浙江省91高中联盟2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题（Word版附解析）

这是一份浙江省91高中联盟2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题（Word版附解析），共23页。

1．本卷满分150分，考试时间120分钟；
2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场、座位号及准考证号并核对条形码信息；
3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效，考试结束后，只需上交答题卷；
4．参加联批学校的学生可关注“启望教育”公众号查询个人成绩分析.
一．单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 直线的倾斜角是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】将直线方程化为斜截式，从而得到直线的斜率与倾斜角.
【详解】直线，即，则直线的斜率，
所以倾斜角为.
故选：D
2. 若复数z满足：，则复数z的虚部为（ ）
A. B. 2C. 3D.
【答案】A
【解析】
【分析】先根据复数的除法运算求解出，然后判断出的虚部即可.
【详解】因为，所以，
所以的虚部为，
故选：A.
3. “”是“”成立的
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【详解】由 ，解得 ，所以“”是“”成立的必要不充分条件.故选B.
4. 若函数的图象关于直线对称，则的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用余弦函数对称轴列式，计算即可得解.
【详解】由题意
，，，，，…，
则的最小值是，
故选：C
5. 在直三棱柱中，分别为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设，取的中点，连接，则可得为异面直线与所成的角或补角，然后在中求解即可.
【详解】设，取的中点，连接，则
因为分别为的中点，所以∥，，
因为∥，，所以∥，，
所以四边形为平行四边形，所以∥，
所以为异面直线与所成的角或补角.
因为分别为的中点，
所以，
所以.
故选：D

6. 若关于x的不等式在上有解，则实数m的最小值为（ ）
A. 9B. 5C. 6D.
【答案】B
【解析】
【分析】先通过分离参数得到，然后利用基本不等式求解出的最小值，则的最小值可求.
【详解】因为在上有解，所以在上有解，
所以，
又因为，当且仅当即时取等号，
所以，所以，即的最小值为，
故选：B.
7. 设椭圆：与双曲线：的离心率分别为，，且双曲线的渐近线的斜率小于，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由双曲线的渐近线的斜率小于，即可得出，由此即可求出的取值范围，从而求解
【详解】由题意得，，，
所以，
又因为双曲线的渐近线的斜率小于，得，
所以，即，得，故C正确.
故选：C.
8. 如图，四棱锥中，，，是正三角形，，平面平面，若点F是所在平面内的动点，且满足，点E是棱PC（包含端点）上的动点，则当直线AE与CD所成角取最小值时，线段EF的长度不可能为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由三余弦定理确定直线AE与CD所成角取最小值时点的位置，根据椭圆定义确定点的轨迹，在平面内，以为坐标原点，为轴建立平面直角坐标系，求椭圆方程，求范围；因为平面，所以，根据勾股定理求.
【详解】
三余弦定理：如图直线与平面相交于点，
过作平面,垂足，为平面内一直线,
过向引垂线且垂足为，连结，
因为平面，,
又因为,且,
所以平面，所以
所以,,,
设,,,
,,,
所以；
因为是正三角形，所以,,
又因为，所以,
在中，,,，由余弦定理有：
，解得,
满足,所以,
过作于点,
因为平面平面，平面平面,
由面面垂直的性质可知,
又,所以平面；
因为AE与CD所成的角等于AE与AB所成的角设为，即，
由三余弦定理得：，此时E与C重合，
设AD的中点为O，因为是正三角形，,
则，
根据已知条件，点F的轨迹满足椭圆定义，
设椭圆方程为，
因为，所以，
因为，所以，
因为，所以点F的轨迹是椭圆，，所以,
在平面内，以为坐标原点，为轴建立平面直角坐标系，
椭圆方程为，设，则，
又因为,,,
所以平面,,,
所以平面，
因为平面，所以,
所以，
又因为，所以，
所以，
故选：A
【点睛】三余弦定理的应用，利用椭圆方程求的范围，利用垂直关系转化边长求范围.
二．多项选择题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分．在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错或不选的得0分）
9. 下列命题正确的是（ ）
A. 集合子集共有8个
B. 若直线：与：垂直，则
C. 若（x，），则的最大值为5
D. 长、宽、高分别为1、2、3的长方体的外接球的表面积是
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据子集的概念求出子集判断A，利用两直线垂直的公式列式计算判断B，换元法利用余弦函数的最值判断C，根据长方体的外接球的直径为体对角线求解半径，代入球的表面积公式计算判断D.
【详解】集合的子集有，，，，，，，共个，
故A正确；
因为直线：与：垂直，则，
即，解得或1，故B错误；
由设，，则，
故C正确；
由长方体的体对角线为其外接球的直径知：，所以，
所以长方体的外接球的表面积是，故D正确；
故选：ACD
10. 已知向量，，则下列命题正确的是（ ）
A. 不存在，使得B. 当时，
C. 对任意，都有D. 当时，在方向上的投影向量的模为
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据向量间运算与三角恒等变换逐项判断即可.
