天津市区重点学校2022届高三下学期二模数学试题(含答案)

这是一份天津市区重点学校2022届高三下学期二模数学试题(含答案)，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1、已知全集，集合，，则( )
A.B.C.D.
2、设，则“”是“”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
3、函数的大致图象是( )
A.B.
C.D.
4、耀华中学全体学生参加了主题为“致敬建党百年，传承耀华力量”的知识竞赛，随机抽取了400名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示，下列说法正确的是( )
A.直方图中x的值为0.004
B.在被抽取的学生中，成绩在区间的学生数为30人
C.估计全校学生的平均成绩为84分
D.估计全校学生成绩的样本数据的80%分位数约为93分
5、设，若，，，则( )
A.B.C.D.
6、已知某圆锥的底面半径为2，母线长为4，该圆锥有一内接圆柱，要使圆柱的体积最大，则圆柱的底面半径应为( )
A.B.C.D.
7、如图所示的曲线为函数的部分图象,将图象上的所有点的横坐标伸长到原来的,再将所得曲线向右平移个单位长度,得到函数的图象,则( )
A.函数在上单调递减
B.点为图象的一个对称中心
C.直线为图象的一条对称轴
D.函数在上单调递增
8、已知抛物线的焦点为F，准线为l，l与x轴的交点为P，点A在抛物线C上，过点A作，垂足为.若四边形的面积为14，且，则抛物线C的方程为( )
A.B.C.D.
9、已知函数，当时，函数恰有六个零点，则实数k的取值范围是( )
A.B.C.D.
二、填空题
10、复数,,若为实数,则________.
11、（a+x）4的展开式中x3的系数等于8，则实数_________
12、在平面直角坐标系中，已知圆，直线l经过点，若对任意的实数m，直线l被圆C截得的弦长都是定值，则直线的方程为___________.
13、已知a，b为正实数，且，则的最小值为________.
三、双空题
14、某志愿者召开春季运动会，为了组建一支朝气蓬勃､训练有素的赛会志愿者队伍，欲从4名男志愿者，3名女志愿者中随机抽取3人聘为志愿者队的队长，则在“抽取的3人中至少有一名男志愿者”的前提下“抽取的3人中全是男志愿者”的概率是__________；若用X表示抽取的三人中女志愿者的人数，则___________.
15、如图，在中，，，D，F分别为BC，AC的中点，P为AD与BF的交点，且.若，则___________；若，，，则___________.
四、解答题
16、在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知.
（1）求角A的大小；
（2）设，.
（i）求a的值；
（ii）求的值.
17、如图，在三棱柱中，为等边三角形，过作平面平行于，交于点D.
(1)求证：点D为的中点；
(2)若四边形是边长为2的正方形，且，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.
18、已知直线：与直线：的距离为a，椭圆C：的离心率为.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）在（1）的条件下，抛物线D：的焦点F与点关于y轴上某点对称，且抛物线D与椭圆C在第四象限交于点Q，过点Q作抛物线D的切线，求该切线方程并求该直线与两坐标轴围成的三角形面积.
19、设数列的前n项和为，已知，（c为常数，，），且，，成等差数列.
（1）求c的值；
（2）求数列的通项公式；
（3）若数列是首项为1，公比为c的等比数列，记，，.证明：.
20、已知，为的导函数.
(1)求在的切线方程；
(2)讨论在定义域内的极值；
(3)若在内单调递减，求实数a的取值范围.
参考答案
1、答案：D
解析：由题意，全集，，可得，
因为集合，所以.
故选：D.
2、答案：A
解析：可表示为，
即在以为圆心，1为半径的圆及其内部，
表示在直线的左下方，
如图所示：
由图象知：“”是“”的充分不必要条件，
故选：A.
3、答案：D
解析：因为
所以是偶函数，排除B.
因为，排除A，C.
故选：D.
4、答案：C
解析：由直方图可得：，解得，
故A错误，
在被抽取的学生中，成绩在区间的学生数为人，
故B错误，
估计全校学生的平均成绩为分，
故C正确，
全校学生成绩的样本数据的分位数约为分，故D错误，
故选：C.
5、答案：C
解析：，
，，，
.
故选：C.
6、答案：B
解析：下图为此几何体的轴截面，设圆柱的底面圆半径为r，母线长为l，
由已知条件得，
，，即，其中，
圆柱的体积为，
又，
函数在上为单调递增，在上单调递减，
函数在时，圆柱的体积V取得最大值.
