小学奥数精华讲义汇总

这是一份小学奥数精华讲义汇总，共209页。学案主要包含了裂项综合，整数裂项，换元，比例题目常用解题方式和思路，六三个年级的人数比为3 等内容，欢迎下载使用。
教学目标
本讲知识点属于计算大板块内容，分为三个方面系统复习和学习小升初常考计算题型.
1、裂项：是计算中需要发现规律、利用公式的过程，裂项与通项归纳是密不可分的，本讲要求学生掌握
裂项技巧及寻找通项进行解题的能力
2、换元：让学生能够掌握等量代换的概念，通过等量代换讲复杂算式变成简单算式。
3、循环小数与分数拆分：掌握循环小数与分数的互化，循环小数之间简单的加、减运算，涉及循环小数
与分数的主要利用运算定律进行简算的问题．
4、通项归纳法
通项归纳法也要借助于代数，将算式化简，但换元法只是将“形同”的算式用字母代替并参与计算，
使计算过程更加简便，而通项归纳法能将“形似”的复杂算式，用字母表示后化简为常见的一般形式．
知识点拨
一、裂项综合
（一）、“裂差”型运算
(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即
1
a ×b
形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a < b ，
那么有
1 1 (1 1)
a b b a a b
= −
× −
(2)对于分母上为3 个或4 个连续自然数乘积形式的分数，即：
1
n × (n +1)× (n + 2)
，
1
n × (n +1)× (n + 2)× (n + 3)
形式的，我们有：
1 1[ 1 1 ]
n (n 1) (n 2) 2 n (n 1) (n 1)(n 2)
= −
× + × + × + + +
1 1[ 1 1 ]
n (n 1) (n 2) (n 3) 3 n (n 1) (n 2) (n 1) (n 2) (n 3)
= −
× + × + × + × + × + + × + × +
裂差型裂项的三大关键特征：
（1）分子全部相同，最简单形式为都是1 的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x
提取出来即可转化为分子都是1 的运算。
（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2 个分母上的因数“首尾相接”
（3）分母上几个因数间的差是一个定值。
（二）、“裂和”型运算：
常见的裂和型运算主要有以下两种形式：
（1）
a b a b 1 1
a b a b a b b a
+
= + = +
× × ×
（2）
a2 b2 a2 b2 a b
a b a b a b b a
+
= + = +
× × ×
裂和型运算与裂差型运算的对比：
裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，
同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。
三、整数裂项
(1) 1× 2 + 2×3 + 3× 4 + ...+ (n −1)×n 1 ( 1) ( 1)
3
= n − ×n × n +
(2)
1 2 3 2 3 4 3 4 5 ... ( 2) ( 1) 1 ( 2)( 1) ( 1)
4
× × + × × + × × + + n − × n − ×n = n − n − n n +
二、换元
解数学题时，把某个式子看成一个整体，用另一个量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．
换元的实质是转化，将复杂的式子化繁为简．
三、循环小数化分数
1、循环小数化分数结论：
纯循环小数混循环小数
中小学课外辅导领军品牌
- 2 -
分子循环节中的数字所组成的数
循环小数去掉小数点后的数字所组成的数与不循环部分数字
所组成的数的差
分母n 个9，其中n 等于循环节所含的数字个数
按循环位数添9，不循环位数添0，组成分母，其中9 在0
的左侧
·
0.
9
a = a ；
· ·
0.
99
ab = ab ；
· · 1 0.0
99 10 990
ab = ab × = ab ；
· ·
0.
990
abc abc a −
= ，……
2、单位分数的拆分：
例：
1
10
=
1 1
20 20
+ = ( ) ( )
1 + 1 = ( ) ( )
1 + 1 = ( ) ( )
1 + 1 = ( ) ( )
1 + 1
分析：分数单位的拆分，主要方法是：
从分母N 的约数中任意找出两个m 和n,有：
1 1( )
( ) ( ) ( )
m n m n
N N m n N m n N m n
+
= = +
+ + +
=
1 1
A B
+
本题10 的约数有:1,10,2,5.。
例如：选1 和2，有：
1 1(1 2) 1 2 1 1
10 10(1 2) 10(1 2) 10(1 2) 30 15
+
= = + = +
+ + +
本题具体的解有：
1 1 1 1 1 1 1 1 1
10 11 110 12 60 14 35 15 30
= + = + = + = +
例题精讲
模块一、分数裂项
【例1】1 1 1 1 1
1 2 3 4 2 3 4 5 3 4 5 6 6 7 8 9 7 8 9 10
+ + + ⋅ ⋅ ⋅ + +
× × × × × × × × × × × × × × ×
【解析】原式
1 1 1 1 1 1 1
3 1 2 3 2 3 4 2 3 4 3 4 5 7 8 9 8 9 10
= × ⎛ − + − + + − ⎞ ⎜ × × × × × × × × × × × × ⎟ ⎝ ⎠
⋯
1 1 1
3 1 2 3 8 9 10
= × ⎛ − ⎞ ⎜ × × × × ⎟ ⎝ ⎠
119
2160
=
【巩固】3 3 3
1 2 3 4 2 3 4 5 17 18 19 20
+ + +
× × × × × × × × ×
【解析】原式
3 [1 ( 1 1 1 1 ... 1 1 )]
3 1 2 3 2 3 4 2 3 4 3 4 5 17 18 19 18 19 20
= × × − + − + + −
× × × × × × × × × × × ×
1 1 3 19 20 1 1139
1 2 3 18 19 20 18 19 20 6840
× × −
= − = =
× × × × × ×
【例2】计算：
5 7 19
1 2 3 2 3 4 8 9 10
+ + + =
× × × × × ×
⋯ ．
【解析】如果式子中每一项的分子都相同，那么就是一道很常见的分数裂项的题目．但是本题中分子不
相同，而是成等差数列，且等差数列的公差为2．相比较于2，4，6，……这一公差为2 的等差
数列(该数列的第n 个数恰好为n 的2 倍)，原式中分子所成的等差数列每一项都比其大3，所以
可以先把原式中每一项的分子都分成3 与另一个的和再进行计算．
原式
3 2 3 4 3 16
1 2 3 2 3 4 8 9 10
+ + +
= + + +
× × × × × ×
⋯
3 1 1 1 2 1 2 8
1 2 3 2 3 4 8 9 10 1 2 3 2 3 4 8 9 10
= × ⎛ + + + ⎞ + × ⎛ + + + ⎞ ⎜ × × × × × × ⎟ ⎜ × × × × × × ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⋯ ⋯
中小学课外辅导领军品牌
- 3 -
3 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1
2 1 2 2 3 2 3 3 4 8 9 9 10 2 3 3 4 9 10
= × × ⎛ − + − + + − ⎞ + × ⎛ + + + ⎞ ⎜ × × × × × × ⎟ ⎜ × × × ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⋯ ⋯
3 1 1 2 1 1 1 1 1 1
2 1 2 9 10 2 3 3 4 9 10
= × ⎛ − ⎞ + ×⎛ − + − + + − ⎞ ⎜ × × ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⋯
3 1 1 2 1 1
2 2 90 2 10
= × ⎛ − ⎞ + × ⎛ − ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
7 1 1
4 60 5
= − − 23
15
=
也可以直接进行通项归纳．根据等差数列的性质，可知分子的通项公式为2n + 3 ，所以
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 3 2 3
1 2 1 2 1 2
n
n n n n n n n n
+
= +
× + × + + × + × + × +
， 再将每一项的
( ) ( )
2
n +1 × n + 2
与( ) ( )
3
n × n +1 × n + 2
分别加在一起进行裂项．后面的过程与前面的方法相
同．
【巩固】计算：
1155 5 7 17 19
2 3 4 3 4 5 8 9 10 9 10 11
× + + + +
× × × × × × × ×
（ ⋯ ）
【解析】本题的重点在于计算括号内的算式：
5 7 17 19
2 3 4 3 4 5 8 9 10 9 10 11
+ + + +
× × × × × × × ×
⋯ ．这个
算式不同于我们常见的分数裂项的地方在于每一项的分子依次成等差数列，而非常见的分子相
同、或分子是分母的差或和的情况．所以应当对分子进行适当的变形，使之转化成我们熟悉的
形式．
观察可知5 = 2 + 3，7 = 3 + 4 ，……即每一项的分子都等于分母中前两个乘数的和，所以
5 7 17 19
2 3 4 3 4 5 8 9 10 9 10 11
+ + + +
× × × × × × × ×
⋯
2 3 3 4 9 10
2 3 4 3 4 5 9 10 11
+ + +
= + + +
× × × × × ×
⋯
1 1 1 1 1 1
3 4 2 4 4 5 3 5 10 11 9 11
= + + + + + +
× × × × × ×
⋯
1 1 1 1 1 1
3 4 4 5 10 11 2 4 3 5 9 11
= ⎛ + + + ⎞ + ⎛ + + + ⎞ ⎜ × × × ⎟ ⎜ × × × ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⋯ ⋯
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
3 4 4 5 10 11 2 2 4 3 5 4 6 8 10 9 11
= ⎛ − + − + + − ⎞ + × ⎛ − + − + − + + − + − ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⋯ ⋯
1 1 1 1 1 1 1
3 11 2 2 10 3 11
= ⎛ − ⎞ + × ⎛ − + − ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
8 1 2 8
33 2 5 33
= + × ⎛ + ⎞ ⎜ ⎟
⎝ ⎠
31
55
=
所以原式
1155 31 651
55
= × = ．
【巩固】计算：
3 4 5 12
1 2 4 5 2 3 5 6 3 4 6 7 10 11 13 14
+ + + +
× × × × × × × × × × × ×
⋯
【解析】观察可知原式每一项的分母中如果补上分子中的数，就会是5 个连续自然数的乘积，所以可以
先将每一项的分子、分母都乘以分子中的数．即：
原式
32 42 52 122
1 2 3 4 5 2 3 4 5 6 3 4 5 6 7 10 11 12 13 14
= + + + +
× × × × × × × × × × × × × × × ×
⋯
现在进行裂项的话无法全部相消，需要对分子进行分拆，考虑到每一项中分子、分母的对称性，
可以用平方差公式：32 =1× 5 + 4，42 = 2×6 + 4 ，52 = 3× 7 + 4 ……
【解析】原式
32 42 52 122
1 2 3 4 5 2 3 4 5 6 3 4 5 6 7 10 11 12 13 14
= + + + +
× × × × × × × × × × × × × × × ×
⋯
1 5 4 2 6 4 3 7 4 10 14 4
1 2 3 4 5 2 3 4 5 6 3 4 5 6 7 10 11 12 13 14
× + × + × + × +
= + + + +
× × × × × × × × × × × × × × × ×
⋯
中小学课外辅导领军品牌
- 4 -
1 1 1 1
2 3 4 3 4 5 4 5 6 11 12 13
4 4 4 4
1 2 3 4 5 2 3 4 5 6 3 4 5 6 7 10 11 12 13 14
= ⎛ + + + + ⎞ ⎜ × × × × × × × × ⎟ ⎝ ⎠
+⎛ + + + + ⎞ ⎜ × × × × × × × × × × × × × × × × ⎟ ⎝ ⎠
⋯
⋯
1 1 1 1 1 1 1
2 2 3 3 4 3 4 4 5 11 12 12 13
1 1 1 1 1 1
1 2 3 4 2 3 4 5 2 3 4 5 3 4 5 6 10 11 12 13 11 12 13 14
= × ⎛ − + − + + − ⎞ ⎜ × × × × × × ⎟ ⎝ ⎠
+⎛ − + − + + − ⎞ ⎜ × × × × × × × × × × × × × × × × × × ⎟ ⎝ ⎠
⋯
⋯
1 1 1 1 1
2 2 3 12 13 1 2 3 4 11 12 13 14
= × ⎛ − ⎞ + ⎛ − ⎞ ⎜ × × ⎟ ⎜ × × × × × × ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
1 1 1 1
12 2 12 13 24 11 12 13 14
= − + −
× × × × ×
1 77 1
8 11 12 13 14
+
= −
× × ×
1 1
8 2 11 14
= −
× ×
1 1 75
8 308 616
= − =
【例3】1 2 3 4 9
2 2 3 2 3 4 2 3 4 5 2 3 4 10
+ + + + +
× × × × × × × × ×
⋯
⋯
【解析】原式
1 2 3 4 9
2 2 3 2 3 4 2 3 4 5 2 3 4 10
= + + + + +
× × × × × × × × ×
⋯
⋯
2 1 3 1 4 1 10 1
2 2 3 2 3 4 2 3 4 10
− − − −
= + + + +
× × × × × ×
⋯
⋯
1 1 1 1 1 1 1 1
2 2 2 3 2 3 2 3 4 2 3 4 9 2 3 4 9 10
= − + − + − + + −
× × × × × × × × × × ×
⋯
⋯ ⋯
1 1 3628799
2 3 4 9 10 3628800
= − =
× × ⋯× ×
【例4】1 1 1 1
1 1 2 1 2 3 1 2 100
+ + + +
+ + + + + +
⋯⋯
⋯
【解析】本题为典型的“隐藏在等差数列求和公式背后的分数裂差型裂项”问题。此类问题需要从最简
单的项开始入手，通过公式的运算寻找规律。从第一项开始，对分母进行等差数列求和运算公
式的代入有
1 1 2
1 (1 1) 1 1 2
2
= =
+ × ×
，
1 1 2
1 2 (1 2) 2 2 3
2
= =
+ + × ×
，……，
原式
2 2 2 2 2 (1 1 ) 200 1 99
1 2 2 3 3 4 100 101 101 101 101
= + + + + = × − = =
× × × ×
⋯⋯
【巩固】2 3 4 50
1 (1 2) (1 2) (1 2 3) (1 2 3) (1 2 3 4) (1 2 3 49) (1 2 3 50)
+ + + +
× + + × + + + + × + + + + + + + × + + + +
⋯
⋯ ⋯
原式＝
2
1× 3
＋
3
3× 6
＋
4
6×10
＋
5
10×15
＋…＋
50
1225×1275
＝（
1
1
− 1
3
）＋（
1
3
− 1
6
）＋（
1
6
− 1
10
）＋（
1
1225
− 1
1275
）＝
1274
1275
【巩固】2 3 4 100
1 (1 2) (1 2) (1 2 3) (1 2 3) (1 2 3 4) (1 2 99) (1 2 100)
+ + + +
× + + × + + + + × + + + + + + × + + +
⋯
⋯ ⋯
【解析】2 1 1
1 (1 2) 1 1 2
= −
× + +
，
3 1 1
(1 2) (1 2 3) 1 2 1 2 3
= −
+ × + + + + +
，……，
中小学课外辅导领军品牌
- 5 -
100 1 1
(1 2 99) (1 2 100) 1 2 99 1 2 100
= −
+ +⋯+ × + +⋯+ + +⋯+ + +⋯+
，所以
原式
1 1
1 2 100
= −
+ +⋯+
1 1 5049
5050 5050
= − =
【巩固】1 2 3 10
1 1 2 (1 2) (1 2 3) (1 2 3 9) (1 2 3 10)
− − − −
× + + × + + + + + + × + + + +
⋯
（ ） ⋯ ⋯
【解析】原式
1 ( 2 3 4 10 )
1 3 3 6 6 10 45 55
= − + + + +
× × × ×
⋯
1 1 1 1 1 1 1 1 1
3 3 6 6 10 45 55
= − ⎛ − + − + − + + − ⎞ ⎜ ⎟
⎝ ⎠
⋯
1 1 1
55
= − ⎛ − ⎞ ⎜ ⎟
⎝ ⎠
1
55
=
【例5】
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1
3 1 5 1 7 1 9 1 11 1 13 1
+ + + + + =
− − − − − −
.
