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人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.3 抛物线学案设计
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这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.3 抛物线学案设计，共20页。
抛物线这个几何对象，我们并不陌生．
例如，从物理学中我们知道，一个向上斜抛的乒乓球，其运动轨迹是抛物线的一部分，如图所示；二次函数的图象是一条抛物线；等等．
到底什么是抛物线呢？抛物线有没有一个类似于圆、椭圆或双曲线的定义呢？
知识点1 抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．
定点F不在准线l上，这是动点轨迹为抛物线的必要条件，否则，若定点F在定直线l上，则动点轨迹为过定点F且和定直线l垂直的一条直线．
知识点2 抛物线的标准方程
(1)抛物线方程中p(p>0)的几何意义是什么？
(2)如何区分抛物线的四个标准方程？
提示：(1)p(p>0)的几何意义是焦点到准线的距离．
(2)焦点在一次项变量对应的坐标轴上，开口方向由一次项系数的符号确定．当系数为正时，开口向坐标轴的正方向；当系数为负时，开口向坐标轴的负方向．
思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若点P到点F(1，0)的距离和到直线x＝－2的距离相等，则点P的轨迹是抛物线．( )
(2)若点P到点F(1，0)的距离和到直线x＋y－1＝0的距离相等，则点P的轨迹是抛物线．( )
(3)若点P到点F(1，0)的距离比到直线x＝－2的距离小1，则点P的轨迹是抛物线．( )
(4)平面内到一定点距离与到一定直线距离相等的点的轨迹是抛物线．( )
(5)抛物线y2＝－2px(p>0)中p是焦点到准线的距离．( )
(6)方程x2＝2ay(a≠0)表示开口向上的抛物线．( )
(7)抛物线y2＝14x的准线方程为x＝18．( )
[答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)× (5)√ (6)× (7)×
类型1 求抛物线的标准方程
【例1】 分别求满足下列条件的抛物线的标准方程．
(1)准线方程为2y＋4＝0；
(2)过点(3，－4)；
(3)焦点在直线x＋3y＋15＝0上．
[解] (1)准线方程为2y＋4＝0，即y＝－2，故抛物线焦点在y轴的正半轴上，设其方程为x2＝2py(p＞0)．又p2＝2，∴2p＝8，故所求抛物线的标准方程为x2＝8y.
(2)∵点(3，－4)在第四象限，∴抛物线开口向右或向下，
设抛物线的标准方程为y2＝2px(p＞0)或x2＝－2p1y(p1＞0)．
把点(3，－4)的坐标分别代入y2＝2px和x2＝－2p1y中，得(－4)2＝2p·3，32＝-2p1·(－4)，即2p＝163，2p1＝94.
∴所求抛物线的标准方程为y2＝163x或x2＝－94y.
(3)令x＝0得y＝－5；令y＝0得x＝－15.
∴抛物线的焦点为(0，－5)或(－15，0)．
∴所求抛物线的标准方程为x2＝－20y或y2＝－60x.
1．抛物线标准方程的求法
(1)定义法：建立适当坐标系，利用抛物线的定义列出动点满足的条件，列出方程，进行化简，根据定义求出p，最后写出标准方程．
(2)待定系数法：由于标准方程有四种形式，因而在求方程时应首先确定焦点在哪一个半轴上，进而确定方程的形式，然后再利用已知条件确定p的值．
2．求抛物线标准方程时应注意的问题
(1)把握开口方向与方程一次项系数的对应关系；
(2)当抛物线的位置没有确定时，可设方程为y2＝mx(m≠0)或x2＝ny(n≠0)，这样可以减少讨论不同情况的次数；
(3)注意p与p2的几何意义．
[跟进训练]
1．(1)焦点在y轴上，并且焦点到准线的距离等于6的抛物线的标准方程是( )
A．x2＝±3y B．y2＝±6x
C．x2＝±12y D．x2＝±6y
(2)(源自湘教版教材)求适合下列条件的抛物线的标准方程．
①焦点为F(0，－4)；
②准线方程为x＝12.
(1)C [由已知得p＝6且焦点在y轴上，所以抛物线的标准方程是x2＝±12y．]
(2)[解] ①因为焦点在y轴的负半轴上，并且－p2＝－4，
即p＝8.
因此，所求抛物线的标准方程为x2＝－16y.
②由准线方程为x＝12知，焦点在x轴的负半轴上，并且p2＝12，即p＝1.
因此，所求抛物线的标准方程为y2＝－2x.
类型2 抛物线定义的应用
【例2】 (1)已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|＝54x0，则x0等于( )
A．1 B．2 C．4 D．8
(2)已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，求点P到点(0，2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值．
(1)A [由题意知抛物线的准线为x＝－14.因为|AF|＝54x0，根据抛物线的定义可得x0＋14＝|AF|＝54x0，解得x0＝1，故选A．]
(2)[解] 由抛物线的定义可知，抛物线上的点到准线的距离等于它到焦点的距离．由图可知，点P，点(0，2)和抛物线的焦点F12，0三点共线时距离之和最小，
所以最小距离d＝0-122+2-02＝172.
[母题探究]
1．若将本例(2)中的“点(0，2)”改为“点A(3，2)”，求|PA|＋|PF|的最小值．
[解] 将x＝3代入y2＝2x，
得y＝±6.
所以点A在抛物线y2＝2x的内部．
设点P为其上一点，点P到准线(设为l)x＝－12的距离为d，
则|PA|＋|PF|＝|PA|＋d.
由图可知，当PA⊥l时，|PA|＋d最小，最小值是72.
即|PA|＋|PF|的最小值是72.
