2024届高考数学二轮复习专题强化练(九)含答案

这是一份2024届高考数学二轮复习专题强化练(九)含答案，共12页。

(1)2020—2022年疫情特殊时期，旅游业受到重挫，现剔除这三年的数据，再根据剩余样本数据(xi，yi)(i＝1，2，3，…，7)建立国内游客人数y关于年份代号x的一元线性回归模型；
(2)2023年春节期间旅游市场繁荣火爆，预计2023年国内旅游人数约4 550百万人次，假若2024—2027年能延续2013—2019年的增长势头，请结合以上信息预测2027年国内游客人数．
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为eq \(b,\s\up6(^))＝eq \f(\i\su(i＝1,n, )（x i－\(x,\s\up6(－))）（yi－\(y,\s\up6(－))）,\i\su(i＝1, n, )（x i－\(x,\s\up6(－))）2)，
eq \(a,\s\up6(^))＝y－eq \(b,\s\up6(^))x.
参考数据：eq \i\su(i＝1,7, )yi ＝31 843，eq \i\su(i＝1,7, )(xi－4) (yi－4 549)＝13 104.
解：(1) eq \(x,\s\up6(－))＝eq \f(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7,7)＝4，
eq \(y,\s\up6(－))＝eq \f(1,7)eq \i\su(i＝1,7, )yi ＝eq \f(31 843,7)＝4 549，
eq \i\su(i＝1,7, )(xi－4)2＝(－3)2＋(－2)2＋(－1)2＋02＋12＋22＋32＝28，
所以eq \(b,\s\up6(^))＝eq \f(\i\su(i＝1,7, )（x i－4）（yi－4 549）,\i\su(i＝1, 7, )（x i－\(x,\s\up6(－))）2),eq \f(13 104,28)＝468，eq \(a,\s\up6(^))＝eq \(y,\s\up6(－))－eq \(b,\s\up6(^))eq \(x,\s\up6(－))＝4 549－468×4＝2 677，
所以国内游客人数y关于年份代号x的一元线性回归模型为eq \(y,\s\up6(^))＝468x＋2 677.
(2)在eq \(y,\s\up6(^))＝468x＋2 677中，取x＝11，可得eq \(y,\s\up6(^))＝468×11＋2 677＝7 825.
即预测2027年国内游客人数为7 825百万人次．
2．(2023·广东模拟)数独是源自18世纪瑞士的一种数学游戏，玩家需要根据9×9盘面上的已知数字，推理出所有剩余空格的数字，并满足每一行、每一列、每一个粗线宫(3×3)内的数字均含1～9，不重复．数独爱好者小明打算报名参加“丝路杯”全国数独大赛初级组的比赛．
(1)赛前小明在某数独APP上进行一段时间的训练，每天的解题平均速度y(秒)与训练天数x(天)有关，经统计得到如表的数据：
现用y＝a＋eq \f(b,x)作为回归方程模型，请利用表中数据，求出该回归方程，并预测小明经过100天训练后，每天解题的平均速度y约为多少秒？
参考数据：其中ti＝eq \f(1,xi)
参考公式：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回归直线eq \(v,\s\up6(^))＝eq \(α,\s\up6(^))＋eq \(β,\s\up6(^))u的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为eq \(β,\s\up6(^))＝eq \f(\i\su(i＝1,n, )u i v i－n\(u,\s\up6(－))·\(v,\s\up6(－)),\i\su(i＝1, n, )u eq \\al(2,i)－n\(u,\s\up6(－))2)，eq \(α,\s\up6(^))＝eq \(v,\s\up6(－))－eq \(β,\s\up6(^))·eq \(u,\s\up6(－)).
(2)小明和小红在数独APP上玩“对战赛”，每局两人同时开始解一道数独题，先解出题的人获胜，两人约定先胜4局者赢得比赛．若小明每局获胜的概率为eq \f(2,3)，已知在前3局中小明胜2局，小红胜1局．若不存在平局，请你估计小明最终赢得比赛的概率．
解：(1)由题意，eq \(y,\s\up6(－))＝eq \f(1,7)(990＋990＋450＋320＋300＋240＋210)＝500，
令t＝eq \f(1,x)，设y关于t的线性回归方程为y＝eq \(b,\s\up6(^))t＋eq \(a,\s\up6(^))，则
eq \(b,\s\up6(^))＝eq \f(\i\su(i＝1,7, )t i·y i－7\(t,\s\up6(－))·\(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1, 7, )t eq \\al(2,i)－7\(t,\s\up6(－))2)＝eq \f(1 845－7×0.37×500,0.55)＝1 000，
则eq \(a,\s\up6(^))＝500－1 000×0.37＝130.