【解析】这题是利用平方差公式进行裂项：a2 −b2 = (a −b)× (a +b)，
原式
( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )
2 4 4 6 6 8 8 10 10 12 12 14
= + + + + +
× × × × × ×
(1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ) 1
2 4 4 6 6 8 8 10 10 12 12 14 2
= − + − + − + − + − + − ×
(1 1 ) 1 3
2 14 2 14
= − × =
【巩固】计算：
2 2 2 2 2 2 2 2
3 5 7 15
1 2 2 3 3 4 7 8
+ + + +
× × × ×
⋯
【解析】原式
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
2 1 3 2 4 3 8 7
1 2 2 3 3 4 7 8
− − − −
= + + + +
× × × ×
⋯
2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1
2 2 3 3 4 7 8
= − + − + − +⋯+ −
2
1 1
8
= − 63
64
=
【巩固】计算：
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
3 1 5 1 7 1 1993 1 1995 1
3 1 5 1 7 1 1993 1 1995 1
+ + + + +
+ + + + + =
− − − − −
⋯ ．
【解析】原式
2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
3 1 5 1 7 1 1993 1 1995 1
= ⎛ + ⎞ + ⎛ + ⎞ + ⎛ + ⎞ + + ⎛ + ⎞ + ⎛ + ⎞ ⎜ − ⎟ ⎜ − ⎟ ⎜ − ⎟ ⎜ − ⎟ ⎜ − ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⋯
997 2 2 2
2 4 4 6 1994 1996
= + ⎛ + + + ⎞ ⎜ × × × ⎟ ⎝ ⎠
⋯
997 1 1 1 1 1 1
2 4 4 6 1994 1996
= + ⎛ − + − + + − ⎞ ⎜ ⎟
⎝ ⎠
⋯
997 1 1
2 1996
= + ⎛ − ⎞ ⎜ ⎟
⎝ ⎠
997 997
1996
=
【巩固】计算：
12 22 32 502
1 3 3 5 5 7 99 101
+ + + + =
× × × ×
⋯ ．
【解析】式子中每一项的分子与分母初看起来关系不大，但是如果将其中的分母根据平方差公式分别变
为22 −1，42 −1，62 −1，……，1002 −1，可以发现如果分母都加上1，那么恰好都是分子
的4 倍，所以可以先将原式乘以4 后进行计算，得出结果后除以4 就得到原式的值了．
中小学课外辅导领军品牌
- 6 -
原式
2 2 2 2
2 2 2 2
1 2 4 6 100
4 2 1 4 1 6 1 100 1
⎛ ⎞
= × ⎜ + + + + ⎟ ⎝ − − − − ⎠
⋯
2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1
4 2 1 4 1 6 1 100 1
= × ⎛ + + + + + + + + ⎞ ⎜ − − − − ⎟ ⎝ ⎠
⋯
1 50 1 1 1 1
4 1 3 3 5 5 7 99 101
= × ⎛ + + + + + ⎞ ⎜ × × × × ⎟ ⎝ ⎠
⋯
1 50 1 1 1 1 1 1 1 1 1
4 2 3 3 5 5 7 99 101
⎡ ⎛ ⎞⎤ = × ⎢ + ×⎜ − + − + − + + − ⎟⎥ ⎣ ⎝ ⎠⎦
⋯
1 50 1 1 1
4 2 101
⎡ ⎛ ⎞⎤ = × ⎢ + × ⎜ − ⎟⎥ ⎣ ⎝ ⎠⎦
1 50 50
4 101
= × 12 63
101
=
【巩固】2 2 4 4 6 6 8 8 10 10
1 3 3 5 5 7 7 9 9 11
× × × × ×
+ + + +
× × × × ×
【解析】（法1）：可先找通项
2
2 2
1 1 1 1
1 1 ( 1) ( 1) n
a n
n n n n
= = + = +
− − − × +
原式
(1 1 ) (1 1 ) (1 1 ) (1 1 ) (1 1 )
1 3 3 5 5 7 7 9 9 11
= + + + + + + + + +
× × × × ×
5 1 (1 1 ) 5 5 5 5
2 11 11 11
= + × − = + =
（法2）：原式
(2 2) (8 8) (18 18) (32 32) (50 50)
3 3 5 5 7 7 9 9 11
= − + − + − + − + −
2 6 10 14 18 50 10 4 6 5 5
3 5 7 9 11 11 11
= + + + + − = − =
【例6】
1 1 1
2 3 1999
1 1 (1 1) (1 1) (1 1) (1 1) (1 1 )
2 2 3 2 3 1999
+ + +
+ + × + + × + × × +
⋯
⋯
【解析】
1 1
1 1 2 2 ( 1 1 ) (1 1) (1 1) (1 1 ) 2 ( 1)( 2) 1 2
2 3 1 2
n n
n n n n n
n
+ = + = = × −
+ + + + + + × + × × +
+
⋯
原式＝
(1 1) (1 1) (1 1) ( 1 1 ) 2
2 3 3 4 4 5 1999 2000
⎡ − + − + − + + − ⎤ × ⎢⎣ ⎥⎦
⋯ ＝ 1000
999
1000
1− 1 =
【巩固】计算：
1 1 1 1
1 2 1 2 3 1 2 2007
+ + +…
+ + + + +…
【解析】先找通项公式
1 2 2(1 1 )
n 1 2 ( 1) 1 a
n n n n n
= = = −
+ +⋯ × + +
原式
1 1 1 1
2 (2 1) 3 (3 1) 2007 (2007 1)
2 2 2
= + + + +
× + × + ⋯ × +
2 2 2 2
1 2 2 3 3 4 2007 2008
= + + + +
× × × ×
⋯
2 2007
2008
= × 2007
1004
=
【巩固】1 1 1 1
3 3 5 3 5 7 3 5 7 21
+ + + +
+ + + + + + +
⋯
⋯
【解析】先找通项： ( ) ( ) ( )
1 1 1
3 5 2 1 1 2 1 3 2
2
n a
n n n n n
= = =
+ +⋯+ + × + + × +
，
中小学课外辅导领军品牌
- 7 -
原式
1 1 1 1 1 1
1 3 2 4 3 5 4 6 9 11 10 12
= + + + + + +
× × × × × ×
⋯
1 1 1 1 1 1
1 3 3 5 9 11 2 4 4 6 10 12
= ⎛ + + + ⎞ + ⎛ + + + ⎞ ⎜ × × × ⎟ ⎜ × × × ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⋯ ⋯
1 1 1 1 1 1
2 1 11 2 2 12
= × ⎛ − ⎞ + × ⎛ − ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
175
264
=
【例7】1 2 1 2 3 1 2 3 4 1 2 3 50
2 2 3 2 3 4 2 3 50
+ + + + + + + + + +
× × × ×
+ + + + + +
⋯ ⋯
⋯
【解析】找通项
(1 )
2 ( 1)
(1 ) 1 ( 1) 2
2
n
n n
a n n n n n n
+ ×
× +
= =
+ × × + − −
原式
2 3 3 4 4 5 5 6 2 3 3 4 4 5 5 6
4 10 18 28 1 4 2 5 3 6 4 7
× × × × × × × ×
= × × × × = × × × ×
× × × ×
⋯ ⋯ ，
通过试写我们又发现数列存在以上规律，这样我们就可以轻松写出全部的项，所以有
原式
2 3 3 4 4 5 5 6 48 49 49 50 50 51
1 4 2 5 3 6 4 7 47 50 48 51 49 52
× × × × × × ×
= × × × × × × ×
× × × × × × ×
⋯
3 50 2 23
1 52 26
= × =
【例8】
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
1 1 2 1 2 3 1 2 3 4 1 2 26
1 1 2 1 2 3 1 2 3 4 1 2 26
+ + + + + + + + …+
− + − + …−
+ + + + + + + + …+
【解析】
2 2 2
3 3 3 2 2
( 1) (2 1)
1 2 6 2 2 1 2 (1 1 )
1 2 ( 1) 3 ( 1) 3 1
4
n
n n n
a n n
n n n n n n n
× + × +
+ +…+ +
= = = × = × +
+ +…+ × + × + +
原式=
2 [(1 1) (1 1) (1 1) ( 1 1 )]
3 1 2 2 3 3 4 26 27
× + − + + + ⋯⋯− + =
2 (1 1 ) 52
3 27 81
× − =
【巩固】
2 2 2
1 1 1 1 1 1
2 1 3 1 99 1
⎛ + ⎞× ⎛ + ⎞ × × ⎛ + ⎞ ⎜ − ⎟ ⎜ − ⎟ ⎜ − ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⋯
【解析】
2 2
2 2
1 1 ( 1) ( 1)
( 1) 1 ( 1) 1 ( 2) n
a n n
n n n n
+ +
= + = =
+ − + − × +
原式
2 2 3 3 98 98 99 99
(2 1) (2 1) (3 1) (3 1) (98 1) (98 1) (99 1) (99 1)
× × × ×
= × × × ×
+ × − + × − + × − + × −
⋯
2 2 3 3 4 4 5 5 98 98 99 99 2 99 1 49
3 1 4 2 5 3 6 4 99 97 100 98 1 100 50
× × × × × ×
= × × × × × × = × =
× × × × × ×
⋯
【例9】计算：
2 2 2
2 2 2
2 3 99
2 1 3 1 99 1
× × × =
− − −
⋯
【解析】通项公式：
( )
( )( )
( )
( )
2 2 1 1
n 1 1 1 1 2
n n
a
n n n n
+ +
= =
+ + + − +
，
原式
2 2 3 3 4 4 98 98 99 99
(2 1) (2 1) (3 1) (3 1) (4 1) (4 1) (98 1) (98 1) (99 1) (99 1)
× × × × ×
= × × × × ×
+ × − + × − + × − + × − + × −
⋯
2 2 3 3 4 4 5 5 98 98 99 99
3 1 4 2 5 3 6 4 99 97 100 98
× × × × × ×
= × × × × × ×
× × × × × ×
⋯
2 2 3 3 4 4 98 98 99 99
1 3 2 4 3 5 97 99 98 100
= × × × × × ×⋯× × × ×
2 99 99
1 100 50
= × =
【巩固】计算：
2 2 2
2 2 2
1 2 99
1 100 5000 2 200 5000 99 9900 5000
+ + + =
− + − + − +
⋯
中小学课外辅导领军品牌
- 8 -
【解析】本题的通项公式为
2
2 100 5000
n
n − n +
， 没办法进行裂项之类的处理． 注意到分母
n2 −100n + 5000 = 5000 −n (100 −n ) = 5000 − (100 −n )⎡⎣100 − (100 −n )⎤⎦ ，可以看出如果
把n 换成100 − n 的话分母的值不变，所以可以把原式子中的分数两两组合起来，最后单独剩下
一个
2
2
50
50 − 5000 + 5000
．将项数和为100 的两项相加，得
( )
( ) ( )
2 2 2 ( )2 2
2 2 2 2
100 100 2 200 10000 2
100 5000 100 100 100 5000 100 5000 100 5000
n n n n n n
n n n n n n n n
− + − − +
+ = = =
− + − − − + − + − +
，
所以原式= 2× 49 +1= 99．（或者，可得原式中99项的平均数为1，所以原式=1× 99 = 99）
【例1】⎟⎠
⎞
⎜⎝
⎛
+ + +
+ +
+
+ − ⎟⎠
⎞
⎜⎝
⎛
×
+ +
×
+
×
× 2 2 2 12 22 102
1
1 2
1
1
1
20 21
1
4 5
1
2 3
24 1
⋯
⋯ ⋯
【解析】虽然很容易看出
2 3
1
×
＝
3
1
2
1 − ，
4 5
1
×
＝
5
1
4
1 − ……可是再仔细一看，并没有什么效果，因为
这不象分数裂项那样能消去很多项．我们再来看后面的式子，每一项的分母容易让我们想到公
式，于是我们又有
( 1) (2 1)
6
1 2 3
1
2 + 2 + 2 + + n 2 n × n + × n +
＝
⋯
．．减号前面括号里的式
子有10 项，减号后面括号里的式子也恰好有10 项，是不是“一个对一个”呢？
⎟⎠⎞
⎜⎝
⎛
+ + +
+ +
+
+ − ⎟⎠
⎞
⎜⎝
⎛
×
+ +
×
+
×
× 2 2 2 12 22 102
1
1 2
1
1
1
20 21
1
4 5
1
2 3
24 1
⋯
⋯ ⋯
＝ ⎟⎠
⎞
⎜⎝
⎛
× ×
+ +
× ×
+
× ×
× − ⎟⎠
⎞
⎜⎝
⎛
×
+ +
×
+
×
×
10 11 21
1
2 3 5
1
1 2 3
6 1
20 21
1
4 5
1
2 3
24 1 ⋯ ⋯
＝
⎟⎠
⎞
⎜⎝
⎛
× ×
+ +
× ×
+
× ×
× − ⎟⎠
⎞
⎜⎝
⎛
×
+ +
×
+
×
×
20 22 21
1
4 6 5
1
2 4 3
24 1
20 21
1
4 5
1
2 3
24 1 ⋯ ⋯
＝ ⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
⎟⎠
⎞
⎜⎝⎛
× ×
−
×
+ + ⎟⎠
⎞
⎜⎝
⎛
× ×
−
×
+ ⎟⎠
⎞
⎜⎝
⎛
× ×
−
×
×
20 22 21
1
20 21
1
4 6 5
1
4 5
1
2 4 3
1
2 3
24 1 ⋯
＝ ⎟⎠
⎞
⎜⎝
⎛
×
+ +
×
+
×
×
20 22
1
4 6
1
2 4
24 1 ⋯ ＝ ⎟⎠
⎞
⎜⎝
⎛
×
+ +
×
+
×
×
10 11
1
2 3
1
1 2
6 1 ⋯ ＝
⎟⎠
⎞
⎜⎝
× ⎛ −
11
6 1 1 ＝
11
60
．
模块二、换元与公式应用
【例10】计算：13 + 33 + 53 + 73 + 93 +113 +133 +153
【解析】原式=13 + 23 + 33 + 43 +⋯+143 +153 − (23 + 43 +⋯+143 )
( ) ( )
2 2
3 3 3 15 15 1
8 1 2 7
4
× +
= − × + +⋯+
57600 2 72 82
4
= − × ×
= 8128
【巩固】1× 3 + 2× 4 + 3×5 +⋯9 ×11
【解析】原式= (2 −1)(2 +1) + (3 −1)(3 +1) +⋯+ (10 −1)(10 +1)
中小学课外辅导领军品牌
- 9 -
( ) ( ) ( )
( )
( )
2 2 2
2 2 2
2 2 2 2
2 1 3 1 10 1
2 3 10 9
1 2 3 10 10
10 11 21 10 375
6
= − + − + + −
= + + + −
= + + + + −
× ×
= − =
⋯
⋯
⋯
【巩固】计算：1× 2× 3+ 2× 3× 4 + 3× 4× 5+⋯+ 8× 9×10
【解析】原式= 2× (22 −1)+ 3× (32 −1)+ 4× (42 −1)+⋯+ 9× (92 −1)
= 23 + 33 + 43 +⋯+ 93 − (2 + 3 + 4 +⋯+ 9)
( )2 ( ) = 1+ 2 + 3 +⋯+ 9 −1− 2 + 3+ 4 +⋯+ 9
= 452 − 45 = 1980
【例11】计算：
2 3 4 5 6
1 1 1 1 1 1 1
3 3 3 3 3 3
+ + + + + +
【解析】法一：利用等比数列求和公式。
原式
7 1 1 1
3
1 1
3
⎡ ⎛ ⎞ ⎤ × ⎢ − ⎜ ⎟ ⎥
⎢⎣ ⎝ ⎠ ⎥⎦ =
−
7 1 1 3 1264
3 2 729
⎡ ⎛ ⎞ ⎤ = ⎢ − ⎜ ⎟ ⎥ × =
⎢⎣ ⎝ ⎠ ⎥⎦
法二：错位相减法．
设
2 3 4 5 6
1 1 1 1 1 1 1
3 3 3 3 3 3
S = + + + + + +
则
2 3 4 5
3 3 1 1 1 1 1 1
3 3 3 3 3
S = + + + + + + ，
6
3 3 1
3
S −S = − ，整理可得
1364
729
S = ．
法三：本题与例3 相比，式子中各项都是成等比数列，但是例3 中的分子为3，与公比4 差1，
所以可以采用“借来还去”的方法，本题如果也要采用“借来还去”的方法，需要将每一项的
分子变得也都与公比差1．由于公比为3，要把分子变为2，可以先将每一项都乘以2 进行算，最后
再将所得的结果除以2 即得到原式的值．由题设，
2 3 4 5 6
2 2 2 2 2 2 2 2
3 3 3 3 3 3
S = + + + + + + ，则运用
“借来还去”的方法可得到
6
2 1 3
3
S + = ，整理得到