故选：B.
7、答案：D
解析：由图象知,
又,所以的一个最低点为,
而的最小正周期为,
所以
又,则,
所以,即,
又,所以,
所以,
将函数图象上的所有点的横坐标伸长到原来的得的图象,
再把所得曲线向右平移个单位长度得,
即.
由得,
所以在上单调递增,
在上单调递减,
当时,可知在递增,在递减,所以A错误;
因为,
所以不是图象的一个对称中心,故B错误;
因为,
所以直线不是图象的一条对称轴,故C错误;
因为在上单调递增,
所以函数在上单调递增,故D正确;
故选：D.
8、答案：C
解析：作出图形如下所示，过点F作，垂足为.设，，故，，由抛物线定义可知，，则，故.四边形的面积，解得，故抛物线C的方程为.故选C.
9、答案：B
解析：当时，；
当时，.
当时，，
可得，
当时，，
可得，
当时，，
可得.
画出函数在上的图象如下图所示：
由上图，，
函数恰有六个零点，即函数与函数有6个交点，
从上图观察可知在直线与直线之间即可满足题意，
此时，.
故选：B.
10、答案：
解析:,
,即.
故答案为:.
11、答案：2
解析：，当，即时，，.
12、答案：
解析：将圆，
化为标准方程为，
则圆心，半径，
令，，消去m，得，
所以圆心在直线上，
因为直线l经过点，对任意的实数m，直线l被圆C截得的弦长都是定值，
所以直线l与圆心所在的直线平行，
所以设直线l为，
将代入，得
，得，
所以直线l的方程为
故答案为：.
13、答案：
解析：由a，b为正实数，且，可化为，
则，
所以，
当且仅当时，即时，等号成立，
所以的最小值为.
故答案为：.
14、答案：，/
解析：由题意三人全是男志愿者，即事件，，，，，
，
再记全是男志愿者为事件A，至少有一名男志愿者为事件B，
，，
.
故答案为：；
15、答案：；
解析：连接DF，
因为D，F分别为BC，AC的中点，所以DF是的中位线，所以，则，所以，，所以；
，故
故答案为：，.
16、答案：（1）
（2）（i）（ii）
解析：（1）由正弦定理及，
得，
，
，
，
，
.
（2）（i）解：由余弦定理，，，
解得.
（ii）解：由，，，所以，
，
于是，，
故
.
17、答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）证明：连接，设与相交于点，连接，则为中点，
平面，平面，平面平面，
，
D为的中点，
（2）因为，所以，
又，，
所以，又，
所以平面，
设的中点为O，的中点为，以O为原点，所在的直线为x轴，
所在的直线为y轴，所在的直线为z轴，建立空间直角坐标系.
则，，，，，
即，，
设平面的法向量为，
由，得，令，得，
由题可知，平面的一个法向量为可以为，
所以，
所以平面与平面所成的锐二面角的余弦值为，
18、答案：（1）
（2）切线方程，面积为
解析：（1）两平行直线间的距离，，
离心率，故，，
椭圆C的标准方程为；
（2）由题意，抛物线D焦点为，故其方程为.
联立方程组，解得或（舍去），.
设抛物线在点处的切线为，
联立方程组，整理得，
由，解之得，
所求的切线方程为.
即是.
令，得；
令，得.
故所求三角形的面积为.
19、答案：（1）
（2）
（3）证明见解析.
解析：（1），，，
.
，，成等差数列，，
即，.
解得，或（舍去）.
（2），，
，
，
又，数列的通项公式是.
（3）证明：数列是首项为1，公比为c的等比数列，.
，，
，①
，②
①式两边乘以c得，③
由②③得
，
将代入上式，得.
另证:先用错位相减法求，，再验证.
数列是首项为1，公比为的等比数列，.
又，
所以①
②
将①乘以2得:③
①-③得:，
整理得:
将②乘以-2得:④
②-④整理得:
20、答案：（1）
（2）答案见解析
（3）
解析：（1），，而，
故切线方程为：即.
（2）设，其中，
则，
当时，，故在上为减函数，故无极值；
当时，
若，则，故在上为增函数；
若，则，故在上为减函数；
故有极大值其极大值为，无极小值.
（3）
因为在内单调递减，则于恒成立，
故在恒成立即.
令，，则.
令得，令得，
故在单调递减，单调递增.
所以，故.
所以.