河南省济源市高级中学2023-2024学年高一上学期11月月考数学试题（解析版）

这是一份河南省济源市高级中学2023-2024学年高一上学期11月月考数学试题（解析版），共16页。试卷主要包含了 已知全集，，，则， 函数的定义域为， 下列说法正确的有， 以下结论正确的是等内容，欢迎下载使用。

时间：120分钟 满分：150分
一､选择题（每小题5分，共8小题40分）
1. 已知全集，，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
先求出集合A，再根据补集并集定义即可求出.
【详解】或，
，
.
故选：D.
2. 命题“a，b>0，a＋≥2和b＋≥2至少有一个成立”的否定为（ ）
A. a，b>0，a＋<2和b＋<2至少有一个成立
B. a，b>0，a＋≥2和b＋≥2都不成立
C. a，b>0，a＋<2和b＋<2至少有一个成立
D. a，b>0，a＋≥2和b＋≥2都不成立
【答案】D
【解析】
【分析】
将“全称量词”改“存在量词”，“至少有一个成立”改为“都不成立”即可得到.
【详解】“a，b>0，a＋≥2和b＋≥2至少有一个成立”的否定为：更多课件教案等优质滋源请 家 威杏 MXSJ663 a，b>0，a＋≥2和b＋≥2都不成立.
故选：D
【点睛】本题考查了全称命题的否定，属于基础题.
3. 函数的定义域为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由零次幂的底数不为零，二次根式的被开方数非负，分式的分母不为零，列不等式组可求得结果.
【详解】由题意得，解得，且，
所以函数的定义域为，
故选：C
4. 已知函数若的最小值为，则实数a的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】分别求解分段函数在每一段定义区间内的最小值，结合函数在整体定义域内的最小值得到关于a的不等式组，解不等式组得到a的取值范围.
【详解】当时，，当且仅当时，等号成立，
即当时，函数的最小值为；
当时，，
要使得函数的最小值为，
则满足解得．
故选：A．
5. 面对突如其来的新冠病毒疫情，中国人民在中国共产党的领导下，上下同心、众志成城抗击疫情的行动和成效，向世界展现了中国力量、中国精神．下面几个函数模型中，能比较近似地反映出图中时间与治愈率关系的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】结合图象以及函数的单调性确定正确选项.
【详解】根据图象可知，治愈率先减后增，B选项符合.
ACD选项都是单调函数，不符合.
故选：B
6. 某大型广场计划进行升级改造．改造的重点工程之一是新建一个矩形音乐喷泉综合体，该项目由矩形核心喷泉区（阴影部分）和四周的绿化带组成．规划核心喷泉区的面积为，绿化带的宽分别为2m和5m（如图所示）．当整个项目占地面积最小时，核心喷泉区的边的长度为（ ）
A. 20mB. 50mC. mD. 100m
【答案】B
【解析】
【分析】设，则，则，展开后再利用基本不等式，即可得出答案.
【详解】设，则，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以当BC的长度为50m时，整个项目占地面积最小．
故选：B．
7. 已知幂函数的图象关于y轴对称，且在上单调递减，则满足的a的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由条件知，，可得m＝1．再利用函数的单调性，分类讨论可解不等式.
【详解】幂函数在上单调递减，故，解得．又，故m＝1或2．
当m＝1时，的图象关于y轴对称，满足题意；
当m＝2时，的图象不关于y轴对称，舍去，故m＝1．
不等式化为，
函数在和上单调递减，
故或或，解得或．
故应选：D．
8. 若函数的图像关于直线对称，则的最大值是（ ）
A. B. C. 或D. 不存在
【答案】B
【解析】
【分析】由函数的图像关于直线对称，知为偶函数，由此可求出值，再代入利用换元法可转化为二次函数求最值.