1364
729
S = ．
【例12】计算：
(22 42 62 1002 ) (12 32 52 992 )
1 2 3 9 10 9 8 3 2 1
+ + + ⋅ ⋅ ⋅ + − + + + ⋅ ⋅ ⋅ +
+ + + ⋅ ⋅ ⋅ + + + + + ⋅ ⋅ ⋅ + + +
【解析】原式
2 2 2 2 2 2 2 2
2
(2 1 ) (4 3 ) (6 5 ) (100 99 )
10
− + − + − + ⋅ ⋅ ⋅ + −
=
(2 1) (2 1) (4 3) (4 3) (6 5) (6 5) (100 99) (100 99)
100
+ × − + + × − + + × − + ⋅ ⋅ ⋅ + + × −
=
1 2 3 4 99 100 5050 50 1
100 100 2
+ + + + ⋅ ⋅ ⋅ + +
= = =
【巩固】⑴( )2 31415926 − 31415925× 31415927 = ________；
⑵12342 + 87662 + 2468× 8766 = ________．
【解析】⑴ 观察可知31415925和31415927都与31415926相差1，设a = 31415926，
原式= a2 − (a −1)(a +1) = a2 − (a2 −1) =1
⑵ 原式=12342 + 87662 + 2×1234× 8766
中小学课外辅导领军品牌
- 10 -
= (1234 + 8766)2 = 100002 = 100000000
【巩固】计算：12 − 22 + 32 − 42 +⋯+ 20052 − 20062 + 20072
【解析】原式= 20072 − 20062 +⋯+ 52 − 42 + 32 − 22 +12
= (2007 − 2006)× (2007 + 2006) + (2005− 2004)× (2005+ 2004)+⋯+ (3 − 2)× (3+ 2) +1
= 2007 + 2006 + 2005 + 2004 +⋯+ 3+ 2 +1
1 (2007 1) 2007 2015028
2
= × + × =
【例13】计算：
12 22 22 32 32 42 42 52 20002 20012
1 2 2 3 3 4 4 5 2000 2001
+ + + + +
+ + + + ⋅ ⋅ ⋅ +
× × × × ×
【解析】原式
12 22 22 32 32 42 42 52 20002 20012
1 2 1 2 2 3 2 3 3 4 3 4 4 5 4 5 2000 2001 2000 2001
= + + + + + + + + ⋅ ⋅ ⋅ + +
× × × × × × × × × ×
1 2 2 3 3 4 4 5 2000 2001
2 1 3 2 4 3 5 4 2001 2000
= + + + + + + + + ⋅ ⋅ ⋅ + +
2 (1 3) (2 4) 3 5 1999 2001 2000
1 2 2 3 3 4 4 2000 2000 2001
= + + + + + ⎛ + ⎞ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⎛ + ⎞ + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2000
2 2 2 2 2 2000 4000 2000
2001 2001
= ?+??+??+ ?+?⋅ ⋅?⋅ +?+ =
个2相加
【例14】⎡⎣2007 − (8.5×8.5 −1.5×1.5) ÷10⎤⎦ ÷160 − 0.3 = ．
【解析】原式
= ⎡⎣2007 − (8.5 +1.5)(8.5 −1.5) ÷10⎤⎦ ÷160 − 0.3
= ⎡⎣2007 −10× (8.5 −1.5) ÷10⎤⎦ ÷160 − 0.3
= (2007 − 7) ÷160 − 0.3 =12.5 − 0.3 =12.2
【巩固】计算：53× 57 − 47× 43 = ．
【解析】本题可以直接将两个乘积计算出来再求它们的差，但灵活采用平方差公式能收到更好的效果．
原式= (55 − 2)× (55 + 2) − (45 + 2)× (45 − 2) = 552 − 22 − (452 − 22 )
= 552 − 452 = (55 − 45)× (55 + 45) =1000
【巩固】计算：11×19 +12×18 +13×17 +14×16 = ．
【解析】本题可以直接计算出各项乘积再求和，也可以采用平方差公式．
原式= (152 − 42 ) + (152 − 32 ) + (152 − 22 ) + (152 −12 )
=152 × 4 − (12 + 22 + 32 + 42 )
= 900 − 30 = 870
其中12 + 22 + 32 + 42可以直接计算，但如果项数较多，应采用公式
12 22 2 1 ( 1)(2 1)
6
+ +⋯+ n = n n + n + 进行计算．
【巩固】计算：1×99 + 2×98 + 3×97 +⋯+ 49× 51= ．
【解析】观察发现式子中每相乘的两个数的和都是相等的，可以采用平方差公式．
原式= (50 − 49)× (50 + 49) + (50 − 48)× (50 + 48) +⋯+ (50 − 1)× (50+ 1)
= (502 − 492 ) + (502 − 482 ) +⋯+ (502 −12 )
= 502 × 49 − (12 + 22 +⋯+ 492 )
= 502 × 49 − (12 + 22 +⋯+ 492 )
中小学课外辅导领军品牌
- 11 -
502 49 1 49 50 99
6
= × − × × ×
= 502 × 49 − 49× 25×33
= 49× 25× (100 − 33)
= 49× 25× 67
= 82075
【巩固】看规律13 = 12 ，13 + 23 = 32，13 + 23 + 33 = 62 ……，试求63 + 73. +⋯+143
原式
= (13 + 23. +⋯+143 ) − (13 + 23. +⋯+ 53 ) ( )2 ( )2 = 1+ 2 + 3 +⋯+14 − 1+ 2 + 3 + 4 + 5
=1052 −152 = (105 −15)(105 +15) = 90×120 = 10800
【例15】计算：
(1 1 1) (1 1 1) (1 1 1 1) (1 1)
2 4 2 4 6 2 4 6 2 4
+ + × + + − + + + × +
【解析】令
1 1 1 1
2 4 6
+ + + = a ，
1 1 1
2 4 6
+ + = b ，则：
原式
( 1) ( 1)
6 6
= a − ×b −a × b −
1 1
6 6
= ab − b −ab + a
1 ( )
6
= a −b 1 1 1
6 6
= × =
【巩固】(1 1 1 1) (1 1 1 1) (1 1 1 1 1) (1 1 1)
2 3 4 2 3 4 5 2 3 4 5 2 3 4
+ + + × + + + − + + + + × + +
【解析】设
1 1 1
2 3 4
a = + + ，则原式化简为：
1 1 (1 1 1
5 5 5
( +a)(a+ )-a + a+ )=
【巩固】1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
11 21 31 41 21 31 41 51 11 21 31 41 51 21 31 41
⎛ + + + ⎞× ⎛ + + + ⎞ − ⎛ + + + + ⎞× ⎛ + + ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
【解析】设
1 1 1 1
11 21 31 41
+ + + = a ，
1 1 1
21 31 41
+ + = b ，
原式
1 1
51 51
= a × ⎛⎜b + ⎞⎟ − ⎛⎜a + ⎞⎟×b
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
1 1
51 51
= ab + a −ab − b
1 ( )
51
= a −b
1 1 1
51 11 561
= × =
【巩固】1 1 1 1 (1 1 1 1 ) 1 1 1 1 1 ) (1 1 1 )
5 7 9 11 7 9 11 13 5 7 9 11 13 7 9 11
（ + + + ）× + + + −（ + + + + × + +
【解析】设
1 1 1 1
5 7 9 11
+ + + = A，
1 1 1
7 9 11
+ + = B ，
原式
1 1
13 13
= A × ⎛⎜B + ⎞⎟ − ⎛⎜A + ⎞⎟×B
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
1 1
13 13
= A ×B + A − A ×B − B
1 ( )
13
= A − B
中小学课外辅导领军品牌
- 12 -
1 1 1
13 5 65
= × =
【巩固】计算
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 3 4 5 2 3 4 5 6 2 3 4 5 6 2 3 4 5
⎛ + + + + ⎞ ×⎛ + + + + ⎞ − ⎛ + + + + + ⎞ ×⎛ + + + ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
【解析】设
1 1 1 1 1
2 3 4 5
+ + + + = A ，
1 1 1 1
2 3 4 5
+ + + = B
原式= 1 1
6 6
A × ⎛⎜B + ⎞⎟ − ⎛⎜A + ⎞⎟×B
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
= 1 1
6 6
A ×B + × A − A ×B − ×B = 1 1
6 6
× A − ×B
1
6
= × ( A − B )
1
6
=
【巩固】
2 1 2 3 9 1 2 3 9 1 1 1 2 9 2 3 9
2 3 4 10 2 3 4 10 2 2 3 10 3 4 10
⎛ + + + + ⎞ + ⎛ + + + + ⎞ × − ⎛ + + + + ⎞ ×⎛ + + + ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⋯ ⋯ ⋯ ⋯
【解析】设
1 2 3 9
2 3 4 10
t = + + +⋯+ ，则有2 1 (1 ) 1 2 1 2 1 1
2 2 2 2 2 2
t +t × − + t ⎛t − ⎞ = t + t − ⎛t + t − t − ⎞ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
【巩固】2 (1 2 3 9 ) (1 2 3 9 ) 1 (1 1 2 3 9 ) ( 2 3 9 )
2 3 4 10 2 3 4 10 2 2 3 4 10 3 4 10
+ + +⋯+ + + + +⋯+ × − + + + +⋯+ × + +⋯+
【解析】设
1 2 3 9
2 3 4 10
t = + + +⋯+ ，则有2 1 (1 )( 1) 2 1 ( 2 1) 1
2 2 2 2 2 2
t +t × − + t t − = t + t − t + t − t − =
【巩固】计算
1 1
2 1 1 1 3 1 1 1 4 1 3 1 1 4 1 2009 1
2009
+
+ +
+ +
+ +
+ +
+
⋯
⋯
【解析】设N = 3 + 1
4 1 1
2009
+
⋯+
. 原式=
1
2 1
N
+
+
1
1 1 1 1
N
+
+
=
1
2N 1
N
+ +
1
1
1
N
N
+
+
=
1 1
2 1 2 1
N N
N N
+
+ =
+ +
.
【巩固】( 7.88 + 6.77 + 5.66 ) × ( 9.31+10.98 +10 ) − ( 7.88 + 6.77 + 5.66 +10 ) × (
9.31+10.98)
【解析】换元的思想即“打包”，令a = 7.88 + 6.77 + 5.66，b = 9.31+10.98，
则原式
= a × (b +10 ) − (a +10 )×b = (ab +10a ) − (ab +10b ) = ab +10a − ab −10b = 10× (a −b )
=10× ( 7.88 + 6.77 + 5.66 − 9.31−10.98 ) =10× 0.02 = 0.2
【巩固】计算(1+ 0.45 + 0.56 )× ( 0.45 + 0.56 + 0.67 ) − (1+ 0.45 + 0.56 + 0.67 )× ( 0.45 + 0.56 )
【解析】该题相对简单，尽量凑相同的部分，即能简化运算.设a = 0.45 + 0.56 ，b = 0.45 + 0.56 + 0.67，
有原式= (1+ a )×b − (1+b )×a =b +ab −a −ab =b −a = 0.67
三、循环小数与分数互化
【例16】计算：0.1̇+0.125+0.3̇+0.16̇ ，结果保留三位小数．
【解析】方法一：0.1̇+0.125+0.3̇+0.16̇ ≈ 0.1111+0.1250+0.3333+0.1666=0.7359=0.736
中小学课外辅导领军品牌
- 13 -
方法二：0.1̇+0.125+0.3̇+0.16̇ 1 1 3 15
9 8 9 90
= + + + 11 1
18 8
= + 53 0.7361
72
= = ̇
【巩固】⑴ 0.54̇ + 0.3̇6̇ = ；
⑵
1.2 1.24 19
27
• • •
× + =
【解析】⑴ 法一：原式
54 5 36 49 4 899
90 99 90 11 990
−
= + = + = ．
法二：将算式变为竖式：
可判断出结果应该是
· ·
0.908 ，化为分数即是
908 9 899
990 990
−
= ．
⑵ 原式
12 124 19 11 123 19 20
9 99 27 9 99 27 9
= × + = × + =
【巩固】计算：0.01̇ + 0.12̇ + 0.23̇ + 0.34̇ + 0.78̇ + 0.89̇
【解析】方法一：0.01̇ + 0.12̇ + 0.23̇ + 0.34̇ + 0.78̇ + 0.89̇
1 12 1 23 2 34 3 78 7 89 8
90 90 90 90 90 90
− − − − −
= + + + + +
1 11 21 31 71 81
90 90 90 90 90 90
= + + + + + =
216
90
方法二：0.01̇ + 0.12̇ + 0.23̇ + 0.34̇ + 0.78̇ + 0.89̇
=0+0.1+0.2+0.3+0.7+0.8+ 0.01̇ + 0.02̇ + 0.03̇ + 0.04̇ + 0.08̇ + 0.09̇
=2.1+0.01̇× (1+2+3+4+8+9)
2.1 1 27
90
= + ×
= 2.1+ 0.3 = 2.4
【巩固】计算（1）0.2̇91̇ − 0.19̇2̇ + 0.3̇75̇ + 0.52̇ 6̇ （2）0.3̇30̇ × 0.18̇6̇
【解析】（1）原式
291 192 1 375 526 5
999 990 999 990
− −
= + + + 291 375 521 191
999 990
+ −
= + 666 330 1
999 990
= + =
（2）原式
330 186 1
999 990
−
= × 330 185
999 990
×
=
×
5
81
=
【例17】某学生将1.23̇ 乘以一个数a 时，把1.23̇ 误看成1.23，使乘积比正确结果减少0.3.则正确结
果该是多少?
【解析】由题意得：1.23a 1.23a 0.3
•
− = ，即：0.003a 0.3
•
= ，所以有：
3 3
900 10
a = ．解得a = 90，
所以
1.23 1.23 90 111 90 111
90
a
• •
= × = × =
【巩固】将循环小数0.0̇27̇ 与0.1̇79672̇ 相乘，取近似值，要求保留一百位小数，那么该近似值的最后一
位小数是多少?
【解析】0.0̇27̇ ×0.1̇79672̇ 27 179672 1 179672 4856 0.004856
999 999999 37 999999 999999
= × = × = = ̇ ̇
循环节有6 位，100÷6=16……4，因此第100 位小数是循环节中的第4 位8，第10l 位是5．这
样四舍五入后第100 位为9．
0.544444
0.363636
0.908080
+
⋯
⋯
⋯
中小学课外辅导领军品牌
- 14 -
【例18】有8 个数，0.5̇1̇，
2
3
,
5
9
, 0.51̇ ,
24 , 13
47 25
是其中6 个，如果按从小到大的顺序排列时，第4
个数是0.51̇ ，那么按从大到小排列时，第4 个数是哪一个数?
【解析】2 =0.6
3
̇ ,
5 =0.5
9
̇ ,
24 0.5106
47
≈ ,
13 =0.52
25
显然有0.5106 2h 时，如何打包？
【解析】图2 和图3 正面的面积相同，侧面面积= 正面周长× 长方体长，所以正面的周长愈
大表面积越大，图2 的正面周长是8h + 6b，图3 的周长是12h + 4b.两者的周长之
差为2（b − 2h）.
当b = 2h 时，图2 和图3 周长相等，可随意打包；当b < 2h 时，按图2 打包；当
b > 2h 时，按图3 打包.
中小学课外辅导领军品牌
- 79 -
3
2
1
h
b
a
【巩固】要把6 件同样的长17、宽7、高3 的长方体物品拼装成一件大的长方体，表面积
最小是多少？
【解析】考虑所有的包装方法，因为6 = 1 × 2 × 3，所以一共有两种拼接方式：
第一种按长宽高1 × 1 × 6 拼接，重叠面有三种选择，共3 种包装方法.
第二种按长宽高1 × 2 × 3 拼接，有3 个长方体并列方向的重叠面有三种选择，有2
个长方体并列方向的重叠面剩下2 种选择，一共有6 种包装方法.
其中表面积最小的包装方法如图所示，表面积为1034.
