2024汉中普通高中联盟高三上学期期中联考试题数学（理）含解析

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注意事项：
1、试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟，共4页.
2、答第Ⅰ卷时考生务必在每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案
3、第Ⅱ卷答在答题卡的相应位置上，否则视为无效答题前考生务必将自己的班级、姓名、学号、考号座位号填写清楚.
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A B. C. D.
2. 已知非零向量，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分又不必要条件
3. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
4. 在递增的等差数列中，首项为，若，，依次成等比数列，则的公差为（ ）
A. B. C. D.
5. 下列函数中，最小值为的是（ ）
A. B. C. D.
6. 函数的图像大致为（ ）
A. B. C. D.
7. 《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“盖”的术：置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一.该术相当于给出了有圆锥的底面周长与高，计算其体积的近似公式.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为.那么近似公式相当于将圆锥体积公式中的近似取为（ ）
A. B. C. D.
8. 若是抛物线位于第一象限点，是抛物线的焦点，，则直线的斜率为（ ）
A. B. C. D.
9. “仁义礼智信”为儒家“五常”由孔子提出“仁、义、礼”，孟子延伸为“仁、义、礼、智”，董仲舒扩充为“仁、义、礼、智、信”.将“仁义礼智信”排成一排，其中“仁、义、礼”保持顺序不变的概率为（ ）
A. B. C. D.
10. 设，，，则（ ）
A. B. C. D.
11. 已知，函数在单调递减，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
12. 已知函数满足为奇函数，若函数与的图象的交点为，，…，，则等于（ ）
A. B. C. D.
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 复数的虚部为_____.
14. 三棱锥中，平面，为直角三角形，，，，则三棱锥的外接球的体积为________.
15. 若为数列的前项和，且，则下列结论正确的是________.（填序号）
①；②；③数列是等比数列；④数列是等比数列.
16. 已知，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是______.
三、解答题：本题共6小题，共70分.
（一）必考题：共5小题，每小题12分，共60分
17. 的内角，，的对边分别为，，，.
（1）求；
（2）若，，求.
18. 如图所示多面体中，平面平面，平面，是正三角形，四边形是菱形，，，.
（1）求证：平面；
（2）求点到平面的距离.
19. 为了检查工厂生产的某产品的质量指标，随机抽取了部分产品进行检测，所得数据统计如下图所示.

（1）求的值以及这批产品的优质率：（注：产品质量指标达到130及以上为优质品）；
（2）若按照分层方法从质量指标值在的产品中随机抽取件，再从这件中随机抽取件，求至少有一件的指标值在的概率；
（3）以本次抽检的频率作为概率，从工厂生产的所有产品中随机抽出件，记这件中优质产品的件数为，求的分布列与数学期望.
20. 已知椭圆的标准方程为，椭圆过点且离心率.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）直线与相交于，两点，过上的点作轴的平行线交线段于点，直线的斜率为（为坐标原点），若，判断是否为定值？并说明理由.
21 已知函数，.
（1）求函数的极值；
（2）若，求函数的最小值；
（3）若有两个零点，，证明：.
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分.
[选修4-4：坐标系与参数方程]
22. 已知曲线的直角坐标方程为，以直角坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）求的极坐标方程和的直角坐标方程；
（2）若曲线与曲线、曲线分别交于两点、，点，求的面积.
[选修4-5：不等式选讲]
23. 已知、均正数，设；
（1）当，时，求不等式的解集；