2024届高考数学二轮复习专题强化练(十)含答案

这是一份2024届高考数学二轮复习专题强化练(十)含答案，共9页。试卷主要包含了规定等内容，欢迎下载使用。
(1)若m＝2，p＝q＝eq \f(1,2)，记y表示100轮放球试验中“每一列至少一个红球”的轮数，统计数据如表：求y关于n的回归方程ln eq \(y,\s\up6(^))＝eq \(b,\s\up6(^))n＋eq \(a,\s\up6(^))，并预测n＝10时，y的值；(精确到1)
(2)若m＝2，n＝2，p＝eq \f(1,3)，q＝eq \f(2,3)，记在每列都有白球的条件下，含红球的行数为随机变量X，求X的分布列和数学期望．
附：经验回归方程系数：eq \(b,\s\up6(^))＝eq \f(\i\su(i＝1,k, )x i yi－k\(x,\s\up6(－))·\(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1, k, )x eq \\al(2,i)－k\(x,\s\up6(－))2)，eq \(a,\s\up6(^))＝eq \(y,\s\up6(－))－eq \(b,\s\up6(^))eq \(x,\s\up6(－))，
eq \i\su(i＝1,5, )ni·ln yi＝53，ln eq \(y,\s\up6(－))＝3.8.
解：(1)由题意知eq \(n,\s\up6(－))＝eq \f(1＋2＋3＋4＋5,5)＝3，
故eq \(b,\s\up6(^))＝eq \f(53－5×3×3.8,55－45)＝－0.4，
所以eq \(a,\s\up6(^))＝3.8＋0.4×3＝5，
所以线性回归方程为：ln eq \(y,\s\up6(^))＝－0.4n＋5，
所以，估计n＝10时，ln y＝1，所以y＝e≈3.
(2)由题意知：m＝2，n＝2，p＝eq \f(1,3)，q＝eq \f(2,3)，
则X的取值可能为0，1，2，
记“含红球的行数为k”为事件Ak，(k＝0，1，2)，记“每列都有白球”为事件B，
所以P(X＝0)＝P(A0|B)＝eq \f(P（A0B）,P（B）)＝eq \f(p4,（1－q2）2)＝eq \f(1,25)，
P(X＝1)＝P(A1|B)＝eq \f(P（A1B）,P（B）)＝eq \f(Ceq \\al(1,4)p3q＋Ceq \\al(1,2)p2q2,（1－q2）2)＝eq \f(16,25)，
P(X＝2)＝P(A2|B)＝eq \f(P（A2B）,P（B）)＝eq \f(Ceq \\al(1,2)（pq）2,（1－q2）2)＝eq \f(8,25)，
所以X的分布列为：
所以E(X)＝0×eq \f(1,25)＋1×eq \f(16,25)＋2×eq \f(18,25)＝eq \f(32,25).
2．(2023·河源模拟)某人玩一项有奖游戏活动，其规则是：有一个质地均匀的正四面体(每个面均为全等的正三角形的三棱锥)，四个面上分别刻着1，2，3，4，抛掷该正四面体5次，记录下每次与地面接触的面上的数字．
(1)求接触上的5个数的乘积能被4整除的概率；
(2)若每次抛掷到接触地面的数字为3时奖励200元，否则倒罚100元，
①设甲出门带了1 000元参加该游戏，记游戏后甲身上的钱为X元，求E(X)；
②若在游戏过程中，甲决定当自己赢了的钱一旦不低于300元时立即结束游戏，求甲不超过三次就结束游戏的概率．
解：(1)总概率1减去接触面上的5个数的乘积不能被4整除(5次全是奇数；4次奇数，还有1次为2)的概率：1－[Ceq \\al(5,5)(eq \f(1,2))5＋Ceq \\al(4,5)(eq \f(1,2))4(eq \f(1,4))]＝eq \f(57,64)，
则接触面上的5个数的乘积能被4整除的概率为eq \f(57,64).