【例7】如图，在一个棱长为5 分米的正方体上放一个棱长为4 分米的小正方体，求这个
立体图形的表面积．
【解析】我们把上面的小正方体想象成是可以向下“压缩”的，“压缩”后我们发现：小正
方体的上面与大正方体上面中的阴影部分合在一起，正好是大正方体的上面.这样
这个立体图形的表面积就可以分成这样两部分：上下方向：大正方体的两个底面；
四周方向(左右、前后方向)：小正方体的四个侧面，大正方体的四个侧面．上下方
向：5×5× 2 = 50 (平方分米)；侧面：5×5× 4 =100 (平方分米)，4× 4× 4 = 64 (平方
分米)．这个立体图形的表面积为：50 +100 + 64 = 214 (平方分米)．
【例8】(2008 年“希望杯”五年级第2 试)如图，棱长分别为1厘米、2 厘米、3厘米、5
厘米的四个正方体紧贴在一起，则所得到的多面体的表面积是_______平方厘米．
中小学课外辅导领军品牌
- 80 -
【解析】(法1)四个正方体的表面积之和为：(12 + 22 + 32 + 52 )× 6 = 39×6 = 234 (平方厘米)，
重叠部分的面积为：
12 ×3 + (22 × 2 +12 ) + (32 + 22 +12 ) + (32 + 22 +12 ) = 3 + 9 +14 +14 = 40 (平方厘米)，
所以，所得到的多面体的表面积为：234 − 40 =194 (平方厘米)．
(法2)三视图法．从前后面观察到的面积为52 + 32 + 22 = 38平方厘米,从左右两个
面观察到的面积为52 + 32 = 34平方厘米，从上下能观察到的面积为52 = 25平方厘
米．
表面积为(38 + 34 + 25)× 2 =194 (平方厘米)．
【例9】把19 个棱长为1 厘米的正方体重叠在一起，按右图中的方式拼成一个立体图形.，
求这个立体图形的表面积．
【解析】从上下、左右、前后观察到的的平面图形如下面三图表示．因此，这个立体图形的
表面积为：2 个上面+2个左面+2个前面．上表面的面积为：9 平方厘米，左表面
的面积为：8 平方厘米，前表面的面积为：10 平方厘米．因此，这个立体图形的总
表面积为：(9 + 8+10)× 2 = 54 (平方厘米)．
上下面左右面前后面
【巩固】用棱长是1 厘米的立方块拼成如右图所示的立体图形，问该图形的表面积是多少
平方厘米?
中小学课外辅导领军品牌
- 81 -
【解析】该图形的上、左、前三个方向的表面分别由9、7、7 块正方形组成．
该图形的表面积等于(9 + 7 + 7)× 2 = 46个小正方形的面积，所以该图形表面积为46
平方厘米．
【例10】有30 个边长为1 米的正方体，在地面上摆成右上图的形式，然后把露出的表面
涂成红色．求被涂成红色的表面积．
【解析】4× 4 + (1+ 2 + 3+ 4)× 4 = 56 (平方米)．
【例11】棱长是m 厘米（m 为整数）的正方体的若干面涂上红色，然后将其切割成棱长是
1 厘米的小正方体．至少有一面红色的小正方体个数和表面没有红色的小正方体
个数的比为13 :12 ，此时m 的最小值是多少?
【解析】切割成棱长是1 厘米的小正方体共有m3个，由于其中至少有一面是红色的小正方
体与没有红色面的个数之比为13:12，而13 +12 = 25，所以小正方体的总数是25
的倍数，即m3是25 的倍数，那么m 是5 的倍数．
当m = 5时，要使得至少有一面的小正方体有65个，可以将原正方体的正面、上面
和下面涂色，此时至少一面涂红色的小正方体有5× 5 + 5× 4× 2 = 65个，表面没有
红色的小正方体有
125 − 65 = 60个，个数比恰好是13:12，符合题意.因此，m 的最小值是5．
【例12】有64个边长为1 厘米的同样大小的小正方体，其中34个为白色的，30个为黑色
的．现将它们拼成一个4× 4× 4的大正方体，在大正方体的表面上白色部分最多
可以是多少平方厘米？
【解析】要使大正方体的表面上白色部分最多，相当于要使大正方体表面上黑色部分最少，
那么就要使得黑色小正方体尽量不露出来．
在整个大正方体中，没有露在表面的小正方体有(4 − 2)3 = 8 (个)，用黑色的；在面
上但不在边上的小正方体有(4 − 2)2 × 6 = 24 (个)，其中30 − 8 = 22个用黑色．
这样，在表面的4× 4× 6 = 96个1×1的正方形中，有22个是黑色，96 − 22 = 74 (个)
是白色，所以在大正方体的表面上白色部分最多可以是74 平方厘米．
【例13】三个完全一样的长方体，棱长总和是288厘米，每个长方体相交于一个顶点的三
条棱长恰是三个连续的自然数，给这三个长方体涂色，一个涂一面，一个涂两面，
一个涂三面．涂色后把三个长方体都切成棱长为1 厘米的小正方体，只有一个面
中小学课外辅导领军品牌
- 82 -
涂色的小正方体最少有多少个？
【解析】每个长方体的棱长和是288 ÷ 3 = 96厘米，所以，每个长方体长、宽、高的和是
96 ÷ 4 = 24厘米．因为，每个长方体相交于一个顶点的三条棱长恰是三个连续的自
然数，所以，每个长方体的长、宽、高分别是9 厘米、8 厘米、7 厘米．
要求切割后只有一个面涂色的小正方体最少有多少个，则需每一个长方体按题意涂
色时，应让切割后只有一个面涂色的小正方体最少．所以，涂一面的长方体应涂一
个8× 7 面，有8× 7 = 56个；
涂两面的长方体，若两面不相邻，应涂两个8× 7 面，有8× 7 × 2 =112个；若两面
相邻，应涂一个8× 7 面和一个9× 7面，此时有7 × (8 + 9 − 2) = 105个，所以涂两面
的最少有105 个；
涂三面的长方体，若三面不两两相邻，应涂两个8× 7 面、一个9× 7 面，有
7×(8 + 8 + 9 − 4) =147 个； 若三面两两相邻， 有
(7 −1)×(8 −1) + (7 −1)×(9 −1) + (8 −1)×(9 −1) =146 个，所以涂三面的最少有146
个．
那么切割后只有一个面涂色的小正方体最少有56 +105 +146 = 307个．
【例14】把一个大长方体木块表面上涂满红色后，分割成若干个同样大小的小正方体，其
中恰好有两个面涂上红色的小正方体恰好是100 块，那么至少要把这个大长方体
分割成多少个小正方体？
【解析】设小正方体的棱长为1，考虑两种不同的情况，一种是长方体的长、宽、高中有一
个是1 的情况，另一种是长方体的长、宽、高都大于1 的情况．
当长方体的长、宽、高中有一个是1 时，分割后只有一层小正方体，其中有两个面
涂上红色的小正方体是去掉最外层一圈的小正方体后剩下的那些．因为有两个面涂
上红色的小正方体恰好是100 块，设100 = a ×b ，那么分成的小正方体个数为
(a + 2)× (b + 2)×1 = ab + 2(a +b) + 4 = 2(a +b) +104，为了使小正方体的个数尽量
少，应使(a +b )最小，而两数之积一定，差越小积越小，所以当a = b =10时它们
的和最小，此时共有
(10 + 2)× (10 + 2) =144个小正方体．
当长方体的长、宽、高都大于1 时，有两个面涂上红色的小正方体是去掉8 个顶点
所在的小正方体后12 条棱上剩余的小正方体，因为有两个面涂上红色的小正方体
恰好是100块，所以长方体的长、宽、高之和是100 ÷ 4 + 2× 3 = 31．由于三个数的
和一定，差越大积越小，为了使小正方体的个数尽量少，应该令31= 2 + 2 + 27，
此时共有2× 2× 27 = 108个小正方体．
因为108 5 > 4，容易知道第一次切下的正方体棱长应该是4厘米，第二次切时，切
下棱长为3厘米的正方体符合要求.第三次切时，切下棱长为2 厘米的正方体符合要
求．
那么对于原长方体来说，三次切下的正方体的棱长分别是12 厘米、9 厘米和6 厘
米，所以剩下的体积应是：21×15×12 − (123 + 93 + 63 ) =1107（立方厘米）.
中小学课外辅导领军品牌
- 84 -
12
12
9
9
9
6
6
6
3
12
12
6
3
9
12
【例17】有黑白两种颜色的正方体积木，把它摆成右图所示的形状，已知相邻(有公共面)
的积木颜色不同，标A 的为黑色，图中共有黑色积木多少块？
A
【解析】分层来看，如下图(切面平行于纸面)共有黑色积木17 块.
【巩固】这个图形，是否能够由1×1× 2的长方体搭构而成？
【解析】每一个1×1× 2的长方体无论怎么放，都包含了一个黑色正方体和一个白色正方体，
而黑色积木有17 块，白色积木有15 块，所以该图形不能够由1×1× 2的长方体搭
构而成.
【巩固】有许多相同的立方体，每个立方体的六个面上都写着同一个数字(不同的立方体可
以写相同的数字)先将写着2 的立方体与写着1 的立方体的三个面相邻，再将写着
3 的立方体写着2 的立方体相邻(见左下图)．依这样构成右下图所示的立方体，它
的六个面上的所有数字之和是多少?
中小学课外辅导领军品牌
- 85 -
3
3
2
2
3
3
2
3
3
2
2
3
2
3
1
1
1
1
1
1
【解析】第一层如下图，第二层、第三层依次比上面一层每格都多1(见下图)．
7
6
5
4
3
4
5
6
5
6
5
4
3
2
3
4
5
4
3
4
3
2
1
2
3
4
5
上面的9 个数之和是27，由对称性知，上面、前面、右面的所有数之和都是27．
同理，下面的9 个数之和是45，下面、左面、后面的所有数之和都是45．所以六
个面上所有数之和是(27 + 45)×3 = 216．
【例18】(05 年武汉明心杯数学挑战赛)如图所示，一个5×5×5的立方体，在一个方向上
开有1×1×5的孔，在另一个方向上开有2×1×5的孔，在第三个方向上开有3×1×5
的孔，剩余部分的体积是多少？表面积为多少？
【解析】求体积：
开了3×1×5的孔，挖去3×1×5 =15，开了1×1×5的孔，
挖去1×1×5 −1= 4；开了2×1×5的孔，
挖去2×1×5 − (2 + 2) = 6，
剩余部分的体积是：5×5×5 − (15 + 4 + 6) =100．
(另解)将整个图形切片，如果切面平行于纸面，那么五个切片分别如图：
得到总体积为：22× 4 +12 =100．
求表面积：
表面积可以看成外部和内部两部分．外部的表面积为5×5× 6 −12 =138，内部的面
积可以分为前
后、左右、上下三个方向，面积分别为2×(2×5 +1×5 −1× 2 −1×3) = 20、
2×(1×5 + 3×5 −1×3−1) = 32、2×(1×5 +1×5 −1×1− 2) =14，所以总的表面积为
138 + 20 + 32 +14 = 204．
(另解)运用类似于三视图的方法，记录每一方向上的不同位置上的裸露正方形个
中小学课外辅导领军品牌
- 86 -
数：
前后方向： 32
上下方向： 30 左右方向： 40
1
1
2
2
1
1
1
2
1
2
2
2
2
1
1
2
1
1
2
2
1
1
2
2
1
1
2
1
1
1
1
1
1
2
2
2
1
1
1
1
1
1
2
1
1
2
1
1
2
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
2
1
1
2
2
总表面积为2×(32 + 30 + 40) = 204．
【总结】“切片法”：全面打洞(例如本题，五层一样)，挖块成线(例如本题，在前一层的基
础上，一条线一条
线地挖)，这里体现的思想方法是：化整为零，有序思考！
【巩固】（2008 年香港保良局第12 届小学数学世界邀请赛）如图，原来的大正方体是由125
个小正方体所构成的．其中有些小正方体已经被挖除，图中涂黑色的部分就是贯穿整
个大正方体的挖除部分．请问剩下的部分共有多少个小正方体？
【解析】对于这一类从立体图形中间挖掉一 部8 分后再求体积（或小正方体数目）的题目一般
可以采用“切片法”来做，所谓“切片法”，就是把整个立体图形切成一片一片的
（或一层一层的），然后分别计算每一片或每一层的体积或小正方体数目，最后再
把它们相加．
采用切片法，俯视第一层到第五层的图形依次如下，其中黑色部分表示挖除掉的部
分．
1
2
3
4
5
从图中可以看出，第1、2、3、4、5 层剩下的小正方体分别有22 个、11 个、11 个、
6个、22 个，所以总共还剩下22 +11+11+ 6 + 22 = 72（个）小正方体．
【巩固】一个由125 个同样的小正方体组成的大正方体，从这个大正方体中抽出若干个小
正方体，把大正方体中相对的两面打通，右图就是抽空的状态．右图中剩下的小
正方体有多少个？
【解析】解法一：(用“容斥原理”来解)由正面图形抽出的小正方体有5×5 = 25个，由侧面
中小学课外辅导领军品牌
- 87 -
图形抽出的小正方体有5×5 = 25个，由底面图形抽出的小正方体有4×5 = 20个，
正面图形和侧面图形重合抽出的小正方体有1× 2 + 2×1+ 2× 2 = 8个，正面图形和底
面图形重合抽出的小正方体有1×3+ 2× 2 = 7个，底面图形和侧面图形重合抽出的
小正方体有1× 2 +1×1+ 2× 2 = 7个，三个面的图形共同重合抽出的小正方体有4个．
根据容斥原理，25 + 25+ 20 − 8− 7 − 7 + 4 = 52，所以共抽出了52 个小正方体．
125 − 52 = 73，所以右图中剩下的小正方体有73个．
注意这里的三者共同抽出的小正方体是4 个，必须知道是哪4 块，这是最让人头疼
的事．
但你可以先构造空的两个方向上共同部分的模型，再由第三个方向来穿过“花墙”．
这里，化虚为实的思想方法很重要．
解法二：(用“切片法”来解)
可以从上到下切五层，得：
⑴从上到下五层，如图：
⑵或者，从右到左五片，如图：
请注意这里的挖空的技巧是：先认一种方向．
比如：从上到下的每一层，首先都应该有第一层的空四块的情况，即——
如果挖第二层：第(1)步，把中间这些位置的四块挖走如图：
第(2)步，把从右向左的两块成线地挖走．(请注意挖通的效果就是成线挖去)，如
图：
第(3)步，把从前向后的一块(请注意跟第二层有关的只是一块！)挖成线！如图：
中小学课外辅导领军品牌
- 88 -
【例19】（2009 年迎春杯高年级组复赛）右图中的⑴⑵⑶⑷是同样的小等边三角形，⑸⑹
也是等边三角形且边长为⑴的2 倍，⑺⑻⑼⑽是同样的等腰直角三角形，⑾是正
方形．那么，以⑸⑹⑺⑻⑼⑽⑾为平面展开图的立体图形的体积是以⑴⑵⑶⑷为
平面展开图的立体图形体积的倍．
【解析】本题中的两个图都是立体图形的平面展开图，将它们还原成立体图形，可得到如下
两图：
其中左图是以⑴⑵⑶⑷为平面展开图的立体图形，是一个四个面都是正三角形的正
四面体，右图以⑸⑹⑺⑻⑼⑽⑾为平面展开图的立体图形，是一个不规则图形，底
面是⑾，四个侧面是⑺⑻⑼⑽，两个斜面是⑸⑹．
对于这两个立体图形的体积，可以采用套模法来求，也就是对于这种我们不熟悉的
立体图形，用一些我们熟悉的基本立体图形来套，看看它们与基本立体图形相比，
缺少了哪些部分．
由于左图四个面都是正三角形，右图底面是正方形，侧面是等腰直角三角形，想到
都用正方体来套．
对于左图来说，相当于由一个正方体切去4 个角后得到(如下左图，切去1 ABDA 、
1 CBDC 、1 1 1 D A C D 、1 1 1 B A C B )；而对于右图来说，相当于由一个正方体切去2 个
角后得到(如下右图，切去1 BACB 、1 DACD )．
中小学课外辅导领军品牌
- 89 -
D
1
C
1
B
1
A
1
D
C
B
A
A
B
C
D
A
1
B
1
C
1
D
1
假设左图中的立方体的棱长为a ，右图中的立方体的棱长为b ，则以⑴⑵⑶⑷为平
面展开图的立体图形的体积为： 3 1 2 1 4 1 3
2 3 3
a − a ×a × × = a ，
以⑸⑹⑺⑻⑼⑽⑾为平面展开图的立体图形的体积为3 1 2 1 2 2 3
2 3 3
b − b ×b × × = b ．
由于右图中的立方体的棱长即是题中正方形⑾的边长，而左图中的立方体的每一个
面的对角线恰好是正三角形⑴的边长，通过将等腰直角三角形⑺分成4 个相同的小
等腰直角三角形可以得到右图中的立方体的棱长是左图中的立方体的棱长的2 倍，
即b = 2a．
那么以⑴⑵⑶⑷为平面展开图的立体图形的体积与以⑸⑹⑺⑻⑼⑽⑾为平面展开
图的立体图形的体积的比为： 1 3 : 2 3 1 3 : 2 (2 )3 1:16
3 3 3 3
a b = a × a = ，也就是说以⑸⑹⑺
⑻⑼⑽⑾为平面展开图的立体图形的体积是以⑴⑵⑶⑷为平面展开图的立体图形
体积的16 倍．
【例20】图⑴和图⑵是以正方形和等边三角形为面的立体图形的展开图，图中所有的边长
都相同．请问：图⑴能围起来的立体图形的体积是图⑵能围起来的立体图形的体
积的几倍？
图⑴ 图⑵
【解析】首先，我们把展开图折成立体图形，见下列示意图：
图⑴ 图⑵
对于这类题目，一般采用“套模法”，即用一个我们熟悉的基本立体图形来套，这
样做基于两点考虑，一是如果有类似的模型，可以直接应用其计算公式；二是如果
中小学课外辅导领军品牌
- 90 -
可以补上一块或者放到某个模型里面，那么可以从这个模型入手．
我们把图⑴中的立体图形切成两半，再转一转，正好放进去！我们看到图⑴与图⑶
的图形位置的微妙关系：
1
3 !
