x）＞0的解集为（﹣3，2）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）当x＞0时，求的最大值．
21．（12分）已知函数f（x）＝2ax2﹣ax﹣3．
（1）当a＝1时，解不等式f（x）≥0；
（2）若f（x）＜0恒成立，求a的取值范围．
22．（12分）已知二次函数y＝ax2+bx+c，其中a，b，c∈R．
（1）若a＞b＞c且a+b+c＝0，
①证明：函数y＝ax2+bx+c必有两个不同的零点；
②设函数y＝ax2+bx+c在x轴上截得的弦长为l，求l的取值范围；
（2）若a＜b且不等式y＜0的解集为∅，求的最小值．
2023-2024学年重庆市荣昌中学高一（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．（5分）已知集合A＝{x|x≤2，x∈N}，B＝{0，1，2，3}，则A∩B＝（ ）
A．{0，1，2}B．{1，2}C．{2}D．∅
【分析】利用交集定义直接求解．
【解答】解：集合A＝{x|x≤2，x∈N}＝{0，1，2}，B＝{0，1，2，3}，
则A∩B＝{0，1，2}．
故选：A．
【点评】本题考查集合的运算，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2．（5分）集合U＝{1，2，3，4，5}，A＝{2，4，5}，B＝{1，3，5}，则A∩（∁UB）＝（ ）
A．{2}B．{4}C．{2，4}D．{2，4，5}
【分析】由全集U及B求出B的补集，找出A与B补集的交集即可．
【解答】解：∵全集U＝{1，2，3，4，5}，A＝{2，4，5}，B＝{1，3，5}，
∴∁UB＝{2，4}，
则A∩（∁UB）＝{2，4}．
故选：C．
【点评】本题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．
3．（5分）“a＜11”是“∃x∈R，x2﹣2x+a＜0”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【分析】先求出∃x∈R，x2﹣2x+a＜0的等价条件，再利用充要条件的定义判定即可．
【解答】解：∵∃x∈R，x2﹣2x+a＜0，
∴Δ＝4﹣4a＞0，∴a＜1，
∵（﹣∞，1）⫋（﹣∞，11），
∴a＜11是∃x∈R，x2﹣2x+a＜0的必要不充分条件，
故选：B．
【点评】本题考查了存在问题的解法、充要条件的判定，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
4．（5分）“a＞b＞0”是“a2＞b2＞0”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【分析】根据充分必要条件的定义进行判断即可．
【解答】解：由“a＞b＞0”能推出“a2＞b2＞0”，是充分条件，
由“a2＞b2＞0”推不出“a＞b＞0”，不是必要条件．反例：a＝﹣5，b＝1．
故选：A．
【点评】本题考查充要条件的判定和不等式的性质，考查了推理能力能力，属于基础题．
5．（5分）设f（x）是定义域为R的函数，且“∀x＞0，f（x）＞0”为假命题，则下列命题为真的是（ ）
A．∀x＞0，f（x）≤0B．∃x≤0，f（x）＞0
C．∃x＞0，f（x）≤0D．∀x≤0，f（x）≤0
【分析】根据含有一个量词的命题的真假关系即可求解．
【解答】解：因为命题“∀x＞0，f（x）＞0”为假命题，
所以命题“∃x＞0，f（x）≤0”为真命题．
故选：C．
【点评】本题主要考查全称命题的否定，属于基础题．
6．（5分）设a，b，c∈R，且a＞b＞c，则下列各不等式中恒成立的是（ ）
A．ac＞bcB．|b|＞|c|C．a2＞b2D．a+c＞b+c
【分析】运用不等式的性质和列举法，即可得到结论．
【解答】解：a＞b＞c，若c＝0，可得ac＝bc，则A错误；
取b＝﹣2，c＝﹣3，可得|b|＜|c|，故B错误；
取a＝1，b＝﹣2，可得a2＜b2，故C错误；
由不等式的可加性，可得a+c＞b+c，则D正确．
故选：D．
【点评】本题考查不等式的性质和反例法，考查运算能力，属于基础题．
