高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.4 函数的应用（一）习题

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.4 函数的应用（一）习题，文件包含专题39函数性质及其应用大题专项训练30道教师版docx、专题39函数性质及其应用大题专项训练30道学生版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共35页， 欢迎下载使用。
姓名：___________班级：___________考号：___________
1．（2022•南京模拟）已知幂函数f(x)=xm2−m−2(m∈Z)是偶函数，且在（0，+∞）上是减函数，求函数f（x）的解析式．
【解题思路】根据幂函数的单调性，可知m2﹣m﹣2＜0，又m∈Z，则m＝0，1，再根据函数f（x）是偶函数，将m＝0，1分别代入验证可得答案．
【解答过程】解：∵幂函数f（x）在区间（0，+∞）上单调递减，则m2﹣m﹣2＜0，得﹣1＜m＜2，
又∵m∈Z，∴m＝0或1，
当m＝0时，m2﹣m﹣2＝﹣2，函数为f（x）＝x﹣2是偶函数，满足条件，
当m＝1时，m2﹣m﹣2＝﹣2，函数为f（x）＝x﹣2是偶函数，满足条件．
∴f（x）的解析式为f（x）＝x﹣2．
2．（2021秋•自贡期末）已知f（x）＝a−22−x+1(x∈R)，且函数f（x）是奇函数．
（1）求实数a的值；
（2）判断函数的单调性，并证明．
【解题思路】（1）根据题意，由奇函数的性质可得f（0）＝a﹣1＝0，解可得a的值，验证可得答案；
（2）根据题意，利用作差法分析可得答案．
【解答过程】解：（1）根据题意，因为f(x)=a−22−x+1(x∈R)，函数f（x）是定义域为R的奇函数，
所以f（0）＝a﹣1＝0，解可得a＝1，
当a＝1时，f（x）＝1−22−x+1=2−x−12−x+1，是奇函数，
故a＝1，
（2）f(x)=1−22−x+1=−1+22x+1在R上是减函数．
证明：任取x1，x2∈R，x1＜x2，
由f(x1)−f(x2)=22x1+1−22x2+1=2(2x2−2x1)(2x1+1)(2x2+1)＞0，
即f（x1）＞f（x2），
f（x）在R上是减函数．
3．（2022•桂林开学）已知函数f（x）＝x3+2x，x∈R．
（1）判断函数f（x）的奇偶性；
（2）用定义证明函数f（x）的单调性．
【解题思路】（1）根据题意，先分析函数的定义域，再分析f（x）与f（﹣x）的关系，即可得答案；
（2）根据题意，利用作差法分析可得结论．
【解答过程】解：（1）根据题意，函数f（x）＝x3+2x，x∈R，其定义域为R，
有f（﹣x）＝﹣（x3+2x）＝﹣f（x），函数f（x）为奇函数；
（2）根据题意，设x1＜x2，
f（x1）﹣f（x2）＝（x13+2x1）﹣（x23+2x2）＝（x1﹣x2）（x12+x1x2+x22+2）＝（x1﹣x2）[（x1+12x2）2+2+34x22]，
又由x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）＜0，
则f（x）在R上为增函数．
4．（2022春•莲湖区期末）已知函数f（x）＝﹣3x+b，且f(x+13)为奇函数．
（Ⅰ）求实数b的值；
（Ⅱ）求函数g（x）＝f（x）+x2﹣x的值域．
【解题思路】（I）由已知先求出f（x+13），然后结合奇函数性质可求；
（II）由已知先求出g（x）的解析式，然后结合二次函数的性质可求．
【解答过程】解：（I）由题意得f（x+13）＝﹣3（x+13）+b＝﹣3x+b﹣1，
又f（x+13）为奇函数，
所以b﹣1＝0，
所以b＝1；
（II）由（I）知，f（x）＝﹣3x+1
所以g（x）＝﹣3x+1+x2﹣x＝x2﹣4x+1＝（x﹣2）2﹣3≥﹣3，
故g（x）的值域为[﹣3，+∞）．
5．（2022春•商丘期末）已知函数f(x)=2x2+ax（x≠0，a∈R）．
（1）判断f（x）的奇偶性；
（2）当a＝1时，用单调性的定义证明f（x）在[2，+∞）上是增函数．
【解题思路】（1）根据题意，分a＝0与a≠0两种情况讨论，分析函数的奇偶性，即可得结论；
（2）根据题意，利用作差法分析可得结论．
【解答过程】解：（1）根据题意，f(x)=2x2+ax，其定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞）．
当a＝0时，f（x）＝2x2，有f（﹣x）＝f（x），f（x）是偶函数．
当a≠0时，f(x)=2x2+ax（x≠0，a≠0），则f（﹣x）＝2x2−ax，
f（﹣x）≠f（x）且f（﹣x）≠﹣f（x），则f（x）既不是奇函数也不是偶函数．
综上可知，当a＝0时，f（x）是偶函数；当a≠0时，f（x）既不是奇函数也不是偶函数．
（2）根据题意，当a＝1时，f(x)=2x2+1x，
任取x1，x2∈[2，+∞），且x1＜x2，
