数学人教A版 (2019)第三章 圆锥曲线的方程3.3 抛物线第1课时导学案

这是一份数学人教A版 (2019)第三章 圆锥曲线的方程3.3 抛物线第1课时导学案，共19页。


已知抛物线C的方程为y2＝2x，根据这个方程完成下列任务．
(1)观察方程中x与y是否有取值范围，由此指出抛物线C在平面直角坐标系中的位置特征；
(2)指出抛物线C是否具有对称性；
(3)指出抛物线C与坐标轴是否有交点，如果有，求出交点坐标．
知识点1 抛物线的几何性质
1．抛物线的几何性质与椭圆、双曲线的有何不同？
提示：抛物线的几何性质与椭圆、双曲线的相比有较大差别，它的离心率为定值1，只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴、一条准线，没有渐近线，没有对称中心，通常称抛物线为无心圆锥曲线，而称椭圆、双曲线为有心圆锥曲线．
知识点2 直线与抛物线的位置关系
直线与抛物线有三种位置关系：相离、相切和相交．
设直线y＝kx＋m与抛物线y2＝2px(p＞0)相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，将y＝kx＋m代入y2＝2px，消去y并化简，得k2x2＋2(mk－p)x＋m2＝0.
(1)k＝0时，直线与抛物线只有一个交点；
(2)k≠0时，Δ＞0⇔直线与抛物线相交⇔有两个公共点．
Δ＝0⇔直线与抛物线相切⇔只有一个公共点．
Δ＜0⇔直线与抛物线相离⇔没有公共点．
2.直线与抛物线只有一个公共点，那么直线与抛物线一定相切吗？
提示：可能相切，也可能相交，当直线与抛物线的对称轴平行或重合时，直线与抛物线相交且只有一个公共点．
知识点3 直线与抛物线相交的弦长问题
(1)一般弦长
设斜率为k的直线l与抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|＝1+k2·x1+x22-4x1x2或|AB|＝1+1k2·y1+y22-4y1y2(k≠0)．
(2)焦点弦长
已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，则称AB为抛物线的焦点弦．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线定义知，|AF|＝x1＋p2，|BF|＝x2＋p2，故|AB|＝x1＋x2＋p．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)抛物线关于顶点对称．( )
(2)抛物线只有一个焦点，一条对称轴，无对称中心．( )
(3)抛物线的标准方程虽然各不相同，但是其离心率都相同．( )
[答案] (1)× (2)√ (3)√
2．若直线y＝kx＋2与y2＝x只有一个公共点，则实数k的值为________．
0或18 [由y=kx+2，y2=x，
消去x得ky2－y＋2＝0.
若k＝0，直线与抛物线只有一个交点，
则y＝2，符合题意；
若k≠0，则Δ＝1－8k＝0，所以k＝18.
综上，k＝0或18．]
3．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若x1＋x2＝10，则弦AB的长度为________．
12 [抛物线y2＝4x的准线方程为x＝－1，
则|AB|＝|AF|＋|BF|＝(x1＋1)＋(x2＋1)＝x1＋x2＋2＝12．]
4．抛物线y2＝4x的弦AB⊥x轴，若|AB|＝43，则焦点F到直线AB的距离为________．
2 [由抛物线的方程可知焦点F(1，0)，由|AB|＝43且AB⊥x轴得yA2＝(23)2＝12，所以xA＝yA24＝3，
所以所求距离为3－1＝2．]
类型1 抛物线性质的应用
【例1】 (1)设P是抛物线y2＝4x上任意一点，设A(3，0)，求|PA|取得的最小值；
(2)已知抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为x轴，且与圆x2＋y2＝4相交的公共弦长为23，求抛物线的方程．
[解] (1)设点P的坐标为(x，y)，因为y2＝4x，x≥0，则|PA|2＝(x－3)2＋y2＝x2－6x＋9＋4x＝x2－2x＋9＝(x－1)2＋8.当x＝1时，|PA|取得最小值22.
(2)设所求抛物线的方程为y2＝2px(p>0)或y2＝－2px(p>0)，抛物线与圆的交点A(x1，y1)，B(x2，y2)(y1>0，y2<0)，则|y1|＋|y2|＝23，即y1－y2＝23.由对称性，知y2＝－y1，代入上式，得y1＝3，把y1＝3代入x2＋y2＝4，解得x1＝±1，所以点(1，3)在抛物线y2＝2px上，点(－1，3)在抛物线y2＝－2px上，可得p＝32.于是所求抛物线的方程为y2＝3x或y2＝－3x.
