安徽省淮南市潘集区2023-2024学年九年级上学期期中数学试题（含解析）

这是一份安徽省淮南市潘集区2023-2024学年九年级上学期期中数学试题（含解析），共27页。试卷主要包含了全卷共三道大题，总分120分，下列命题正确的有，已知关于x的一元二次方程等内容，欢迎下载使用。
考生注意：
1．全卷共三道大题，总分120分
2．使用答题卡的考生，请将答案填写在答题卡的指定位置
一、单项选择题（每小题3分，满分30分）
1．下列四个图形中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．若x＝﹣1是方程x2+x+m＝0的一个根，则此方程的另一个根是（ ）
A．﹣1B．0C．1D．2
3．将抛物线向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，所得到的抛物线为（ ）.
A．；B．；
C．；D．.
4．如图，正五边形内接于，连接，则为（ ）

A．B．C．D．
5．据国家统计局发布的《2022年国民经济和社会发展统计公报》显示，2020年和2022年全国居民人均可支配收入分别为3.2万元和3.7万元．设2020年至2022年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为x，依题意可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
6．下列命题正确的有（ ）
①长度相等的弧是等弧；②任意三点确定一个圆；③的圆周角所对的弦是直径；④相等的圆心角所对的弦相等；⑤圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴．
A．0个B．1个C．2个D．3个
7．已知关于x的一元二次方程（k﹣2）2x2+（2k+1）x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＞B．k≥C．k＞且k≠2D．k≥且k≠2
8．如图，边长为1的正方形绕点逆时针旋转到正方形，图中阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．D．
9．如图，直线与x轴、y轴分别相交于、B两点，，圆心的坐标为，与y轴相切于原点O，若将沿x轴向右移动，当与该直线相交时，横坐标为整数的点P的个数是（ ）

A．2B．3C．4D．5
10．已知二次函数的部分图象如图所示，图象经过点，其对称轴为直线．下列结论：①；②；③若点均在二次函数图象上，则；④关于x的一元二次方程有两个相等的实数根：⑤若是方程的两根，则方程的两根，满足其中正确结论的个数为( )

A．2个B．3个C．4个D．5个
二、填空题（每小题3分，满分21分）
11．已知的直径长为，弦长为，那么弦所对的圆心角的度数等于 ．
12．将圆心角为，半径为的扇形围成一个圆锥的侧面，那么围成的这个圆锥的高为 ．
13．若二次函数：的与的部分对应值如表，则当时，的值为 ．
14．菱形的一条对角线长为6，边的长是关于的方程的一个根，则菱形的面积为 .
15．如图，在中，，，将绕点逆时针旋转，得到，则点到的距离是 ．
16．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A，B在x轴上，，，，将菱形绕点A旋转后，得到菱形，则点的坐标是 ．

17．如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，点A的坐标为，是以点B为圆心，为半径的圆弧；是以点O为圆心，为半径的圆弧，是以点C为圆心，为半径的圆弧，是以点A为圆心，为半径的圆弧，继续以点B，O，C，A为圆心按上述作法得到的曲线称为正方形的“渐开线”，则点的坐标是 ．

三、解答题（满分69分）
18．解方程
(1)；
(2)．
19．如图，是的外接圆，弦BD交AC于点E，连接AD，，过点O作于点F，延长OF交于点G．

(1)请你判的形状，并给出证明，
(2)若，求的半径．
20．如图，小王想用长为的根长，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）．

(1)当、边分别为多少米时，能围成一个面积为的羊圈？
(2)羊圈的面积能达到吗？如果能，请你给出设计方案：如果不能，请说明理由．
21．如图，内接于，是的直径，的切线交的延长线于点P，交于点E，交于点F，连接．
(1)求证：直线是的切线；
(2)若，求阴影部分的面积．
22．已知，四边形是正方形，绕点D旋转，，连接，；直线与相交于点G、交于点P．
(1)如图1，猜想与的关系，并证明：
(2)如图2，于点M，于点N，则四边形是________形；
(3)如图3，连接，若，直接写出在旋转的过程中，
①当点E在正方形的内部，且时_________；
②线段长度的最小值__________；
23．如图，直线与抛物线相交于和，点M为抛物线的顶点，点G是线段上不同于A、B的动点，过点G作轴于点C，交抛物线于点D．