则f(x2)−f(x1)=(2x22+1x2)−(2x12+1x1)=2(x2−x1)(x2+x1)+x1−x2x1x2=(x2−x1)[2x1x2(x1+x2)−1]x1x2．
因为2≤x1＜x2，所以x2﹣x1＞0，x1x2＞4，2x1x2（x1+x2）﹣1＞0，
所以f（x2）﹣f（x1）＞0，即f（x2）＞f（x1）．
所以f（x）在[2，+∞）上是增函数．
6．（2022•河南开学）已知幂函数f(x)=(m2−3m+3)xm2+32m+12为奇函数．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若f（a+1）＜f（3﹣2a），求a的取值范围．
【解题思路】（1）由已知结合幂函数的定义及性质可求；
（2）结合函数的单调性即可求解．
【解答过程】解：（1）由题意得m2﹣3m+3＝1且m2+3m2+12为奇数，
解得m＝1或m＝2，
经检验m＝1符合题意，
所以f（x）＝x3；
（2）由（1）得f（x）在R上单调递增，
由f（a+1）＜f（3﹣2a）得a+1＜3﹣2a，
解得a＜23，
故a的取值范围为{a|a＜23}．
7．（2022•句容市校级开学）函数f(x)=ax−b9−x2是定义在（﹣3，3）上的奇函数，且f(1)=14．
（1）确定f（x）的解析式；
（2）证明f（x）在（﹣3，3）上的单调性；
（3）解关于t的不等式f（t﹣1）+f（t）＜0．
【解题思路】（1）由题意，根据f（0）＝0、f（1）=14，求出b和a的值，可得函数的解析式．
（2）由题意，利用单调性函数的定义，证明函数的单调性．
（3）由题意，利用函数的定义域和单调性解不等式，求得t的范围．
【解答过程】解：（1）∵函数f(x)=ax−b9−x2是定义在（﹣3，3）上的奇函数，则f(0)=−b9=0，解可得b＝0．
又由f（1）=14，则有f(1)=a8=14，解可得a＝2，故f(x)=2x9−x2．
（2）由（1）的结论，f(x)=2x9−x2，设﹣3＜x1＜x2＜3，
则 f(x1)−f(x2)=2x19−x12−2x29−x22=2x1(9−x22)−2x2(9−x12)(9−x12)(9−x22)=2(9+x1x2)(x1−x2)(9−x12)(9−x22)，
再根据﹣3＜x1＜x2＜3，可得9+x1x2＞0，x1﹣x2＜0，9−x12＞0，9−x22＞0，
故有f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），
可得函数f（x）在（﹣3，3）上为增函数．
（3）由（1）（2）知f（x）为奇函数且在（﹣3，3）上为增函数，
关于t的不等式f（t﹣1）+f（t）＜0，即式f（t﹣1）＜﹣f（t）＝f（﹣t），
可得−3＜t−3＜3−3＜t＜3t−1＜−t，解可得：−2＜t＜12，
即不等式的解集为(−2，12)．
8．（2022秋•连云区校级月考）已知f（x）是定义在（﹣1，1）上的奇函数，且当0＜x＜1时，f(x)=9x9x+3．
（1）求f（x）在（﹣1，1）上的解析式和值域；
（2）求f(12022)+f(32022)+f(52022)+⋯+f(20212022)的值．
【解题思路】（1）先设﹣1＜x＜0时，0＜﹣x＜1，结合已知0＜x＜1上的函数解析式及奇函数定义可求﹣1＜x＜0时的函数解析式，再根据奇函数性质可求f（0），进而可求函数解析式，结合指数函数的性质及反比例函数性质可求函数值域；
（2）由题意可求得f(x)+f(1−x)=9x9x+3+91−x91−x+3=9x9x+3+99+3⋅9x=1，代入即可求解．
【解答过程】解：（1）当﹣1＜x＜0时，0＜﹣x＜1，f(−x)=9−x9−x+3=11+3⋅9x，
因为f（x）是（﹣1，1）上的奇函数，所以f(x)=−f(−x)=−11+3⋅9x，
当x＝0时，f（0）＝0，
所以，f（x）在（﹣1，1）上的解析式为f（x）=−11+3⋅9x，−1＜x＜00，x=09x3+9x，0＜x＜1；
当﹣1＜x＜0时，9x∈(19，1)，1+3⋅9x∈(43，4)，−11+3⋅9x∈(−34，−14)，
当0＜x＜1时，9x∈（1，9），1+−39x+3∈(14，34)，
所以，f（x）在（﹣1，1）上的值域为(−34，−14)∪{0}∪(14，34)；
（2）当0＜x＜1时，f(x)=9x9x+3，
所以f（x）+f（1﹣x）=9x9x+3+91−x3+91−x=9x9x+3+99+3⋅9x=1，
所以f(12022)+f(20212022)=f(32022)+(20192022)=f(52022)+f(20172022)=⋯=1，
故f(12022)+f(32022)+f(52022)+⋯+f(20212022)=10112．
9．（2022秋•余姚市校级月考）已知函数f（x）=x2+2x+ax．
（1）若g（x）＝f（x）﹣2，判断g（x）的奇偶性并加以证明；
（2）当a=12时，先用定义法证明函数f（x）在[1，+∞）上单调递增，再求函数f（x）在[1，+∞）上的最小值；
