河南省安阳市龙安区2023-2024学年九年级上学期期中数学试题（含解析）

这是一份河南省安阳市龙安区2023-2024学年九年级上学期期中数学试题（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根
3．中，，若C是上一点，则等于（ ）
A．B．C．D．
4．在平面直角坐标系中，已知点，关于原点对称，则a，b的值是（ ）
A． B．
C．D．
5．已知，，在二次函数的图象上，则，，的大小关系正确的是
A．B．C．D．
6．如图，，是上直径两侧的两点．设，则（ ）
A．B．C．D．
7．如图 4×4 的正方形网格中，其中一个三角形①绕某点旋转一定的角度，得到三角形②，则其旋转中心是（ ）

A．点 AB．点 BC．点 CD．点 D
8．如图，正方形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴上，点D（5，3）在边AB上，以C为中心，把CDB旋转90°，则旋转后点D的对应点 的坐标是（ ）
A．（2，10）B．（﹣2，0）
C．（2，10）或（﹣2，0）D．（10，2）或（﹣2，0）
9．如图，一根排水管的截面是一个半径为5的圆，管内水面宽，则水深为（ ）
A．3B．2C．D．
10．如图，抛物线与x轴相交于点，与y轴相交于点C，小红同学得出了以下结论：①；②；③当时，；④．其中正确的个数为（ ）
A．4B．3C．2D．1
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．庆“元旦”，市工会组织篮球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），共进行了45场比赛，这次有 队参加比赛
12．某商品经过两次降价，由每件100元降至81元，则平均每次降价的百分率为
13．高速公路上行驶的汽车急刹车时的滑行距离与时间的函数关系式为，遇到紧急情况时，司机急刹车，则汽车最多要滑行 ，才能停下来．
14．已知⊙O的半径OA＝2，弦AB、AC的长分别为，则∠BAC＝ ．
15．如图，在单位长度为1的平面直角坐标系中，曲线是由半径为2，圆心角为的多次复制并首尾连接而成．现有一点P从 A（A为坐标原点）出发，以每秒的速度沿曲线向右运动，则在第107秒时点P的纵坐标的值为 ．
三、解答题（本题8个小题，满分75分）
16．解方程：
(1)；
(2)
17．如图三个顶点的坐标分别为．
(1)请画出绕点O逆时针旋转的．
(2)请画出关于原点O对称的图形，并写出点的坐标．
18．已知关于x的一元二次方程．
(1)若方程有两个实数根，求m的范围；
(2)若方程的两个实数根为、，且，求m的值．
19．如图，四边形内接于，为直径，点C是的中点，过点C作的切线交的延长线于点H，作，垂足为E．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
20．某公司经过市场调查，整理出某种商品在某个月的第天的售价与销量的相关信息如下表：
已知该商品的进价为元/件．设销售该商品的日销售利润为元．
（1）求与的函数关系式；
（2）问销售该商品第几天时，日销售利润最大，最大日销售利润为多少元？
（3）问在当月有多少天的日销售利润不低于元．请直接写出结果．
21．一座拱桥的轮廓是抛物线型（如图1），拱高6m，跨度20m，相邻两支柱间的距离均为5m．将抛物线放在所给的直角坐标系中（如图2），
(1)求抛物线的解析式．求支柱EF的长度．
(2)拱桥下地平面是双向行车道（正中间是一条宽2m的隔离带），其中的一条行车道能否并排行驶宽2m、高3m的三辆汽车（汽车间的间隔忽略不计）？请说明你的理由．
22．某班兴趣小组对函数y＝﹣x2+2|x|的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整．
（1）自变量的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下：
（1）根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该图象的另一部分；
（2）观察函数图象，当y随x增大而减小时，则x的取值范围是 ；
（3）进一步探究函数图象发现：
①函数图象与x轴有 个交点，所以对应方程﹣x2+2|x|＝0有 个实数根；
②方程﹣x2+2|x|＝﹣1有 个实数根；
③若关于x的方程﹣x2+2|x|＝n有4个实数根，则n的取值范围是 ．
23．如图，已知抛物线经过、两点，其对称轴与x轴交于点C．
(1)求该抛物线和直线的解析式；
(2)在该抛物线的对称轴上存在点P，使得的周长最小，求出P点的坐标；
