高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.2 双曲线第1课时学案设计

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.2 双曲线第1课时学案设计，共20页。

已知双曲线C的方程为x2－y24＝1，根据这个方程完成下列任务：
(1)观察方程中x与y是否有取值范围，由此指出双曲线C在平面直角坐标系中的位置特征；
(2)指出双曲线C是否关于x轴、y轴、原点对称；
(3)指出双曲线C与坐标轴是否有交点，如果有，求出交点坐标；
(4)如果(x，y)满足双曲线C的方程，说出当|x|增大时，|y|将怎样变化，并指出这反映了双曲线的形状具有什么特点．
知识点1 双曲线的几何性质
双曲线的离心率对双曲线的形状有何影响？
提示：以双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)为例．
e＝ca＝a2+b2a＝1+b2a2，故当ba的值越大，渐近线y＝bax的斜率越大，双曲线的开口越大，e也越大，所以e反映了双曲线开口的大小，即双曲线的离心率越大，它的开口就越大．
知识点2 等轴双曲线
实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其渐近线方程为y＝±x，离心率为2．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)双曲线x2a2－y2b2＝1与y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)的形状相同．( )
(2)等轴双曲线的渐近线方程与双曲线方程有关．( )
(3)离心率是2的双曲线为等轴双曲线．( )
提示：(1)√ 双曲线x2a2－y2b2＝1与y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)的位置不一样，但是形状相同．
(2)× 等轴双曲线的渐近线方程都是y＝±x.
(3)√ 等轴双曲线的离心率是2.
2．双曲线x2－4y2＝1的焦点坐标是______，______；中心坐标为______；顶点坐标为______，________；实轴长为________，虚轴长为________．
-52，0 52，0 (0，0) (－1，0) (1，0) 2 1 [将x2－4y2＝1化为标准方程x2－y214＝1，
由此可得实半轴长a＝1，虚半轴长b＝12，半焦距c＝52，
所以双曲线的焦点坐标是-52，0，52，0，中心坐标为(0，0)，顶点坐标为(－1，0)，(1，0)，实轴长为2，虚轴长为1．]
3．双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)经过点(3，2)，且离心率为3，则它的虚轴长为________．
45 [由题意可得3a2-4b2=1，e2=1+b2a2=9，a＞0，b＞0，
解得a=102，b=25，
因此，该双曲线的虚轴长2b＝45．]
类型1 根据双曲线方程研究其几何
性质
【例1】 (源自湘教版教材)求双曲线x29－y216＝1的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、渐近线方程和离心率，并画出该双曲线的草图．
[解] 由双曲线方程可得实半轴长a＝3，虚半轴长b＝4.
c＝a2+b2＝9+16＝5，焦点坐标为(－5，0)，(5，0)．
从而，渐近线方程为y＝±bax＝±43x，离心率e＝ca＝53.
为画出双曲线的草图，在坐标系中画出渐近线y＝±43x，顶点(±3，0)．算出双曲线在第一象限内一点的坐标，例如取x＝5，算出y＝163≈5.33，可见点(5，±5.33)在双曲线上．将y轴右边已知的三点(5，5.33)，(3，0)，(5，－5.33)依次连成光滑曲线并让它逐步接近渐近线，就画出了双曲线的一支．由对称性可画出位于y轴左边的另一支，如图所示．
由双曲线方程研究几何性质的注意点
(1)把双曲线方程化为标准形式，确定焦点位置，进而确定a，b的值是关键．
(2)由c2＝a2＋b2(易与椭圆中a2＝b2＋c2混淆)求出c的值，从而写出双曲线的几何性质．
(3)渐近线是双曲线的重要性质：先画渐近线可使图形更准确，焦点到渐近线距离为虚半轴长．
(4)注意双曲线中一些特殊线段(值)的应用．
如过双曲线x2a2－y2b2＝1的左焦点F1(－c，0)垂直于x轴的弦AB，则|AB|＝2b2a.
[跟进训练]
1．(1)已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的离心率为43，则双曲线C的渐近线方程为( )
A．y＝±43x B．y＝±34x
C．y＝±73x D．y＝±377x
(2)求双曲线nx2－my2＝mn(m>0，n>0)的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程．
(1)C [由e2＝1＋b2a2得169＝1＋b2a2，
∴b2a2＝79，即ba＝73.