2．若将本例(2)中的“点(0，2)”换成为“直线l1：3x－4y＋72＝0”，求点P到直线3x－4y＋72＝0的距离与P到该抛物线的准线的距离之和的最小值．
[解] 如图，作PQ垂直于准线l于点Q，
|PA1|＋|PQ|＝|PA1|＋|PF|≥|A1F|min.
|A1F|的最小值为点F到直
线3x－4y＋72＝0的距离d＝3×12+7232+-42＝1.
即所求最小值为1.
抛物线定义的两种应用
(1)实现距离转化．根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线定义可以实现点点距与点线距的相互转化，从而简化某些问题．
(2)解决最值问题．在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时，往往用抛物线的定义进行转化，即化折线为直线解决最值问题．
[跟进训练]
2．(1)已知抛物线的方程为y2＝－4x，直线l的方程为2x＋y－4＝0，在抛物线上有一动点A，点A到y轴的距离为m，点A到直线l的距离为n，则m＋n的最小值为________．
(2)已知位于y轴右侧的动点M到点F12，0的距离比它到y轴的距离大12，求点M的轨迹方程．
(1)655－1 [由抛物线的方程为y2＝－4x，得其焦点F(－1，0)，准线方程为x＝1.
如图，过点A作直线l的垂线，垂足为H，则|AH|＝n.过点A作准线的垂线，垂足为C，交y轴于点B，则|AB|＝m，|AC|＝m＋1.
根据抛物线的定义可知，|AF|＝|AC|＝m＋1，
所以m＋n＝|AF|＋|AH|－1.
过点F作直线l的垂线，垂足为H1，
则|FH1|＝-2-45＝655.
当点A为垂线段FH1与抛物线的交点时，|AF|＋|AH|最小，最小值为|FH1|＝655，
此时，m＋n取得最小值655－1．]
(2)[解] 由于位于y轴右侧的动点M到点F12，0的距离比它到y轴的距离大12，所以动点M到点F12，0的距离与它到直线l：x＝－12的距离相等．
由抛物线的定义知，动点M的轨迹是以F为焦点，l为准线的抛物线，其方程应为y2＝2px(p>0)的形式．
又p2＝12，所以p＝1，2p＝2.故点M的轨迹方程为y2＝2x(x≠0)．
类型3 抛物线的实际实用
【例3】 (源自北师大版教材)某单行隧道横断面由一段抛物线及一个矩形的三边围成，尺寸如图所示(单位：m)．某卡车载一集装箱，车宽3 m，车与集装箱总高4.5 m，此车能否安全通过隧道？说明理由．
[解] 如图所示，以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系，则点A的坐标为(3，－3)．
设抛物线的标准方程为x2＝－2py(p>0)．
将点A的坐标代入上式，得9＝6p，即2p＝3.
所以抛物线的标准方程为x2＝－3y.
将x＝1.5代入抛物线的标准方程，得y＝－0.75，则5－0.75＝4.25<4.5.
这说明，即使集装箱处于隧道的正中位置，车与集装箱的总高也会高于BD，所以此车不能安全通过隧道．
求解抛物线实际应用题的步骤
[跟进训练]
3．某大桥在涨水时有最大跨度的中央桥孔，已知上部呈抛物线形，跨度为20米，拱顶距水面6米，桥墩高出水面4米．现有一货船欲过此孔，该货船水下宽度不超过18米，目前吃水线上部中央船体高5米，宽16米，且该货船在现有状况下还可多装1 000吨货物，但每多装150吨货物，船体吃水线就要上升0.04米．若不考虑水下深度，问：该货船在现在状况下能否直接或设法通过该桥孔？为什么？
[解] 如图所示，以拱顶为原点，过拱顶的水平直线为x轴，竖直直线为y轴，建立直角坐标系．
因为拱顶距水面6米，桥墩高出水面4米，所以A(10，－2)．
设桥孔上部抛物线方程是x2＝－2py(p＞0)，
则102＝－2p×(－2)，所以p＝25，
所以抛物线方程为x2＝－50y，
即y＝－150x2.
若货船沿正中央航行，船宽16米，而当x＝8时，y＝－150×82＝－1.28，
即船体在x＝±8之间通过点B(8，－1.28)，
此时B点距水面6＋(－1.28)＝4.72(米)．
而船体高为5米，所以无法通行．
又因为5－4.72＝0.28(米)，0.28÷0.04＝7，150×7＝1 050(吨)，
所以若船通过增加货物通过桥孔，则要增加1 050吨，而船最多还能装1 000吨货物，所以货船在现有状况下不能通过桥孔．
1．满足x2+y+12＝2x+3y+313的点P(x，y)的轨迹是( )
A．圆 B．双曲线
C．直线 D．抛物线
C [依题意得，点P到点F(0，－1)和到直线l：2x＋3y＋3＝0的距离相等，又F(0，－1)在l上，所以点P的轨迹是直线，即为过点F且与l垂直的直线．故选C．]
2．抛物线y＝14x2的焦点坐标是( )
A．(1，0) B．(0，1)
C．(2，0) D．(0，2)
B [抛物线的标准方程为x2＝4y，则2p＝4，可得p2＝1，因此抛物线y＝14x2的焦点坐标为(0，1)．故选B．]
3．若点P到点F(4，0)的距离比它到直线x＋5＝0的距离小1，则P点的轨迹方程是( )
A．y2＝－16x B．y2＝－32x
C．y2＝16x D．y2＝32x
C [由题意知点P到点F(4，0)和直线x＝－4的距离相等．
所以P点的轨迹是以F为焦点，以直线x＝－4为准线的抛物线，又p＝8，则点P的轨迹方程为y2＝16x.故选C．]
4．如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2 m，水面宽4 m．水位下降1 m后，水面宽________m．
26 [建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线的方程为x2＝－2py(p>0)，则点(2，－2)在抛物线上，代入可得p＝1，所以x2＝－2y.当y＝－3时，x2＝6，
所以水面宽为26 m．]
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．抛物线是如何定义的？试写出其标准方程．
提示：把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．
焦点在x轴上的抛物线标准方程为y2＝±2px(p>0)，
焦点在y轴上的抛物线标准方程为x2＝±2py(p>0).
