人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.1 椭圆学案

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.1 椭圆学案，共22页。
3.1.1 椭圆及其标准方程
我们对“椭圆形状”并不陌生，如有些汽车油罐横截面的轮廓、天体中一些行星和卫星运行的轨道、篮球在阳光下的投影(如图所示)等．那么，具有怎样特点的曲线是椭圆呢？
知识点1 椭圆的定义
(1)定义：把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半称为半焦距．
(2)几何表示：|MF1|＋|MF2|＝2a(常数)且2a>|F1F2|.
在椭圆定义中，必须2a>|F1F2|，这是椭圆定义中非常重要的一个条件；当2a＝|F1F2|时，点的轨迹是线段F1F2；当2ab>0)．
由椭圆的定义知2a＝10，所以a＝5.
又因为c＝3，所以b2＝a2－c2＝25－9＝16.
因此，所求椭圆的标准方程为x225＋y216＝1.
(2)由于椭圆的焦点在y轴上，故可设它的标准方程为y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)．
已知焦点坐标及椭圆上一点(3，2)，由椭圆的定义可知2a＝3-02+2--22＋3-02+2-22＝5＋3＝8，因此a＝4.
又因为c＝2，所以b2＝a2－c2＝16－4＝12.
因此，所求椭圆的标准方程为y216＋x212＝1.
(3)法一：①当椭圆焦点在x轴上时，
可设椭圆的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)．
依题意，有132a2+132b2=1，0+-122b2=1，
解得a2=15 ，b2=14 .
由a>b>0，知不合题意，故舍去；
②当椭圆焦点在y轴上时，可设椭圆的标准方程为
y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)．
依题意，有132a2+132b2=1，-122a2+0=1，
解得a2=14 ，b2=15 .
所以所求椭圆的标准方程为y214＋x215＝1.
法二：设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)．
则19m+19n=1，14n=1， 解得m=5，n=4.
所以所求椭圆的方程为5x2＋4y2＝1，
故椭圆的标准方程为y214＋x215＝1.
试总结用待定系数法求椭圆标准方程的步骤．
提示：(1)定位置：根据条件判断椭圆的焦点是在x轴上，还是在y轴上，还是两个坐标轴都有可能．
(2)设方程：根据上述判断设方程x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)或x2b2＋y2a2＝1(a＞b＞0)或整式形式mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)．
(3)找关系：根据已知条件建立关于a，b，c(或m，n)的方程组．
(4)得方程：解方程组，将解代入所设方程，写出标准形式即为所求．
[跟进训练]
1．求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)经过两点(2，－2)，-1，142；
(2)过点(3，－5)，且与椭圆y225＋x29＝1有相同的焦点．
[解] (1)设椭圆的方程为
mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)．
将两点(2，－2)，-1，142代入，
得4m+2n=1，m+144n=1，解得m=18，n=14，
所以所求椭圆的标准方程为x28＋y24＝1.
(2)因为所求椭圆与椭圆y225＋x29＝1的焦点相同，所以其焦点在y轴上，且c2＝25－9＝16.
设它的标准方程为y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)．
因为c2＝16，且c2＝a2－b2，故a2－b2＝16.①
又点(3，－5)在椭圆上，所以-52a2＋32b2＝1，即5a2＋3b2＝1.②
由①②得b2＝4，a2＝20，所以所求椭圆的标准方程为y220＋x24＝1.
类型2 对椭圆标准方程的理解
【例2】 (1)(2022·江苏省扬州市期中)若方程x27-k＋y2k-5＝1表示椭圆，则实数k的取值范围为( )
A．(5，7) B．(5，6)
C．(6，7) D．(5，6)∪(6，7)
(2)(2022·黄冈期末)若方程x28-t＋y2t-3＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则t的取值范围为________．
(1)D (2)112，8 [(1)由题意可知7-k>0， k-5>0， 7-k≠k-5，
解得50， t-3>8-t，解得1120)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆E上，∠F1PF2＝2θ.
(1)求△F1PF2的面积S；
(2)研究△PF1F2的内角∠F1PF2的变化规律．
[解] (1)如图所示，由椭圆的定义，可得|PF1|＋|PF2|＝2a.
由余弦定理，可得
|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cs 2θ＝(|PF1|＋|PF2|)2－2·|PF1|·|PF2|－2|PF1|·|PF2|·cs 2θ＝4a2－2|PF1|·|PF2|·(1＋cs 2θ)＝4c2，
∴|PF1|·|PF2|＝2b21+cs2θ.
∴S＝12|PF1|·|PF2|·sin 2θ＝12·2b21+cs2θ·sin 2θ＝sin2θ1+cs2θ·b2＝b2tan θ.
(2)∵2θ为△PF1F2的内角，
∴2θ∈(0，π)，即θ∈0，π2.
令点P顺时针方向由点A向点B运动，则△PF1F2的边F1F2不变，但F1F2上的高逐渐增大，故S逐渐增大，从而tan θ逐渐变大．由θ∈0，π2可知，θ也逐渐变大．由此可见，点P的纵坐标的绝对值越大，2θ也越大，当点P与点B重合时，∠F1PF2达到最大值．
1．(多选)下列命题是真命题的是( )
A．已知定点F1(－1，0)，F2(1，0)，则满足|PF1|＋|PF2|＝2的点P的轨迹为椭圆
B．已知定点F1(－2，0)，F2(2，0)，则满足|PF1|＋|PF2|＝4的点P的轨迹为线段
C．到定点F1(－3，0)，F2(3，0)距离相等的点的轨迹为椭圆
D．若点P到定点F1(－4，0)，F2(4，0)的距离之和等于点M(5，3)到定点F1(－4，0)，F2(4，0)的距离之和，则点P的轨迹为椭圆
BD [A．2＜2，故点P的轨迹不存在；B．因为2a＝|F1F2|＝4，所以点P的轨迹是线段F1F2；C．到定点F1(－3，0)，F2(3，0)距离相等的点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线(y轴)；D．点M(5，3)到定点F1(－4，0)，F2(4，0)的距离之和为410＞8，所以点P的轨迹为椭圆．]
2．“mn0)或y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)．
2．当方程x2m＋y2n＝1表示椭圆时，m，n满足什么条件？当方程表示焦点在x轴或y轴上的椭圆时，m，n又满足什么条件？
提示：表示椭圆时，m>0，n>0，m≠n，
表示焦点在x轴上的椭圆时，m>n>0，
表示焦点在y轴上的椭圆时，n>m>0.
课时分层作业(二十四) 椭圆及其标准方程
一、选择题
1．已知椭圆4x2＋ky2＝4的一个焦点坐标是(0，1)，则实数k的值是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
B [椭圆方程可化为x2＋y24k＝1，
由题意知4k>1， 4k-1=1，解得k＝2．]
2．椭圆x225＋y2＝1上一点P到一个焦点的距离为2，则点P到另一个焦点的距离为( )
A．5 B．6 C．7 D．8
D [设椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，|PF1|＝2，结合椭圆定义|PF2|＋|PF1|＝10，可得|PF2|＝8．]
3．已知曲线C：x2k-5＋y23-k＝－1，则“4≤k5－k>0，即4