60°
60°
图⑶ 图⑷
由图⑷可见，图⑴这个立体的体积与图⑶这个被切去了8 个角后的立体图形的体积
相等．
假设立方体的1 条边的长度是1，那么一个角的体积是1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 3 48
× × × × = ，所以
切掉8 个角后的体积是1 1 8 5
48 6
− × = ．
再看图⑵中的正四面体，这个正四面体的棱长与图⑶中的每一条实线线段相等，所
以应该用边长为1
2
的立方体来套．如果把图⑵的立体图形放入边长为1
2
的立方体
里的话是可以放进去的．
1
2
这是切去了四个角后的图形，从上面的分析可知一个角的体积为1
48
，所以图⑵的
体积是： 1 1 1 1 4 1
2 2 2 48 24
× × − × = ，那么前者的体积是后者的5 1 20
6 24
÷ = 倍．
【例21】如图，用高都是1米，底面半径分别为1.5米、1米和0.5米的3个圆柱组成一个物
体．问这个物体的表面积是多少平方米？( π 取3.14 )
中小学课外辅导领军品牌
- 91 -
1
1
1
0.5
1
1.5
【解析】从上面看到图形是右上图，所以上下底面积和为2×3.14×1.52 =14.13 (立方米)，侧
面积为2×3.14×(0.5 +1+1.5)×1=18.84 (立方米)，所以该物体的表面积是
14.13+18.84 = 32.97 (立方米)．
【例22】有一个圆柱体的零件，高10厘米，底面直径是6厘米，零件的一端有一个圆柱形
的圆孔，圆孔的直径是4 厘米，孔深5 厘米(见右图)．如果将这个零件接触空气
的部分涂上防锈漆，那么一共要涂多少平方厘米？
【解析】涂漆的面积等于大圆柱表面积与小圆柱侧面积之和，为
6π 10 π (6)2 2 4π 5 60π 18π 20π 98π 307.72
2
× + × × + × = + + = = (平方厘米)．
【例23】(第四届希望杯2 试试题)圆柱体的侧面展开，放平，是边长分别为10 厘米和12
厘米的长方形，那么这个圆柱体的体积是________立方厘米．(结果用π 表示)
【解析】当圆柱的高是12 厘米时体积为π (10 )2 12 300
2π π
× × = (立方厘米)
当圆柱的高是12厘米时体积为π (12 )2 10 360
2π π
× × = (立方厘米)．所以圆柱体的体积
为300
π
立方厘米或360
π
立方厘米．
【例24】如右图，是一个长方形铁皮，利用图中的阴影部分，刚好能做成一个油桶(接头
处忽略不计)，求这个油桶的容积．( π = 3.14 )
16.56m
【解析】圆的直径为：16.56 ÷ (1+ 3.14) = 4 (米)，而油桶的高为2 个直径长，即为：
中小学课外辅导领军品牌
- 92 -
4× 2 = 8(m)，故体积为100.48立方米．
【巩固】如图，有一张长方形铁皮，剪下图中两个圆及一块长方形，正好可以做成1 个圆
柱体，这个圆柱体的底面半径为10 厘米，那么原来长方形铁皮的面积是多少平方
厘米？( π = 3.14 )
10cm
【解析】做成的圆柱体的侧面是由中间的长方形卷成的，可见这个长方形的长与旁边的圆的
周长相等，则剪下的长方形的长，即圆柱体底面圆的周长为： 2× π ×10 = 62.8(厘
米)，
原来的长方形的面积为：（10× 4 + 62.8）×（10× 2）= 2056 (平方厘米)．
【例25】把一个高是8 厘米的圆柱体，沿水平方向锯去2 厘米后，剩下的圆柱体的表面积
比原来的圆柱体表面积减少12.56 平方厘米．原来的圆柱体的体积是多少立方厘
米？
【解析】沿水平方向锯去2 厘米后，剩下的圆柱体的表面积比原来的圆柱体表面积减少的部
分为减掉的2 厘米圆柱体的侧面积，所以原来圆柱体的底面周长为12.56 ÷ 2 = 6.28
厘米，底面半径为6.28 ÷ 3.14 ÷ 2 = 1厘米，所以原来的圆柱体的体积是
π ×12 ×8 = 8π = 25.12 (立方厘米)．
【例26】一个圆柱体的体积是50.24立方厘米，底面半径是2厘米．将它的底面平均分成
若干个扇形后，再截开拼成一个和它等底等高的长方体，表面积增加了多少平方
厘米？ ( π = 3.14 )
【解析】从图中可以看出，拼成的长方体的底面积与原来圆柱体的底面积相同，长方体的前
后两个侧面面积与原来圆柱体的侧面面积相等，所以增加的表面积就是长方体左右
两个侧面的面积．
(法1)这两个侧面都是长方形，且长等于原来圆柱体的高，宽等于圆柱体底面半径．
可知，圆柱体的高为50.24 ÷ (3.14× 22 ) = 4 (厘米)，所以增加的表面积为
2× 4× 2 =16 (平方厘米)；
(法2)根据长方体的体积公式推导．增加的两个面是长方体的侧面，侧面面积与长
方体的长的乘积就是长方体的体积．由于长方体的体积与圆柱体的体积相等，为
50.24 立方厘米， 而拼成的长方体的长等于圆柱体底面周长的一半， 为
3.14× 2 = 6.28厘米，所以侧面长方形的面积为50.24 ÷ 6.28 = 8平方厘米，所以增加
的表面积为8× 2 =16平方厘米．
【例27】(2008 年”希望杯”五年级第2试)一个拧紧瓶盖的瓶子里面装着一些水(如图)，
由图中的数据可推知瓶子的容积是_______ 立方厘米．( π 取3.14 )
中小学课外辅导领军品牌
- 93 -
8
(单位：厘米)
4
10
6
【解析】由于瓶子倒立过来后其中水的体积不变，所以空气部分的体积也不变，从图中可
以看出，瓶中的水构成高为6厘米的圆柱，空气部分构成高为10 − 8 = 2厘米的圆柱，
瓶子的容积为这两部分之和，所以瓶子的容积为：
π (4)2 (6 2) 3.14 32 100.48
2
× × + = × = (立方厘米)．
【巩固】一个酒精瓶，它的瓶身呈圆柱形(不包括瓶颈)，如图．已知它的容积为26.4π 立方
厘米．当瓶子正放时，瓶内的酒精的液面高为6 厘米；瓶子倒放时，空余部分的
高为2 厘米．问：瓶内酒精的体积是多少立方厘米？合多少升？
2
6
【解析】由题意，液体的体积是不变的，瓶内空余部分的体积也是不变的，因此可知液体体
积是空余部分体积的6 ÷ 2 = 3倍．所以酒精的体积为26.4π 3 62.172
3 1
× =
+
立方厘
米，而62.172立方厘米= 62.172毫升= 0.062172升．
【巩固】一个盖着瓶盖的瓶子里面装着一些水，瓶底面积为10 平方厘米，(如下图所示)，
请你根据图中 标明的数据，计算瓶子的容积是＿＿＿＿＿＿．
7cm
4cm
5cm
【解析】由已知条件知，第二个图上部空白部分的高为7 − 5 = 2cm，从而水与空着的部分的
比为4 : 2 = 2 :1，由图1 知水的体积为10× 4，所以总的容积为40 ÷ 2×(2 +1) = 60立
方厘米．
【例28】一个盛有水的圆柱形容器，底面内半径为5 厘米，深20 厘米，水深15厘米．今
将一个底面半径为2 厘米，高为17 厘米的铁圆柱垂直放入容器中．求这时容器
的水深是多少厘米？
【解析】若圆柱体能完全浸入水中，则水深与容器底面面积的乘积应等于原有水的体积与圆
柱体在水中体积之和，因而水深为：
2 2
2
5 15 2 17
5 π π 17.72
π
× × + × ×
× = (厘米)．
中小学课外辅导领军品牌
- 94 -
它比圆柱体的高度要大，可见圆柱体可以完全浸入水中．
于是所求的水深便是17.72 厘米．
【例29】有甲、乙两只圆柱形玻璃杯，其内直径依次是10 厘米、20 厘米，杯中盛有适量
的水．甲杯中沉没着一铁块，当取出此铁块后，甲杯中的水位下降了2 厘米；然
后将铁块沉没于乙杯，且乙杯中的水未外溢．问：这时乙杯中的水位上升了多少
厘米？
【解析】两个圆柱直径的比是1: 2 ，所以底面面积的比是1: 4 ．铁块在两个杯中排开的水的
体积相同， 所以乙杯中水升高的高度应当是甲杯中下降的高度的1
4
， 即
2 1 0.5
4
× = (厘米)．
【例30】如图，甲、乙两容器相同，甲容器中水的高度是锥高的1
3
，乙容器中水的高度是
锥高的2
3
，比较甲、乙两容器，哪一只容器中盛的水多？多的是少的的几倍？
【解析】设圆锥容器的底面半径为r ，高为h ，则甲、乙容器中水面半径均为2
3
r ，则有
1 π 2
3
V = r h 容器，
1 π 2 2 2 8 π 2
3 3 3 81
V = r × h = r h 乙水（ ） ， 1 π 2 1 π 2 2 2 19 π 2
3 3 3 3 81
V = r h − r × h = r h 甲水（ ） ，
2
2
19 π 19 81
8 π 8
81
V r h
V r h
甲水= =
乙水
，即甲容器中的水多，甲容器中的水是乙容器中水的19
8
倍．
【例31】(2008年仁华考题)如图，有一卷紧紧缠绕在一起的塑料薄膜，薄膜的直径为20厘
米，中间有一直径为8 厘米的卷轴，已知薄膜的厚度为0.04 厘米，则薄膜展开后
的面积是平方米．
20cm
8cm
100cm
中小学课外辅导领军品牌
- 95 -
【解析】缠绕在一起时塑料薄膜的体积为：
2 2 π 20 π 8 100 8400π
2 2
⎡ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎤ ⎢ × ⎜ ⎟ − × ⎜ ⎟ ⎥ × =
⎢⎣ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎥⎦
(立方厘米)，
薄膜展开后为一个长方体，体积保持不变，而厚度为0.04 厘米，所以薄膜展开后
的面积为
8400π ÷ 0.04 = 659400平方厘米= 65.94平方米．
另解：也可以先求出展开后薄膜的长度，再求其面积．
由于展开前后薄膜的侧面的面积不变，展开前为
2 2 π 20 π 8 84π
2 2
×⎛ ⎞ − ×⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
(平方厘
米)，展开后为一个长方形，宽为0.04厘米，所以长为84π ÷ 0.04 = 6594厘米，所
以展开后薄膜的面积为6594×100 = 659400平方厘米= 65.94平方米．
【巩固】图为一卷紧绕成的牛皮纸，纸卷直径为20 厘米，中间有一直径为6 厘米的卷轴．
已知纸的厚度为0.4 毫米，问：这卷纸展开后大约有多长？
【解析】将这卷纸展开后，它的侧面可以近似的看成一个长方形，它的长度就等于面积除以
宽．这里的宽就是纸的厚度，而面积就是一个圆环的面积．
因此，纸的长度：
3.14 102 3.14 32 3.14 (100 9) 7143.5
0.04 0.04
× − × × −
≈ ≈ = = 纸卷侧面积
纸的厚度
(厘米)
所以，这卷纸展开后大约71.4 米．
【例32】如图，ABC 是直角三角形，AB 、AC 的长分别是3 和4．将ΔABC 绕AC 旋转
一周，求ΔABC 扫出的立体图形的体积．( π = 3.14 )
C
B
A
4
3
【解析】如右上图所示，ΔABC 扫出的立体图形是一个圆锥，这个圆锥的底面半径为3，高
为4，
体积为：1 π 32 4 12π 37.68
3
× × × = = ．
【例33】已知直角三角形的三条边长分别为3cm，4cm，5cm ，分别以这三边轴，旋转一
周，所形成的立体图形中，体积最小的是多少立方厘米？( π 取3.14 )
【解析】以3 cm 的边为轴旋转一周所得到的是底面半径是4 cm ，高是3 cm 的圆锥体，体积
为1 3.14 42 3 50.24 (cm3 )
3
× × × =
中小学课外辅导领军品牌
- 96 -
以4 cm 的边为轴旋转一周所得到的是底面半径是3 cm ，高是4 cm 的圆锥体，体积
为1 3.14 32 4 37.68 (cm3 )
3
× × × =
以5 cm 的边为轴旋转一周所得到的是底面半径是斜边上的高3× 4 ÷ 5 = 2.4 cm 的
两个圆锥， 高之和是5 cm 的两个圆的组合体， 体积为
1 3.14 2.42 5 30.144 (cm3 )
3
× × × =
【巩固】如图，直角三角形如果以BC 边为轴旋转一周，那么所形成的圆锥的体积为16π ，
以AC 边为轴旋转一周，那么所形成的圆锥的体积为12π ，那么如果以AB 为轴旋
转一周，那么所形成的几何体的体积是多少？
A
B
C
【解析】设BC = a ，AC =b ，那么以BC 边为轴旋转一周，所形成的圆锥的体积为
2 π
3
ab ，
以AC 边为轴旋转一周，那么所形成的圆锥的体积为
2 π
3
a b ，由此可得到两条等式：
2
2
48
36
ab
a b
⎧ = ⎪⎨
⎩⎪ =
，两条等式相除得到4
3
b
a
= ，将这条比例式再代入原来的方程中就能得到
3
4
a
b
= ⎧⎨
⎩ =
，根据勾股定理，直角三角形的斜边AB 的长度为5 ，那么斜边上的高为2.4 ．
如果以AB 为轴旋转一周，那么所形成的几何体相当于两个底面相等的圆锥叠在一
起，底面半径为2.4 ，高的和为5，所以体积是
2.42 π 5 9.6π
3
×
= ．
【例34】如图，ABCD 是矩形，BC = 6cm，AB =10cm，对角线AC 、BD相交O．E 、
F 分别是AD 与BC 的中点，图中的阴影部分以EF 为轴旋转一周，则白色部分
扫出的立体图形的体积是多少立方厘米？( π 取3)
O
F
A
B
C
D
E
O
F
A
B
C
D
E
【解析】扫出的图形如右上图所示，白色部分实际上是一个圆柱减去两个圆锥后所形成的图
形．
两个圆锥的体积之和为2 1 π 32 5 30π 90
3
× × × × = = (立方厘米)；
中小学课外辅导领军品牌
- 97 -
圆柱的体积为π ×32 ×10 = 270 (立方厘米)，
所以白色部分扫出的体积为270 − 90 =180 (立方厘米)．
【巩固】(2006年第十一届华杯赛决赛试题)如图，ABCD 是矩形，BC = 6cm，AB =10cm ，
对角线AC 、BD 相交O ．图中的阴影部分以CD 为轴旋转一周，则阴影部分扫出
的立体的体积是多少立方厘米？
D
C
B
A
O
【解析】设三角形BCO 以CD 为轴旋转一周所得到的立体图形的体积是V ，则V 等于高为
10 厘米，底面半径是6 厘米的圆锥，减去2 个高为5 厘米，底面半径是3 厘米的
圆锥的体积后得到．
所以， 1 π 62 10 2 1 π 32 5 90π
3 3
V = × × × − × × × × = (立方厘米)，
那么阴影部分扫出的立体的体积是2V =180π = 540 (立方厘米)．
【例35】(人大附中分班考试题目)如图，在一个正方体的两对侧面的中心各打通一个长方
体的洞，在上下底面的中心打通一个圆柱形的洞．已知正方体边长为10 厘米，
侧面上的洞口是边长为4 厘米的正方形，上下底面的洞口是直径为4 厘米的圆，
求此立体图形的表面积和体积．
【解析】⑴先求表面积．表面积可分为外侧表面积和内侧表面积．
外侧为6 个边长10 厘米的正方形挖去4 个边长4 厘米的正方形及2 个直径4 厘米
的圆，所以，外侧表面积为：10×10× 6 − 4× 4× 4 − π × 22 × 2 = 536 − 8π (平方厘米)；
内侧表面积则为右上图所示的立体图形的表面积，需要注意的是这个图形的上下两
个圆形底面和前后左右4 个正方形面不能计算在内，所以内侧表面积为：
4×3×16 + 2×(4× __________4 − π × 22 ) + 2π × 2×3× 2 =192 + 32 − 8π + 24π = 224 +16π (平方厘
米)，
所以，总表面积为：224 +16π + 536 − 8π = 760 + 8π = 785.12 (平方厘米)．
⑵再求体积．计算体积时将挖空部分的立体图形取出，如右上图，只要求出这个几
何体的体积，用原立方体的体积减去这个体积即可．
挖出的几何体体积为：
4× 4×3× 4 + 4× 4× 4 + π × 22 ×3× 2 =192 + 64 + 24π = 256 + 24π (立方厘米)；
所求几何体体积为：10×10×10 − (256 + 24π) = 668.64 (立方厘米)．
中小学课外辅导领军品牌
- 98 -
课后练习
练习1. （《小学生数学报》邀请赛）从一个棱长为10 厘米的正方形木块中挖去一个长10
厘米、宽2 厘米、高2 厘米的小长方体，剩下部分的表面积是多少？(写出符合要
求的全部答案)
【解析】按图1 所示沿一条棱挖，为592 平方厘米；
按图2 所示在某一面上挖，为632 平方厘米；
按图3 所示在某面上斜着挖，为648 平方厘米；
按图4 所示挖通两个对面，为672 平方厘米．
图1 图2 图3 图
4
练习2. 一个酒瓶里面深30cm，底面内直径是10cm，瓶里酒深15cm．把酒瓶塞紧后使其
瓶口向下倒立这时酒深25cm ．酒瓶的容积是多少？( π 取3)
25
30
15
【解析】观察前后，酒瓶中酒的总量没变，即瓶中液体体积不变．
当酒瓶倒过来时酒深25cm ，因为酒瓶深30cm ，这样所剩空间为高5cm 的圆柱，
再加上原来15cm 高的酒即为酒瓶的容积．酒的体积： 15π 10 10 375π
2 2
× × =
瓶中剩余空间的体积(30 25)π 10 10 125π
2 2
− × × = ， 酒瓶容积：
375π +125π = 500π =1500(ml)
练习3. 如右图所示，由三个正方体木块粘合而成的模型，它们的棱长分别为1 米、2 米、
4 米，要在表面涂刷油漆，如果大正方体的下面不涂油漆，则模型涂刷油漆的面积
是多少平方米？
中小学课外辅导领军品牌
- 99 -
【解析】该图形从前、后、左、右四面观察到的面积都是12 + 22 + 42 = 21平方米，从上面观
察到的面积是42 =16 平方米，由于下面不涂油漆，所以涂刷油漆的面积是
21× 4 +16 =100平方米．
练习4. (2008 年第二届两岸四地”华罗庚金杯”少年数学精英邀请赛)一个圆柱体形状的
木棒，沿着底面直径竖直切成两部分．已知这两部分的表面积之和比圆柱体的表
面积大2008cm2，则这个圆柱体木棒的侧面积是________ cm2．( π 取3.14 )
【解析】根据题意可知，切开 后2 表面积增加的就是两个长方形纵切面．
设圆柱体底面半径为r ，高为h ，那么切成的两部分比原来的圆柱题表面积大：
2× 2r ×h = 2008(cm2 )，所以r ×h = 502(cm2 )，所以，圆柱体侧面积为：
2× π ×r ×h = 2× 3.14× 502 = 3152.56(cm2 )．
练习5. 如图，厚度为0.25毫米的铜版纸被卷成一个空心圆柱(纸卷得很紧，没有空隙)，
它的外直径是180 厘米，内直径是50 厘米．这卷铜版纸的总长是多少米？
【解析】卷在一起时铜版纸的横截面的面积为
2 2 π 180 π 50 7475π
2 2
×⎛ ⎞ − ×⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
(平方厘米)，
如果将其展开，展开后横截面的面积不变，形状为一个长方形，宽为0.25 毫米(即
0.025厘米)，所以长为7475π ÷ 0.025 = 938860厘米= 9388.6米．所以这卷铜版纸的
总长是9388.6米．
本题也可设空心圆柱的高为h ，根据展开前后铜版纸的总体积不变进行求解，其中
h 在计算过程将会
消掉．
月测备选
【备选1】如右图，一个正方体形状的木块，棱长l 米，沿水平方向将它锯成3 片，每片又
中小学课外辅导领军品牌
- 100 -
锯成4 长条，每条又锯成5 小块，共得到大大小小的长方体60 块．那么，这60
块长方体表面积的和是多少平方米?