利用抛物线的性质可以解决的问题
(1)对称性：解决抛物线的内接三角形问题．
(2)焦点、准线：解决与抛物线的定义有关的问题．
(3)范围：解决与抛物线有关的最值问题．
[跟进训练]
1．(1)已知正△AOB的一个顶点O位于坐标原点，另外两个顶点A，B在抛物线y2＝2px(p>0)上，求这个三角形的边长；
(2)已知A，B是抛物线y2＝2px(p>0)上两点，O为坐标原点，若|OA|＝|OB|，且△AOB的垂心恰是此抛物线的焦点，求直线AB的方程．
[解] (1)如图所示，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则y12＝2px1，y22＝2px2.
又|OA|＝|OB|，
所以x12+y12＝x22+y22，
即x12-x22＋2px1－2px2＝0，
整理得(x1－x2)(x1＋x2＋2p)＝0.
因为x1>0，x2>0，2p>0，
所以x1＝x2，由此可得|y1|＝|y2|，
即线段AB关于x轴对称，由此得∠AOx＝30°，
所以y1＝33x1，与y12＝2px1联立，解得y1＝23p.
所以|AB|＝2y1＝43p，
即这个三角形的边长为43p.
(2)如图，设点A(x0，y0)，
由题意可知点B(x0，－y0)，
因为Fp2，0是△AOB的垂心，
所以AF⊥OB，
所以kAF·kOB＝－1，
即y0x0-p2·-y0x0＝－1.所以y02＝x0x0-p2，
又因为y02＝2px0，所以x0＝2p＋p2＝5p2.
所以直线AB的方程为x＝5p2.
类型2 直线与抛物线的位置关系
【例2】 (源自湘教版教材)已知抛物线C：y2＝2x，直线l过定点(0，－2)．讨论直线l与抛物线的公共点的情况．
[解] (Ⅰ)若直线l的斜率存在，记为k.又直线过定点(0，－2)，可设直线l的方程为y＝kx－2.①
由方程组y=kx-2，y2=2x ②
消去y，并整理得k2x2－(4k＋2)x＋4＝0.③
(1)当k＝0时，由方程③，得x＝2.此时方程①的解为y＝2.
这时，直线l与抛物线只有一个公共点(2，2)．
(2)当k≠0时，方程②的判别式
Δ＝[－(4k＋2)]2－4·k2·4＝16k＋4.
若Δ>0，解得k>－14.
于是，当k>－14，且k≠0时，方程③有两个实数解，从而方程组②有两组实数解．这时，直线l与抛物线相交，有两个公共点．
若Δ＝0，解得k＝－14.
于是，当k＝－14时，方程③有一个实数解，从而方程组②只有一组实数解．这时，直线l与抛物线有一个公共点．
若Δ<0，解得k<－14.
于是，当k<－14时，方程③无实数解，从而方程组②无实数解．这时，直线l与抛物线没有公共点．
(Ⅱ)若直线l的斜率不存在，这时直线l即y轴所在直线，它与抛物线y2＝2x相切，即有一个公共点．
综上可得：
当k＝0，或k＝－14，或直线的斜率不存在时，直线l与抛物线只有一个公共点；
当k>－14，且k≠0时，直线l与抛物线有两个公共点；
当k<－14时，直线l与抛物线没有公共点．
直线l与抛物线C的位置关系如图所示．
直线与抛物线交点问题的解题思路
(1)判断直线与抛物线的交点个数时，一般是将直线与抛物线的方程联立消元，转化为形如一元二次方程的形式，注意讨论二次项系数是否为0.若该方程为一元二次方程，则利用判别式判断方程解的个数．
(2)直线与抛物线有一个公共点时有两种情形：①直线与抛物线的对称轴重合或平行；②直线与抛物线相切．
[跟进训练]
2．已知抛物线y2＝8x和直线l：y＝k(x－1)－1，判断直线l与抛物线的位置关系，若l与抛物线相交于不同两点，求以点(1，－1)为中点的弦所在的直线方程．
[解] 直线l过定点(1，－1)，且在抛物线内部，故直线l与抛物线相交．
设所求直线与抛物线y2＝8x交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y12＝8x1，y22＝8x2.
∴y12-y22＝8(x1－x2)．
又∵y1＋y2＝－2，∴k＝y1-y2x1-x2＝8-2＝－4.
∴方程为y＋1＝－4(x－1)，即4x＋y－3＝0.
类型3 抛物线的焦点弦问题
【例3】 设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|＝8.
(1)求直线l的方程；
(2)求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．
[解] (1)由题意得F(1，0)，
直线l的方程为y＝k(x－1)(k>0)．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由y=kx-1，y2=4x，
得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.
Δ＝16k2＋16>0，故x1＋x2＝2k2+4k2.
所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝(x1＋1)＋(x2＋1)＝4k2+4k2.
由题设知4k2+4k2＝8，解得k＝－1(舍去)或k＝1.
因此直线l的方程为y＝x－1.