(1)求抛物线的解析式：
(2)在y轴上找一点P，使的值最小，P点的坐标为_________；
(3)请你求出的面积的最大值；
(4)平面内是否存在点N，使以点A、点E、点M、点N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案与解析
1．A
【分析】本题考查了中心对称图形的识别；根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案．
【详解】解：选项B、C、D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形；
选项A能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，
故选：A．
2．B
【分析】根据根与系数的关系即可求出答案．
【详解】设x2+x+m＝0另一个根是α，
∴﹣1+α＝﹣1，
∴α＝0，
故选：B．
【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟练运用一元二次方程根与系数的关系，本题属于基础题型．
3．B
【分析】根据抛物线图像的平移规律“左加右减，上加下减”即可确定平移后的抛物线解析式.
【详解】解：将抛物线向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式为，
故选B．
【点睛】本题考查了二次函数的平移规律，熟练掌握其平移规律是解题的关键.
4．C
【分析】由题意知，正五边形的内角为，，则，然后计算求解，即可．
【详解】解：由题意知，正五边形的内角为，，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了正多边形的内角，正多边形和圆的综合．解题的关键在于熟练掌握，正边形的内角为．
5．B
【分析】设2020年至2022年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为x，根据题意列出一元二次方程即可．
【详解】设2020年至2022年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为x，
根据题意得，．
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键．
6．B
【分析】根据能够完全重合的弧是等弧；不在同一直线上的三点确定一个圆；在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等；平分弦 (不是直径的弦) 的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧可得答案．
此题主要考查了命题与定理，关键是掌握与圆有关的定理．
【详解】①能够重合的弧是等弧，故本选项错误，不符合题意；
②任意不同线的三点确定一个圆，故本选项错误，不符合题意；
③的圆周角所对的弦是直径，故本选项正确，符合题意；
④在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，故本选项错误，不符合题意；
⑤圆是轴对称图形，对称轴是直径所在的直线，故本选项错误，不符合题意；
其中正确的命题共1个；
故选：B．
7．C
【分析】根据方程有两个不相等的实数根，可知△＞0，据此列出关于k的不等式，解答即可．
【详解】解：∵方程为一元二次方程，
∴k-2≠0，
即k≠2，
∵方程有两个不相等的实数根，
∴△＞0，
∴（2k+1）2-4（k-2）2＞0，
∴（2k+1-2k+4）（2k+1+2k-4）＞0，
∴5（4k-3）＞0，
k＞，
故k＞且k≠2．
故选C．
【点睛】本题考查了根的判别式和一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义判断出二次项系数不为0是解题的关键．
8．C
【分析】设与交于点E．由于阴影部分的面积，又，所以关键是求．为此，连接．根据易证，得出．在直角中，由正切的定义得出．再利用三角形的面积公式求出．
【详解】解：设与交于点E，连接．
在与中，，
，
∴（），
∴．
∵，
∴，
∴．
∴．
∴阴影部分的面积．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了正方形、旋转的性质，直角三角形的判定及性质，图形的面积以及三角函数等知识，综合性较强，有一定难度．
9．B
【分析】由切线的性质，含角的直角三角形的性质，求出圆与直线相切时，的横坐标，即可解决问题．
【详解】解：如图，当圆与直线相切时，切点是和，