【解析】我们知道每切一刀，多出的表面积恰好是原正方体的2 个面的面积．现在一共切了
(3 − 1) + (4 − 1) + (5 − 1) = 9 刀，而原正方体一个面的面积1 × l = 1(平方米)，所以
表面积增加了9 × 2 × 1 = 18(平方米)．原来正方体的表面积为6 × 1 = 6(平方米)，所
以现在的这些小长方体的表积之和为6 + 18=24(平方米)．
【备选2】一个透明的封闭盛水容器，由一个圆柱体和一个圆锥体组成，圆柱体的底面直径
和高都是12 厘米．其内有一些水，正放时水面离容器顶11厘米，倒放时水面离顶
部5厘米，那么这个容器的容积是多少立方厘米？( π = 3)
5cm
11cm
【解析】设圆锥的高为x 厘米．由于两次放置瓶中空气部分的体积不变，有：
5 π 62 (11 ) π 62 1 π 62
3
× × = − x × × + × × × x，解得x = 9，
所以容器的容积为： π 62 12 1 π 62 9 540π 1620
3
V = × × + × × × = = (立方厘米)．
【备选3】如图，有一个边长为20 厘米的大正方体，分别在它的角上、棱上、面上各挖掉
一个大小相同的小立方体后，表面积变为2454 平方厘米，那么挖掉的小立方体
的边长是多少厘米？
【解析】大立方体的表面积是20 × 20 × 6 = 2400 平方厘米．在角上挖掉一个小正方体后，外
面少了3 个面，但里面又多出3 个面；在棱上挖掉一个小正方体后，外面少了2
个面，但里面多出4 个面；在面上挖掉一个小正方体后，外面少了1 个面，但里面
多出5 个面．所以，最后的情况是挖掉了三个小正方体，反而多出了6 个面，可以
计算出每个面的面积：(2454 − 2400) ÷ 6 = 9 平方厘米，说明小正方体的棱长是3
厘米．
中小学课外辅导领军品牌
- 101 -
【备选4】一个圆柱体底面周长和高相等．如果高缩短4 厘米，表面积就减少50.24 平方厘
米．求这个圆柱体的表面积是多少？
4cm
【解析】圆柱体底面周长和高相等，说明圆柱体侧面展开是一个正方形．高缩短4 厘米，表
面积就减少50.24 平方厘米．阴影部分的面积为圆柱体表面积减少部分，值是50.24
平方厘米，所以底面周长是50.24 ÷ 4 =12.56 (厘米)，侧面积是：
12.56×12.56 = 157.7536(平方厘米)，两个底面积是：
( )2 3.14× 12.56 ÷ 3.14 ÷ 2 × 2 = 25.12 (平方厘米)．所以表面积为：
157.7536 + 25.12 = 182.8736(平方厘米)．
【备选5】(2009 年”希望杯”一试六年级)如图，圆锥形容器中装有水50 升，水面高度是
圆锥高度的一半，这个容器最多能装水升．
1
2
r
r
1
2
h
h
【解析】圆锥容器的底面积是现在装水时底面积的4 倍，圆锥容器的高是现在装水时圆锥高
的2 倍，所以容器容积是水的体积的8 倍，即50×8 = 400升．
中小学课外辅导领军品牌
- 102 -
第六讲：分数百分数应用题
教学目标
1. 分析题目确定单位“1”
2. 准确找到量所对应的率，利用量÷对应率＝单位“1”解题
3. 抓住不变量，统一单位“1” BJ03-Y0355
知识点拨：
一、知识点概述
分数应用题是研究数量之间份数关系的典型应用题，一方面它是在整数应用题上的延续
和深化，另一方面，它有其自身的特点和解题规律．在解这类问题时，分析中数量之间的关
系，准确找出“量”与“率”之间的对应是解题的关键．
关键：分数应用题经常要涉及到两个或两个以上的量，我们往往把其中的一个量看作是标准
量．也称为：单位“1”，进行对比分析。在几个量中，关键也是要找准单位“1”和对应的
百分率，以及对应量三者的关系
例如：（1）a 是b 的几分之几，就把数b 看作单位“1”．
（2）甲比乙多1
8
，乙比甲少几分之几？
方法一：可设乙为单位“1”，则甲为1 1 9
8 8
+ = ，因此乙比甲少1 9 1
8 8 9
÷ = .
方法二：可设乙为8 份，则甲为9 份，因此乙比甲少1 9 1
9
÷ = .
二、怎样找准分数应用题中单位“1”
（一）、部分数和总数
在同一整体中，部分数和总数作比较关系时，部分数通常作为比较量，而总数则
作为标准量，那么总数就是单位“1”。
例如：
我国人口约占世界人口的几分之几？——世界人口是总数，我国人口是部分数，世界
人口就是单位“1”。
解答题关键：只要找准总数和部分数，确定单位“1”就很容易了。
（二）、两种数量比较
分数应用题中，两种数量相比的关键句非常多。有的是“比”字句，有的则没有
“比”字，而是带有指向性特征的“占”、“是”、“相当于”。在含有“比”字的
关键句中，比后面的那个数量通常就作为标准量，也就是单位“1”。
例如：六（2）班男生比女生多——就是以女生人数为标准（单位“1”），
解题关键：在另外一种没有比字的两种量相比的时候，我们通常找到分率，看“占”
谁的，“相当于”谁的，“是”谁的几分之几。这个“占”，“相当于”，“是”后
面的数量——谁就是单位“！”。
（三）、原数量与现数量
有的关键句中不是很明显地带有一些指向性特征的词语，也不是部分数和总数的
关系。这类分数应用题的单位“1”比较难找。需要将题目文字完善成我们熟悉的类似
带“比”的文字，然后在分析。
例如：水结成冰后体积增加了，冰融化成水后，体积减少了。
中小学课外辅导领军品牌
- 103 -
完善后：水结成冰后体积增加了→ “水结成冰后体积比原来增加了” →原来的水是
单位“1”
冰融化成水后，体积减少了→ “冰融化成水后，体积比原来减少了” →原
来的冰是单位“1”
解题关键：要结合语文知识将题目简化的文字丰富后在分析
例题精讲
【例82】(小数报数学竞赛初赛)甲、乙两人星期天一起上街买东西，两人身上所带的钱
共计是86 元.在人民市场，甲买一双运动鞋花去了所带钱的4
9
，乙买一件衬衫花
去了人民币16 元．这样两人身上所剩的钱正好一样多．问甲、乙两人原先各带了
多少钱?
【解析】方法一：把甲所带的钱视为单位“1”，由题意，乙花去16 元后所剩的钱与甲所带钱的5
9
一样多，那么86 −16 元钱正好是甲所带钱的5 1
9
+ ， 那么甲原来带了
(86 16) (5 1) 45
9
− ÷ + = (元)，乙原来带了86 − 45 = 41(元)．
方法二：
86
16
4
设甲所带的钱数为9份，则甲和乙都还剩5份，所以每份是(86 −16 ÷ (9 + 5) = 5 (元)，
则甲原来带了5×9 = 45 (元)，乙原来带了5×5 +16 = 41 (元).
【巩固】一实验五年级共有学生152 人，选出男同学的1
11
和5 名女同学参加科技小组，剩
下的男、女人数正好相等。五年级男、女同学各有多少人？
【解析】根据题意画出线段图，找出量率对应：
题中所给的已知数量虽然没有直接的对应关系，但从中可以看出，如果女工去掉5
人就和男工人数的（1－ 1
11
）相对应，因此总人数也应去掉5 人，相应的与男工人
数的（1－ 1
11
＋1）相对应。因此男工有：（152－5）÷（1－ 1
11
＋1）=77（名）女
工有：152－77=75（名） 答：男共有77 名，女工有75 名。
【巩固】五年级有学生238人，选出男生的1
4
和14 名女生参加团体操，这时剩下的男生和
中小学课外辅导领军品牌
- 104 -
女生人数一样多，问：五年级女生有多少人？
【解析】男生人数为(238 14) (1 3) 128
4
− ÷ + = (人)，女生有： 128 3 14 110
4
× + = (人)．
【例83】甲、乙两个书架共有1100本书，从甲书架借出1
3
，从乙书架借出75% 以后，甲
书架是乙书架的2 倍还多150 本，问乙书架原有多少本书？
【解析】
甲甲甲
乙乙乙乙
共1100 本
甲
乙
甲
乙150 本
还剩下~ 甲的2
3
比乙的1
2
多150 本
甲
乙
甲
乙150 本
甲
乙
甲
乙150 本
甲的4
3
比乙多300 本
同时扩大两倍
这个题目的难点就在于甲乙的数目同时发生了变化，变化之后的关系是两倍还多
150 本，也就是说：甲的2
3
比乙的1
4
的两倍还多150 本，如果能够正确地理解和转
化这个条件，这道题也就迎刃而解了，从上图中不难看出，“甲的2
3
比乙的1
4
的两
倍还多150 本”其实也就是“甲的2
3
比乙的1
2
多150 本”，如果同时扩大两倍，他
们之间的关系就变成了“甲的4
3
比乙多300 本”，结合“甲乙的和为1100 本”这个
条件，这个问题就变成了一个简单的和倍问题了。
1 1 2
3 3
− = ， 1 75% 1
4
− = ，150 × 2 = 300 （本）， 1 2 1
4 2
× = ，
中小学课外辅导领军品牌
- 105 -
(1100 300) ( 2 2 1 2) 600
3 2
+ ÷ × + × = （本）…………甲的书本数目
1100 − 600 = 500（本）………………………………乙的书本数目
方法二：设甲原有x 本书， ( ) 1 1 150 2 1 75% 1100
3
x x ⎡⎛ ⎞ ⎤ ⎢⎜ − ⎟ − ⎥ ÷ ÷ − + = ⎣⎝ ⎠ ⎦
，解得
x = 600，则乙为500 本。
【例84】五年级上学期男、女生共有300人，这一学期男生增加1
25
，女生增加1
20
，共增
加了13 人．这一学年六年级男、女生各有多少人?
【解析】方法一：此题我们用假设法来解答．假设这一学期五年级男、女生人数都增加1
25
，
那么增加的人数应为300 1 12
25
× = (人)，这与实际增加的13人相差13 −12 =1 (人)．
相差1 人的原因是把女生增加的1
20
看成1
25
计算了，即少算了原女生人数的
1 1 1
20 25 100
− = ，也就是说这1人正好相当于上学期女生人数的1% ，可求出上学期
女生的人数： (13 300 1 ) ( 1 1 ) 100
25 20 25
− × ÷ − = ( 人) ， 男生人数为：
300 −100 = 200 (人)，这学年女生的人数： 100 (1 1 ) 105
20
× + = (人)，这学年男生的
人数： 200 (1 1 ) 208
25
× + = (人)．
方法二：本题可以看成男生1 份＋女生1 份＝13（人），那么男生20 份＋女生20
份=13×20＝260（人），对比分析可以看出：300—260＝40（人）对应男生的25—
20＝5（份），所以男生有40÷5×（25＋1）＝208（人），女生有300＋13—208＝
105（人）。
【巩固】把金放在水里称，其重量减轻1
19
，把银放在水里称，其重量减轻1
10
．现有一块
金银合金重770 克，放在水里称共减轻了50 克，问这块合金含金、银各多少克？
【解析】方法一：设合金含金x 克，则银有(770 − x) 克．依题意，列方程得：
1 1 (770 ) 50
19 10
x + − x = ，
解得x = 570，所以这块合金中金有570克，银有200克．
方法二：本题可以看成金1 份＋银1 份＝50（克），那么金10 份＋银10 份=50×10
＝500（克），对比分析可以看出：770—500＝270（克）对应金的19—10＝9（份），
所以金有270÷9×19＝570（人），银有770—570=200（人）。
【例85】光明小学有学生900人，其中女生的4
7
与男生的2
3
参加了课外活动小组，剩下的
340 人没有参加．这所小学有男、女生各多少人?