2．当抛物线的焦点位置不确定时，如何设抛物线方程？
提示：可设抛物线方程为y2＝mx(m≠0)或x2＝ny(n≠0)．
课时分层作业(三十) 抛物线及其标准方程
一、选择题
1．(2022·河北石家庄二中高二上期中)已知点F(1，0)，直线l：x＝－1，点B是l上的动点．若过点B且垂直于y轴的直线与线段BF的垂直平分线交于点M，则点M的轨迹是( )
A．双曲线 B．椭圆
C．圆 D．抛物线
D [连接MF(图略)．由垂直平分线性质知|MB|＝|MF|，即点M到定点F的距离与它到直线l的距离相等，因此，点M的轨迹是抛物线．故选D．]
2．若抛物线x2＝ay的准线与椭圆x24＋y2＝1相切，则a＝( )
A．－4或4 B．4
C．－8或8 D．8
A [因为抛物线方程为x2＝ay，当a>0时，抛物线的准线方程为y＝－a4；当a<0时，抛物线的准线方程为y＝－a4.由题知椭圆的上、下顶点分别为(0，1)，(0，－1)．若抛物线x2＝ay的准线与椭圆x24＋y2＝1相切，则－a4＝1或－a4＝－1，
解得a＝±4，故选A．]
3．设点A的坐标为(1，15)，点P在抛物线y2＝8x上移动，P到直线x＝－1的距离为d，则d＋|PA|的最小值为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
C [由题意知抛物线y2＝8x的焦点为F(2，0)，点P到准线x＝－2的距离为d＋1，于是|PF|＝d＋1，
所以d＋|PA|＝|PF|－1＋|PA|的最小值为|AF|－1＝4－1＝3.故选C．]
4．抛物线y＝mx2的准线方程为( )
A．y＝±m4 B．x＝±14m
C．y＝－14m D．x＝m4
C [抛物线y＝mx2的标准方程为x2＝1my，则抛物线开口向上或向下．
当m>0时，开口向上，p＝12m，所以准线方程为y＝－p2＝－14m；
当m<0时，开口向下，p＝－12m，所以准线方程为y＝p2＝－14m，
所以无论m的值是正是负，抛物线的准线方程均为y＝－14m，故选C．]
5．如图所示，南北方向的公路l，A地在公路正东2 km处，B地在A东偏北30°方向23 km处，河流沿岸曲线PQ上任意一点到公路l和到A地距离相等．现要在曲线PQ上建一座码头，向A，B两地运货物，经测算，从M到A、到B修建费用都为a万元/km，那么，修建这条公路的总费用最低是(单位：万元)( )
A．(2＋3)a B．2(3＋1)a
C．5a D．6a
C [依题意知曲线PQ是以A为焦点、l为准线的抛物线，根据抛物线的定义知：欲求从M到A，B修建公路的费用最低，只需求出B到直线l距离即可，因B地在A地东偏北30°方向23 km处，
∴B到点A的水平距离为3(km)，
∴B到直线l距离为3＋2＝5(km)，
那么修建这两条公路的总费用最低为5a(万元)，故选C．]
二、填空题
6．已知抛物线顶点为坐标原点，焦点在y轴上，抛物线上的点M(m，－2)到焦点的距离为4，则m＝________．
±4 [由已知，可设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)．
由抛物线定义有2＋p2＝4，
∴p＝4，∴x2＝－8y.
将(m，－2)代入上式，得m2＝16，∴m＝±4．]
7．如图所示，抛物线型拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽42米，建立如图所示的平面直角坐标系，则抛物线的标准方程为________；水面下降1米，水面宽是________米．
x2＝－4y 43 [设抛物线的标准方程为x2＝－2py(p>0)，由抛物线经过点(22，－2)，可得8＝－2p×(－2)，解得p＝2，所以抛物线的标准方程为x2＝－4y.当y＝－3时，x2＝12，解得x＝±23，所以水面下降1米后，水面宽是43米．]
8．已知抛物线C：4x＋ay2＝0恰好经过圆M：(x－1)2＋(y－2)2＝1的圆心，则抛物线C的焦点坐标为________，准线方程为________．
(1，0) x＝－1 [圆M的圆心为(1，2)，代入4x＋ay2＝0得a＝－1，将抛物线C的方程化为标准方程得y2＝4x，故焦点坐标为(1，0)，准线方程为x＝－1．]
三、解答题
9．已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点M(m，－3)到焦点的距离为5，求m的值、抛物线方程和准线方程．
[解] 法一：如图所示，设抛物线的方程为x2＝－2py(p>0)，则焦点F0，-p2，准线l：y＝p2，作MN⊥l，垂足为N，
则|MN|＝|MF|＝5，
而|MN|＝3＋p2＝5，
即p＝4.所以抛物线方程为x2＝－8y，准线方程为y＝2.
由m2＝－8×(－3)＝24，得m＝±26.
法二：设所求抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，则焦点为F0，-p2.
∵M(m，－3)在抛物线上，且|MF|＝5，
故m2=6p， m2+-3+p22=5，
解得p=4，m=±26．
∴抛物线方程为x2＝－8y，m＝±26，准线方程为y＝2.
