人教A版高中数学选择性必修第一册第1章章末综合提升学案

这是一份人教A版高中数学选择性必修第一册第1章章末综合提升学案，共8页。

类型1　空间向量的概念及运算1．空间向量的线性运算与数量积是整章的基础内容，也是后续学习的工具，可类比平面向量的线性运算和数量积进行运算．2．向量的运算过程较为繁杂，要注意培养学生的数学运算素养．【例1】　(1)(多选)如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，S到A，B，C，D的距离都等于2.以下选项正确的是(　　)A．SA+SB+SC+SD＝0B．(SA-SC)·(SB-SD)＝0C．SA-SB+SC-SD＝0D．SA·SB＝SC·SD(2)如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°.①求AC1的长；②求BD1与AC夹角的余弦值．(1)BCD　[因为SA+SB+SC+SD＝(SA+SC)＋(SB+SD)＝4SO≠0，O为AC与BD的交点，所以A错误；(SA-SC)·(SB-SD)＝CA·DB＝0，所以B正确；SA-SB+SC-SD＝BA+DC＝0，所以C正确；又因为底面ABCD是边长为1的正方形，SA＝SB＝SC＝SD＝2，所以SA·SB＝2×2×cos ∠ASB，SC·SD＝2×2×cos ∠CSD，而∠ASB＝∠CSD，于是SA·SB＝SC·SD，因此D正确．](2)[解]　记AB＝a，AD＝b，AA1＝c，则|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，∴a·b＝b·c＝c·a＝12.①|AC1|2＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝1＋1＋1＋2×12+12+12＝6，∴|AC1|＝6.即AC1的长为6.②BD1＝b＋c－a，AC＝a＋b，∴|BD1|＝2，|AC|＝3，BD1·AC＝(b＋c－a)·(a＋b)＝b2－a2＋a·c＋b·c＝1，∴cos 〈BD1，AC〉＝BD1·ACBD1AC＝66.即BD1与AC夹角的余弦值为66. 类型2　利用空间向量证明位置关系1．用空间向量判断空间中位置关系的类型有：线线平行、线线垂直、线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直；判断证明的基本思想是转化为线线关系或者利用平面的法向量，利用向量的共线和垂直进行证明．2．将立体几何的线面关系转化为向量间的关系，可以培养学生的逻辑思维和数学运算的学科素养．【例2】　在四棱锥P-ABCD中，AB⊥AD，CD⊥AD，PA⊥底面ABCD，PA＝AD＝CD＝2AB＝2，M为PC的中点．(1)求证：BM∥平面PAD；(2)平面PAD内是否存在一点N，使MN⊥平面PBD？若存在，确定点N的位置；若不存在，说明理由．[解]　(1)证明：以A为原点，以AB，AD，AP分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则B(1，0，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，C(2，2，0)，M(1，1，1)，∴BM＝(0，1，1)，平面PAD的一个法向量为n＝(1，0，0)，∴BM·n＝0，即BM⊥n，又BM⊄平面PAD，∴BM∥平面PAD．(2)BD＝(－1，2，0)，PB＝(1，0，－2)，假设平面PAD内存在一点N，使MN⊥平面PBD．设N(0，y，z)，则MN＝(－1，y－1，z－1)，从而MN⊥BD，MN⊥PB，∴MN·BD=0，MN·PB=0，即1+2y-1=0，-1-2z-1=0，∴y=12，z=12，∴N0，12，12，∴在平面PAD内存在一点N0，12，12，使MN⊥平面PBD． 类型3　利用空间向量求距离1．空间距离的计算思路(1)点P到直线l的距离：已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设AP＝a，则向量AP在直线l上的投影向量为AQ＝(a·u)u，则点P到直线l的距离为a2-a·u2(如图1)．