【详解】 由函数的图像关于直线对称，知是偶函数，
，即，
整理得总成立，得，
，
令，则，
当时，有最大值，即的最大值是．
故选：B．
二､多选题（每小题5分，共4小题20分）
9. 下列说法正确的有（ ）
A. 已知集合，全集，若，则实数的集合为
B. “”是“”的必要不充分条件
C. 命题，成立的充要条件是
D. “”是“”的充分必要条件
【答案】BD
【解析】
【分析】对A，先化简集合，然后根据条件来解即可；
对B， 根据充分必要条件的定义来判断即可；
对C， 问题转化求在区间有解即可；
对D， 由化简即可判断.
【详解】对A， ，若，则，
当时，，当时，由或，或，故实数的集合为，故A不正确；
对B， “”不一定有“”，而“”一定有“”，“”是“”的必要不充分条件，故B正确；
对C，，成立，则化为：在区间有解，而在区间上的最小值为， ，故C不正确；
对D， ，且，“”是“”的充分必要条件，故D正确.
故选：BD
10. 以下结论正确的是（ ）
A. 函数的最小值是2；
B. 若且，则；
C. 的最小值是2；
D. 函数的最大值为0．
【答案】BD
【解析】
【分析】根据判断A，由均值不等式可判断B，利用对勾函数判断C，根据均值不等式判断D.
【详解】对于A，当时，结论显然不成立，故错误；
对于B，由知，根据均值不等式可得，故正确；
对于C，令，则单调递增，故最小值为，故C错误；
对于D，由可知，，当且仅当时取等号，故D正确.
故选：BD
11. 若，，则下列结论中一定正确的是（ ）
A. B.
C. D. 若，则的最小值为
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用作差法判断A，举反例判断B，利用基本不等式判断CD.
【详解】对于A，由，，，
所以，所以，成立；
对于B，当时，，所以B不正确；
对于C，由，，可得，
所以，所以，等号不成立，所以；
对于D,由，得，
所以
.
当且仅当，即时，取得最小值4，
故选：ACD.
【点睛】关键点点睛，本题D的判断较为困难，利用展开后，利用基本不等式是解题的关键.
12. 若，，当时，，则下列说法错误的是（ ）
A. 函数为奇函数
B. 函数在上单调递增
C.
D. 函数在上单调递减
【答案】ABD
【解析】
【分析】由题意求出，作出图象，即可求解
【详解】由，可知，，
可知关于直线对称，当时，，
当时，，，
所以，
作出的图象，
所以在，上单调递增，在，上单调递减，
，不是奇函数，故ABD错误，C正确；
故选：ABD
三､填空题（每小题5分，共4小题20分）
13. 已知，则______．
【答案】.
【解析】
【分析】根据已知把换成，建立方程组求解.
【详解】因为 ①，
把换成有：
②，
联立①②式有：，
解得.
故答案为：.
14. 已知，，，若不等式恒成立，则实数m的取值范围是______（用区间表示）.
【答案】
【解析】
【分析】利用乘“1”法可得的最小值，然后根据一元二次不等式即可求出m的取值范围.
详解】，，且，
，
当且仅当时取等号，
要使恒成立，
所以，
故实数m的取值范围为.
故答案为：.
15. 设集合，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】分别求出集合，再由交集的定义即可得出答案.
【详解】
，
所以.
故答案为：.
16. 已知幂函数 的图像关于y轴对称，且在上是减函数，实数满足，则的取值范围是_____．
【答案】
【解析】
【分析】根据幂函数的性质求出的值，根据幂函数的单调性得到关于的不等式解出即可.
【详解】幂函数在上是减函数，
，解得，
，或．
当时，为偶函数满足条件，
当时，为奇函数不满足条件，
则不等式等价为，即，
在R上为增函数，
，解得：.
故答案为：.
四､解答题（第17题10分，第18题12分，第19题12分，第20题12分，第21题12分，第22题12分，共6小题70分）
17. （1）计算：；
（2）已知，求．
【答案】（1）3；（2）.
【解析】
【分析】（1）根据指数幂的运算法则进行计算，求得答案；
（2）先判断出，然后将平方后结合条件求得答案.
【详解】（1）原式，
．
（2）由于，所以，，
所以．
18. 已知全集，集合，集合．
条件①；②；③，，使得．
（1）当时，求
（2）定义且，当时，求
（3）若集合A，B满足条件______（三个条件任选一个作答），求实数m的取值范围．
【答案】（1）；
（2）；
（3）.