连接，，
，，
，
，
同理：，
的横坐标是，的横坐标是，
的横坐标的范围大于1且小于5时，当与该直线相交，
横坐标为整数的点的坐标是，，，共有3个．
故选：B．
【点睛】本题考查切线的性质，坐标与图形的性质，关键是求出圆于直线相切时，的横坐标．
10．A
【分析】根据对称轴、二次函数的性质，即可做出判断．
【详解】解：∵抛物线开口向下，
∴，
∵对称轴在y轴左侧，
∴，
∵抛物线与y轴交于负半轴，
∴，
∴，故①错误，
∵对称轴为直线．
∴，
∵当时，，
∴，故②错误，
∵抛物线开口向下，
∴在对称轴的右侧随的增大而减小，
∵关于直线对称的点为，
又∵，
∴，故③正确，
方程的解可看做抛物线与直线的交点，
由图象可知抛物线与直线有两个交点，
∴关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，故④错误，
方程可看做抛物线的图象与直线的交点，
∵与轴有交点，
∴表示与直线的交点，所以，故⑤正确．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征、抛物线与x轴的交点等，熟练掌握二次函数的相关知识是解决本题的关键．
11．##度
【分析】此题考查了求圆周角定理；直径所对圆周角是直角，勾股定理求出，证得为等腰直角三角形即可解得．
【详解】解：如图, 连接，
的直径
,
根据勾股定理得
∴
为等腰直角三角形，
，
，
∴弦所对的圆心角的度数等于．
故答案为：．
12．4
【分析】圆锥的底面圆的半径为，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到，解得，然后根据勾股定理计算出圆锥的高．
【详解】解：设圆锥的底面圆的半径为，
根据题意得，解得，
所以圆锥的高．
故答案为4．
【点睛】本题主要考查圆锥的展开图的性质，关键在于圆锥张开图的母线长和弧长相等.
13．
【分析】根据表格可知，二次函数图象的对称轴为，进而求出横坐标为1的点关于x=-3的对称点，进而得到答案．
【详解】解：∵x=-4时y=3，x=-2时y=3，
∴二次函数图象的对称轴为直线，
∵ ，
∴横坐标为1的点与横坐标为-7的点关于x=-3对称，
∴当x=1时，y=-27，
故答案为：-27．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，解答本题的关键是根据表格数据得到二次函数图象的对称轴．
14．或24##24或
【分析】求出已知方程的解，确定出的长，再利用勾股定理求出对角线的长，即可求出面积．
【详解】解：方程，
分解因式得：，
可得或，
解得：或，
当时，另一条对角线为：，
则菱形的面积为；
当时，另一条对角线为：，
则菱形的面积为；
故答案为：或24．
【点睛】此题考查了解一元二次方程因式分解法，以及菱形的性质，解题的关键是熟练掌握方程的解法．
15．2
【分析】由旋转的性质可得，，可证是等边三角形，由直角三角形的性质可求解．
【详解】解：如图，连接，过点作于，

将绕点逆时针旋转，
，，
是等边三角形，
，，
，
，
，
点到的距离是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
16．或
【分析】分两种情况：当绕点A顺时针旋转后，当绕点A逆时针旋转后，利用菱形的性质及直角三角形30度角的性质求解即可．
【详解】解：当绕点A顺时针旋转后，如图，

∵，
∴，
∵菱形中，，
∴，
延长交x轴于点E，
∴，，
∴，
∴，
∴；
当绕点A逆时针旋转后，如图，延长交x轴于点F，

∵，，
∴，
∵菱形中，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴；
故答案为：或．
【点睛】此题考查了菱形的性质，直角三角形30度角所对的直角边等于斜边的一半，旋转的性质，正确理解菱形的性质及旋转的性质是解题的关键．
17．
【分析】将四分之一圆孤对应的A点坐标看作顺时针旋转，再根据A、、、、的坐标找到规律即可．
【详解】解：∵，且为A点绕B点顺时针旋转所得，
∴，
又∵为点绕O点顺时针旋转所得，
∴，
又∵为点绕C点顺时针旋转所得，
∴，
由此可得出规律：为绕B、O、C、A四点作为圆心依次循环顺时针旋转，且半径为1、2、3、、n，每次增加1，
又∵，
故为以点C为圆心，半径为2022的 顺时针旋转所得，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了点坐标规律探索问题，通过点的变化，结合画弧的方法以及部分点的坐标探索出坐标变化的规律是解题的关键．
18．(1)
(2)
【分析】（1）利用配方法解方程即可；
（2）利用因式分解法解方程即可．
【详解】（1）解：，
移项得，，
配方得，，
即，
开平方得，，
∴，；
（2）解：，
移项得，，
因式分解得，，
∴或，
∴，．
【点睛】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
19．(1)为等边三角形，证明见解析
(2)
【分析】（1）根据同弧所对的圆周角相等得出，根据，得出，从而可得为等边三角形；
（2）连接在中，，代入数据，即可求解．
【详解】（1）为等边三角形
证明：在中
∵，
∴，
∴
∴，
又∵，
∴，
∴为等边三角形．