7．（5分）​的最小值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【分析】利用基本不等式的性质可求得答案．
【解答】解：由已知函数 ，
∵x≥1，∴​，
∴​，
当且仅当​，即x＝2​时等号成立，
∴​当x＝2​时，函数​有最小值是4，
故选：C．
【点评】本题主要考查了基本不等式的性质，属于基础题．
8．（5分）如果a，b，c，d∈R，则正确的是（ ）
A．若a＞b，则
B．若a＞b，则ac2＞bc2
C．若a＞b，c＞d，则a+c＞b+d
D．若a＞b，c＞d，则ac＞bd
【分析】根据已知条件，结合不等式的性质，以及特殊值法，即可求解．
【解答】解：对于A，令a＝1，b＝﹣1，满足a＞b，但，故A错误，
对于B，当c＝0时，ac2＝bc2，故B错误，
对于C，a＞b，c＞d，
由不等式的可加性可得，a+c＞b+d，故C正确，
对于D，令a＝1，b＝﹣1，c＝1，d＝﹣1，满足a＞b，c＞d，但ac＝bd，故D错误．
故选：C．
【点评】本题主要考查不等式的性质，以及特殊值法，属于基础题．
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
（多选）9．（5分）下列说法正确的是（ ）
A．任何集合都是它自身的真子集
B．集合{a，b}共有4个子集
C．集合{x|x＝3n+1，n∈Z}＝{x|x＝3n﹣2，n∈Z}
D．集合{x|x＝1+a2，a∈N*}＝{x|x＝a2﹣4a+5，a∈N*}
【分析】根据集合的相关定义分别判断即可．
【解答】解：任何集合都是它自身的子集，故A错误，
集合{a，b}共有∅，{a}，{b}，{a，b}4个子集，故B正确，
集合{x|x＝3n+1，n∈Z}＝{x|x＝3n﹣2，n∈Z}，故C正确，
集合{x|x＝1+a2，a∈N*}的最小值为2，
{x|x＝a2﹣4a+5＝（a﹣2）2+1，a∈N*}的最小值为1，故D错误．
故选：BC．
【点评】本题考查了集合的表示，集合的相关定义问题，是基础题．
（多选）10．（5分）下列各组函数是同一函数的是（ ）
A．f（x）＝x2﹣2x﹣1与g（s）＝s2﹣2s﹣1
B．与
C．与g（x）＝
D．f（x）＝x与
【分析】根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，即可判断它们是同一函数．
【解答】解：对于A，f（x）＝x2﹣2x﹣1的定义域为R，g（s）＝s2﹣2s﹣1的定义域为R，定义域相同，对应关系也相同，是同一函数；
对于B，f（x）＝＝﹣x的定义域为{x|x≤0}，g（x）＝x的定义域为{x|x≤0}，对应关系不同，不是同一函数；
对于C，f（x）＝＝1的定义域为{x|x≠0}，g（x）＝＝1的定义域为{x|x≠0}，定义域相同，对应关系也相同，是同一函数；
对于D，f（x）＝x的定义域为R，g（x）＝＝|x|的定义域为R，对应关系不同，不是同一函数．
故选：AC．
【点评】本题考查了判断两个函数是否为同一函数的问题，是基础题．
（多选）11．（5分）下列命题为真命题的是（ ）
A．若a＞b＞0，则
B．若m＞n＞0，则
C．如果c＞a＞b＞0，那么
D．a≥b＞﹣1，则
【分析】举特例判断选项A，由不等式的性质判断选项B、C、D，由此得出答案．
【解答】解：对A，令a＝3，，则，选项A错误；
对B，∵，
∴，选项B正确．
对C，∵c＞a＞b＞0，
∴﹣a＜﹣b＜0，
∴0＜c﹣a＜c﹣b，
∴，
又a＞b＞0，
∴，选项C正确．
对D，a≥b＞﹣1，则a+1≥b+1＞0，a（1+b）＝a+ab≥b+ab＝b（1+a），
则，选项D正确．
故选：BCD．
【点评】本题主要考查不等式的性质，属于基础题．
（多选）12．（5分）已知正数a，b满足a+2b＝2ab，则下列说法一定正确的是（ ）
A．a+2b≥4B．a+b≥4C．ab≥2D．a2+4b2≥8
【分析】由已知等式可得，由，，结合基本不等式可知AB正误；利用基本不等式可直接验证CD正误．
【解答】解：由a＞0，b＞0，a+2b＝2ab得：；
对于A，（当且仅当，即a＝2，b＝1时取等号），A正确；
对于B，（当且仅当，即，），B错误；
对于C，∵（当且仅当a＝2b，即a＝2，b＝1时取等号），
∴，解得：ab≥2（当且仅当a＝2，b＝1时取等号），C正确；