所以y＝1 000t＋130，
又t＝eq \f(1,x)，所以y关于x的回归方程为y＝eq \f(1 000,x)＋130，
故x＝100时，y＝140.
所以经过100天训练后，每天解题的平均速度y约为140秒．
(2)设比赛再继续进行X局小明最终获得比赛，则最后一局一定是小明获胜，
由题意知，最多再进行4局就有胜负．
当X＝2时，小明4∶1胜，所以P(X＝2)＝eq \f(2,3)×eq \f(2,3)＝eq \f(4,9)；
当X＝3时，小明4∶2胜，所以P(X＝3)＝Ceq \\al(1,2)×eq \f(2,3)×(1－eq \f(2,3))×eq \f(2,3)＝eq \f(8,27)；
当X＝4时，小明4∶3胜，所以P(X＝4)＝Ceq \\al(1,3)×eq \f(2,3)×(1－eq \f(2,3))2×eq \f(2,3)＝eq \f(4,27).
所以小明最终赢得比赛的概率为eq \f(4,9)＋eq \f(8,27)＋eq \f(4,27)＝eq \f(8,9).
3．(2023·普宁校级二模)2020年10月份黄山市某开发区一企业顺利开工复产，该企业生产不同规格的一种产品，根据检测标准，其合格产品的质量y(单位：g)与尺寸x(单位：mm)之间近似满足关系式y＝c·xb(b、c为大于0的常数)．按照某项指标测定，当产品质量与尺寸的比在区间(eq \f(e,9)，eq \f(e,7))内时为优等品．现随机抽取6件合格产品，测得数据如下：
(1)现从抽取的6件合格产品中再任选3件，记ξ为取到优等品的件数试求随机变量ξ的分布列和期望；
(2)根据测得数据作了初步处理，得相关统计量的值如表：
①根据所给统计量，求y关于x的回归方程；
②已知优等品的收益z(单位：千元)与x，y的关系为z＝2y－0.32x，则当优等品的尺寸x为何值时，收益z的预报值最大？(精确到0.1)
参考公式：对于样本(vi，ui)(i＝1，2，…，n)，其回归直线u＝b·v＋a的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为eq \(b,\s\up6(^))＝eq \f(\i\su(i＝1,n, )（v i－\(v,\s\up6(－))）（ui－\(u,\s\up6(－))）,\i\su(i＝1, n, )（v i－\(v,\s\up6(－))）2)eq \f(\i\su(i＝1,n, ) v iu i－n\(v,\s\up6(－)) \(u,\s\up6(－)),\i\su(i＝1, n, ) veq \\al(2,i)－n\(v,\s\up6(－))2)，eq \(a,\s\up6(^))＝eq \(u,\s\up6(－))－eq \(b,\s\up6(^))·eq \(v,\s\up6(－)),
e≈2.718 2.
解：（1）由已知，优等品的质量与尺寸的比在区间(eq \f(e,9)，eq \f(e,7))内，即eq \f(y,x)∈（0.302，0.388）则随机抽取的6件合格产品中，有3件为优等品，3件为非优等品.现从抽取的6件合格产品中再任选3件，则取到优等品的件数ξ＝0，1，2，3
P(ξ＝0)＝eq \f(Ceq \\al(0,3)Ceq \\al(3,3),Ceq \\al(3,6))＝eq \f(1,20)，P(ξ＝1)＝eq \f(Ceq \\al(1,3)Ceq \\al(2,3),Ceq \\al(3,6))＝eq \f(9,20)，
P(ξ＝2)＝eq \f(Ceq \\al(2,3)Ceq \\al(1,3),Ceq \\al(3,6))＝eq \f(9,20)，P(ξ＝3)＝eq \f(Ceq \\al(3,3)Ceq \\al(0,3),Ceq \\al(3,6))＝eq \f(1,20).
ξ的分布列为
所以E(ξ)＝0×eq \f(1,20)＋1×eq \f(9,20)＋2×eq \f(9,20)＋3×eq \f(1,20)＝eq \f(3,2).