10．抛物线y2＝2x上的一点A(2，y0)(y0>0)到其焦点的距离是( )
A．12 B．52 C．3 D．18
B [法一：∵点A(2，y0)(y0>0)在抛物线y2＝2x上，∴y0＝2.又∵抛物线y2＝2x的焦点为12，0，∴点A(2，2)到抛物线焦点的距离d＝2-122+2-02＝52，故选B．
法二：∵点A(2，y0)(y0>0)在抛物线y2＝2x上，p＝1，
∴由焦半径公式知，点A到抛物线焦点的距离d＝2＋p2＝2＋12＝52.故选B．]
11．(多选)下列条件满足抛物线方程为y2＝10x的是( )
A．焦点在y轴上
B．焦点在x轴上
C．抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6
D．由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为(2，1)
BD [抛物线y2＝10x的焦点在x轴上，B满足，A不满足；
设M(1，y0)是y2＝10x上一点，则|MF|＝1＋p2＝1＋52＝72≠6，所以C不满足；
由于抛物线y2＝10x的焦点为52，0，
设过该焦点的直线的斜率存在，方程为y＝kx-52，若由原点向该直线作垂线，垂足为(2，1)时，k＝－2，此时存在，所以D满足．]
12．(2022·天津河西期中)设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5，若以线段MF为直径的圆过点(0，2)，则C的方程为( )
A．y2＝4x或y2＝8x
B．y2＝2x或y2＝8x
C．y2＝4x或y2＝16x
D．y2＝2x或y2＝16x
C [如图所示，抛物线y2＝2px的焦点F的坐标为p2，0，准线方程为x＝－p2.过点M作准线的垂线，垂足为N，
由|MF|＝5，得点M到准线的距离|MN|为5，
所以点M的横坐标为5－p2，
可设M5-p2，m，设线段MF的中点为B，
则线段MF的中点B的坐标为52，m2，
因为以线段MF为直径的圆过点A(0，2)，所以∠MAF＝90°，线段AB为Rt△MAF的斜边中线，
所以|AB|＝12|MF|＝52，所以|AB|2＝522，由两点间距离公式，得52 -02＋m2 -22＝522，解得m＝4，
由点M在抛物线上，
得m2＝2p5-p2，又m＝4，
所以p＝2或p＝8，所以所求抛物线的方程为y2＝4x或y2＝16x.故选C．]
13．设F为抛物线y2＝4x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若FA+FB+FC＝0，则|FA|＋|FB|＋|FC|＝________．
6 [设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，且F(1，0)．
由FA+FB+FC＝0知(x1－1)＋(x2－1)＋(x3－1)＝0，
即x1＋x2＋x3＝3，
所以|FA|＋|FB|＋|FC|＝x1＋x2＋x3＋32p＝6．]
14．如图所示，一辆卡车高3 m，宽1.6 m，欲通过断面为抛物线形的隧道，已知拱口AB宽恰好是拱高CD的4倍，若拱口宽为a m，求能使卡车通过的a的最小整数值．
[解] 以拱顶为原点，拱高所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．
则点B的坐标为a2，-a4.
设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，
∵点B在抛物线上，
∴a22＝－2p·-a4，
解得p＝a2，∴抛物线方程为x2＝－ay.
将点E(0.8，y)代入抛物线方程，得y＝－0.64a.
∴点E到拱底AB的距离为
a4－|y|＝a4－0.64a>3.
当a＝12时，a4－0.64a<3；
当a＝13时，a4－0.64a>3，且a4－0.64a随a的增大而增大，
∴a的最小整数值为13.
15．如图所示，A地在B地北偏东45°方向，相距22 km处，B地与东西走向的高铁线(近似看成直线)l相距4 km.已知曲线形公路PQ上任意一点到B地的距离等于此点到高铁线l的距离．现要在公路旁建造一个变电房M(变电房与公路之间的距离忽略不计)，分别向A地、B地送电．
(1)试建立适当的平面直角坐标系，求曲线形公路PQ所在的曲线方程；
(2)变电房M应建在相对于A地的什么位置(方向和距离)才能使得架设电路所用电线长度最短？并求出最短长度．
[解] (1)如图，以经过点B且垂直于l(垂足为K)的直线为y轴，线段BK的中点O为原点，建立平面直角坐标系，则B(0，2)，A(2，4)．
因为曲线形公路PQ上任意一点到B地的距离等于此点到高铁线l的距离，所以PQ所在的曲线是以B(0，2)为焦点，l为准线的抛物线．设抛物线方程为x2＝2py(p>0)，由BO＝2，知p＝4，故曲线形公路PQ所在的曲线方程为x2＝8y.
(2)要使架设电路所用电线长度最短，即|MA|＋|MB|最小，如图所示，过M作MH⊥l，垂足为H，
由抛物线定义得|MB|＝|MH|，
所以|MA|＋|MB|＝|MA|＋|MH|，
当A，M，H三点共线时，|MA|＋|MH|取得最小值．
即|MA|＋|MB|取得最小值，此时M2，12.
所以变电房M应建在A地正南方向，且与A地相距72 km的位置上，才能使得所用电线长度最短，最短长度为6 km.