又双曲线的焦点在x轴上，则双曲线渐近线方程为y＝±73x，故选C．]
(2)[解] 把双曲线方程nx2－my2＝mn(m>0，n>0)化为标准方程为x2m－y2n＝1(m>0，n>0)，
由此可知，实半轴长a＝m，
虚半轴长b＝n，c＝m+n，
焦点坐标为(m+n，0)，(－m+n，0)，
离心率e＝ca＝m+nm＝1+nm，
顶点坐标为(－m，0)，(m，0)，
渐近线方程为y＝±nmx，
即y＝±mnmx.
类型2 由双曲线的几何性质求其标准
方程
【例2】 求满足下列条件的双曲线的标准方程．
(1)虚轴长为12，离心率为54；
(2)顶点间距离为6，渐近线方程为y＝±32x；
(3)与双曲线x2－2y2＝2有公共渐近线，且过点M(2，－2)．
[思路导引] 分析双曲线的几何性质→求a，b，c→确定讨论焦点位置→求双曲线的标准方程
[解] (1)设双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)或y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)．
由题知2b＝12，ca＝54，且c2＝a2＋b2，
∴b＝6，c＝10，a＝8，
∴双曲线的标准方程为x264－y236＝1或y264－x236＝1.
(2)法一：当焦点在x轴上时，由ba＝32且a＝3，得b＝92，
∴所求双曲线的标准方程为x29－y2814＝1.
当焦点在y轴上时，由ab＝32且a＝3，
得b＝2.
∴所求双曲线的标准方程为y29－x24＝1.
法二：设以直线y＝±32x为渐近线的双曲线的方程为x24－y29＝λ(λ≠0)．
当λ>0时，a2＝4λ，∴2a＝24λ＝6，解得λ＝94；
当λ1，b>0)的焦距为2c，直线l过点(a，0)和(0，b)，且点(1，0)到直线l的距离与点(－1，0)到直线l的距离之和s≥45c，求双曲线的离心率e的取值范围．
[思路导引] 写出直线l的方程 a>1 b>0 写出点1，0到直线l的距离
b>0 写出点-1，0到直线l的距离 ―→依题意列出不等式―→求出e的取值范围
[解] 由题意可知直线l的方程为xa＋yb＝1，即bx＋ay－ab＝0.点(1，0)到直线l的距离d1＝ba-1a2+b2，点(－1，0)到直线l的距离d2＝ba+1a2+b2，
所以s＝d1＋d2＝2aba2+b2＝2abc.
由s≥45c，得2abc≥45c，
即5ac2-a2≥2c2，则5e2-1≥2e2，
即4e4－25e2＋25≤0，得54≤e2≤5.
因为e>1，所以e的取值范围是52，5.
结合椭圆离心率的求法，试总结双曲线离心率的求解方法．
提示：(1)若可求得a，c，则直接利用e＝ca得解．
(2)若已知a，b，可直接利用e＝1+ba2得解．
(3)若得到的是关于a，c的齐次方程pc2＋qac＋ra2＝0(p，q，r为常数，且p≠0)，则转化为关于e的方程pe2＋qe＋r＝0求解．
[跟进训练]
3．(1)设F为双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2交于P，Q两点．若|PQ|＝|OF|，则C的离心率为( )
A．2 3 C．2 D．5
(2)实轴长为2的双曲线C：y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)上恰有4个不同的点Pi(i＝1，2，3，4)满足|PiB|＝2|PiA|，其中A，B分别是双曲线x2－y2＝1的左、右顶点，则C的离心率的取值范围为( )
A．577，+∞ B．1，577
C．75，+∞ D．1，75
(1)A (2)A [(1)如图，设PQ与x轴交于点A，由对称性可知PQ⊥x轴．
∵|PQ|＝|OF|＝c，
∴|PA|＝c2.
∴PA为以OF为直径的圆的半径，A为圆心，
∴|OA|＝c2.∴Pc2，c2.
又点P在圆x2＋y2＝a2上，∴c24＋c24＝a2，即c22＝a2，∴e2＝c2a2＝2，∴e＝2，故选A．
(2)依题意可得a＝1，A(－1，0)，B(1，0)，
设P(x，y)，则由|PB|＝2|PA|，
得x-12+y2＝2x+12+y2，
整理得x+532＋y2＝169.