【解析】（用假设法）假设男生、女生都有2
3
的人参加了课外活动小组， 那么共有
中小学课外辅导领军品牌
- 106 -
900 2 600
3
× = (人)，比现在多出了600 − (900 − 340) = 40 (人)，这多出的40人即为
女生的2 4
3 7
⎛ − ⎞ ⎜ ⎟
⎝ ⎠
，所以女生人数为
40 2 4 420
3 7
÷ ⎛ − ⎞ = ⎜ ⎟
⎝ ⎠
(人)，男生人数为900 − 420 = 480 (人)．
【巩固】二年级两个班共有学生90人，其中少先队员有71人，又知一班少先队员占全班人
数的3
4
，二班少先队员占全班人数的5
6
，求两个班各有多少人？
【解析】本题与鸡兔同笼问题相似，根据鸡兔同笼问题的假设法，可求得一班人数为
(90 5 71) (5 3) 48
6 6 4
× − ÷ − = (人)，那么二班人数为90 − 48 = 42 (人)．
【例86】盒子里有红，黄两种玻璃球，红球为黄球个数的2
5
，如果每次取出4 个红球， 7 个
黄球，若干次后，盒子里还剩2 个红球， 50 个黄球，那么盒子里原有________
个玻璃球．
【解析】由于红球与黄球个数比为2 : 5 ，所以若每次取4 个红球，10 个黄球，则最后剩下
的红球与黄球的个数比仍为2 : 5 ，即最后剩下2 个红球，5 个黄球，而实际上是每
次取4 个红球， 7 个黄球，最后剩2 个红球， 50 个黄球，每次少取了3 个黄球，最
后多剩下45 个黄球， 所以一共取了45 ÷ 3 =15 次， 所以球的总数为
(4 + 7)×15 + 2 + 50 = 217个．
【巩固】甲乙两班的同学人数相等，各有一些同学参加课外天文小组，已知甲班参加的人
数恰好是乙班未参加人数的三分之一，乙班参加人数恰好是甲班未参加人数的四
分之一，问甲班没有参加的人数是乙班没有参加的人数的几分之几？
【解析】分别用甲参、甲未、乙参、乙未表示甲、乙班参加和未参加的人数，则：甲参+甲
未=乙参+乙未，
1 1 1 1 8
3 4 3 4 9
= = + = + 末=
参末末末末末末末
末
甲
将甲乙、乙甲代入上式，得乙甲甲乙,解得
乙
【例2】（ 2009 年第七届“希望杯”五年级一试）工厂生产一批产品，原计划15 天完成。
实际生产时改进了生产工艺，每天生产产品的数量比原计划每天生产产品数量的
5
11
多10 件，结果提前4 天完成了生产任务。则这批产品有件。
【解析】设原计划每天生产11份，则实际每天生产5 份加10 件，而根据题意这批产品共有
11×15 =165份，所以实际每天生产165 ÷ (15− 4) =15份，所以15份与5份加10件的
和相同，所以每份就是1件，所以这批产品共有165 件.或用方程来解.
【例3】有若干堆围棋子，每堆棋子数一样多，且每堆中白子都占28％．小明从某一堆中
拿走一半棋子，而且拿走的都是黑子，现在，在所有的棋子中，白子将占32％．
那么，共有棋子多少堆?
【解析】设每堆棋子为100 个有x 堆棋子，那么每堆中白子为28 个，黑子为72 个，那走一
半棋子且为黑子时，还剩白子为28x 个，黑子为（72x—50）个，所以列方程为：
28 32%
100 50
x
x
=
−
,解得x=4，所以有4 堆。
中小学课外辅导领军品牌
- 107 -
【例4】我从飞机的舷窗向外看去，看见了部分海岛、部分白云以及不大的一块海域，假
定白云占窗口画面的一半，它遮住了岛的1
4
，因此岛在窗口画面上只占1
4
，问被
白云遮住的那部分海洋占画面的多少？
【解析】5/12.
【例5】养殖专业户王老伯养了许多鸡鸭，鸡的只数是鸭的只数的 11
4
倍．鸭比鸡少几分
之几？
【解析】方法一：把鸭看成单位“1”，那么鸡就是11
4
，鸭比鸡少： (11 1) 11 1
4 4 5
− ÷ = (此时
的单位“1”是鸡的只数)．
方法二：设鸭有4 份，则鸡有5 份，所以鸭比鸡少1 5 1
5
÷ = .
【巩固】某校男生比女生多3
7
，女生比男生少几分之几？
【解析】方法一：男生比女生多3
7
，则男生有1 3 10
7 7
+ = ，女生比男生少3 10 3
7 7 10
÷ = .
方法二：设女生有7 份，则男生有10 份，所以女生比男生少3 10 3
10
÷ = .
【例6】学校阅览室里有36 名学生在看书，其中女生占4
9
，后来又有几名女生来看书，
这时女生人数占所有看书人数的9
19
．问后来又有几名女生来看书?
【解析】把总人数视为“1”，紧抓住男生人数不变进行解答．男生人数是36 (1 4) 20
9
× − = 人，
后来阅览室的总人数是20 (1 9 ) 38
19
÷ − = (名)，后来有38 − 36 = 2 (名)女生进来．
【巩固】（2009年五中小升初入学测试题）工厂原有职工128人，男工人数占总数的1
4
，
后来又调入男职工若干人，调入后男工人数占总人数的2
5
，这时工厂共有职工
人．
【解析】在调入的前后，女职工人数保持不变．在调入前，女职工人数为128 (1 1) 96
4
× − = 人，
调入后女职工占总人数的1 2 3
5 5
− = ，所以现在工厂共有职工96 3 160
5
÷ = 人．
【巩固】有甲、乙两桶油，甲桶油的质量是乙桶的5
2
倍，从甲桶中倒出5 千克油给乙桶后，
甲桶油的质量是乙桶的4
3
倍，乙桶中原有油千克．
【解析】原来甲桶油的质量是两桶油总质量的5 5
5 2 7
=
+
，甲桶中倒出5 千克后剩下的油的
中小学课外辅导领军品牌
- 108 -
质量是两桶油总质量的4 4
4 3 7
=
+
，由于总质量不变，所以两桶油的总质量为
5 (5 4) 35
7 7
÷ − = 千克，乙桶中原有油35 2 10
7
× = 千克．
【例7】（1）某工厂二月份比元月份增产10％，三月份比二月份减产10％．问三月份比
元月份增产了还是减产了？（2）一件商品先涨价15％，然后再降价15％，问现
在的价格和原价格比较升高、降低还是不变？
【解析】（1）设二月份产量是1，所以元月份产量为： 1 (1+10%)=10
11
÷ ，三月份产量为：
1−10%=0.9，因为10
11
＞0.9，所以三月份比元月份减产了
（ 2 ） 设商品的原价是1 ， 涨价后为1+15%=1.15 ， 降价15% 为：
1.15×(1−15%)=0.9775，现价和原价比较为：0.9775＜1，所以价格比较后是价
降低了。
【例8】某校三年级有学生240 人，比四年级多1
4
，比五年级少1
5
．四年级、五年级各
多少人？
【分析】比四年级,可以设四年级为4 份,（一般情况下可设“比”、“是”、等词后面的实际
量的份数为分数的分母）， 则三年级为5 份恰有240 人, 所以一每份就是
240 ÷5 = 48,所以四年级就有48×4 =192人,同理可设五年级有5份,则三年级有
4 份恰是240 人,所以五年级就有300 人.
【巩固】把100个人分成四队，一队人数是二队人数的11
3
倍，一队人数是三队人数的11
4
倍，那么四队有多少个人?
【解析】方法一：设一队的人数是“1”，那么二队人数是： 1 11 3
3 4
÷ = ，三队的人数是：
1 11 4
4 5
÷ = ， 1 3 4 51
4 5 20
+ + = ，因此，一、二、三队之和是：一队人数51
20
× ，因为
人数是整数，一队人数一定是20 的整数倍，而三个队的人数之和是51× (某一整
数)， 因为这是100 以内的数，这个整数只能是1．所以三个队共有51人，其中一、
二、三队各有20，15，16人．而四队有：100 −51 = 49 (人)．
方法二：设二队有3 份，则一队有4 份；设三队有4 份，则一队有5 份.为统一一
队所以设一队有[4,5] = 20份，则二队有15份，三队有16份，所以三个队之和为
15+16+ 20 = 51份，而四个队的份数之和必须是100的因数，因此四个队份数之
和是100份，恰是一份一人，所以四队有100 −51 = 49人(人).
【例9】新光小学有音乐、美术和体育三个特长班，音乐班人数相当于另外两个班人数的
2
5
，美术班人数相当于另外两个班人数的3
7
，体育班有58 人，音乐班和美术班
各有多少人？
【解析】条件可以化为：音乐班的人数是所有班人数的2 2
5 2 7
=
+
，美术班的学生人数是所
中小学课外辅导领军品牌
- 109 -
有班人数的3 3
7 3 10
=
+
，所以体育班的人数是所有班人数的1 2 3 29
7 10 70
− − = ，所以所
有班的人数为58 29 140
70
÷ = 人， 其中音乐班有140 2 40
7
× = 人， 美术班有
140 3 42
10
× = 人.
【巩固】甲、乙、丙三人共同加工一批零件，甲比乙多加工20 个，丙加工零件数是乙加工
零件数的4
5
，甲加工零件数是乙、丙加工零件总数的5
6
，则甲、丙加工的零件数
分别为个、个．
【解析】把乙加工的零件数看作1 ， 则丙加工的零件数为4
5
， 甲加工的零件数为
(1 4) 5 3
5 6 2
+ × = ，由于甲比乙多加工20 个，所以乙加工了20 (3 1) 40
2
÷ − = 个，甲、
丙加工的零件数分别为40 3 60
2
× = 个、40 4 32
5
× = 个．
【例10】王先生、李先生、赵先生、杨先生四个人比年龄，王先生的年龄是另外三人年龄
和的1
2
，李先生的年龄是另外三人年龄和的1
3
，赵先生的年龄是其他三人年龄
和的1
4
，杨先生26 岁，你知道王先生多少岁吗?
【解析】方法一：要求王先生的年龄，必须先要求出其他三人的年龄各是多少．而题目中出
现了三个“另外三人”所包含的对象并不同，即三个单位“1”是不同的，这就是
所说的单位“1”不统一，因此，解答此题的关键便是抓不变量，统一单位“1”．
题中四个人的年龄总和是不变的，如果以四个人的年龄总和为单位“1”，则单位
“1”就统一了．那么王先生的年龄就是四人年龄和的1 1
1 2 3
=
+
，李先生的年龄就
是四人年龄和的1 1
1 3 4
=
+
，赵先生的年龄就是四人年龄和的1 1
1 4 5
=
+
(这些过程
就是所谓的转化单位“1”)．则杨先生的年龄就是四人年龄和的1 1 1 1 13
3 4 5 60
− − − = ．
由此便可求出四人的年龄和：
26 1 1 1 1 120
1 2 1 3 1 4
÷⎛ − − − ⎞ = ⎜ + + + ⎟ ⎝ ⎠
(岁)，王先生的
年龄为： 120 1 40
3
× = (岁)．
方法二：设王先生年龄是1 份,则其他三人年龄和为2 份,则四人年龄和为3 份,同理
设李先生年龄为1 份,则四人年龄和为4 份,设赵先生年龄为1 份,则四人年龄和为5
份,不管怎样四人年龄和应是相同的,但是现在四人年龄和分别是3 份、4 份、5 份，
它们的最小公倍数是60 份，所以最后可以设四人年龄和为60 份，则王先生的年龄
就变为20 份，李先生的年龄就变为15 份，赵先生的年龄就变为12 份，则杨先生的
年龄为13 份，恰好是26 岁，所以1 份是2 岁，王先生年龄是20 份所以就是40 岁.
中小学课外辅导领军品牌
- 110 -
【巩固】甲、乙、丙、丁四个筑路队共筑1200 米长的一段公路，甲队筑的路是其他三个队
的
1
2
，乙队筑的路是其他三个队的
1
3
，丙队筑的路是其他三个队的
1
4
，丁队筑了
多少米？
【解析】甲队筑的路是其他三个队的1
2
，所以甲队筑的路占总公路长的1 = 1
1+2 3
；
乙队筑的路是其他三个队的1
3
，所以乙队筑的路占总公路长的1 = 1
1+3 4
；
丙队筑的路是其他三个队的1
4
，所以丙队筑的路占总公路长的1 = 1
1+4 5
，
所以丁筑路为： 1200 1 1 1 1 =260
3 4 5
×⎛ − − − ⎞ ⎜ ⎟
⎝ ⎠
（米）
【例11】(迎春杯决赛)小刚给王奶奶运蜂窝煤，第一次运了全部的3
8
，第二次运了50 块，
这时已运来的恰好是没运来的5
7
．问还有多少块蜂窝煤没有运来？
【解析】方法一:运完第一次后，还剩下5
8
没运，再运来50 块后，已运来的恰好是没运来的
5
7
，也就是说没运来的占全部的7
12
，所以，第二次运来的50 块占全部的：
5 7 1
8 12 24
− = ， 全部蜂窝煤有： 50 1 1200
24
÷ = ( 块) ， 没运来的有：
1200 7 700
12
× = (块)．
方法二：根据题意可以设全部为8 份，因为已运来的恰好是没运来的5
7
，所以可以
设全部为12份，为了统一全部的蜂窝煤，所以设全部的蜂窝煤共有[8,12] = 24份，
则已运来应是24 5 10
7 5
× =
+
份，没运来的24 7 14
7 5
× =
+
份，第一次运来9份，
所以第二次运来是10 −9 =1份恰好是50块，因此没运来的蜂窝煤有50×14 = 700
（块）.
【巩固】五(一)班原计划抽1
5
的人参加大扫除，临时又有2 个同学主动参加，实际参加扫
除的人数是其余人数的1
3
．原计划抽多少个同学参加大扫除？
【解析】又有2 个同学参加扫除后，实际参加扫除的人数与其余人数的比是1: 3 ，实际参加
人数比原计划多1 1 1
1 3 5 20
− =
+
． 即全班共有2 1 40
20
÷ = ( 人) ． 原计划抽
40 1 8
5
× = (人)参加大扫除．
【巩固】某校学生参加大扫除的人数是未参加大扫除人数的1
4
，后来又有20 名同学参加
中小学课外辅导领军品牌
- 111 -
大扫除，实际参加的人数是未参加人数的1
3
，这个学校有多少人？
【解析】20 1 1 400
3 1 4 1
÷⎛ − ⎞ = ⎜ + + ⎟ ⎝ ⎠
（人）.
【例12】小莉和小刚分别有一些玻璃球，如果小莉给小刚24 个，则小莉的玻璃球比小刚
少
7
3 ；如果小刚给小莉24 个，则小刚的玻璃球比小莉少
8
5 ，小莉和小刚原来共
有玻璃球多少个？
【解析】小莉给小刚24 个时，小莉是小刚的
7
4 (=1 一
7
3 )，即两人球数和的
11
4 ；小刚给小
莉24 个时，小莉是两人球数和的
11
8 (=
8 8 5
8
+ −
)，因此24+24 是两人球数和的
11
8 -
11
4 =
11
4 ．从而，和是(24+24) ÷
11
4 =132(个)．
【巩固】某班一次集会，请假人数是出席人数的
9
1 ，中途又有一人请假离开，这样一来，
请假人数是出席人数的
22
3 ，那么，这个班共有多少人？
【解析】因为总人数未变，以总人数作为”1”．原来请假人数占总人数的1
1+ 9
，现在请假
人数占总人数的3
3+ 22
，这个班共有：l÷( 3
3+ 22
- 1
1+ 9
)=50(人)．
【例13】小明是从昨天开始看这本书的，昨天读完以后，小明已经读完的页数是还没读的
页数1
9
，他今天比昨天多读了14 页，这时已经读完的页数是还没读的页数的1
3
，
问题是，这本书共有多少页？”
【解析】首先，可以直接运算得出，第一天小明读了全书的
1
9 1
1 1 10
9
=
+
，而前二天小明一共
读了全书的
1
3 1
1 1 4
3
=
+
， 所以第二天比第一天多读的14 页对应全书的
1 1 2 1
4 10 20
− × = 。所以整本书一共有14 1 280
20
÷ = （页）。此外，如果对分数的
掌握还不是很熟练的话，那么这道题可以采用设份数的方法：把这本书看作20 份，
那么昨天他看了2 份，而今天他看了2 份还多14 页，两天一共看了4 份还多14 页，
或者可以表示成20 ÷(1+ 3) = 5（份）。那么每份是14 ÷(5− 4) =14（页），这本
书共14×20 = 280（页）。两种方法都可以得到相同的结果。
中小学课外辅导领军品牌
- 112 -
【例14】某校有学生465人，其中女生的2
3
比男生的4
5
少20 人，那么男生比女生少多少
人?