（3）若对任意x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围．
【解题思路】（1）由函数的奇偶性的定义，即可得出答案．
（2）当a=12时，f（x）＝x+12x+2，由函数单调性的定义，即可得出答案．
（3）根据题意可得x2+2x+a＞0x≥1，问题转化为a大于函数φ（x）＝﹣（x2+2x）在[1，+∞）上的最大值，即可得出答案．
【解答过程】解：（1）g（x）为奇函数．
证明：g(x)=f(x)−2=x+ax(x≠0)，
函数g（x）的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，
g（﹣x）＝﹣x−ax=−（x+ax）＝﹣g（x），
所以g（x）是奇函数．
（2）当a=12时，f（x）＝x+12x+2，
∀x1，x2∈[1，+∞），且x1＜x2，
所以f(x1)−f(x2)=(x1−x2)(2x1x2−1)2x1x2＜0，
所以函数f（x）在[1，+∞）上单调递增，
所以函数f（x）在[1，+∞）上的最小值为f(1)=72．
（3）若对任意x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，
则{x2+2x+a＞0，x≥1，⇔a＞−(x2+2x)，x≥1．
所以问题转化为a大于函数φ（x）＝﹣（x2+2x）在[1，+∞）上的最大值，
又函数φ（x）在[1，+∞）上单调递减，
所以φ（x）最大值为φ（1）＝﹣3，
所以实数a的取值范围是（﹣3，+∞）．
10．（2022秋•鸡东县校级月考）已知函数f（x）＝﹣x|x﹣a|+1（x∈R）．
（1）当a＝2时，试写出函数g（x）＝f（x）﹣x的单调区间；
（2）当a＞1时，求函数f（x）在[1，3]上的最大值．
【解题思路】（1）将a＝2代入，并把函数g（x）化为分段函数的形式，结合二次函数的性质即可得出答案；
（2）作出f（x）的大致图象，结合图象可知f（x）在[1，3]上的最大值在f（1），f（3），f（a）中取得，然后分类讨论得解．
【解答过程】解：（1）当a＝2时，f(x)=−x|x−2|+1=x2−2x+1(x＜2)−x2+2x+1(x≥2)，
所以g(x)=f(x)−x=x2−3x+1(x＜2)−x2+x+1(x≥2)，
当x＜2时，g（x）＝x2﹣3x+1，其图象开口向上，对称轴方程为x=32，所以g（x）在(−∞，32]上单调递减，在(32，2)上单调递增；
当x≥2时，g（x）＝﹣x2+x+1，其图象开口向下，对称轴方程为x=12，所以g（x）在[2，+∞）上单调递减．
综上可知，g（x）的单调递减区间为(−∞，32]和[2，+∞），单调递增区间为(32，2)．
（2）由题知，f(x)=−x2+ax+1(x≥a)，x2−ax+1(x＜a)，作出大致图象如图：
易得f（0）＝f（a）＝1，f(a2)=1−a24，所以可判断f（x）在[1，3]上的最大值在f（1），f（3），f（a）中取得．
当1＜a≤3时，f（x）max＝f（a）＝1．
当a＞3时，f（x）在[1，a2]上单调递减，在(a2，3]上单调递增，
又(a2−1)−(3−a2)=a−4，所以，
若3＜a＜4，则f（x）max＝f（3）＝10﹣3a；
若a≥4，则f（x）max＝f（1）＝2﹣a．
综上可知，在区间[1，3]上，f(x)max=1(1＜a≤3)10−3a(3＜a＜4)2−a(a≥4)．
11．（2022秋•鸡东县校级月考）已知幂函数f（x）＝（2m2+9m﹣4）xm在（﹣∞，0）上为减函数．
（1）试求函数f（x）解析式；
（2）判断函数f（x）的奇偶性并写出其单调区间．
【解题思路】（1）根据幂函数的定义，令2m2+9m﹣4＝1，求出m的值，再判断m是否满足幂函数在x∈（﹣∞，0）上为减函数即可．
（2）利用奇偶性的定义判断奇偶性，利用幂函数的性质求出单调区间．
【解答过程】解：（1）∵f（x）＝（2m2+9m﹣4）xm为幂函数，
∴2m2+9m﹣4＝1，即2m2+9m﹣5＝0，解得m=12或m＝﹣5，
当m=12时，函数f（x）在区间（﹣∞，0）上无意义，
∴m＝﹣5，则f（x）＝x﹣5．
（2）∵f(x)=x−5=1x5的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），其关于原点对称，
∵f(−x)=1(−x)5=−1x5=−f(x)，∴幂函数为奇函数，
当x＞0时，根据幂函数的性质可知f（x）＝x﹣5在（0，+∞）上为减函数，
∵函数f（x）是奇函数，∴在（﹣∞，0）上也为减函数，
故其单调减区间为（﹣∞，0），（0，+∞）．
12．（2021秋•广西月考）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≤0时，f（x）＝x2+2x．
（1）现已画出函数f（x）在x轴左侧的图象，如图所示，请补全函数f（x）的图象并求f（3）的值；
（2）求函数f（x）的解析式．