【详解】对于A，若，则有
不存在，故A正确；
对于B，若，则
，故B正确；
若，存在，故C不正确；
其中
所以，
，故D正确；
故选：ABD
11. 已知直线l：，：，则下列结论正确的是（ ）
A. 直线l恒过定点
B. 直线l与必定相交
C. 与：公共弦所在直线方程为
D. 当时，直线l与的相交弦长是
【答案】BC
【解析】
【分析】求出直线过的定点判断A；由点与圆的位置关系判断B；求出公共弦所在直线方程判断C；利用圆的弦长公式计算判断D.
【详解】依题意，直线：，由，解得，直线恒过定点，A错误；
显然点在内，则直线与必定相交，B正确；
的圆心，半径，的圆心，半径，，
即与相交，把两个圆的方程相减得公共弦所在直线方程，即，C正确；
当时，直线：，点到直线的距离，，
因此直线l与的相交弦长为，D错误.
故选：BC
12. 设椭圆C：的左、右焦点分别为、，椭圆C的右顶点为A，点P、Q都在椭圆C上且P、Q关于原点对称，直线与椭圆C相交于点M、N，则下列说法正确的是（ ）
A. 四边形不可能是矩形
B. 周长的最小值为6
C. 直线PA，QA的斜率之积为定值
D. 当的周长最大时，的面积是
【答案】BCD
【解析】
【分析】A：先判断出四边形是平行四边形，然后根据对角线长度的关系判断即可；
B：利用椭圆的定义以及的范围求解出周长的最小值；
C：利用坐标表示出斜率关系，然后根据点在椭圆上化简运算，从而求得结果；
D：将点设为，然后表示出的周长，结合三角形函数确定出周长最小时的值，从而可求面积.
【详解】对于A：因为点平分，所以四边形是平行四边形，
又因为，且，所以，
所以，所以有可能成立，故A不正确；
对于B：因为四边形是平行四边形，所以，
所以周长为，故B正确；
对于C：因为，设，所以，
所以，故C正确；
对于D：由题意可知，设，，
所以，
所以的周长为，
当且仅当，即时取等号，
所以，故D正确；
故选：BCD.
【点睛】关键点点睛：本题考查椭圆性质的综合运用，其中涉及到焦点三角形、定值等问题，着重考查学生的转化与计算能力，难度较大.C项的解答关键在于表示完斜率乘积后利用点所满足的椭圆方程进行化简计算，D项的解答关键在于将点的坐标设为三角函数形式，利用三角形函数的取值范围进行分析求解.
三．填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡相应的横线上）
13. 若双曲线上一点与它的一个焦点的距离为，则点与另一个焦点的距离为________．
【答案】或
【解析】
【分析】化双曲线方程为标准方程，利用双曲线定义求解.
【详解】因为，所以，，，
设点与另一个焦点的距离为，
则由双曲线的定义得，，解得或.
故答案为：或
14. 已知一个圆锥的侧面积为，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的体积为___________.
【答案】
【解析】
【分析】设圆锥的底面半径为，母线长为，分析得出，由圆锥的侧面积计算出、的值，可求得圆锥的高，再利用圆锥的体积公式可求得结果.
【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为，则圆锥的底面圆周长为，可得，
圆锥的侧面积为，解得，，
所以，圆锥的高为，
因此，该圆锥的体积为.
故答案为：.
15. 若直线l：与曲线C：只有一个公共点，则实数m的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】先对曲线C进行变形，可知其表示圆的上半部分，画出曲线C及直线l，采用数形结合即可求得结果．
【详解】因为曲线，可化为，
所以曲线C是以为圆心，3为半径的圆的上半部分，
直线的斜率为，在轴上的截距为，画图如下：
由于直线与曲线只有一个公共点，
由图得：，
当直线与圆相切时，则，由图可知，
综上：或．
故答案为：．
16. 已知扇形OPQ中，半径，圆心角为，若要在扇形上截取一个面积为1的矩形ABCD，且一条边在扇形的一条半径上，如图所示，则的最小值为________．
【答案】
【解析】
【分析】连接，设，分别用含的三角函数表示，表示出矩形的面积，由矩形面积为1求得的最小值.
