人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.1 椭圆第2课时学案设计

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.1 椭圆第2课时学案设计，共29页。
从椭圆C的一个焦点F1处出发的光线照射到P点，经反射后通过椭圆的另一个焦点F2，如图所示．
点P及点O与椭圆C具有怎样的位置关系？直线l及直线PF2与椭圆C具有怎样的位置关系？
知识点1 点与椭圆的位置关系
点P(x0，y0)与椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的位置关系：
点P在椭圆上⇔x02a2＋y02b2＝1；
点P在椭圆内部⇔x02a2＋y02b21．
知识点2 直线与椭圆的位置关系
(1)判断直线与椭圆位置关系的方法
直线y＝kx＋m与椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的位置关系的判断方法：联立y=kx+m，x2a2+y2b2=1，消去y，得关于x的一元二次方程．
当Δ>0时，方程有两个不同解，直线与椭圆相交；
当Δ＝0时，方程有两个相同解，直线与椭圆相切；
当Δb>0)或y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)，直线与椭圆的两个交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝1+k2·x1+x22-4x1x2，或|AB|＝_1+_1k2·y1+y22-4y1y2，其中，x1＋x2，x1x2或y1＋y2，y1y2的值，可通过由直线方程与椭圆方程联立消去y(或x)后得到关于x(或y)的一元二次方程，利用根与系数的关系求得．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若直线的斜率一定，则当直线过椭圆的中心时，弦长最大．( )
(2)已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)与点P(b，0)，过点P可作出该椭圆的一条切线．( )
(3)直线y＝k(x－a)(k≠0)与椭圆x2a2＋y2b2＝1的位置关系是相交．( )
提示：(1)√ 根据椭圆的对称性可知，直线过椭圆的中心时，弦长最大．
(2)× 因为P(b，0)在椭圆内部，过点P作不出椭圆的切线．
(3)√ 直线y＝k(x－a)(k≠0)过点(a，0)且斜率存在，所以直线y＝k(x－a)与椭圆x2a2＋y2b2＝1的位置关系是相交．
2．(1)点P(2，1)与椭圆x24＋y29＝1的位置关系是______．
(2)若点A(a，1)在椭圆x24＋y22＝1的内部，则a的取值范围是________．
(1)点P在椭圆外部 (2)(－2，2) [(1)由224＋129>1知，点P(2，1)在椭圆的外部．
(2)∵点A在椭圆内部，
∴a24＋12＜1，∴a2＜2，∴－2＜a＜2．]
3．过椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的焦点F(c，0)的弦中最短弦长是________．
2b2a [最短弦是过焦点F(c，0)且与焦点所在坐标轴垂直的弦．将点(c，y)的坐标代入椭圆x2a2＋y2b2＝1，得y＝±b2a，故最短弦长是2b2a．]
类型1 直线与椭圆的位置关系
【例1】 (源自湘教版教材)对不同的实数m，讨论直线l：y＝x＋m与椭圆C：x24＋y2＝1的公共点的个数．
[解] 由y=x+m， ①x24+y2=1， ②
消去y并整理得
5x2＋8mx＋4m2－4＝0. ③
此方程的实数解的个数由它的判别式Δ决定，
Δ＝(8m)2－4×5×(4m2－4)＝16(5－m2)．
当－5b22，
所以2a1c20)相交于A，B两点，若点M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率为________．
22 [设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x12a2＋y12b2＝1， ①
x22a2＋y22b2＝1. ②
因为点M是线段AB的中点，所以x1+x22＝1，y1+y22＝1.
因为直线AB的方程是y＝－12(x－1)＋1，所以y1－y2＝－12(x1－x2)．
将①②两式相减，可得x12-x22a2＋y12-y22b2＝0，
即2a2＋-12·2b2＝0.
所以a＝2b.
所以c＝b.所以e＝ca＝22．]
与弦长有关的最值、范围问题
【例5】 已知椭圆C：x24＋y2＝1，点P为椭圆C上非顶点的动点，点A1，A2分别为椭圆C的左、右顶点，过A1，A2分别作l1⊥PA1，l2⊥PA2，直线l1，l2相交于点G，连接OG(O为坐标原点)，线段OG与椭圆C交于点Q.记直线OP，OQ的斜率分别为k1，k2.