【解题思路】（1）根据奇函数的图象关于原点对称，作图即可；由f（3）＝﹣f（﹣3），代入运算，得解；
（2）令x＞0，则﹣x＜0，代入f（x）的解析式中，并根据f（x）＝﹣f（﹣x），得解．
【解答过程】解：（1）图象如图所示：
因为f（x）为奇函数，所以f（3）＝﹣f（﹣3）＝﹣[（﹣3）2﹣2•3]＝﹣3．
（2）当x＞0时，﹣x＜0，
所以f（﹣x）＝（﹣x）2+2（﹣x）＝x2﹣2x，
因为f（x）为奇函数，所以f（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣x2+2x，
故f（x）的解析式为f(x)=x2+2x，x≤0−x2+2x，x＞0．
13．（2022春•项城市校级期末）已知幂函数f（x）＝（a2﹣3a+3）xa为偶函数．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若函数g（x）＝f（x）+（2m﹣1）x﹣3在[﹣1，3]上的最大值为2，求实数m的值．
【解题思路】（1）根据幂函数的定义及性质求出参数a，即可得解．
（2）首先得到g（x）的解析式，再对对称轴与区间中点的关系分类讨论，即可求出函数的最大值，从而求出参数的值．
【解答过程】解：（1）因为f（x）＝（a2﹣3a+3）xa为幂函数，
所以a2﹣3a+3＝1，解得a＝2或a＝1，
因为f（x）为偶函数，
所以a＝2，故f（x）的解析式f（x）＝x2．
（2）由（1）知g（x）＝x2+（2m﹣1）x﹣3，对称轴为x=1−2m2，开口向上，
当1−2m2≤1，即m≥−12时，g（x）max＝g（3）＝3+6m＝2，即m=−16；
当1−2m2＞1，即m＜−12时，g（x）max＝g（﹣1）＝﹣1﹣2m＝2，即m=−32；
综上所述：m=−16或m=−32．
14．（2022春•三元区校级月考）已知f（x）为R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝x2﹣2x．
（1）求f（﹣2）；
（2）求f（x）的解析式；
（3）画y＝f（x）的草图，并通过图像写出y＝f（x）的单调区间．
【解题思路】（1）由已知先求f（2），然后结合奇函数定义可求；
（2）由已知区间上函数解析式，结合奇函数定义及性质可求；
（3）结合二次函数的图象及性质即可求解．
【解答过程】解：（1）因为f（x）为R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝x2﹣2x．
所以f（2）＝0，
则f（﹣2）＝﹣f（2）＝0；
（2）当x＝0时，f（x）＝0，
当x＜0时，﹣x＞0，f（x）＝x2+2x＝﹣f（x），
所以f（x）＝﹣x2﹣2x，
∴f（x）=x2−2x，x＞00，x=0−x2−2x，x＜0，
（3）结合函数图象可知，函数的增区间为（﹣∞，﹣1）和（1，+∞），减区间为（﹣1，1）．
15．（2022春•济宁期末）已知函数f(x)=13(a−2)x2+(b−8)x+c−1(x∈R)．
（1）如果函数f（x）为幂函数，试求实数a、b、c的值；
（2）如果a＞0、b＞0，且函数f（x）在区间[12，3]上单调递减，试求ab的最大值．
【解题思路】（1）根据幂函数的定义得到方程组，解得即可；
（2）分a＝2、a＞2、0＜a＜2三种情况讨论，结合二次函数的性质及基本不等式计算可得．
【解答过程】解：（1）由f（x）为幂函数知：
13(a−2)=1b−8=0c−1=0或13(a−2)=0b−8=1c−1=0．
解得：a＝5，b＝8，c＝1，或a＝2，b＝9，c＝1．
（2）①当a＝2时，f（x）＝（b﹣8）x+c﹣1（x∈R）
由题意知，0＜b＜8，所以ab＜16．
②当a＞2时，函数f（x）图象的对称轴为x=3(8−b)2(a−2)，
以题意得：3(8−b)2(a−2)≥3，即2a+b≤12
所以12≥2a+b≥22ab，ab≤18．
当且仅当a＝3，b＝6时取等号．
③当0＜a＜2时，
以题意得：3(8−b)2(a−2)≤12，即a+3b≤26，即0＜b≤13(26−a)
又因为0＜a＜2，
所以0＜ab≤13a(26−a)=−13(a−13)2+1693＜−13(2−13)2+1693=16
综上可得，ab的最大值为18．
16．（2022春•渭滨区期末）设f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）＝x2．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若对任意的x∈[a，a+1]，不等式f(x+2a)≥4f(x)恒成立，求实数a的取值范围．
【解题思路】（1）由函数f（x）是定义再R上的奇函数，得f（0）＝0，再求当x＜0时，f（x）的解析式，即可得出答案．
（2）不等式f（x+2a）≥4f（x）恒成立，等价于f（x+2a）≥f（2x）恒成立，根据f（x）的单调性，得x+2a≥2x，只需a≥[22x]max，即可得出答案．
【解答过程】解：（1）因为函数f（x）是定义再R上的奇函数，