(2)由(1)得AB的中点坐标为(3，2)，所以AB的垂直平分线方程为y－2＝－(x－3)，即y＝－x＋5.
设所求圆的圆心坐标为(x0，y0)，则
y0=-x0+5， x0+12=y0-x0+122+16.
解得x0=3，y0=2 或x0=11，y0=-6.
因此所求圆的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝16或(x－11)2＋(y＋6)2＝144.
过焦点的弦长的求解方法
设过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋x2＋p，然后利用弦所在直线方程与抛物线方程联立、消元，由根与系数的关系求出x1＋x2即可．
[跟进训练]
3．抛物线C的顶点在坐标原点，对称轴为x轴，抛物线C过点A(4，4)，过抛物线C的焦点F作倾斜角等于45°的直线l，直线l交抛物线C于M，N两点．
(1)求抛物线C的方程；
(2)求线段MN的长．
[解] (1)依题意设抛物线C的方程为y2＝2px，p>0，
因为抛物线C过点A(4，4)，
所以42＝8p，解得p＝2，
所以抛物线C的方程为y2＝4x.
(2)由(1)可得抛物线的焦点为F(1，0)，
则直线l的方程为y＝x－1，
联立y=x-1，y2=4x， 得x2－6x＋1＝0，
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝6，
根据抛物线的定义可得|MN|＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8.
1．(多选)以y轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与对称轴垂直的弦)长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为( )
A．y2＝8x B．y2＝－8x
C．x2＝8y D．x2＝－8y
CD [设抛物线方程为x2＝2py(p＞0)或x2＝－2py(p＞0)，
依题意令y＝p2，代入x2＝2py或令y＝－p2，代入x2＝－2py得|x|＝p，∴2|x|＝2p＝8，p＝4.
∴抛物线方程为x2＝8y或x2＝－8y．]
2．过抛物线x2＝4y的焦点F作直线l交抛物线于(P_1 (x_1 ) ，y1)，P2(x2，y2)两点，若y1＋y2＝6，则|P1P2|＝( )
A．5 B．6 C．8 D．10
C [抛物线x2＝4y的准线为y＝－1，
因为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点是过抛物线焦点的直线l与抛物线的交点，
所以P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点到准线的距离分别是y1＋1，y2＋1，
所以|P1P2|＝y1＋y2＋2＝8．]
3．(2022·浙江诸暨期中)已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F(1，0)，则实数p＝______；若过点F且斜率为1的直线交该抛物线于A、B两点，则|AB|＝________．
2 8 [因为抛物线的焦点为F(1，0)，所以p2＝1，得p＝2.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为y＝x－1，将直线AB的方程代入抛物线方程y2＝4x，得x2－6x＋1＝0，所以x1＋x2＝6，从而|AB|＝x1＋x2＋p＝8．]
4．直线y＝kx＋2与抛物线y2＝8x有且只有一个公共点，则k＝________．
0或1 [当k＝0时，直线与抛物线有唯一交点；
当k≠0时，联立方程消去y，得
k2x2＋4(k－2)x＋4＝0，
由题意Δ＝16(k－2)2－16k2＝0，∴k＝1.
综上，k＝0或1．]
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．怎样确定抛物线上的点的横坐标与纵坐标的范围？
提示：法一：利用方程确定．如x2＝2py(p>0)，由x2≥0知y≥0，x∈R.
法二：先根据方程画出抛物线，再根据图形确定．
2．直线y＝kx＋b与抛物线x2＝－2py(p>0)相交，且经过抛物线的焦点F，若交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦长|AB|与点A，B的坐标有什么关系？
提示：|AB|＝p－(y1＋y2)．
课时分层作业(三十一) 抛物线的简单几何性质
一、选择题
1．若抛物线y2＝4x上一点P到x轴的距离为23，则点P到抛物线的焦点F的距离为( )
A．4 B．5 C．6 D．7
A [由题意，知抛物线y2＝4x的准线方程为x＝－1，
∵抛物线y2＝4x上一点P到x轴的距离为23，
则P(3，±23)，
∴点P到抛物线的准线的距离为3＋1＝4，
∴点P到抛物线的焦点F的距离为4.故选A．]
2．抛物线y2＝4x与直线2x＋y－4＝0交于两点A与B，F是抛物线的焦点，则|FA|＋|FB|＝( )
A．2 B．3 C．5 D．7
D [设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|FA|＋|FB|＝x1＋x2＋2.