学习任务
1．掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念．(数学抽象)
2．会求抛物线的标准方程，并能应用它解决有关问题．(数学运算、数学建模)
图形
标准方程
焦点坐标
准线方程
y2＝2px(p>0)
F_p2，0
x＝－p2
y2＝－2px(p>0)
F-_p2，0
x＝p2
x2＝2py(p>0)
F0，_p2
y＝－p2
x2＝－2py(p>0)
F0，-_p2
y＝p2
抛物线这个几何对象，我们并不陌生．
例如，从物理学中我们知道，一个向上斜抛的乒乓球，其运动轨迹是抛物线的一部分，如图所示；二次函数的图象是一条抛物线；等等．
到底什么是抛物线呢？抛物线有没有一个类似于圆、椭圆或双曲线的定义呢？
知识点1 抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．
定点F不在准线l上，这是动点轨迹为抛物线的必要条件，否则，若定点F在定直线l上，则动点轨迹为过定点F且和定直线l垂直的一条直线．
知识点2 抛物线的标准方程
(1)抛物线方程中p(p>0)的几何意义是什么？
(2)如何区分抛物线的四个标准方程？
提示：(1)p(p>0)的几何意义是焦点到准线的距离．
(2)焦点在一次项变量对应的坐标轴上，开口方向由一次项系数的符号确定．当系数为正时，开口向坐标轴的正方向；当系数为负时，开口向坐标轴的负方向．
思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若点P到点F(1，0)的距离和到直线x＝－2的距离相等，则点P的轨迹是抛物线．( )
(2)若点P到点F(1，0)的距离和到直线x＋y－1＝0的距离相等，则点P的轨迹是抛物线．( )
(3)若点P到点F(1，0)的距离比到直线x＝－2的距离小1，则点P的轨迹是抛物线．( )
(4)平面内到一定点距离与到一定直线距离相等的点的轨迹是抛物线．( )
(5)抛物线y2＝－2px(p>0)中p是焦点到准线的距离．( )
(6)方程x2＝2ay(a≠0)表示开口向上的抛物线．( )
(7)抛物线y2＝14x的准线方程为x＝18．( )
[答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)× (5)√ (6)× (7)×
类型1 求抛物线的标准方程
【例1】 分别求满足下列条件的抛物线的标准方程．
(1)准线方程为2y＋4＝0；
(2)过点(3，－4)；
(3)焦点在直线x＋3y＋15＝0上．
[解] (1)准线方程为2y＋4＝0，即y＝－2，故抛物线焦点在y轴的正半轴上，设其方程为x2＝2py(p＞0)．又p2＝2，∴2p＝8，故所求抛物线的标准方程为x2＝8y.
(2)∵点(3，－4)在第四象限，∴抛物线开口向右或向下，
设抛物线的标准方程为y2＝2px(p＞0)或x2＝－2p1y(p1＞0)．
把点(3，－4)的坐标分别代入y2＝2px和x2＝－2p1y中，得(－4)2＝2p·3，32＝-2p1·(－4)，即2p＝163，2p1＝94.
∴所求抛物线的标准方程为y2＝163x或x2＝－94y.
(3)令x＝0得y＝－5；令y＝0得x＝－15.
∴抛物线的焦点为(0，－5)或(－15，0)．
∴所求抛物线的标准方程为x2＝－20y或y2＝－60x.
1．抛物线标准方程的求法
(1)定义法：建立适当坐标系，利用抛物线的定义列出动点满足的条件，列出方程，进行化简，根据定义求出p，最后写出标准方程．
(2)待定系数法：由于标准方程有四种形式，因而在求方程时应首先确定焦点在哪一个半轴上，进而确定方程的形式，然后再利用已知条件确定p的值．
2．求抛物线标准方程时应注意的问题
(1)把握开口方向与方程一次项系数的对应关系；
(2)当抛物线的位置没有确定时，可设方程为y2＝mx(m≠0)或x2＝ny(n≠0)，这样可以减少讨论不同情况的次数；
(3)注意p与p2的几何意义．
[跟进训练]
1．(1)焦点在y轴上，并且焦点到准线的距离等于6的抛物线的标准方程是( )
A．x2＝±3y B．y2＝±6x
C．x2＝±12y D．x2＝±6y
(2)(源自湘教版教材)求适合下列条件的抛物线的标准方程．
①焦点为F(0，－4)；
②准线方程为x＝12.
(1)C [由已知得p＝6且焦点在y轴上，所以抛物线的标准方程是x2＝±12y．]
(2)[解] ①因为焦点在y轴的负半轴上，并且－p2＝－4，
即p＝8.
因此，所求抛物线的标准方程为x2＝－16y.
②由准线方程为x＝12知，焦点在x轴的负半轴上，并且p2＝12，即p＝1.
因此，所求抛物线的标准方程为y2＝－2x.
类型2 抛物线定义的应用
【例2】 (1)已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|＝54x0，则x0等于( )
A．1 B．2 C．4 D．8
(2)已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，求点P到点(0，2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值．
(1)A [由题意知抛物线的准线为x＝－14.因为|AF|＝54x0，根据抛物线的定义可得x0＋14＝|AF|＝54x0，解得x0＝1，故选A．]
(2)[解] 由抛物线的定义可知，抛物线上的点到准线的距离等于它到焦点的距离．由图可知，点P，点(0，2)和抛物线的焦点F12，0三点共线时距离之和最小，
所以最小距离d＝0-122+2-02＝172.
[母题探究]
1．若将本例(2)中的“点(0，2)”改为“点A(3，2)”，求|PA|＋|PF|的最小值．
[解] 将x＝3代入y2＝2x，
得y＝±6.
所以点A在抛物线y2＝2x的内部．
设点P为其上一点，点P到准线(设为l)x＝－12的距离为d，
则|PA|＋|PF|＝|PA|＋d.
由图可知，当PA⊥l时，|PA|＋d最小，最小值是72.
即|PA|＋|PF|的最小值是72.