由y2-x2b2=1， x+532+y2=169 ，
得1+1b2x2＋103x＋2＝0，
因为双曲线C上恰有4个不同的点Pi(i＝1，2，3，4)满足|PiB|＝2|PiA|，
所以方程1+1b2x2＋103x＋2＝0有两不等实根，
所以只需Δ＝1009－81+1b2>0，解得b2>187，
则e＝ca＝1+b2a2＝1+b2>1+187＝577.
故选A．]
1．(多选)已知双曲线方程为x2－8y2＝32，则( )
A．实轴长为82 B．虚轴长为4
C．焦距为6 D．离心率为324
ABD [双曲线方程x2－8y2＝32化为标准方程为x232－y24＝1，可得a＝42，b＝2，c＝6，
所以双曲线的实轴长为82，虚轴长为4，焦距为12，离心率为324.故选ABD．]
2．若双曲线x2a2－y2＝1(a>0)的离心率为2，则其实轴长为( )
A．3 B．23 C．33 D．233
D [由题意得e2＝1＋1a2，即1＋1a2＝4，
解得a＝33，则实轴长为233，故选D．]
3．焦点在x轴上，一条渐近线的方程为y＝3x，虚轴长为43的双曲线的标准方程为( )
A．x24－y212＝1 B．x212－y24＝1
C．x248－y216＝1 D．x216－y248＝1
A [根据题意，要求双曲线的虚轴长2b＝43，即b＝23.又双曲线的一条渐近线的方程为y＝3x，所以ba＝3，则a＝2.又双曲线的焦点在x轴上，所以双曲线的标准方程为x24－y212＝1.故选A．]
4．已知圆C：x2＋y2－10y＋21＝0与双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的渐近线相切，则该双曲线的离心率是________．
52 [由双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)，可得其一条渐近线的方程为y＝bax，即bx－ay＝0，
又由圆C：x2＋y2－10y＋21＝0，可得圆心为C(0，5)，半径r＝2，
则圆心到直线的距离为d＝-5ab2+-a2＝5ac，则5ac＝2，可得e＝ca＝52．]
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．如何根据双曲线的方程研究其几何性质？
提示：(1)把双曲线方程化为标准形式；
(2)由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值；
(3)由c2＝a2＋b2求出c值，从而写出双曲线的几何性质．
2．离心率e和ba有怎样的关系？
提示：e2＝1＋b2a2.
3．如何用待定系数法设出与双曲线x2a2－y2b2＝1有相同渐近线的双曲线方程？
提示：可设为x2a2－y2b2＝λ(λ≠0)．
课时分层作业(二十八) 双曲线的简单几何性质
一、选择题
1．(2022·江苏常州六校高二上期中联考)双曲线x29－y216＝－1的渐近线方程是( )
A．x9±y16＝0 B．x16±y9＝0
C．x3±y4＝0 D．x4±y3＝0
C [法一：因为双曲线的标准方程为y216－x29＝1，所以a＝4，b＝3，则其渐近线方程为y＝±abx＝±43x，即x3±y4＝0，故选C．
法二：双曲线的标准方程为y216－x29＝1，令y216－x29＝0，得x3±y4＝0，故选C．]
2．(多选)方程x24－y2＝1和x24－y2＝λ(λ>0且λ≠1)所表示的双曲线有相同的( )
A．顶点 B．焦点
C．离心率 D．渐近线
CD [对于双曲线x24－y2＝1，a＝2，b＝1，c＝5；对于双曲线x24－y2＝λ，a′＝2λ，b′＝λ，c′＝5λ，显然a′，b′，c′分别是a，b，c的λ倍，因此这两个方程表示的双曲线有相同的离心率和渐近线．故选CD．]
3．(2022·重庆一中高二上期中)过点P(4，6)且与双曲线x2－y22＝1有相同渐近线的双曲线的标准方程为( )
A．x22－y24＝1 B．y24－x22＝1
C．x24－y22＝1 D．y22－x24＝1
B [设所求双曲线的方程为x2－y22＝m(m≠0)，将点P(4，6)代入方程，得m＝－2，所以所求双曲线的标准方程为y24－x22＝1.故选B．]
4．双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的左焦点F(－c，0)关于直线y＝－bax的对称点Q在该双曲线上，则双曲线的离心率为( )
A．52 B．5 C．3 D．32
B [设双曲线的左焦点关于bx＋ay＝0的对称点为Q(x，y)，
由题意可得yx+c=ab， b·x-c2+a·y2=0，
解得x＝b2-a2c，y＝2abc，