(2)①设抛掷到接触地面的数字为3的次数为ξ，
则ξ～B(5，eq \f(1,4))，E(ξ)＝eq \f(5,4)，
游戏后甲身上的钱X＝200ξ－100(5－ξ)＋1 000＝300ξ＋500，
E(X)＝300E(ξ)＋500＝875.
②甲不超过三次就结束游戏的情况有：不可能1次结束；两次均奖励，结束；前两次中一次奖励一次被罚，第三次奖励，结束；
其概率为P＝(eq \f(1,4))2＋Ceq \\al(1,2)(eq \f(1,4)×eq \f(3,4))×eq \f(1,4)＝eq \f(5,32).
3．(2023·广东一模)某商场为了回馈广大顾客，设计了一个抽奖活动，在抽奖箱中放10个大小相同的小球，其中5个为红色，5个为白色．抽奖方式为：每名顾客进行两次抽奖，每次抽奖从抽奖箱中一次性摸出两个小球．如果每次抽奖摸出的两个小球颜色相同即为中奖，两个小球颜色不同即为不中奖．
(1)若规定第一次抽奖后将球放回抽奖箱，再进行第二次抽奖，求中奖次数X的分布列和数学期望；
(2)若规定第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖，求中奖次数Y的分布列和数学期望；
(3)如果你是商场老板，如何在上述两种抽奖方式中进行选择？请写出你的选择及简要理由．
解：(1)若第一次抽奖后将球放回抽奖箱，再进行第二次抽奖，
则每次中奖的概率为eq \f(Ceq \\al(2,5)＋Ceq \\al(2,5),Ceq \\al(2,10))＝eq \f(4,9)，
因为两次抽奖相互独立，所以中奖次数X服从二项分布，即X～B(2，eq \f(4,9))，
所以X的所有可能取值为0，1，2，
则P(X＝0)＝Ceq \\al(0,2)·(eq \f(4,9))0×(eq \f(5,9))2＝eq \f(25,81)，
P(X＝1)＝Ceq \\al(1,2)·(eq \f(4,9))1×(eq \f(5,9))1＝eq \f(40,81)，
P(X＝2)＝Ceq \\al(2,2)·(eq \f(4,9))2×(eq \f(5,9))0＝eq \f(16,81)，
所以X的分布列为：
所以X的数学期望为E(X)＝2×eq \f(4,9)＝eq \f(8,9).
(2)若第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖，中奖次数Y的所有可能取值为0，1，2，
则P(Y＝0)＝eq \f(Ceq \\al(1,5)Ceq \\al(1,5),Ceq \\al(2,10))·eq \f(Ceq \\al(1,4)Ceq \\al(1,4),Ceq \\al(2,8))＝eq \f(20,63)，
P(Y＝1)＝eq \f(Ceq \\al(2,5)＋Ceq \\al(2,5),Ceq \\al(2,10))·eq \f(Ceq \\al(1,3)Ceq \\al(1,5),Ceq \\al(2,8))＋eq \f(Ceq \\al(1,5)Ceq \\al(1,5),Ceq \\al(2,10))·eq \f(Ceq \\al(2,4)＋Ceq \\al(2,4),Ceq \\al(2,8))
＝eq \f(15,63)＋eq \f(15,63)＝eq \f(30,63)＝eq \f(10,21)，
P(Y＝2)＝eq \f(Ceq \\al(2,5)＋Ceq \\al(2,5),Ceq \\al(2,10))·eq \f(Ceq \\al(2,3)＋Ceq \\al(2,5),Ceq \\al(2,8))＝eq \f(13,63)，
所以Y的分布列为：
所以Y的数学期望为E(Y)＝1×eq \f(10,21)＋2×eq \f(13,63)＝eq \f(8,9).
(3)因为(1)(2)两问的数学期望相等，第(1)问中两次奖的概率比第(2)问的大，即eq \f(16,81)