2．若将本例(2)中的“点(0，2)”换成为“直线l1：3x－4y＋72＝0”，求点P到直线3x－4y＋72＝0的距离与P到该抛物线的准线的距离之和的最小值．
[解] 如图，作PQ垂直于准线l于点Q，
|PA1|＋|PQ|＝|PA1|＋|PF|≥|A1F|min.
|A1F|的最小值为点F到直
线3x－4y＋72＝0的距离d＝3×12+7232+-42＝1.
即所求最小值为1.
抛物线定义的两种应用
(1)实现距离转化．根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线定义可以实现点点距与点线距的相互转化，从而简化某些问题．
(2)解决最值问题．在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时，往往用抛物线的定义进行转化，即化折线为直线解决最值问题．
[跟进训练]
2．(1)已知抛物线的方程为y2＝－4x，直线l的方程为2x＋y－4＝0，在抛物线上有一动点A，点A到y轴的距离为m，点A到直线l的距离为n，则m＋n的最小值为________．
(2)已知位于y轴右侧的动点M到点F12，0的距离比它到y轴的距离大12，求点M的轨迹方程．
(1)655－1 [由抛物线的方程为y2＝－4x，得其焦点F(－1，0)，准线方程为x＝1.
如图，过点A作直线l的垂线，垂足为H，则|AH|＝n.过点A作准线的垂线，垂足为C，交y轴于点B，则|AB|＝m，|AC|＝m＋1.
根据抛物线的定义可知，|AF|＝|AC|＝m＋1，
所以m＋n＝|AF|＋|AH|－1.
过点F作直线l的垂线，垂足为H1，
则|FH1|＝-2-45＝655.
当点A为垂线段FH1与抛物线的交点时，|AF|＋|AH|最小，最小值为|FH1|＝655，
此时，m＋n取得最小值655－1．]
(2)[解] 由于位于y轴右侧的动点M到点F12，0的距离比它到y轴的距离大12，所以动点M到点F12，0的距离与它到直线l：x＝－12的距离相等．
由抛物线的定义知，动点M的轨迹是以F为焦点，l为准线的抛物线，其方程应为y2＝2px(p>0)的形式．
又p2＝12，所以p＝1，2p＝2.故点M的轨迹方程为y2＝2x(x≠0)．
类型3 抛物线的实际实用
【例3】 (源自北师大版教材)某单行隧道横断面由一段抛物线及一个矩形的三边围成，尺寸如图所示(单位：m)．某卡车载一集装箱，车宽3 m，车与集装箱总高4.5 m，此车能否安全通过隧道？说明理由．
[解] 如图所示，以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系，则点A的坐标为(3，－3)．
设抛物线的标准方程为x2＝－2py(p>0)．
将点A的坐标代入上式，得9＝6p，即2p＝3.
所以抛物线的标准方程为x2＝－3y.
将x＝1.5代入抛物线的标准方程，得y＝－0.75，则5－0.75＝4.25<4.5.
这说明，即使集装箱处于隧道的正中位置，车与集装箱的总高也会高于BD，所以此车不能安全通过隧道．
求解抛物线实际应用题的步骤
[跟进训练]
3．某大桥在涨水时有最大跨度的中央桥孔，已知上部呈抛物线形，跨度为20米，拱顶距水面6米，桥墩高出水面4米．现有一货船欲过此孔，该货船水下宽度不超过18米，目前吃水线上部中央船体高5米，宽16米，且该货船在现有状况下还可多装1 000吨货物，但每多装150吨货物，船体吃水线就要上升0.04米．若不考虑水下深度，问：该货船在现在状况下能否直接或设法通过该桥孔？为什么？
[解] 如图所示，以拱顶为原点，过拱顶的水平直线为x轴，竖直直线为y轴，建立直角坐标系．
因为拱顶距水面6米，桥墩高出水面4米，所以A(10，－2)．
设桥孔上部抛物线方程是x2＝－2py(p＞0)，
则102＝－2p×(－2)，所以p＝25，
所以抛物线方程为x2＝－50y，
即y＝－150x2.
若货船沿正中央航行，船宽16米，而当x＝8时，y＝－150×82＝－1.28，
即船体在x＝±8之间通过点B(8，－1.28)，
此时B点距水面6＋(－1.28)＝4.72(米)．
而船体高为5米，所以无法通行．
又因为5－4.72＝0.28(米)，0.28÷0.04＝7，150×7＝1 050(吨)，
所以若船通过增加货物通过桥孔，则要增加1 050吨，而船最多还能装1 000吨货物，所以货船在现有状况下不能通过桥孔．
1．满足x2+y+12＝2x+3y+313的点P(x，y)的轨迹是( )
A．圆 B．双曲线
C．直线 D．抛物线
C [依题意得，点P到点F(0，－1)和到直线l：2x＋3y＋3＝0的距离相等，又F(0，－1)在l上，所以点P的轨迹是直线，即为过点F且与l垂直的直线．故选C．]
2．抛物线y＝14x2的焦点坐标是( )
A．(1，0) B．(0，1)
C．(2，0) D．(0，2)
B [抛物线的标准方程为x2＝4y，则2p＝4，可得p2＝1，因此抛物线y＝14x2的焦点坐标为(0，1)．故选B．]
3．若点P到点F(4，0)的距离比它到直线x＋5＝0的距离小1，则P点的轨迹方程是( )
A．y2＝－16x B．y2＝－32x
C．y2＝16x D．y2＝32x
C [由题意知点P到点F(4，0)和直线x＝－4的距离相等．
所以P点的轨迹是以F为焦点，以直线x＝－4为准线的抛物线，又p＝8，则点P的轨迹方程为y2＝16x.故选C．]
4．如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2 m，水面宽4 m．水位下降1 m后，水面宽________m．
26 [建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线的方程为x2＝－2py(p>0)，则点(2，－2)在抛物线上，代入可得p＝1，所以x2＝－2y.当y＝－3时，x2＝6，
所以水面宽为26 m．]
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．抛物线是如何定义的？试写出其标准方程．
提示：把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．
焦点在x轴上的抛物线标准方程为y2＝±2px(p>0)，
焦点在y轴上的抛物线标准方程为x2＝±2py(p>0).