【详解】连接，设，则，
，，，
则，
则，即，
即，
∴当时，，
故答案为：
四．解答题（本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 已知的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且．
（1）求角B的大小；
（2）若，AC边上的中线，求的面积S．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由正弦定理统一为角的三角函数，化简即可得解；（2）利用中线的向量性质，结合余弦定理求出，用面积公式求的面积
【小问1详解】
，
因为，所以
【小问2详解】
18. 亚洲运动会简称亚运会，是亚洲规模最大的综合性运动会，由亚洲奥林匹克理事会的成员国轮流主办，每四年举办一届．1951年第1届亚运会在印度首都新德里举行，七十多年来亚洲运动员已成为世界体坛上一支不可忽视的力量，而中国更是世界的体育大国和亚洲的体育霸主．第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在杭州举办，为普及体育知识，增强群众体育锻炼意识，衢州举办了亚运知识竞赛活动．活动分为男子组和女子组进行，最终决赛男女各有40名选手参加，下图是其中男子组成绩的频率分布直方图（成绩介于85到145之间），
（1）求图中缺失部分的直方图的高度，并估算男子组成绩排名第8的选手分数：
（2）若计划从男子组中105分以下的选手中随机抽样调查2个同学的答题状况，则抽到的选手中至多有1位是95分以下选手的概率是多少？
（3）若女子组40位选手的平均分为117，标准差为11，试求所有选手的平均分和方差．
【答案】18. ；131
19.
20. 118；146
【解析】
【分析】（1）先求出所有矩形的面积和为1，从而可求缺失部分的面积，根据矩形面积可求得第8名的成绩位于区间分至分之间，从而求解；
（2）求得105以下合计6个人，对这6人编号后，利用列举法求解；
（3）利用平均数和方差的定义求解即可.
【小问1详解】
根据题意得：，得：，所以：图中缺失部分的直方图的高度；
因为分数位于分至分人数为：人，分数位于分至分人数：，设第名选手的分数为，则：，得：，所以可估算排名第名选手的分数为.
【小问2详解】
分数以下人数有：分至分人数：人，分至分人数：人，总共：人，
将人依次编号为，，，，，（分以下的人编号为，），任选个人的方法如下：
列举出所有样本点：，，，，，，，，，，，，，，共计种，
至多有位是分以下的选手有种，所以概率为：.
【小问3详解】
男子组位选手的平均分:，
所有选手的平均分：，女子组的方差：，
男子组的方差：
，
，
所有选手的方差：
综述：所有选手的平均分，所有选手的方差.
19. 已知双曲线C的渐近线方程是，点在双曲线C上.
（1）求双曲线C的离心率e的值；
（2）若动直线l：与双曲线C交于A，B两点，问直线MA，MB的斜率之和是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
【答案】（1）2 （2）是，3
【解析】
【分析】（1）根据双曲线的渐近线设出方程，将点的坐标代入求解方程，利用离心率公式直接求解即可；
（2）联立方程，韦达定理，代入两斜率之和表达式化简即可求解.
【小问1详解】
由双曲线C的渐近线方程是，故设C：，
因为在双曲线C上，所以，所以：，
所以，，所以，所以；
【小问2详解】
设，，联立得，
则得且，，，
又，
，
所以
.
即直线MA，MB的斜率之和是3.
20. 如图，四棱锥中，底面为矩形，，，为的中点．
（1）若，求证：；
（2）若二面角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）证明出平面，利用线面垂直的性质可证得结论成立；
（2）设的中点为，的中点为，连接、、，过点在平面内作，垂足为点，分析可知，二面角的平面角为，根据已知条件求出、的长，推导出平面，以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得的值.
【小问1详解】
证明：因为四边形为矩形，则，
因为为的中点，则，
又因为，，则为等腰直角三角形，所以，，
同理可证，所以，，即，
因为，，、平面，所以，平面，
因为平面，所以，.
【小问2详解】
证明：设的中点为，的中点为，连接、、，
过点在平面内作，垂足为点，
因为，且为的中点，
则为等边三角形，且，，
因为四边形为矩形，则且，
因为、分别为、的中点，所以，且，且，
所以，四边形为矩形，所以，，
所以，二面角的平面角为，则，
因为，则，
则，
因为，，，、平面，
所以，平面，
因为平面，则，
因为，，、平面，所以，平面，
以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、，
则，，，
设平面的法向量为，则，
取，则，所以，，
因此，直线与平面所成角的正弦值为.
21. 已知函数．
（1）当时，求函数值域；
（2）若不等式对恒成立，求实数a的最小值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据分段函数分别求各段的取值范围，然后取其并集即得. （2）首先去绝对值，分别求出和时，的最小值，结合恒成立条件解不等式即得.
【小问1详解】
（1），
①；
②；
综上：函数的值域是；
【小问2详解】
（2）去绝对值得，
当时，方程的，
，
当时，方程的，
，
①，不符题意，∴舍去；
②，，
；
综上：
22. 已知椭圆C的中心在原点，一个焦点为，且长轴长是短轴长的倍．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设过焦点F的直线l与椭圆C交于A、B两点，是椭圆的另一个焦点，若内切圆的半径，求直线l的方程．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由题意可求得，，并且，求得，，，代入椭圆标准方程可得解；
（2）设出直线方程与椭圆方程联立，根据韦达定理可得，，可求得，再根据内切圆半径可表示出，由此求得答案.
【小问1详解】
由题可得，焦点在x轴上，，，
，解得，，
所以椭圆：.
【小问2详解】
设，，设直线的方程为，
的根为，，
，，且，
又∵，，
∴，
所以直线的方程为：.