所以f（0）＝0，
又当x＞0时，f（x）＝x2，
所以当x＜0时，﹣x＞0，
所以f（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣x2，
所以函数f（x）的解析式为f（x）=x2，x≥0−x2，x＜0．
（2）因为4x2＝（2x）2，
所以不等式f（x+2a）≥4f（x）恒成立，等价于f（x+2a）≥f（2x）恒成立，
因为函数f（x）是定义在R上的增函数，
所以x+2a≥2x，即a≥22x，
因为x∈[a，a+1]，
所以[22x]max=22（a+1），
所以a≥22（a+1），
解得a≥2+1，
所以a的取值范围为[2+1，+∞）．
17．（2022春•江西期中）已知函数f(x)=x2−2ax+a2−a，x≤0，x+4x−a，x＞0．
（1）用定义法证明f（x）在（0，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增；
（2）若f（x）的最小值是6，求a的值．
【解题思路】（1）先设x1＞x2＞0，然后利用作差法比较f（x1）与f（x2）的大小即可判断；
（2）结合（1）中对函数单调性的研究，对a进行分类讨论可求函数最小值，从而建立关于a的方程，进一步求出a的值．
【解答过程】解：（1）证明：对任意的x1＞x2＞0，
f(x1)−f(x2)=x1+4x1−a−(x2+4x2−a)=(x1−x2)(x1x2−4)x1x2．
当0＜x2＜x1＜2时，x1﹣x2＞0，0＜x1x2＜4，
则(x1−x2)(x1x2−4)x1x2＜0，即f（x1）＜f（x2）；
当x1＞x2＞2时，x1﹣x2＞0，x1x2＞4，
则(x1−x2)(x1x2−4)x1x2＞0，即f（x1）＞f（x2）．
故f（x）在（0，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增．
（2）由（1）可知f（x）在（0，+∞）上的最小值是f（2）＝4﹣a．
当x≤0时，f（x）＝x2﹣2ax+a2﹣a，其图象的对称轴方程是直线x＝a．
①若a≥0，f（x）在（﹣∞，0]上单调递减，
则f（x）在（﹣∞，0]上的最小值是f（0）＝a2﹣a．
②若a＜0，f（x）在（﹣∞，a）上单调递减，在（a，0]上单调递增，
则f（x）在（﹣∞，0]上的最小值是f（a）＝﹣a．
综上，f（x）min=4−a，a＞2a2−a，0≤a≤2−a，a＜0，
因为f（x）的最小值是6，
所以a＞24−a=6或0≤a≤2a2−a=6或a＜0−a=6，
解得a＝﹣6．
18．（2022春•安徽期中）已知是定义在R上的奇函数f（x），当x≥0时，f（x）＝﹣x2+2x．
（1）求出函数f（x）的解析式并画出f（x）的简图（不必列表）；
（2）若函数在区间[a，a+1]上单调，求实数a的取值范围．
【解题思路】（1）根据奇函数的定义求解即可；
（2）根据 （1）中函数的图象确定单调区间，再求解即可．
【解答过程】解：（1）设x＜0，则﹣x＞0，
所以f（﹣x）＝﹣（﹣x）2+2（﹣x）＝﹣x2﹣2x，
又f（x）为奇函数，所以f（x）＝x2+2x（x＜0），
综上：f（x）=−x2+2x，x≥0x2+2x，x＜0，函数f（x）的简图如下图所示：
（2）由图象可得f（x）在（﹣∞，﹣1]，[1，+∞）上单调递减，在[﹣1，1]上单调递增，
所以有：a+1≤﹣1或a≥−1a+1≤1或a≥1，解得a≤﹣2或﹣1≤a≤0或a≥1．
所以a的取值范围为：（﹣∞，﹣2]∪[﹣1，0]∪[1，+∞）．
19．（2022春•天心区校级期中）已知f（x）是定义在R上的偶函数，f（0）＝0，当x＜0时，f（x）＝x2+4x．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）在区间[﹣6，m]上的值域．
【解题思路】（1）根据x＜0时，f（x）＝x2+4，可得f（﹣x）的表达式，然后根据偶函数即可得．
（2）根据函数图象，结合函数的单调性，分情况讨论即可．
【解答过程】（1）解：（1）当x＞0时，﹣x＜0，
所以f（﹣x）＝（﹣x）2+4（﹣x）＝x2﹣4x；
因为f（x）为R上的偶函数，
所以f（x）＝f（﹣x）＝x2﹣4x；
又f（0）＝0，所以f(x)=x2+4x，x＜00，x=0，x2−4x，x＞0；
（2）解：作出f(x)=x2+4x，x＜00，x=0x2−4x，x＞0的大致图象如下所示：
当﹣6＜m≤﹣2时，f（x）在区间[﹣6，m]上单调递减，则f（x）在区间[﹣6，m]上的值域为[f（m），f（﹣6）]，即[m2+4m，12]；
当﹣2＜m≤6时，f（x）在区间[﹣6，m]上的最大值为f（﹣6）＝12，最小值为f（﹣2）＝﹣4，所以f（x）在[﹣6，m]上的值域为[f（﹣2），f（﹣6）]，即[﹣4，12]；
当m＞6时，f（x）在区间[﹣6，﹣2]上单调递减，在区间[﹣2，0]上单调递增，在区间[0，2]上单调递减，在区间[2，m]上单调递增，且f（m）＞f（﹣6），