(2)对y＝c·xb(b，c>0)两边取自然对数得ln y＝ln c＋bln x，
令vi＝ln xi，ui＝ln yi，得u＝b·v＋a，且a＝ln c，
①根据所给统计量及最小二乘估计公式有：
eq \(b,\s\up6(^))＝eq \f(\i\su(i＝1,n, )vi·u i－n\(v,\s\up6(－))·\(u,\s\up6(－)),\i\su(i＝1, n, )v eq \\al(2,i)－n\(v,\s\up6(－))2)＝eq \f(75.3－24.6×18.3÷6,101.4－24.62÷6)＝eq \f(0.27,0.54)＝eq \f(1,2)，
eq \(a,\s\up6(^))＝eq \(u,\s\up6(－))－eq \(b,\s\up6(^))eq \(v,\s\up6(－))＝(18.3－eq \f(1,2)×24.6)÷6＝1，得eq \(a,\s\up6(^))＝ln eq \(c,\s\up6(^))＝1，
故eq \(c,\s\up6(^))＝e.
所求y关于x的回归方程为y＝e·xeq \s\up6(\f(1,2))，
②由①可知，eq \(y,\s\up6(^))＝e·xeq \s\up6(\f(1,2))，则eq \(z,\s\up6(^))＝2eeq \r(x)－0.32x，
由优等品质量与尺寸的比eq \f(\(y,\s\up6(^)),x)＝eq \f(ex\s\up6(\f(1,2)),x)＝eq \f(e,\r(x))∈(eq \f(e,9)，eq \f(e,7))⇒
eq \r(x)∈(7，9)，即x∈(49，81)．
令t＝eq \r(x)∈(7，9)，eq \(z,\s\up6(^))(t)＝－0.32t2＋2et＝－0.32(t－eq \f(e,0.32))2＋eq \f(e2,0.32)，
当t＝eq \r(x)＝eq \f(e,0.32)≈8.5∈(7，9)时，eq \(z,\s\up6(^))取最大值，
即优等品的尺寸x≈72.3(mm)，收益eq \(z,\s\up6(^))的预报值最大．
4．(2023·深圳二模)飞盘运动是一项入门简单，又具有极强的趣味性和社交性的体育运动，目前已经成为了年轻人运动的新潮流．某俱乐部为了解年轻人爱好飞盘运动是否与性别有关，对该地区的年轻人进行了简单随机抽样，得到如下列联表：
(1)在上述爱好飞盘运动的年轻人中按照性别采用分层抽样的方法抽取10人，再从这10人中随机选取3人访谈，记参与访谈的男性人数为X，求X的分布列和数学期望；
(2)依据小概率值α＝0.01的独立性检验，能否认为爱好飞盘运动与性别有关联？如果把上表中所有数据都扩大到原来的10倍，在相同的检验标准下，再用独立性检验推断爱好飞盘运动与性别之间的关联性，结论还一样吗？请解释其中的原因．
附：χ2＝eq \f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)，其中n＝a＋b＋c＋d.
解：(1)样本中爱好飞盘运动的年轻人中男性16人，女性24人，比例为4∶6，
按照性别采用分层抽样的方法抽取10人，则抽取男性4人，女性6人，
随机变量X的取值为：0，1，2，3，
P(X＝0)＝eq \f(Ceq \\al(3,6),Ceq \\al(3,10))＝eq \f(1,6)，
P(X＝1)＝eq \f(Ceq \\al(1,4)Ceq \\al(2,6),Ceq \\al(3,10))＝eq \f(1,2)，
P(X＝2)＝eq \f(Ceq \\al(2,4)Ceq \\al(1,6),Ceq \\al(3,10))＝eq \f(3,10)，
P(X＝3)＝eq \f(Ceq \\al(3,4),Ceq \\al(3,10))＝eq \f(1,30)，
随机变量X的分布列为：
随机变量X的数学期望E(X)＝0×eq \f(1,6)＋1×eq \f(1,2)＋2×eq \f(3,10)＋3×eq \f(1,30)＝eq \f(6,5).