【解析】方法一：女生的2
3
比男生的4
5
少20 人， 4 2 6
5 3 5
÷ = ， 20 2 30
3
÷ = ，所以女生比男
生的6
5
少30 人． 男生人数是(465 30) (1 6) 225
5
+ ÷ + = ( 人) ， 女生人数是
225 6 30 240
5
× − = （人），男生比女生少240 − 225 =15（人）。
方法二：
20
通过画图比较女生的1份加10 人恰好等于男生的两份，因此给每份女生加10 后，
男女生总份数就变为3×2+ 5 =11份，因此每份有(465 +10×3) ÷11 = 45人，男
生有45×5 = 225 女生人数是465− 225 = 240 ( 人) ， 男生比女生少
240− 225 =15 (人)．
【例15】某校四年级原有两个班，现在要重新编为三个班，将原一班的1
3
与原二班的1
4
组
成新一班，将原一班的1
4
与原二班的1
3
组成新二班，余下的30 人组成新三班．
如果新一班的人数比新二班的人数多1
10
，那么原一班有多少人？
【解析】新三班人数占原来两班人数之和的1 1 1 5
3 4 12
− − = ，所以，原来两班总人数为：
30 5 72
12
÷ = (人)，新一班与新二班人数之和为：72 − 30 = 42 (人)，新二班人数是：
42 (1 1 1) 20
10
÷ + + = (人)，新一班人数为：42 − 20 = 22 (人)，新一班与新二班人数
之差为22 − 20 = 2 ，而新一班与新二班人数之差为(原一班人数− 原二班人
数) (1 1)
3 4
× − ，故：原一班人数− 原二班人数2 (1 1) 24
3 4
= ÷ − = (人)，原一班人数
= (72 + 24) ÷ 2 = 48 (人)．
【巩固】某工厂对一、二两个车间的职工进行重组，将原来的一车间人数的1
2
和二车间人
数的1
3
分到一车间，将原来的一车间人数的1
3
和二车间人数的1
2
分到二车间，两
个车间剩余的140 人组成劳动服务公司，现在二车间人数比一车间人数多1
17
，现
在一车间有人，二车间有人．
【解析】由“将一车间人数的1
2
和二车间人数的1
3
分到一车间，将一车间人数的1
3
和二车间
中小学课外辅导领军品牌
- 113 -
人数的1
2
分到二车间”可知，现在一、二两车间的人数之和为总人数的1 1 5
2 3 6
+ = ，
所以劳动服务公司的140人占总人数的1 5 1
6 6
− = ，那么总人数为： 140 1 840
6
÷ = 人，
现在一、二两车间的人数之和为840 5 700
6
× = 人．由于现在二车间人数比一车间人
数多1
17
，所以现在一车间人数为700 (1 1 1 ) 340
17
÷ + + = 人，现在二车间人数为
700 − 340 = 360人．提示：可以继续求出原来一车间和二车间的人数．由于现在二
车间比一车间多20 人，所以原来二车间人数的1 1 1
2 3 6
− = 比一车间人数的1
6
多20
人， 那么原来二车间人数比乙车间人数多20 1 120
6
÷ = 人， 原来一车间有
(840 −120) ÷ 2 = 360人，原来二车间有360 +120 = 480人．
【例16】2008年第十三届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛(小学组)决赛林林倒满一杯纯
牛奶，第一次喝了1
3
，然后加入豆浆，将杯子斟满并搅拌均匀，第二次林林又喝
了1
3
，继续用豆浆将杯子斟满并搅拌均匀，重复上述过程，那么第四次后，林林
共喝了一杯纯牛奶总量的(用分数表示)。
【解析】大家要先分析清楚的是不论是否加入豆浆，每次喝到的都是杯子里剩下牛奶的1
3
，
要是能想清楚这一点那么这道题就变了一道找规律的问题了。
喝掉的牛奶剩下的牛奶
第一次
1
3
1 1 2
3 3
− =
第二次
2 1 2
3 3 9
× =
（喝掉剩下4
9
的1
3
）
2 2 4
3 3 9
× =
（剩下是第一次剩下2
3
的2
3
）
第三次
4 1 4
9 3 27
× =
（喝掉剩下4
9
的1
3
）
4 2 8
9 3 27
× =
（剩下是第一次剩下4
9
的2
3
）
第四次
8 1 8
27 3 81
× = （喝掉剩下8
27
的1
3
）
所以最后喝掉的牛奶为1 2 4 8 65
3 9 27 81 81
+ + + =
【例17】参加迎春杯数学竞赛的人数共有2000 多人.其中光明区占
3
1 ，中心区占
7
2 ，朝阳
区占
5
1 ，剩余的全是远郊区的学生.比赛结果，光明区有去的学生得奖，中心区
中小学课外辅导领军品牌
- 114 -
有
16
1 的学生得奖，朝阳区有
18
1 的学生得奖，全部获奖者的号
7
1 远郊区的学生．
那么参赛学生有多少名?获奖学生有多少名?
【解析】如下表所示，我们将题中所给的条件列在表格内：
有远郊区参赛的占参赛总数的1- 1 2 1 19
3 7 5 105
− − = 而光明区、中心区、朝阳区获奖
学生数占参赛总数的1 1 1
3 24 72
× = ， 2 1 1
7 16 56
× = ， 1 1 1
5 18 90
× = .所以有参赛学生
数是3、7、5、72、56、90 的倍数，即为2520 的倍数，而参赛学生总数只有2000
多人,所以只能是2520．光明区、中心区、朝阳区获奖学生共35+45+28=108 人，
占获奖总数的1 1 6
7 7
− = ，所以获奖学生总数为108÷ 6
7
=126.即参赛学生有2520
名，获奖学生有126 名．
【例18】一炉铁水凝成铁块，其体积缩小了1
34
，那么这个铁块又熔化成铁水（不计损耗），
其中体积增加了几分之几?
【解析】方法一：设铁水的体积为1，则铁块为1 1 33
34 34
− = ．现在变回来，那么铁块的体
积就要变为单位1 ， 则铁水的体积就为1 33 34
34 33
÷ = ， 故体积增加了：
(34 1) 1 1
33 33
− ÷ = .
方法二： 体积缩小是铁块比铁水缩小,所以可以设铁水为34 份,则铁块为33 份,铁
块又熔化成铁水,体积增加是比铁块增加,所以用差的1 份除以铁块的33 份就是答案
1
33
.
【巩固】水结成冰后体积增大它的1
10
. 问：冰化成水后体积减少它的几分之几？
【解析】设水的体积是10 份，则结成冰后体积为11份，冰化成水后比冰减少1 11 1
11
÷ = .
中小学课外辅导领军品牌
- 115 -
【例19】(2008 年清华附中考题)在下降的电梯中称重，显示的重量比实际体重减少1
7
；在
上升的电梯中称重，显示的重量比实际体重增加1
6
．小明在下降的电梯中与小刚
在上升的电梯中称得的体重相同，小明和小刚实际体重的比是．
【解析】小明在下降的电梯中称得的体重为其实际体重的6
7
，小刚在上升的电梯中称得的
体重为其实际体重的7
6
，而小明在下降的电梯中与小刚在上升的电梯中称得的体
重相同，所以小明和小刚实际体重的比是： 1 6 : 1 7 49 : 36
7 6
⎛ ÷ ⎞ ⎛ ÷ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
．
【例20】某工厂二月份比元月份增产1
10
，三月份比二月份减产1
10
．问三月份比元月份增
产了还是减产了？
【解析】工厂二月份比元月份增产1
10
， 将元月份产量看作1 ， 则二月份产量为：
1 (1 1 ) 11
10 10
× + = ， 三月比二月减产1
10
， 则三月份产量为：
11 (1 1 ) 99 1
10 10 100
× − = < ，所以三月份比元月份减产了．
【巩固】一件商品先涨价1
5
，然后再降价1
5
，问现在的价格和原价格比较升高、降低还是
不变？
【解析】1 (1 1) (1 1) 0.96 1
5 5
× + × − = < ，所以现在的价格比原价降低了.
【例21】如图⑴，线段MN 将长方形纸分成面积相等的两部分．沿MN 将这张长方形纸
对折后得到图⑵，将图⑵沿对称轴对折，得到图⑶，已知图⑶所覆盖的面积占长
方形纸面积的3
10
，阴影部分面积为6 平方厘米．长方形的面积是多少？
(3)
M
N
N
M
(2)
(1)
【解析】如图⑶所示，阴影部分是2 层，空白部分是4 层，如果将阴影部分缩小一半，即变
为3 平方厘米，那么阴影部分也变成4 层，此时覆盖面的面积占长方形纸片面积的
1
4
，即缩小的3 平方厘米相当于长方形纸片面积的( 3 1)
10 4
− ，所以长方形纸片面
积为3 ( 3 1) 60
10 4
÷ − = (平方厘米).
中小学课外辅导领军品牌
- 116 -
课后练习
a) 某小学六年级有三个班，一班和二班人数相等，三班的人数是全年级总人数的7
20
，并
且比一班多3人，六年级共有多少人？
【解析】根据条件“三班的人数占全年级的7
20
，并且比二班多3 人”可知一班、二班都比
全年级的7
20
少3 人，假设一班、二班都占全年级的7
20
，那么将比实际人数多出
3×2=6 人，比单位“1”多出（ 7
20
＋ 7
20
＋ 7
20
－1），两个数量正好对应。因此全
年级的人数为：3×2÷（ 7
20
＋ 7
20
＋ 7
20
－1）=120（人）六年级共有120 人。
b) 有三堆棋子，每堆棋子数一样多，并且都只有黑、白两色棋子．第一堆里的黑子和第
二堆里的白子一样多，第三堆里的黑子占全部黑子的2
5
，把这三堆棋子集中在一
起，问白子占全部棋子的几分之几?
【解析】不妨认为第二堆全是黑子，第一堆全是白子，(即将第一堆黑子与第二堆白子互换)，
第二堆黑子是全部棋子的
3
1 ，同时，又是黑子的1-
5
2 ．所以黑子占全部棋子的
3
1
÷(1-
5
2 )= 5
9
，白子占全部棋子的1- 5
9
= 4
9
.
c) 有红、黄、白三种球共160 个。如果取出红球的1/3，黄球的1/4，白球的1/5，则还
剩120 个；如果取出红球的1/5，黄球的1/4，白球的1/3，则剰116 个，问：（1）
原有黄球几个？ （2）原有红球、白球各有几个？
【解析】（1）两次共取出球160×2-（120＋116）＝84（个），共取出红、白球的1 1 8
3 5 15
+ = ，
黄球的1 1 1
4 4 2
+ = 。推知原有黄球(160 8 84) ( 8 1) 40( )
15 15 2
× − ÷ − = 个
160 40
1 1 40 1 160 120
3 4 5
+ = − ⎧⎪⎨
+ × + = − ⎪⎩
红白
（2）
红白
120
1 1 30
3 5
+ = ⎧⎪⎨
+ = ⎪⎩
红白
整理得
红白，解得红=45，白=75
d) 有一块菜地和一块稻田，菜地的一半和稻田的三分之一放在一起是13 公顷，稻田的一
半和菜地的三分之一合在一起是12 公顷。那么这块稻田有多少公顷？
【解析】( + ) 1 + 1 =13+12
2 3
×⎛ ⎞ ⎜ ⎟
⎝ ⎠
菜地稻田， 整理得到菜地+稻田=30 ，
1 ( + )=15
2
菜地稻田，而题目中1 + 1 =13
2 3
菜地稻田，两者对比分析得到，稻田
为(15 13) 1 1 12
2 3
− ÷⎛ − ⎞ = ⎜ ⎟
⎝ ⎠
(公顷)
中小学课外辅导领军品牌
- 117 -
e) 学校派出60 名选手参加2008 年“华罗庚金杯小学数学邀请赛”，其中女选手占1
4
．正
式比赛时有几名女选手因故缺席，这样就使女选手人数变为参赛选手总数的2
11
．
正式参赛的女选手有多少名？
【解析】因为女选手人数有变化，男选手人数未变，所以抓住男选手人数不变求解．把总人
数视为“1”， 男选手人数是60×(1- 1
4
)=45(人)，男选手人数占正式参赛选手总
数的1- 2
11
，所以正式参赛选手总数是：45÷(1- 2
11
)=55(人)，正式参赛的女选手
人数是55× 2
11
=10(人)。
f) 四只小猴吃桃，第一只小猴吃的是另外三只的总数的1
3
，第二只小猴吃的是另外三只
吃的总数的1
4
，第三只小猴吃的是另外三只的总数的1
5
，第四只小猴将剩下的46
个桃全吃了.问四只小猴共吃了多少个桃？
【解析】根据题意知前三只小猴分别吃了总数的1
4
， 1
5
， 1
6
，
所以四只小猴共吃了46 (1 1 1 1) 120
4 5 6
÷ − − − = （个）
月测备选
【备选1】五年级选出男生的1
11
和12 名女生参加数学竞赛，剩下的男生人数是女生的2 倍．
已知五年级共有
学生156 人，其中男生有多少人?
【解析】方法一：把男生人数视为单位“ 1 ”，未参加比赛的女生是： (1 1 ) 2 5
11 11
− ÷ = ，
156 −12 = 144 (人)是男生和剩下的女生人数，所以男生有144 (1 5 ) 99
11
÷ + = (人).
方法二：设五年级男生有11份，所以每份是(156 −12) ÷[(11+ (11−1) ÷2] = 9 (人)，所
以男生有9×11= 99 (人).
【备选2】甲、乙两个书架，已知甲书架有600 本书，从甲书架借出1
3
，从乙书架借出75%
以后，甲书架是
乙书架的2 倍还多150 本，乙书架原有多少本书？
【解析】甲原有600 本书，借出去1
3
之后还有600 (1 1) 400
3
× − = 本，这个时候是乙现在的两
倍还多150，因此现在乙剩下的书为(400 −150) ÷ 2 =125本，而这125本正好是乙
中小学课外辅导领军品牌
- 118 -
借出去75% 以后剩下的，因此乙原来的书本数目便很容易求出了。根据题意可知，
乙书架原有(600 600 1 150) 2 (1 75%) 500
3
− × − ÷ ÷ − = 本书．
【备选3】甲、乙两班共有学生100 人，甲班的3
4
比乙班的5
6
少1 人，乙班有学生人．
【解析】根据题意可知，甲班人数比乙班人数的5 4 10
6 3 9
× = 少4
3
人，那么甲、乙两班人数之
和比乙班人数的(1 10)
9
+ 少4
3
人，故乙班人数为(100 4) (1 10) 48
3 9
+ ÷ + = 人．
【备选4】一堆围棋子，黑子的个数是白子的3 倍，每次拿5 枚黑子，2 枚白子，拿了若干
次后，白子拿完，
还剩11 枚黑子．这堆棋子中，共有白子个．
【解析】由于原来黑子的个数是白子的3 倍，假如拿的时候每次拿6 枚黑子和2 枚白子，则
当白子拿完的时候黑子也恰好拿完，而现在每次拿5 枚黑子，比每次拿6 枚少拿1
枚，最后还剩下11枚黑子，所以共拿了11次，这堆棋子中共有白子2×11= 22枚．
【备选5】某公司有1
5
的职员参加新产品的开发工作，后来又有2 名职工主动参加，这样参
加新产品开发的职
工人数是其余人数的1
3
，原来有多少职工参加开发工作？
【解析】后来参加新产品开发的职工人数是总人数的1 1
1 3 4
=
+
，所以新加入的2 个人占总人
数的1 1 1
4 5 20
− = ，那么职工总人数为2 1 40
20
÷ = 人，原来参加开发的职工数是
40 1 8
5
× = 人．
【备选6】兄弟四人去买电视,老大带的钱是另外三人的一半,老二带的钱是另外三人的1/3,
老三带
的钱是另外三人总钱数的1/4，老四带91 元，兄弟四人一共带了多少钱？
【解析】老大带的钱是另外三人的一半，也就说老大带的钱是一共带钱的1/3，同理老二带
的钱是一共带钱的1/4，老三带的钱是一共带钱的1/5，所以老四带的钱是一共带
钱的：1-1/3-1/4-1/5=13/60
四人一共带的钱：91 除以13/60=420（元）__