则f（x）在区间[﹣6，m]上的值域为[f（﹣2），f（m）]，即[﹣4，m2﹣4m]．
20．（2022春•安徽期中）已知函数f(x)=2x+bax2+1是定义在R上的奇函数，且f（1）＝1．
（1）求a，b的值；
（2）用定义法证明f（x）在[2，6]上的单调性，并求出在[2，6]上的最大值和最小值．
【解题思路】（1）根据题意，由奇函数的性质可得f（0）＝b＝0，又由f（1）＝1可得a的值，验证可得答案；
（2）根据题意，利用作差法分析函数单调性，据此分析可得答案．
【解答过程】解：（1）根据题意，函数f(x)=2x+bax2+1是定义在R上的奇函数，
必有f（0）＝b＝0，则b＝0，
又由f（1）＝1，则f（1）=2a+1=1，解可得a＝1，
故a＝1，b＝0，
则f（x）=2xx2+1，是R上的奇函数，符合题意，
（2）证明：根据题意，由（1）的结论，f（x）=2xx2+1，
设2≤x1＜x2≤6，则f（x1）﹣f（x2）=2x1x12+1−2x2x22+1=2(x2−x1)(x1x2−1)(x12+1)(x22+1)，
又由2≤x1＜x2≤6，则f（x1）﹣f（x2）＞0，
则函数f（x）在区间[2，6]上为减函数，
则f（x）max＝f（2）=45，f（x）min＝f（6）=1237，
21．（2022春•秀峰区校级期中）已知定义R上的奇函数f（x），当x＞0时，f（x）＝x2+x+1．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）解关于x的不等式：f（ax2﹣2x）+f（2﹣ax）＞0（a∈R）．
【解题思路】（1）由f（x）为定义R上的奇函数求x＝0及x＜0时的解析式即可；
（2）结合函数的奇偶性可判断f（x）在R上单调递增，从而化不等式为ax2﹣2x＞ax﹣2，分类讨论求解集即可．
【解答过程】解：（1）∵f（x）为定义R上的奇函数，
∴f（0）＝0，
当x＜0时，f（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣[（﹣x）2﹣x+1]＝﹣x2+x﹣1，
故f（x）=x2+x+1，x＞00，x=0−x2+x−1，x＜0；
（2）∵f（ax2﹣2x）+f（2﹣ax）＞0，
∴f（ax2﹣2x）＞f（ax﹣2），
当x＞0时，f（x）单调递增且f（x）＞1，
且f（0）＝0，
故f（x）在[0，+∞）上单调递增，
又f（x）为奇函数，
故f（x）在R上单调递增，
故ax2﹣2x＞ax﹣2，
即ax2﹣（a+2）x+2＞0，
即（ax﹣2）（x﹣1）＞0，
①当a＞2时，x∈（﹣∞，2a）∪（1，+∞）；
②当a＝2时，x∈（﹣∞，1）∪（1，+∞）；
③当0＜a＜2时，x∈（﹣∞，1）∪（2a，+∞）；
④当a＝0时，x∈（﹣∞，1）；
⑤当a＜0时，x∈（2a，1）；
综上：当a＞2时，x∈（﹣∞，2a）∪（1，+∞）；
当a＝2时，x∈（﹣∞，1）∪（1，+∞）；
当0＜a＜2时，x∈（﹣∞，1）∪（2a，+∞）；
当a＝0时，x∈（﹣∞，1）；
当a＜0时，x∈（2a，1）．
22．（2021秋•贵阳期末）已知函数y＝f（x）是（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数，当x＜0时，f(x)=−3x+1．
（1）用单调性定义证明函数y＝f（x）在（﹣∞，0）上单调递增；
（2）求当x＞0时，函数f（x）的解析式．
【解题思路】（1）先设x1＜x2＜0，然后利用作差法比较f（x1）与f（x2）的大小即可判断；
（2）先设x＞0，则﹣x＜0，然后根据已知x＜0时函数解析式及偶函数定义可求．
【解答过程】（1）证明：当x＜0时，f(x)=−3x+1，
设x1＜x2＜0，则f（x1）﹣f（x2）=3x2−3x1=3(x1−x2)x1x2＜0，
所以f（x1）＜f（x2），
所以y＝f（x）在（﹣∞，0）上单调递增；
（2）解：当x＞0，﹣x＜0，
因为x＜0时，f(x)=−3x+1，
f（﹣x）=−3−x+1＝1+3x=f（x），
故x＞0时，f(x)=3x+1．
23．（2021秋•大荔县期末）已知函数f（x）=x+bax2+1是定义在[﹣1，1]上的奇函数，且f（1）=12．
（1）求a，b的值；
（2）判断f（x）在[﹣1，1]上的单调性，并用定义证明．
【解题思路】（1）根据函数f（x）是定义在[﹣1，1]上的奇函数得f（0）＝0，即b＝0；再由f（1）=12求得a的值；
（2）利用函数单调性的定义判断并证明即可．
【解答过程】解：（1）因为函数f（x）是定义在[﹣1，1]上的奇函数，
所以f（0）＝0，即b＝0；
又f（1）=12，即1a+1=12，解得a＝1；
故a＝1，b＝0；
（2）由（1）知f（x）=xx2+1，f（x）在[﹣1，1]上单调递增，
证明如下：设﹣1≤x1＜x2≤1，
则f（x1）﹣f（x2）=x1x12+1−x2x22+1=(x1x2−1)(x2−x1)(x12+1)(x22+1)，