(1)求k1k2的值；
(2)求△POQ面积的最大值．
[思路导引] (1)写出点A1，A2的坐标→设P(x0，y0)(x0≠0，y0≠0)→k1＝y0x0，写出直线l1，l2的方程→联立直线l1，l2的方程求出G的坐标→求出k2→求出k1k2的值．
(2)结合(1)设出直线OP，OQ的方程→分别与椭圆方程联立求出P，Q的坐标→利用两点间距离公式、点到直线的距离公式及三角形面积公式求出△POQ面积的表达式→利用基本不等式求出△POQ面积的最大值．
[解] (1)由题意知，A1(－2，0)，A2(2，0)，
设P(x0，y0)(x0≠0，y0≠0)．
则k1＝y0x0，直线l1的方程为y＝－x0+2y0(x＋2)，直线l2的方程为y＝－x0-2y0(x－2)．
由y=-x0+2y0x+2，y=-x0-2y0x-2，得x=-x0，y=x02-4y0，
又x024+y02＝1，∴G(－x0，－4y0)，
∴k2＝4y0x0，∴k1k2＝14.
(2)根据(1)可设直线OP的方程为y＝k1x，
直线OQ的方程为y＝4k1x.
由y=k1x， x2+4y2=4，得(4k12＋1)x2＝4，
根据椭圆的对称性，不妨设x0>0，则
P24k12+1，2k14k12+1，|OP|＝1+k12·24k12+1.
由y=4k1x， x2+4y2=4，得(1+64k12)x2＝4.
设G(xG，yG)，Q(xQ，yQ)，
由(1)知，x0，xG异号，∴易知x0，xQ异号，
∴Q-264k12+1，-8k164k12+1.
∴点Q到直线OP的距离d＝6k11+k1264k12+1.
S△POQ＝12|OP|d＝121+k12·24k12+1·6k11+k1264k12+1＝6k14k12+164k12+1
＝6k124k12+164k12+1
＝61256k12+68+1k12.
∵256k12＋1k12≥32，∴S△POQ≤35，当且仅当k1＝±14时取“＝”．∴△POQ面积的最大值为35.
求与椭圆有关的最值、范围问题的方法
(1)定义法：利用定义转化为几何问题处理．
(2)数形结合法：利用数与形的结合，挖掘几何特征，进而求解．
(3)函数法：探求函数模型，转化为函数的最值问题，借助函数的单调性、基本不等式等求解，注意椭圆的范围．
[跟进训练]
5．在平面直角坐标系Oxy中，椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的离心率e＝22，且点P(2，1)在椭圆C上．
(1)求椭圆C的方程；
(2)斜率为－1的直线与椭圆C相交于A，B两点，求△AOB面积的最大值．
[解] (1)由题意得e=ca=22， 4a2+1b2=1， a2=b2+c2，
∴a=6，b=3，
∴椭圆C的方程为x26＋y23＝1.
(2)设直线AB的方程为y＝－x＋m，
联立y=-x+m，x26+y23=1，得3x2－4mx＋2m2－6＝0，
∴Δ>0， x1+x2=4m3 ，x1x2=2m2-63，
∴|AB|＝1+-12|x1－x2|＝439-m2，
原点到直线的距离d＝m2.
∴S△OAB＝12×439-m2×m2＝239-m2m2≤23·9-m2+m22＝322.
当且仅当m＝±322时，等号成立，
∴△AOB面积的最大值为322.
1．直线y＝x＋1与椭圆x25＋y24＝1的位置关系是( )
A．相交 B．相切
C．相离 D．无法判断
A [法一：联立直线与椭圆的方程得y=x+1，x25+y24=1，消去y，得9x2＋10x－15＝0，Δ＝100－4×9×(－15)>0，所以直线与椭圆相交．
法二：因为直线过点(0，1)，而0＋141，即a2>43，解得a>233或a0.
由根与系数的关系知x1+x2=-87 ，x1x2=-87，
所以|AB|＝1+1·|x1－x2|＝1+1·x1+x22-4x1x2＝247．]
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．直线和椭圆有几种位置关系？如何判断？
提示：三种位置关系：相交、相切、相离．
解直线方程与椭圆方程组成的方程组，通过解的个数判断位置关系，当方程组有两个解(Δ>0)时，直线与椭圆相交，当方程组有一个解(Δ＝0)时，直线与椭圆相切，当方程组无解(Δ0，
解得m≠-3， m1.