对于D，∵a2+4b2≥4ab（当且仅当a＝2b，即a＝2，b＝1时取等号），
由C知：ab≥2（当且仅当a＝2，b＝1时取等号），
∴a2+4b2≥8（当且仅当a＝2，b＝1时取等号），D正确．
故选：ACD．
【点评】本题主要考查基本不等式的应用，属于中档题．
三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）已知集合A＝{3，|a|}，B＝{a，1}，A∪B＝{1，2，3，﹣2}，则a的值为 ﹣2 ．
【分析】根据条件可得出{1，3，|a|，a}＝{1，2，3，﹣2}，然后求出a的值即可．
【解答】解：∵A＝{3，|a|}，B＝{a，1}，A∪B＝{1，2，3，﹣2}，
∴A∪B＝{1，3，|a|，a}＝{1，2，3，﹣2}，
∴|a|＝2且a＝﹣2，∴a＝﹣1．
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查了并集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．
14．（5分）关于x的不等式ax2+bx+2≥0的解集是{x|x≤1或x≥2}，则a+b＝ ﹣2 ．
【分析】根据题意可知关于x的方程ax2+bx+2＝0的解集是{1，2}，以此列方程求出a，b的值，再求出a+b即可．
【解答】解：根据题意可知关于x的方程ax2+bx+2＝0的解集是{1，2}，
所以，解得，所以a+b＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查一元二次不等式解法，考查运算能力，属于基础题．
15．（5分）函数f（x）＝+的定义域为 ．
【分析】可看出，要使得f（x）有意义，则需满足，解出x的范围即可．
【解答】解：要使f（x）有意义，则，解得且x≠4，
∴f（x）的定义域为．
故答案为：．
【点评】考查函数定义域的定义及求法，描述法表示集合的定义．
16．（5分）已知正实数m，n满足m+2n＝1，则的最小值为 17 ．
【分析】化简表达式，利用基本不等式转化求解即可．
【解答】解：正实数m，n满足m+2n＝1，
则＝+1＝（）（m+2n）+1＝9+≥9+＝17，
当且仅当m＝2n＝时，取等号．
则的最小值为 17．
故答案为：17．
【点评】本题考查基本不等式的应用，是基础题．
四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（10分）设集合U＝R，A＝{x|0≤x≤3}，B＝{x|m﹣1≤x≤2m}．
（1）m＝3，求A∩（∁UB）；
（2）若B∪A＝A，求m的取值范围．
【分析】（1）根据已知条件，结合补集、交集的运算，求解即可；
（2）根据已知条件，结合子集的定义，求解即可．
【解答】解：（1）当m＝3时，B＝{x|2≤x≤6}，则∁UB＝{x|x＜2或x＞6}，
故A∩（∁UB）＝{x|0≤x＜2}；
（2）若B∪A＝A，则B⊆A，
当B＝∅时，m﹣1＞2m，∴m＜﹣1，符合题意；
当B≠∅时，需满足，解得，
综上所述，m的取值范围为．
【点评】本题主要考查了集合的基本运算，考查了集合间的包含关系，属于基础题．
18．（12分）设A＝{﹣1，3}，B＝{x|x2﹣ax+3b＝0}，已知B≠∅，且“x∈B”是“x∈A”的充分条件，求3a+4b的值．
【分析】分B＝{﹣1}、B＝{3}、B＝{﹣1，3}三种情况分别求解即可．
【解答】解：因为B⊆A，B≠∅，
所以①当B＝{﹣1}时，则，
所以；
②当B＝{3}时，则，
所以3a+4b＝3×6+4×3＝30；
③当B＝{﹣1，3}时，则，
所以3a+4b＝3×2+4×（﹣1）＝2，
综述：当B＝{﹣1}，即时，；当B＝{3}，即时，3a+4b＝30；当B＝{﹣1，3}，即时，3a+4b＝2．
【点评】本题考查了充分条件与必要条件、集合间的包含关系及分类讨论思想，属于中档题．
19．（12分）已知函数y＝x2﹣2ax+a
（1）设a＞0，若关于x的不等式y＜3a2+a的解集为A，B＝[﹣1，2]，且x∈A的充分不必要条件是x∈B，求a的取值范围．
（2）方程y＝0有两个实数根x1、x2，
①若x1、x2均大于0，试求a的取值范围．
②若，求实数a的值．