其中x1x2﹣1＜0，x2﹣x1＞0，
所以f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），
故函数f（x）在[﹣1，1]上单调递增．
24．（2021秋•凉山州期末）已知函数f(x)=xx2+1+1．
（1）判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；
（2）用单调性定义证明：f（x）在（﹣1，1）上单调递增．
【解题思路】（1）函数f（x）既不是奇函数也不是偶函数，利用函数奇偶性的定义证明即可；
（2）利用单调性的定义证明即可．
【解答过程】解：（1）函数f（x）既不是奇函数也不是偶函数．理由如下：
函数f(x)=xx2+1+1的定义域为R，关于原点对称，
∵f(1)=32，f(−1)=12，
则f（﹣1）≠f（1）与f（﹣x）＝f（x）恒成立矛盾，∴f（x）不是偶函数；
又f（﹣1）≠﹣f（1）与f（﹣x）＝﹣f（x）恒成立矛盾，∴f（x）不是奇函数．
综上，函数f（x）既不是奇函数也不是偶函数．
（2）证明：设x1，x2∈（﹣1，1），且x1＜x2，f(x1)−f(x2)=x1x12+1−x2x22+1=x1(x22+1)−x2(x12+1)(x12+1)⋅(x22+1)=(x1−x2)(1−x2x2)(x12+1)⋅(x22+1)，
因为x1，x2∈（﹣1，1），且x1＜x2，
所以x1﹣x2＜0，﹣1＜x1•x2＜1，1﹣x1•x2＞0，
所以f（x1）﹣f（x2）＜0，f（x1）＜f（x2），
所以f（x）在（﹣1，1）上单调递增．
25．（2021秋•凉山州期末）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝x2．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求关于m的不等式式f（2m﹣8）+f（5﹣m）＞0的解集．
【解题思路】（1）结合奇函数的定义及性质分别求出x＜0及x＝0时函数解析式即可；
（2）先判断函数的单调性，然后结合单调性及奇偶性即可求解．
【解答过程】解：（1）∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，
∴f（﹣x）＝﹣f（x），
∴当x＝0时，f（0）＝0；
当x＜0时，﹣x＞0，
f（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣（﹣x）2＝﹣x2．
∴f(x)=x2，x＞0−x2，x≤0；
（2）∵函数f（x）为奇函数，
∴f（2m﹣8）+f（5﹣m）＞0⇔f（2m﹣8）＞﹣f（5﹣m）＝f（m﹣5）
因为f（x）＝x2在[0，+∞）上递增，且f（x）为奇函数，
所以f（x）在R单调递增，∴2m﹣8＞m﹣5，解得：m＞3，
故不等式的解集是{m|m＞3}．
26．（2021秋•秦皇岛期末）已知函数f(x)=x−1x．
（1）判断f（x）在区间（0，+∞）上的单调性，并用定义证明；
（2）判断f（x）的奇偶性，并求f（x）在区间[﹣2，﹣1]上的值域．
【解题思路】（1）设0＜x1＜x2，然后利用作差法比较f（x1）与f（x2）的大小即可判断；
（2）利用函数的单调性及奇偶性即可求解．
【解答过程】解：（1）f（x）在区间（0，+∞）上单调递增，证明如下：
∀x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，
有f(x1)−f(x2)=(x1−1x1)−(x2−1x2)=(x1−x2)+（1x2−1x1）=x1−x2x1x2(x1x2+1)．
因为x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，所以x1x2＞0，x1﹣x2＜0．
于是x1−x2x1x2(x1x2+1)＜0，即f（x1）＜f（x2）．
故f（x）在区间（0，+∞）上单调递增．
（2）f（x）的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞）．
因为f(−x)=−x+1x=−f(x)，
所以f（x）为奇函数．
由（1）得f（x）在区间（0，+∞）上单调递增，
结合奇偶性可得f（x）在区间（﹣∞，0）上单调递增．
又因为f(−2)=−32，f(−1)=0，
所以f（x）在区间[﹣2，﹣1]上的值域为[−32，0]．
27．（2021秋•滕州市期末）已知函数f(x)≡mx+11+x2是R上的偶函数
（1）求实数m的值，判断函数f（x）在[0，+∞）上的单调性（不必证明）；
（2）求函数f（x）在[﹣3，2]上的最小值．
【解题思路】（1）利用函数的奇偶性的定义求出m＝0即可．
（2）先判断函数的单调性，再利用单调性求最值即可．
【解答过程】解：（1）若函数f(x)=mx+11+x2是R上的偶函数，则f（﹣x）＝f（x），
即m(−x)+11+(−x)2=mx+11+x2，解得m＝0，
所以f(x)=11+x2，