(2)点P到平面α的距离：设平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点，则点P到平面α的距离为AP·nn(如图2)．2．通过利用向量计算空间的角，可以培养学生的逻辑思维能力和数学运算的学科素养．【例3】　长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝6，AA1＝4，M是A1C1的中点，P在线段BC上，且|CP|＝2，Q是DD1的中点，求：(1)M到直线PQ的距离；(2)M到平面AB1P的距离．[解]　如图，建立空间直角坐标系Bxyz，则A(4，0，0)，M(2，3，4)，P(0，4，0)，Q(4，6，2)，B1(0，0，4)．(1)∵QM＝(－2，－3，2)，QP＝(－4，－2，－2)，∴QM在QP上的投影向量的模＝QM·QPQP＝-2×-4+-3×-2+2×-2-42+-22+-22＝566.故M到PQ的距离为QM2-5662＝17-256＝4626.(2)设n＝(x，y，z)是平面AB1P的一个法向量，则n⊥AB1，n⊥AP，∵AB1＝(－4，0，4)，AP＝(－4，4，0)，∴-4x+4z=0，-4x+4y=0，因此可取n＝(1，1，1)，由于MA＝(2，－3，－4)，那么点M到平面AB1P的距离为d＝MA·nn＝2×1+-3×1+-4×13＝533，故M到平面AB1P的距离为533. 类型4　利用空间向量求夹角1．利用空间向量求夹角是空间向量的重要应用，利用向量方法求夹角，可不作出角而求出角的大小，体现了向量方法的优越性．2．通过利用向量计算空间的角，可以培养学生的逻辑推理和数学运算的学科素养．【例4】　(2022·新高考Ⅱ卷)如图，PO是三棱锥P-ABC的高，PA＝PB，AB⊥AC，E为PB的中点．(1)证明：OE∥平面PAC；(2)若∠ABO＝∠CBO＝30°，PO＝3，PA＝5，求二面角C-AE-B的正弦值．[解]　(1)证明：连接OA．因为PO是三棱锥P-ABC的高，所以PO⊥平面ABC，所以PO⊥OA，PO⊥OB，所以∠POA＝∠POB＝90°.又PA＝PB，PO＝PO，所以△POA≌△POB，所以OA＝OB．取AB的中点D，连接OD，DE，则有OD⊥AB．又AB⊥AC，所以OD∥AC．因为OD⊄平面PAC，AC⊂平面PAC，所以OD∥平面PAC．因为D，E分别为AB，PB的中点，所以DE∥PA．因为DE⊄平面PAC，PA⊂平面PAC，所以DE∥平面PAC．因为OD，DE⊂平面ODE，OD∩DE＝D，所以平面ODE∥平面PAC．又OE⊂平面ODE，所以OE∥平面PAC．(2)由(1)易知OA＝OB，所以OD⊥AB．以D为坐标原点，分别以DB，DO所在直线为x轴、y轴，以过点D且垂直于平面ABC的直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图．因为PO＝3，PA＝5，且PO⊥OA，所以OA＝OB＝4.又∠ABO＝∠CBO＝30°，所以OD＝12OB＝2，DA＝DB＝23，所以P(0，2，3)，B(23，0，0)，A(－23，0，0)，E3，1，32.设AC＝a，则C(－23，a，0)．设平面AEB的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，AB＝(43，0，0)，AE＝33，1，32，则AB·n1=0，AE·n1=0，所以43x1=0， 33x1+y1+32z1=0，所以x1＝0.令y1＝3，得z1＝－2，所以n1＝(0，3，－2)．设平面AEC的法向量为n2＝(x2，y2，z2)，AC＝(0，a，0)，AE＝33，1，32，则AC·n2=0，AE·n2=0，所以ay2=0， 33x2+y2+32 z2=0，所以y2＝0.令x2＝3，得z2＝－6，所以n2＝(3，0，－6)．所以cos 〈n1，n2〉＝n1·n2n1n2＝1213×39＝12133＝4313.设二面角C-AE-B的平面角为θ，则sin θ＝1-cos2θ＝1113，所以二面角C-AE-B的正弦值为1113.