即Qb2-a2c，2abc，
而点Q在双曲线上，
则b2-a22a2c2－4a2b2c2b2＝1，
整理可得(c2－2a2)2－4a4－a2c2＝0，即c4＝5a2c2，
所以c2＝5a2，即离心率e＝ca＝5，故选B．]
5．(多选)已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1(－5，0)，F2(5，0)，则能使双曲线C的方程为x216－y29＝1的是( )
A．离心率为54
B．双曲线过点5，94
C．渐近线方程为3x±4y＝0
D．实轴长为4
ABC [由题意可得焦点在x轴上，且c＝5.A选项，若离心率为54，则a＝4，所以b2＝c2－a2＝9，此时双曲线的方程为x216－y29＝1，故A项符合题意；B选项，若双曲线过点5，94，
则25a2-8116b2=1， a2+b2=c2=25，解得a2=16，b2=9，
此时双曲线的方程为x216－y29＝1，故B项符合题意；C选项，若双曲线的渐近线方程为3x±4y＝0，
则可设双曲线的方程为x216－y29＝m(m＞0)，
所以c2＝16m＋9m＝25，
解得m＝1，
所以此时双曲线的方程为x216－y29＝1，故C项符合题意；D选项，若实轴长为4，则a＝2，所以b2＝c2－a2＝21，此时双曲线的方程为x24－y221＝1，故D项不符合题意．]
二、填空题
6．(2022·北京卷)已知双曲线y2＋x2m＝1的渐近线方程为y＝±33x，则m＝________．
－3 [双曲线y2＋x2m＝1化为标准方程可得y2－x2-m＝1，
所以m0，b>0)，设左、右焦点分别为F1，F2，|F1F2|＝2c，在C的右支上存在一点P，使得以F1F2，F2P为邻边的平行四边形为菱形，且直线PF1与圆(x－c)2＋y2＝c2相切，则该双曲线C的离心率为( )
A．32 B．3+12 C．3 D．2
B [由题意得|PF2|＝|F1F2|＝2c，设直线PF1与圆(x－c)2＋y2＝c2相切于点T，如图，则PF1⊥TF2，|TF2|＝c，
在Rt△F1TF2中，
∠TF2F1＝60°⇒|PF1|＝23c，
则由双曲线的定义可得|PF2|＝|PF1|－2a＝23c－2a，
所以2c＝23c－2a，
解得e＝ca＝3+12．]
13．已知F为双曲线E：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的右焦点，过点F向双曲线E的一条渐近线引垂线，垂足为A，且交另一条渐近线于点B，若|OF|＝|FB|，则双曲线E的离心率是________．
233 [如图所示，过F向另一条渐近线引垂线，垂足为D．
由题意得，双曲线的渐近线方程为y＝±bax，
则F(c，0)到渐近线的距离d＝bca2+b2＝b，
即|FA|＝|FD|＝b，又|OF|＝|FB|＝c，
则|OA|＝|OD|＝a，|AB|＝b＋c.
∵△OFB为等腰三角形，
∴D为OB的中点，∴|OB|＝2a.
∵AB⊥OA，∴|OB|2＝|OA|2＋|AB|2，
即4a2＝a2＋(b＋c)2，整理得c2－bc－2b2＝0，
∴c＝2b.则2a＝3c，
∴e＝ca＝233．]
14．已知F1，F2分别为双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，P为双曲线右支上的任意一点，当PF12PF2取最小值时，求双曲线的离心率e的取值范围．
[解] 因为双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为双曲线右支上的任意一点，
所以|PF1|－|PF2|＝2a，|PF1|＝2a＋|PF2|，
所以PF12PF2＝2a+PF22PF2＝4a2PF2＋4a＋|PF2|≥8a，当且仅当4a2PF2＝|PF2|，
即|PF2|＝2a时取等号，
所以|PF1|＝2a＋|PF2|＝4a，
因为|PF1|－|PF2|＝2a0)
y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)
图形
性质
范围
x≥a或x≤－a
y≤－a或y≥a
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点
顶点坐标：A1(－a，0)，A2(a，0)
顶点坐标：A1(0，－a)，A2(0，a)
轴长
实轴长：2a；虚轴长：2b
渐近线
y＝±bax
y＝±_abx
离心率
e＝ca，e∈(1，＋∞)，其中c＝a2+b2
a，b，c
的关系
c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0)