【分析】（1）求出不等式的解集，结合充分条件和必要条件的关系转化为集合关系进行求解即可．
（2）利用根与系数之间的关系，建立不等式或方程进行求解即可．
【解答】解：（1）由y＜3a2+a得x2﹣2ax+a＜3a2+a，即
x2﹣2ax﹣3a2＜0得（x﹣3a）（x+a）＜0，
又a＞0，所以﹣a＜x＜3a，
即A＝（﹣a，3a），
∵x∈A的充分不必要条件是x∈B，
∴B⫋A，
则得得a＞1，即实数a的取值范围是（1，+∞）．
（2）方程为y＝x2﹣2ax+a＝0
①若x1、x2均大于0，则满足得，
得a≥1，即a的取值范围[1，+∞）．
②若，
则（x1+x2）2﹣2x1x2＝6x1x2﹣3，
则（x1+x2）2﹣8x1x2+3＝0，
即4a2﹣8a+3＝0，
（2a﹣1）（2a﹣3）＝0，
得a＝或a＝，
∵△≥0得a≥1或a≤0，
则a＝，即实数a的值是．
【点评】本题主要考查一元二次方程与一元二次函数之间的关系，根据根与系数之间的关系进行转化是解决本题的关键．
20．（12分）已知函数f（x）＝ax2+bx+18，f（x）＞0的解集为（﹣3，2）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）当x＞0时，求的最大值．
【分析】（1）由f（x）＞0的解集为（﹣3，2），结合根与系数的关系能求出a，b的值，由此能求出f（x）的解析式；
（2）化简函数式为y＝结合基本不等式能求出＝﹣3（x+）﹣3的最大值．
【解答】解：（1）∵函数f（x）＝ax2+bx+18，f（x）＞0的解集为（﹣3，2），
∴方程ax2+bx+18＝0的两个根为﹣3，2，且a＜0，
由韦达定理得，解得a＝﹣3，b＝﹣3，
∴f（x）＝﹣3x2﹣3x+18．
（2）y＝＝＝﹣3x﹣3﹣＝﹣3（x+）﹣3，
由x＞0，根据均值不等式有x+≥2，当且仅当x＝，即x＝1时取等号，
∴当x＝1时，ymax＝﹣9．
【点评】本题考查二次函数与一元二次方程、基本不等式、一元二次方程要与系数的关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
21．（12分）已知函数f（x）＝2ax2﹣ax﹣3．
（1）当a＝1时，解不等式f（x）≥0；
（2）若f（x）＜0恒成立，求a的取值范围．
【分析】（1）利用一元二次不等式的解法进行求解即可．
（2）讨论a的取值范围，利用不等式恒成立进行求解即可．
【解答】解：（1）当a＝1时，f（x）＝2x2﹣x﹣3，
由f（x）≥0得2x2﹣x﹣3≥0，即（2x﹣3）（x+1）≥0，
所以：或x≤﹣1，
即不等式的解集为{x|或x≤﹣1}．
（2）①当a＝0时，f（x）＝﹣3＜0恒成立，满足条件，
②当a＜0时，f（x）＝2ax2﹣ax﹣3＜0恒成立，Δ＝a2+24a＜0，
即﹣24＜a＜0，综上所述：a的取值范围为（﹣24，0]．
【点评】本题主要考查一元二次不等式的解法以及不等式恒成立问题，讨论a的取值范围，利用一元二次不等式恒成立的等价条件进行求解是解决本题的关键，是中档题．
22．（12分）已知二次函数y＝ax2+bx+c，其中a，b，c∈R．
（1）若a＞b＞c且a+b+c＝0，
①证明：函数y＝ax2+bx+c必有两个不同的零点；
②设函数y＝ax2+bx+c在x轴上截得的弦长为l，求l的取值范围；
（2）若a＜b且不等式y＜0的解集为∅，求的最小值．
【分析】（1）①由题意可得a＞0，c＜0，进而根据判别式为正判断即可；②由a＞﹣a﹣c＞c及a＞0可得，再根据弦长求解范围即可；
（2）根据开口方向与判别式可得b＞a＞0且，进而可得，令，结合基本不等式求解即可．
【解答】解：（1）若a＞b＞c且a+b+c＝0，则a＞0，c＜0，
①证明：∵Δ＝b2﹣4ac＞0，
∴函数y＝ax2+bx+c必有两个不同的零点；
②由a＞﹣a﹣c＞c及a＞0，得，
∴，
不妨设函数y＝ax2+bx+c的零点为1，x1，则，
∴函数y＝ax2+bx+c在x轴上截得的弦长；
（2）根据题意a＞0且Δ＝b2﹣4ac≤0，
∴b＞a＞0且，∴，
令，
则，
当且仅当，即，也即时取等号，
∴的最小值为．
【点评】本题考查了二次函数的性质和基本不等式的应用，属于中档题．
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