2．当抛物线的焦点位置不确定时，如何设抛物线方程？
提示：可设抛物线方程为y2＝mx(m≠0)或x2＝ny(n≠0)．
课时分层作业(三十) 抛物线及其标准方程
一、选择题
1．(2022·河北石家庄二中高二上期中)已知点F(1，0)，直线l：x＝－1，点B是l上的动点．若过点B且垂直于y轴的直线与线段BF的垂直平分线交于点M，则点M的轨迹是( )
A．双曲线 B．椭圆
C．圆 D．抛物线
D [连接MF(图略)．由垂直平分线性质知|MB|＝|MF|，即点M到定点F的距离与它到直线l的距离相等，因此，点M的轨迹是抛物线．故选D．]
2．若抛物线x2＝ay的准线与椭圆x24＋y2＝1相切，则a＝( )
A．－4或4 B．4
C．－8或8 D．8
A [因为抛物线方程为x2＝ay，当a>0时，抛物线的准线方程为y＝－a4；当a<0时，抛物线的准线方程为y＝－a4.由题知椭圆的上、下顶点分别为(0，1)，(0，－1)．若抛物线x2＝ay的准线与椭圆x24＋y2＝1相切，则－a4＝1或－a4＝－1，
解得a＝±4，故选A．]
3．设点A的坐标为(1，15)，点P在抛物线y2＝8x上移动，P到直线x＝－1的距离为d，则d＋|PA|的最小值为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
C [由题意知抛物线y2＝8x的焦点为F(2，0)，点P到准线x＝－2的距离为d＋1，于是|PF|＝d＋1，
所以d＋|PA|＝|PF|－1＋|PA|的最小值为|AF|－1＝4－1＝3.故选C．]
4．抛物线y＝mx2的准线方程为( )
A．y＝±m4 B．x＝±14m
C．y＝－14m D．x＝m4
C [抛物线y＝mx2的标准方程为x2＝1my，则抛物线开口向上或向下．
当m>0时，开口向上，p＝12m，所以准线方程为y＝－p2＝－14m；
当m<0时，开口向下，p＝－12m，所以准线方程为y＝p2＝－14m，
所以无论m的值是正是负，抛物线的准线方程均为y＝－14m，故选C．]
5．如图所示，南北方向的公路l，A地在公路正东2 km处，B地在A东偏北30°方向23 km处，河流沿岸曲线PQ上任意一点到公路l和到A地距离相等．现要在曲线PQ上建一座码头，向A，B两地运货物，经测算，从M到A、到B修建费用都为a万元/km，那么，修建这条公路的总费用最低是(单位：万元)( )
A．(2＋3)a B．2(3＋1)a
C．5a D．6a
C [依题意知曲线PQ是以A为焦点、l为准线的抛物线，根据抛物线的定义知：欲求从M到A，B修建公路的费用最低，只需求出B到直线l距离即可，因B地在A地东偏北30°方向23 km处，
∴B到点A的水平距离为3(km)，
∴B到直线l距离为3＋2＝5(km)，
那么修建这两条公路的总费用最低为5a(万元)，故选C．]
二、填空题
6．已知抛物线顶点为坐标原点，焦点在y轴上，抛物线上的点M(m，－2)到焦点的距离为4，则m＝________．
±4 [由已知，可设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)．
由抛物线定义有2＋p2＝4，
∴p＝4，∴x2＝－8y.
将(m，－2)代入上式，得m2＝16，∴m＝±4．]
7．如图所示，抛物线型拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽42米，建立如图所示的平面直角坐标系，则抛物线的标准方程为________；水面下降1米，水面宽是________米．
x2＝－4y 43 [设抛物线的标准方程为x2＝－2py(p>0)，由抛物线经过点(22，－2)，可得8＝－2p×(－2)，解得p＝2，所以抛物线的标准方程为x2＝－4y.当y＝－3时，x2＝12，解得x＝±23，所以水面下降1米后，水面宽是43米．]
8．已知抛物线C：4x＋ay2＝0恰好经过圆M：(x－1)2＋(y－2)2＝1的圆心，则抛物线C的焦点坐标为________，准线方程为________．
(1，0) x＝－1 [圆M的圆心为(1，2)，代入4x＋ay2＝0得a＝－1，将抛物线C的方程化为标准方程得y2＝4x，故焦点坐标为(1，0)，准线方程为x＝－1．]
三、解答题
9．已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点M(m，－3)到焦点的距离为5，求m的值、抛物线方程和准线方程．
[解] 法一：如图所示，设抛物线的方程为x2＝－2py(p>0)，则焦点F0，-p2，准线l：y＝p2，作MN⊥l，垂足为N，
则|MN|＝|MF|＝5，
而|MN|＝3＋p2＝5，
即p＝4.所以抛物线方程为x2＝－8y，准线方程为y＝2.
由m2＝－8×(－3)＝24，得m＝±26.
法二：设所求抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，则焦点为F0，-p2.
∵M(m，－3)在抛物线上，且|MF|＝5，
故m2=6p， m2+-3+p22=5，
解得p=4，m=±26．
∴抛物线方程为x2＝－8y，m＝±26，准线方程为y＝2.