（2）解：连接，∵，，
∴，
在中，

【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．
20．(1)当或时，能围成一个面积为的羊圈
(2)羊圈的面积不能达到，理由见解析
【分析】（1）设矩形的边，则．根据题意，得，整理得，，解得，然后求解作答即可；
（2）由题意，得，整理得，，由，判断作答即可．
【详解】（1）解：设矩形的边，则．
根据题意，得，整理得，，
解得，
当时，；
当时，；
∴当或时，能围成一个面积为的羊圈；
（2）解：不能，理由如下：
由题意，得，整理得，，
∵，
∴一元二次方程没有实数根．
∴羊圈的面积不能达到．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键在于根据题意正确的列方程．
21．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）连接，由为切线，可得，根据与，可得，从而证得，得到，因此可证为的切线；
（2）根据，，可得，，因此，又由得到，在中，解直角三角形可得，，因此根据三角形的面积公式求得的面积，根据扇形面积公式求得扇形的面积，它们的差即为阴影部分的面积．
【详解】（1）连接，
∵为切线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵在和中，
∴，
∴，
∴，
又∵为的半径，
∴为的切线；
（2）∵，，
∴，
，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴在中，，
∴，
∴阴影部分的面积为．
【点睛】此题考查了切线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，解直角三角形，三角形的面积求法，扇形的面积公式，熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键．
22．(1)，证明见解析
(2)正方
(3)①②
【分析】（1）根据正方形的性质可得，再利用证明，得出，即可得出结论；
（2）先证明四边形是矩形，再根据正方形的性质可得，，，从而可证，可得，即可得出结论；
（3）①过点E作于点O，由（2）可得，四边形是正方形，
根据等腰直角三角形的性质可正方形的性质可得，，，从而可得，，利用勾股定理可得，利用等量代换可得，即，求得，即可求解；
②过点D作于点H，过点B作于点M，证明，可得，由勾股定理可得最大时，最小，的最大值为，从而可得，再等腰直角三角形的性质和勾股定理可得的最小值为．
【详解】（1）解：与垂直且相等，证明如下：
∵∵四边形ABCD是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：由（1）可得，，
∵，，
∴四边形是矩形，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是正方形，
故答案为：正方；
（3）解：①过点E作于点O，由（2）可得，四边形是正方形，
∴，
∵是等腰直角三角形，，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
故答案为：；
②过点D作于点H，由（2）可得，四边形是正方形，
∴是等腰直角三角形，
∵，，，
∴，
∴，
∵，，
∴最大时，最小，的最大值为，
∴，
∴的最小值为，
故答案为：．

【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数，熟练掌握正方形的性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键．
23．(1)
(2)
(3)
(4)存在，或或
【分析】（1）利用待定系数法解答，即可求解；
（2）作点B关于y轴的对称点K，连接，交y轴于点P，则点此时的值最小，求出直线的解析式，即可求解；
（3）设，则，可得，再结合二次函数的性质，即可求解；
（4）设点N的坐标为，分三种情况讨论，结合平行四边形的性质，即可求解．
【详解】（1）解：把点，代入﹐解得，
把点和点代入，
解得
∴抛物线的解析式为
（2）解：∵，
∴点，
如图，作点B关于y轴的对称点K，连接，交y轴于点P，则点此时的值最小，

设直线的解析式为，
把点和代入得：
，
解得：，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴点；
（3）解：∵点G在直线上，点D在抛物上，
∴设，则，
∴，
∴，
∴；
（4）解：存在，
对于，当时，则，
∴点，
设点N的坐标为，
若以为对角线，此时
，
解得：，
∴点N的坐标为；
若以为对角线，此时
，
解得：，
∴点N的坐标为；
若以为对角线，此时
，
解得：，
∴点N的坐标为；
综上所述，点N的坐标为或或．
【点睛】本题主要查了二次函数的图象和性质，平行四边形的性质，利用数形结合思想和分类讨论思想解答是解题的关键．
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