(2)零假设为H0：爱好飞盘运动与性别无关联．
根据列联表的数据，经计算得到
χ2＝eq \f(50×（6×24－4×16）2,10×40×22×28)≈1.2996.635＝x0.01，
根据小概率值α＝0.01的独立性检验，推断H0成立，即认为爱好飞盘运动与性别有关联；所以结论不一样，原因是每个数据都扩大为原来的10倍，相当于样本量变大为原来的10倍，导致推断结论发生了变化．
5．(2023·高州一模)小家电指除大功率、大体积家用电器(如冰箱、洗衣机、空调等)以外的家用电器，运用场景广泛，近年来随着科技发展，智能小家电市场规模呈持续发展趋势，如表为2017—2021年中国智能小家电市场规模(单位：千亿元)，其中2017—2021年对应的代码依次为1～5.
(1)由表数据可知，可用线性回归模型拟合y与x的关系，请用相关系数加以说明；
(2)建立y关于x的经验回归方程(系数精确到0.01)；
(3)某传媒公司为了了解中国智能小家电消费者年龄分布，随机调查了200名消费者，统计这200名消费者年龄，按照青少年与中老年分为两组，得到如下2×2列联表：
依据α＝0.001的独立性检验，能否认为是否喜欢购买智能小家电与年龄有关？
参考数据：eq \(y,\s\up6(－))＝1.32，eq \i\su(i＝1,5, )xiyi＝21.4，
eq \r(eq \i\su(i＝1,5, )(yi－eq \(y,\s\up6(－)))2)≈0.55，eq \r(10)≈3.16，
参考公式：相关系数r＝eq \f(\i\su(i＝1,n, )（xi－\(y,\s\up6(－))）（yi－\(y,\s\up6(－))）,\r(\i\su(i＝1, n, )（xi－\(x,\s\up6(－))）2)\r(\i\su(i＝1, n, )（yi－\(y,\s\up6(－))）2)),
回归方程eq \(y,\s\up6(^))＝eq \(b,\s\up6(^))x＋eq \(a,\s\up6(^))中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为eq \(b,\s\up6(^))＝eq \f(\i\su(i＝1,n, )x i yi－n\(x,\s\up6(－))\(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1, n, )x eq \\al(2,i)－n\(x,\s\up6(－))2)，
eq \(a,\s\up6(^))＝eq \(y,\s\up6(－))－eq \(b,\s\up6(^))eq \(x,\s\up6(－)).
χ2＝eq \f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)，n＝a＋b＋c＋d.
附：
解：(1)由表中数据可得，eq \(x,\s\up6(－))＝eq \f(1,5)×(1＋2＋3＋4＋5)＝3，
eq \(y,\s\up6(－))＝1.32，
eq \i\su(i＝1,5, )(xi－eq \(x,\s\up6(－)))＝10,
eq \r(eq \i\su(i＝1,5, )(yi－eq \(y,\s\up6(－)))2)≈0.55，
eq \i\su(i＝1,5, )(xi－eq \(x,\s\up6(－)))(yi－eq \(y,\s\up6(－)))＝1.6，
故r＝eq \f(\i\su(i＝1,n, )（xi－\(y,\s\up6(－))）（yi－\(y,\s\up6(－))）,\r(\i\su(i＝1, n, )（xi－\(x,\s\up6(－))）2)\r(\i\su(i＝1, n, )（yi－\(y,\s\up6(－))）2))≈eq \f(1.6,3.16×0.55)≈0.92，
y与x的相关系数近似为0.92，y与x的线性相关程度较高，可以用线性回归模型拟合y与x的关系．
(2) eq \i\su(i＝1,5, )xiyi＝21.4，eq \i\su(i＝1,5, )xeq \\al(2,i)＝55，
则eq \(b,\s\up6(^))＝eq \f(\i\su(i＝1,5, )xi·yi－5\(x,\s\up6(－))·\(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1, 5, )xeq \\al(2,i)－5\(x,\s\up6(－))2)＝eq \f(21.4－5×3×1.32,55－5×32)＝0.16，
eq \(a,\s\up6(^))＝eq \(y,\s\up6(－))－eq \(b,\s\up6(^))eq \(x,\s\up6(－))＝1.32－0.16×3＝0.84，
故y关于x的经验回归方程为eq \(y,\s\up6(^))＝0.16x＋0.84.
(3)2×2列联表如下：
因为χ2＝eq \f(200×（80×60－30×30）2,110×90×110×90)≈31.038>10.828，
所以依据α＝0.001的独立性检验，能认为是否喜欢购买智能小家电与年龄有关．
6．(2023·惠州校级模拟)某企业生产的产品按质量分为一等品和二等品，该企业计划对现有生产设备进行改造，为了分析设备改造前后的效果，现从设备改造前后生产的大量产品中各抽取200件产品作为样本，产品的质量情况统计如表：
附：χ2＝eq \f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）).