10．抛物线y2＝2x上的一点A(2，y0)(y0>0)到其焦点的距离是( )
A．12 B．52 C．3 D．18
B [法一：∵点A(2，y0)(y0>0)在抛物线y2＝2x上，∴y0＝2.又∵抛物线y2＝2x的焦点为12，0，∴点A(2，2)到抛物线焦点的距离d＝2-122+2-02＝52，故选B．
法二：∵点A(2，y0)(y0>0)在抛物线y2＝2x上，p＝1，
∴由焦半径公式知，点A到抛物线焦点的距离d＝2＋p2＝2＋12＝52.故选B．]
11．(多选)下列条件满足抛物线方程为y2＝10x的是( )
A．焦点在y轴上
B．焦点在x轴上
C．抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6
D．由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为(2，1)
BD [抛物线y2＝10x的焦点在x轴上，B满足，A不满足；
设M(1，y0)是y2＝10x上一点，则|MF|＝1＋p2＝1＋52＝72≠6，所以C不满足；
由于抛物线y2＝10x的焦点为52，0，
设过该焦点的直线的斜率存在，方程为y＝kx-52，若由原点向该直线作垂线，垂足为(2，1)时，k＝－2，此时存在，所以D满足．]
12．(2022·天津河西期中)设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5，若以线段MF为直径的圆过点(0，2)，则C的方程为( )
A．y2＝4x或y2＝8x
B．y2＝2x或y2＝8x
C．y2＝4x或y2＝16x
D．y2＝2x或y2＝16x
C [如图所示，抛物线y2＝2px的焦点F的坐标为p2，0，准线方程为x＝－p2.过点M作准线的垂线，垂足为N，
由|MF|＝5，得点M到准线的距离|MN|为5，
所以点M的横坐标为5－p2，
可设M5-p2，m，设线段MF的中点为B，
则线段MF的中点B的坐标为52，m2，
因为以线段MF为直径的圆过点A(0，2)，所以∠MAF＝90°，线段AB为Rt△MAF的斜边中线，
所以|AB|＝12|MF|＝52，所以|AB|2＝522，由两点间距离公式，得52 -02＋m2 -22＝522，解得m＝4，
由点M在抛物线上，
得m2＝2p5-p2，又m＝4，
所以p＝2或p＝8，所以所求抛物线的方程为y2＝4x或y2＝16x.故选C．]
13．设F为抛物线y2＝4x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若FA+FB+FC＝0，则|FA|＋|FB|＋|FC|＝________．
6 [设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，且F(1，0)．
由FA+FB+FC＝0知(x1－1)＋(x2－1)＋(x3－1)＝0，
即x1＋x2＋x3＝3，
所以|FA|＋|FB|＋|FC|＝x1＋x2＋x3＋32p＝6．]
14．如图所示，一辆卡车高3 m，宽1.6 m，欲通过断面为抛物线形的隧道，已知拱口AB宽恰好是拱高CD的4倍，若拱口宽为a m，求能使卡车通过的a的最小整数值．
[解] 以拱顶为原点，拱高所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．
则点B的坐标为a2，-a4.
设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，
∵点B在抛物线上，
∴a22＝－2p·-a4，
解得p＝a2，∴抛物线方程为x2＝－ay.
将点E(0.8，y)代入抛物线方程，得y＝－0.64a.
∴点E到拱底AB的距离为
a4－|y|＝a4－0.64a>3.
当a＝12时，a4－0.64a<3；
当a＝13时，a4－0.64a>3，且a4－0.64a随a的增大而增大，
∴a的最小整数值为13.
15．如图所示，A地在B地北偏东45°方向，相距22 km处，B地与东西走向的高铁线(近似看成直线)l相距4 km.已知曲线形公路PQ上任意一点到B地的距离等于此点到高铁线l的距离．现要在公路旁建造一个变电房M(变电房与公路之间的距离忽略不计)，分别向A地、B地送电．
(1)试建立适当的平面直角坐标系，求曲线形公路PQ所在的曲线方程；
(2)变电房M应建在相对于A地的什么位置(方向和距离)才能使得架设电路所用电线长度最短？并求出最短长度．
[解] (1)如图，以经过点B且垂直于l(垂足为K)的直线为y轴，线段BK的中点O为原点，建立平面直角坐标系，则B(0，2)，A(2，4)．
因为曲线形公路PQ上任意一点到B地的距离等于此点到高铁线l的距离，所以PQ所在的曲线是以B(0，2)为焦点，l为准线的抛物线．设抛物线方程为x2＝2py(p>0)，由BO＝2，知p＝4，故曲线形公路PQ所在的曲线方程为x2＝8y.
(2)要使架设电路所用电线长度最短，即|MA|＋|MB|最小，如图所示，过M作MH⊥l，垂足为H，
由抛物线定义得|MB|＝|MH|，
所以|MA|＋|MB|＝|MA|＋|MH|，
当A，M，H三点共线时，|MA|＋|MH|取得最小值．
即|MA|＋|MB|取得最小值，此时M2，12.
所以变电房M应建在A地正南方向，且与A地相距72 km的位置上，才能使得所用电线长度最短，最短长度为6 km.
学习任务
1．掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念．(数学抽象)
2．会求抛物线的标准方程，并能应用它解决有关问题．(数学运算、数学建模)
图形
标准方程
焦点坐标
准线方程
y2＝2px(p>0)
F_p2，0
x＝－p2
y2＝－2px(p>0)
F-_p2，0
x＝p2
x2＝2py(p>0)
F0，_p2
y＝－p2
x2＝－2py(p>0)
F0，-_p2
y＝p2
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