(3)设抛物线与直线相交于点D，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q．使得的面积等于的面积？若存在，直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案与解析
1．B
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
C．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
2．B
【分析】先计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．
【详解】解：，
所以方程有两个不相等的实数根．
故选：B．
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
3．D
【分析】根据圆周角定理，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，先求得优弧所对的圆心角，进而即可求得圆周角．
【详解】如图，优弧所对的圆心角为，
根据圆周角定理可得，
故选D．
【点睛】本题考查了圆周角定理，掌握圆周角定理是解题的关键．
4．A
【分析】本题考查了关于原点对称点的坐标特征，解二元一次方程组，根据关于原点对称的点横坐标和纵坐标都互为相反数，列出方程组求解即可．
【详解】解：∵点，关于原点对称，
∴，
解得：，
故选：A．
5．D
【分析】首先根据二次函数解析式确定抛物线的对称轴为，再根据抛物线的增减性以及对称性可得，，的大小关系．
【详解】二次函数，
对称轴为，
，
时，y随x增大而增大，当时，y随x的增大而减小，
，，在二次函数的图象上，且，，
．
故选D．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，以及二次函数的性质，关键是掌握二次函数图象上点的坐标满足其解析式．
6．D
【分析】先利用直径所对的圆周角是直角得到∠ACB=90°，从而求出∠BAC，再利用同弧所对的圆周角相等即可求出∠BDC．
【详解】解：∵C ，D是⊙O上直径AB两侧的两点，
∴∠ACB=90°，
∵∠ABC=25°，
∴∠BAC=90°-25°=65°，
∴∠BDC=∠BAC=65°，
故选：D．
【点睛】本题考查了圆周角定理的推论，即直径所对的圆周角是90°和同弧或等弧所对的圆周角相等，解决本题的关键是牢记相关概念与推论，本题蕴含了属性结合的思想方法．
7．B
【分析】根据旋转的性质，找出两组对应顶点的连线的垂直平分线，交点即为旋转中心．
【详解】解：如图：作出三角形①和三角形②两组对应点所连线段的垂直平分线的交点 B
为旋转中心．
故选B
【点睛】本题考查旋转的性质，主要利用了旋转中心的确定，是基础题，比较简单．
8．C
【分析】分顺时针旋转和逆时针旋转两种情况讨论解答即可．
【详解】解：∵点D（5，3）在边AB上，
∴BC＝5，BD＝5﹣3＝2，
①若顺时针旋转，则点在x轴上，O＝2，
所以，（﹣2，0），
②若逆时针旋转，则点到x轴的距离为10，到y轴的距离为2，
所以，（2，10），
综上所述，点的坐标为（2，10）或（﹣2，0）．
故选：C．
【点睛】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转，正方形的性质，难点在于分情况讨论．
9．B
【分析】利用垂径定理可知，再利用勾股定理求出解题．
【详解】如图，连接，
由题可知，则，
，
．
故选B．
【点睛】本题考查垂径定理和勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键．
10．B
【分析】根据二次函数的图像与性质，逐一判断即可．
【详解】解：∵抛物线与x轴交于点A、B，
∴抛物线对应的一元二次方程有两个不相等的实数根，
即，故①正确；
对称轴为，
整理得4a＋b＝0，故②正确；
由图像可知，当y＞0时，即图像在x轴上方时，
x＜－2或x＞6，故③错误，
由图像可知，当x＝1时，，故④正确．
∴正确的有①②④，
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数的性质与一元二次方程的关系，熟练掌握相关知识是解题的关键．
11．10
【详解】设这次有x队参加比赛，由于赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），则此次比赛的总场数为：场．根据题意可知：此次比赛的总场数=45场，依此等量关系列出方程求解即可．
解：设这次有x队参加比赛，则此次比赛的总场数为场，