函数函数f（x）在[0+∞）上单调递减．
（2）由（1）知函数f（x）在[0+∞）上单调递减，
又函数f（x）是R上的偶函数，
所以函数f（x）在（﹣∞，0]上为增函数，
所以函数f（x）在[﹣3，0]上为增函数，在[0，2]上为减函数．
又f(−3)=110，f(0)=1，f(2)=15，
所以f(x)min=f(−3)=110．
28．（2021秋•丽江期末）已知定义在R上的偶函数f（x），当x≥0时，f（x）＝x2﹣4x+3．
（1）求函数f（x）在R上的解析式；
（2）若函数f（x）在区间[﹣1，a﹣2]上单调递增，求实数a的取值范围．
【解题思路】（1）利用偶函数的对称性进行转化求解即可．
（2）作出函数f（x）的图象，利用函数的单调性建立不等式进行求解即可．
【解答过程】解：（1）若x＜0，则﹣x＞0，
∵x≥0时，f（x）＝x2﹣4x+3．
∴当﹣x＞0时，f（﹣x）＝x2+4x+3，
∵f（x）是偶函数，
∴f（﹣x）＝f（x），
即f（﹣x）＝x2+4x+3＝f（x），
则f（x）＝x2+4x+3，（x＜0），
综上f（x）=x2−4x+3，x≥0x2+4x+3，x＜0．
（2）作出f（x）的图象如图：
则函数f（x）在[﹣2，0]上单调递增，
若f（x）在区间[﹣1，a﹣2]上单调递增，
则﹣1＜a﹣2≤0，得1＜a≤2，
即实数a的取值范围是（1，2]．
29．（2021秋•张家口期末）已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），且对一切m＞0，n＞0，都有f(mn)=f(m)−f(n)+2，当x＞1时，总有f（x）＜2．
（1）求f（1）的值；
（2）证明：f（x）是定义域上的减函数；
（3）若f（4）＝1，解不等式f（x﹣2）﹣f（8﹣2x）＜﹣1．
【解题思路】（1）由已知令m＝n＝1可求f（1）；
（2）结合单调性定义先设x1＜x2，结合已知x＞1时f（x）＜2可证；
（3）结合（2）中单调性进行转化即可求解．
【解答过程】解：（1）因为对一切m＞0，n＞0，都有f(mn)=f(m)−f(n)+2，
令m＝n＝1，则f（1）＝2；
（2）设0＜x1＜x2，则x2x1＞1，
所以f（x2x1）＜2，
f（x2）﹣f（x1）＝f（x2x1）﹣2＜0，
所以f（x2）＜f（x1），
所以f（x）在（0，+∞）上单调递减；
（3）由f（x﹣2）﹣f（8﹣2x）＜﹣1得f（x−28−2x）﹣2＜﹣1，
所以f（x−28−2x）＜1＝f（4），
因为f（x）在（0，+∞）上单调递减，
所以x−28−2x＞4，
所以x−2＞08−2x＞0x−2＞32−8x，
解得349＜x＜4，
故不等式的解集为（349，4）．
30．（2022春•慈溪市月考）已知函数f（x）＝|2x﹣a|+3a，a∈R．
（1）若函数f（x）为偶函数，求a的值；
（2）设函数g(x)=f(x)−8x(x∈[1，4])，已知当a∈[2，8]时，g（x）存在最大值，记为M（a）．
（ⅰ）求M（a）的表达式；
（ⅱ）求M（a）的最大值．
【解题思路】（1）根据偶函数的性质f（﹣x）＝f（x）得到方程，解得即可；
（2）（i）首先可得g（x）=−2(x+4x)+4a，1≤x≤a22(x−4x)+2a，a2＜x≤4，再分段结合对勾函数及y＝x−4x的性质分别求出函数的最大值，再判断各段最大值的大小关系，即可得到M（a）；
（ii）根据函数的单调性计算可得．
【解答过程】解：（1）因为f（x）＝|2x﹣a|+3a为偶函数，所以f（﹣x）＝f（x），
即|2（﹣x）﹣a|+3a＝|2x﹣a|+3a，即|﹣2x﹣a|＝|2x﹣a|，所以（﹣2x﹣a）2＝（2x﹣a）2，
即8ax＝0，所以a＝0；
（2）（i）因为g(x)=f(x)−8x(x∈[1，4])，
所以g（x）＝|2x﹣a|+3a−8x，因为a∈[2，8]，
所以g（x）＝|2x﹣a|+3a−8x=−2(x+4x)+4a，1≤x≤a22(x−4x)+2a，a2＜x≤4，
①当1≤x≤a2时，g（x）＝﹣2（x+4x）+4a，
因为y＝x+4x在（0，2]上单调递减，在[2，+∞）上单调递增，
所以当a2≤2，即a∈[2，4]时，g（x）max＝g（a2）＝3a−16a，
当a2＞2，即a∈（4，8]时，g（x）max＝g（2）＝4a﹣8；
②当a2＜x≤4时，g（x）＝2（x−4x）+2a，
又y＝x−4x在（0，+∞）上单调递增，
所以g（x）max＝g（4）＝2a+6，
因为3a−16a−（2a+6）＝a−16a−6＜0，
所以当a∈[2，4]时，g（x）max＝2a+6，
又4a﹣8﹣（2a+6）＝2a﹣14，
所以当2≤a≤7时，g（x）max＝2a+6，当7＜a≤8时，g（x）max＝4a﹣8，
综上可得：M（a）=2a+6，2≤a≤74a−8，7＜a≤8；
（ii）因为函数M（a）＝2a+6，a∈[2，7]与M（a）＝4a﹣8，a∈（7，8]均在定义域上单调递增，
又M（7）＝23，M（8）＝24，
所以M（a）max＝24．