【解析】
【分析】（1）解分式不等式化简集合A，将代入，再利用补集、交集的定义求解作答.
（2）将代入，利用给定的定义直接求解作答.
（3）选择条件，探求得，再利用集合包含关系求解作答.
【小问1详解】
解不等式，得，解得：，即，有或，
当时，，所以.
【小问2详解】
由（1）知，，当时，，
所以.
【小问3详解】
选择①，由（1）知，，因，则，
于是得，解得，
所以实数m取值范围是．
选择②，由（1）知，，因，则，
于是得，解得，
所以实数m的取值范围是．
选择③，由（1）知，，因，，使得，则，
于是得，解得，
所以实数m的取值范围是．
19. 已知函数.
（1）若，有成立，求实数a的取值范围；
（2）若对，有恒成立，求实数a的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）参变分离可得在上有解，再根据对勾函数的性质求出的取值范围，即可得解；
（2）参变分离可得在上恒成立，再根据对勾函数的性质求出的取值范围，即可得解；
【小问1详解】
解：依题意在有解，
所以在上有解，
因为函数在上单调递减，所以，
所以，所以，即.
【小问2详解】
解：依题意在恒成立，
所以在上恒成立，
因为函数在上单调递减，所以，
所以，所以，即.
20. 已知幂函数是偶函数，且在上单调递增.
（1）求函数的解析式.
（2）若，求的取值范围.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用幂函数的性质求参数，进而写出函数解析式.
（2）根据偶函数的性质及区间单调性求x的范围.
【小问1详解】
由是幂函数，则，解得，又是偶函数，
∴是偶数，
又在上单调递增，则，可得，
∴或2.
综上，，即.
【小问2详解】
由（1）偶函数在上递增，
∴
∴的范围是.
21. 第四届中国国际进口博览会于2021年11月5日至10日在上海举行.本届进博会有4000多项新产品､新技术､新服务.某跨国公司带来了高端空调模型参展，通过展会调研，中国甲企业计划在2022年与该跨国公司合资生产此款空调.生产此款空调预计全年需投入固定成本260万元，生产x千台空调，需另投入资金R万元，且.经测算，当生产10千台空调时需另投入的资金R=4000万元.现每台空调售价为0.9万元时，当年内生产的空调当年能全部销售完.
（1）求2022年该企业年利润W（万元）关于年产量x（千台）的函数关系式；
（2）2022年产量为多少时，该企业所获年利润最大？最大年利润为多少？注：利润=销售额-成本.
【答案】（1）
（2）当2022年产量为100千台时，该企业的年利润最大，最大年利润为8990万元
【解析】
【分析】（1）由题意可知时，R=4000，代入函数中可求出，然后由年利润等于销售总额减去投入资金，再减去固定成本，可求出年利润W（万元）关于年产量x（千台）的函数关系式，
（2）分别当和求出函数的最大值，比较即可得答案
【小问1详解】
由题意知，当时，，所以a=300.
当时，；
当时，.
所以，
【小问2详解】
当时，，所以当时，W有最大值，最大值为8740；
当时，，
当且仅当，即x=100时，W有最大值，最大值为8990.
因为，
所以当2022年产量为100千台时，该企业年利润最大，最大年利润为8990万元.
22. 已知函数的定义域是，对定义域内的任意都有，且当时，.
（1）证明：当时，；
（2）判断的单调性并加以证明；
（3）如果对任意的，恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）证明见解析
（2）函数单调递减，证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）赋值法，取可得，再令可证；
（2）先设，然后用代换中的，结合（1）可证；
（3）根据已知和单调性去掉函数符号，然后分离参数，利用基本不等式可得.
【小问1详解】
；
；
当时，；；
当时，.
【小问2详解】
单调递减.
证明：
即
单调递减
【小问3详解】
函数的定义域是 ；
恒成立；
由（2），单调递减，恒成立，恒成立，
因为，当且仅当时等号成立
所以；
又有意义，所以
综上：.