根据题意列出方程得：=45，
整理，得：x2-x-90=0，
解得：x1=10，x2=-9（不合题意舍去），
所以，这次有10队参加比赛．
答：这次有10队参加比赛．
本题的关键在于理解清楚题意，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．需注意赛制是“单循环形式”，需使两两之间比赛的总场数除以2．
12．
【分析】设平均每次降价的百分率为x，那么第一次降价后的单价是原来的，那么第二次降价后的单价是原来的，根据题意列方程解答即可．
【详解】解：设平均每次降价的百分率为x，根据题意列方程得
，
解得，（不符合题意，舍去），
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
13．
【分析】由题意得，此题实际是求从开始刹车到停止所走的路程，即的最大值．把抛物线解析式化成顶点式后，即可解答．
【详解】解：依题意，该函数关系式化简为，
当时，汽车停下来，滑行了，
故滑行的时间为3秒，最大的滑行距离，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，即考查二次函数的最值问题，解答关键是弄懂题意，熟练对函数式变形，从而取得最值．
14．15°或75°．
【分析】根据圆的轴对称性知有两种情况：两弦在圆心的同旁；两弦在圆心的两旁．然后画出图形，再根据垂径定理和三角函数求解．
【详解】解：过点O作OM⊥AB于M，
在直角△AOM中，OA=2．
∵OM⊥AB，
∴AM=AB=，
∴cs∠OAM=，
则∠OAM=30°，
同理可以求出∠OAC=45°，
当AB，AC位于圆心的同侧时，∠BAC的度数为45-30=15°；
当AB，AC位于圆心的异侧时，∠BAC的度数为45+30=75°．
故答案为：15°或75°．
【点睛】此题主要考查了利用三角函数求角的度数和垂径定理，关键是分类讨论，正确画出图形．
15．
【分析】根据题意求出的长，由图可知，点每走两个为一个循环，找出点纵坐标的变化规律即可．
【详解】解：过点作，交于点，交于点，
由题意得：
的长，
秒，
，，
，，
，
，
，
第1秒点运动到点，纵坐标为1，
第2秒点运动到点，纵坐标为0，
第3秒点的纵坐标为，
第4秒点的纵坐标为0，
第5秒点的纵坐标为1，
．
点的纵坐标以1，0，，0四个数为一个周期依此循环，
，
在第107秒时点的纵坐标为：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆心角，弧，弦的关系，规律型中点的坐标，找出点纵坐标的规律是解题的关键．
16．(1)，
(2)，
【分析】本题主要考查了解一元二次方程；
（1）利用因式分解法，解一元二次方程即可；
（2）利用因式分解法，解一元二次方程即可；
解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的一般方法，准确计算．
【详解】（1）解：，
分解因式得：，
∴或，
解得：，；
（2）解：，
移项得：，
分解因式得：，
∴或，
解得：，．
17．(1)见解析
(2)见解析，
【分析】本题考查了旋转和中心对称作图，分别找到对应点即可．
（1）分别将点绕点O逆时针旋转即可完成作图；
（2）分别找到点关于原点O的对称点即可完成作图．关于原点对称的两点，其横、纵坐标互为相反数．
【详解】（1）解：如图所示：即为所求
（2）解：如图所示：即为所求
18．(1)
(2)
【分析】
（1）由根的情况，根据判别式可得到关于的不等式，则可求得的取值范围；
（2）由方程根的定义可把化为关于的方程，则可求得的值．
【详解】（1）
解：关于的一元二次方程有两个实数根，
，即，解得；
（2）、是方程的两个实数根，
，，
，
，
即，解得或，
又，
．
【点睛】本题主要考查根的定义及根的判别式，由根的判别式求得的取值范围是解题的关键．
19．(1)见解析
(2)的长为．
【分析】（1）连接，根据点C是的中点，可得，然后证明，再根据切线的性质即可解决问题；
（2）由角平分线的性质定理得到，在中，根据勾股定理即可求解．
【详解】（1）证明：如图，连接，
∵点C是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵是的切线，是半径，
∴，
∴；
（2）解：∵，，，
∴，
在中，
．
∴的长为．
【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，平行线的判定，角平分线的性质定理，勾股定理等知识，熟练掌握圆的性质定理是解题的关键．
20．（1）y=；（2）第五天日销售利润最大，最大日销售利润为元；（3）14天