由x2m＋y23＝1表示椭圆，知m>0且m≠3.
综上可知，m>1且m≠3，故选B．]
2．椭圆mx2＋ny2＝1与直线y＝1－x交于M，N两点，过原点与线段MN中点的直线的斜率为22，则mn的值是( )
A．22 B．233 C．922 D．2327
A [由mx2+ny2=1，y=1-x，
消去y，得(m＋n)x2－2nx＋n－1＝0.
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中点为(x0，y0)，
则x1＋x2＝2nm+n，∴x0＝nm+n，
代入y＝1－x得y0＝mm+n.
由题意知y0x0＝22，∴mn＝22.故选A．]
3．(多选)已知直线y＝3x＋2被椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)截得的弦长为8，下列直线中被椭圆截得的弦长也为8的是( )
A．y＝3x－2 B．y＝3x＋1
C．y＝－3x－2 D．y＝－3x
AC [作出椭圆和有关直线(图略)，由于椭圆关于坐标轴、坐标原点对称，而A、C中的直线与直线y＝3x＋2或关于原点对称或关于坐标轴对称，所以它们被椭圆截得的弦长相等，且可从图中看出B、D中的直线被椭圆截得的弦长都大于8，故选AC．]
4．已知椭圆x24＋y22＝1的弦AB的中点为(－1，－1)，则弦AB的长为( )
A．303 B．263 C．103 D．153
A [设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为点A，B在椭圆上，所以x124+y122=1， ①x224+y222=1， ②
②－①，得y2-y1x2-x1＝－24·x1+x2y1+y2，
又弦AB的中点为(－1，－1)，所以直线AB的斜率为－12，
所以直线方程为y＝－12(x＋1)－1，
联立椭圆方程消去y得到3x2＋6x＋1＝0，根据弦长公式得|AB|＝303.故选A．]
5．(多选)如图所示，某探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P处变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P点处第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，且轨道Ⅱ的右顶点为轨道Ⅰ的中心．设椭圆Ⅰ与Ⅱ的长半轴长分别为a1和a2，半焦距分别为c1和c2，离心率分别为e1，e2，则下列结论正确的是( )
A．a1＋c1＞2(a2＋c2)
B．a1－c1＝a2－c2
C．e1＝e2+12
D．椭圆Ⅱ比椭圆Ⅰ更扁
ABC [对于A，由题可知a1＝2a2，c1＝a2＋c2＞2c2，所以a1＋c1＞2(a2＋c2)，所以选项A正确；
对于B，由a1－c1＝|PF|，a2－c2＝|PF|，得a1－c1＝a2－c2，所以选项B正确；
对于C，由a1＝2a2，c1＝a2＋c2，得c1a1＝a2+c22a2＝1+c2a22，即e1＝e2+12，所以选项C正确；
对于D，根据选项C知，2e1＝e2＋1＞2e2，所以e1＞e2，即椭圆Ⅰ比椭圆Ⅱ更扁，所以选项D错误．
故选ABC．]
二、填空题
6．若直线y＝kx＋1与焦点在x轴上的椭圆x25＋y2m＝1总有公共点，则实数m的取值范围为________．
[1，5) [∵直线y＝kx＋1过定点M(0，1)，
∴要使直线与该椭圆总有公共点，则点M(0，1)必在椭圆内或椭圆上，
由此得0b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为M，且△MF1F2是面积为1的等腰直角三角形．
(1)求椭圆E的方程；
(2)若直线l：y＝－x＋m与椭圆E交于A，B两点，以AB为直径的圆与y轴相切，求m的值．
[解] (1)由题意可得M(0，b)，F1(－c，0)，F2(c，0)，
由△MF1F2是面积为1的等腰直角三角形得12a2＝1，b＝c，且a2－b2＝c2，解得b＝c＝1，a＝2，则椭圆E的方程为x22＋y2＝1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立x22+y2=1，-x+m=y⇒3x2－4mx＋2m2－2＝0，
有Δ＝16m2－12(2m2－2)>0，
即－3