(1)判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为该企业生产的这种产品的质量与设备改造有关；
(2)按照分层抽样的方法，从设备改造前的产品中取得了5件产品，其中有3件一等品和2件二等品．现从这5件产品中任选3件，记所选的一等品件数为X，求X的分布列及均值E(X)；
(3)根据市场调查，企业每生产一件一等品可获利100元，每生产一件二等品可获利60元，在设备改造后，用先前所取的200个样本的频率估计总体的概率，记生产1 000件产品企业所获得的总利润为W，求W的均值E(W)．
解：(1)根据题意，零假设H0：质量指标值与设备改造无关．
χ2＝eq \f(400（150×80－120×50）2,270×130×200×200)＝eq \f(400,39)>10>6.635，所以H0不成立，
故能在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为该企业生产的这种产品的质量指标值与设备改造有关．
(2)根据题意，现从这5件产品中任选3件，记所选的一等品件数为X，
则X可取的值为：1，2，3，
又由P(X＝1)＝eq \f(Ceq \\al(1,3)Ceq \\al(2,2),Ceq \\al(3,5))＝eq \f(3,10)，
P(X＝2)＝eq \f(Ceq \\al(2,3)Ceq \\al(1,2),Ceq \\al(3,5))＝eq \f(6,10)＝eq \f(3,5)，
P(X＝3)＝eq \f(Ceq \\al(3,3),Ceq \\al(3,5))＝eq \f(1,10)，
则X的分布列为：
E(X)＝1×eq \f(3,10)＋2×eq \f(3,5)＋3×eq \f(1,10)＝eq \f(9,5).
(3)根据题意，设生产的一等品有Y件，则二等品有(1 000－Y)件，
则Y～B(1 000，eq \f(150,200))，则E(Y)＝1 000×eq \f(150,200)＝750，
W＝100Y＋60(1 000－Y)＝60 000＋40Y，则E(W)＝60 000＋40E(Y)＝90 000(元)．
年份
2013
2014
2015
2016
2017
2018
2019
2020
2021
2022
年份代
码x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
国内游
客数y
3 262
3 611
3 990
4 432
5 000
5 542
6 006
2 879
3 246
2 530
x/天
1
2
3
4
5
6
7
y/秒
990
990
450
320
300
240
210
eq \i\su(i＝1,7, )tiyi
eq \(t,\s\up6(－))
eq \i\su(i＝1,7, )teq \\al(2,i)－7eq \(t,\s\up6(－))2
1 845
0.37
0.55
尺寸x/mm
38
48
58
68
78
88
质量y/g
16.8
18.8
20.7
22.4
24
25.5
质量与尺寸
的比eq \f(y,x)
0.442
0.392
0.357
0.329
0.308
0.290
eq \i\su(i＝1,6, )(ln xi·ln yi)
eq \i\su(i＝1,6, )(ln xi)
eq \i\su(i＝1,6, )(ln yi)
eq \i\su(i＝1,6, )(ln xi)2
75.3
24.6
18.3
101.4
ξ
0
1
2
3
P
eq \f(1,20)
eq \f(9,20)
eq \f(9,20)
eq \f(1,20)
性别
飞盘运动
合计
不爱好
爱好
男
6
16
22
女
4
24
28
合计
10
40
50
α
0.1
0.01
0.001
xα
2.706
6.635
10.828
X
0
1
2
3
P
eq \f(1,6)
eq \f(1,2)
eq \f(3,10)
eq \f(1,30)
年份代码x
1
2
3
4
5
市场规模y
0.9
1.2
1.5
1.4
1.6
青少年
中老年
合计
喜欢购买智能小家电
80
不喜欢购买智能小家电
60
合计
110
200
a
0.10
0.010
0.001
xa
2.706
6.635
10.828
青少年
中老年
合计
喜欢购买智能小家电
80
30
110
不喜欢购买智能小家电
30
60
90
合计
110
90
200
一等品
二等品
合计
设备改造前
120
80
200
设备改造后
150
50
200
合计
270
130
400
P(K2≥k)
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
X
1
2
3
P
eq \f(3,10)
eq \f(3,5)
eq \f(1,10)