【分析】（1）根据日销售利润等于单件利润乘以销售量即可得解；
（2）化二次函数一般式为顶点式，即可判断求解；
（3）根据题意列不等式求解即可；
【详解】解：（1），
；
（2）当时，
，
∵＜0，∴二次函数开口向下，
由题可知：函数对称轴为，
∴当时，最大值为6250；
答：第五天日销售利润最大，最大日销售利润为元．
（3）∵，
当时，，
解得：，
∵，
∴共有天．
【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，准确分析计算是解题的关键．
21．(1)抛物线的表达式，支柱EF的长度是5.5米
(2)一条行车道能并排行驶这样的三辆汽车，利用见解析
【分析】（1）根据题目可知A，B，C的坐标，设出抛物线的解析式代入可求解．再把代入抛物线的解析式求解 可求出支柱MN的长度．
（2）设DN是隔离带的宽，NG是三辆车的宽度和．做GH垂直AB交抛物线于H则可求解．
【详解】（1）解：根据题目条件A，B，C的坐标分别是（-10，0），（10，0），（0，6），
设抛物线的解析式为，
将B，C的坐标代入， 得
解得
所以抛物线的表达式．
当 时，
从而支柱EF的长度是10-4.5=5.5米．
（2）如图，
设DN是隔离带的宽，NG是三辆车的宽度和， 则G点坐标是（7，0）．
过G点作GH垂直AB交抛物线于H，
则．
根据抛物线的特点，可知一条行车道能并排行驶这样的三辆汽车．
【点睛】本题考查的是待定系数法求抛物线的解析式、点的坐标的求法及二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题是解本题的关键．
22．（1）详见解析；（2）﹣1＜x＜0，x＞1；（3）①3，3；②2；③0＜n＜1
【分析】（1）根据函数的对称性补充图象如图所示；
（2）观察图象，从左到右下降的图象上点的横坐标x的取值范围即为所求；
（3）①观察图象，即可求解；②函数y＝﹣x2+2|x|的图象与直线y=-1的交点个数即为方程﹣x2+2|x|＝﹣1实数解得个数；③结合图象，当直线y=n与函数y＝﹣x2+2|x|的图象有四个交点时，n范围即为所求．
【详解】解：（1）补充图象另一部分如下：
（2）从图象看，当y随x增大而减小时，则x的取值范围是：﹣1＜x＜0，x＞1；
故答案是：﹣1＜x＜0，x＞1；
（3）从图象看①函数图象与x轴有3个交点，所以对应方程﹣x2+2|x|＝0有3个实数根；
②从图象上看，函数y＝﹣x2+2|x|的图象与直线y=-1的交点个数是2个，故方程﹣x2+2|x|＝﹣1有2个实数根；
③若关于x的方程﹣x2+2|x|＝n有4个实数根，则直线y=n与函数y＝﹣x2+2|x|的图象有四个交点时，由图可知，n的取值范围是0＜n＜1，
故答案为：3，3；2；0＜n＜1．
【点睛】本题考查的是函数图象与性质，函数与方程之间的联系，通常在补全图象的基础上，通过观察函数图象，数形结合来求解．
23．(1)；
(2)点P的坐标为时，的周长最小
(3)存在，或
【分析】（1）用待定系数法求出抛物线和直线的解析式即可；
（2）求出点关于抛物线对称轴的对称点的坐标为，连接，交直线于一点，当点P正好位于该点时，的周长最小，求出直线的解析式，把代入解析式即可求出点P的坐标；
（3）过点Q作轴交于点E，求出点D坐标为，得出，求出直线的解析式为，设点的坐标为，则，根据两个三角形面积相等，列出关于t的方程，解方程即可．
【详解】（1）解：将、代入抛物线解析式，
得：，
解得：
∴抛物线的解析式为：，
其对称轴为：，
故点C的坐标为，
设直线的解析式为，
将点B、点C的坐标代入可得：，
解得：，
故直线的解析式为；
（2）解：抛物线的对称轴为直线，
点关于抛物线对称轴的对称点的坐标为，
连接，交直线于一点，当点P正好位于该点时，的周长最小，
设直线的解析式为：，把和代入得：，
解得：，
即直线的解析式为，
把代入直线的解析式求得点P的坐标为．
即点P的坐标为时，的周长最小．
（3）解：存在；
过点Q作轴交于点E，如图所示：
联立，
解得：，，
∴点D坐标为，
∵，
∴，
设直线的解析式为，把、代入得：
，
解得：，
∴直线的解析式为，
设点的坐标为，则，
∴，
∴，
解得：或，
∴点Q的坐标为：或．
【点睛】本题主要考查了求二次函数解析式，一次函数解析式，将军饮马问题，三角形面积的计算，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握待定系数法．
第天
售价（元件）
日销售量（件）
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
﹣3
0
1
0
1
0
﹣3
…