由y2=4x， 2x+y-4=0，得x2－5x＋4＝0，
∴x1＋x2＝5，x1＋x2＋2＝7．]
3．已知正三角形的一个顶点位于坐标原点，另两个顶点在抛物线y2＝2x上，则这个正三角形的边长为( )
A．23 B．33 C．43 D．53
C [根据抛物线的对称性可知，正三角形另外两个顶点关于x轴对称，设一个顶点的坐标为y022，y0(y0>0)，边长为a，则有tan π6＝2y0y02，
∴y0＝23，故边长a＝43.故选C．]
4．过抛物线y2＝4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A，B两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线( )
A．有且仅有一条 B．有且仅有两条
C．有无穷多条 D．不存在
B [当斜率不存在时，x1＋x2＝2不符合题意．当斜率存在时，由焦点坐标为(1，0)，可设直线方程为y＝k(x－1)，k≠0，由y=kx-1，y2=4x， 得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，∴x1＋x2＝2k2+4k2＝5，
∴k2＝43，即k＝±233.因而这样的直线有且仅有两条．]
5．(2022·天津一中期中)过抛物线y2＝4x的焦点F的直线l交抛物线于A，B两点(点A在第一象限)，若直线l的倾斜角为60°，则AFBF的值为( )
A．2 B．3 C．32 D．52
B [由题意知F(1，0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1>x2)，因为直线l的倾斜角为60°，所以直线的斜率为3，
则直线l的方程为y＝3(x－1)，
联立得y2=4x， y=3x-1，可得3x2－10x＋3＝0，
解得x1＝3，x2＝13.
由抛物线的定义可得|AF|＝x1＋1＝4，
|BF|＝x2＋1＝43，则AFBF＝3，故选B．]
二、填空题
6．抛物线y2＝x上到其准线和顶点距离相等的点的坐标为________．
18，24或18，-24 [设抛物线上点的坐标为(x，±x) ，此点到准线的距离为x＋14，到顶点的距离为x2+x2，
由题意有x＋14＝x2+x2，
∴x＝18，∴y＝±24，
∴此点坐标为18，24或18，-24．]
7．△ABC的三个顶点都在抛物线E：y2＝32x上，其中A(2，8)，△ABC的重心G是抛物线E的焦点，则BC所在的直线方程为________．
4x＋y－40＝0 [由题意知，抛物线y2＝32x的焦点坐标为(8，0)．
设B(x1，y1)，C(x2，y2)，
由重心坐标公式得 13(x1＋x2＋2)＝8，
13(y1＋y2＋8)＝0，
所以x1＋x2＝22，y1＋y2＝－8.
因为△ABC的三个顶点都在抛物线E上，
所以y12＝32x1，y22＝32x2，
两式相减可得y1-y2x1-x2＝32y1+y2＝－4，
即直线BC的斜率为－4.
又线段BC的中点坐标为(11，－4)，
所以BC所在的直线方程是y＋4＝－4(x－11)，即4x＋y－40＝0．]
8．已知点A到点F(1，0)的距离和到直线x＝－1的距离相等，点A的轨迹与过点P(－1，0)且斜率为k的直线没有交点，则k的取值范围是________．
(－∞，－1)∪(1，＋∞) [依题意得点A的轨迹为抛物线y2＝4x.过点P(－1，0)且斜率为k的直线方程为y＝k(x＋1)，由y2=4x， y=kx+k，得ky2－4y＋4k＝0，当k＝0时，显然不符合题意；当k≠0时，依题意得Δ＝(－4)2－4k·4k<0，化简得k2－1>0，解得k>1或k<－1，因此k的取值范围为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．]
三、解答题
9．已知抛物线C：y＝2x2和直线l：y＝kx＋1，O为坐标原点．
(1)求证：l与C必有两交点；
(2)设l与C交于A，B两点，且直线OA和OB斜率之和为1，求k的值．
[解] (1)证明：联立抛物线C：y＝2x2和直线l：y＝kx＋1，可得2x2－kx－1＝0，
所以Δ＝k2＋8>0，所以l与C必有两交点．
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则y1x1＋y2x2＝1，①
将y1＝kx1＋1，y2＝kx2＋1，代入①，
得2k＋1x1+1x2＝1，②
由(1)可得x1＋x2＝k2，x1x2＝－12，
代入②得k＝1.
10．设抛物线C：x2＝4y焦点为F，直线y＝kx＋2与C交于A，B两点，且|AF|·|BF|＝25，则k的值为( )
A．±2 B．－1 C．±1 D．－2
A [设A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线y＝kx＋2代入x2＝4y，
消去x得y2－(4＋4k2)y＋4＝0，
所以y1·y2＝4，y1＋y2＝4＋4k2，
抛物线C：x2＝4y的准线方程为y＝－1，
因为|AF|＝y1＋1，|BF|＝y2＋1，
所以|AF|·|BF|＝y1·y2＋(y1＋y2)＋1＝4＋4＋4k2＋1＝25⇒k＝±2．]
11．设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线l过点M(2，0)且与C交于A，B两点，|BF|＝32.若|AM|＝λ|BM|，则实数λ＝( )
A．32 B．2 C．4 D．6
C [由题意得抛物线的焦点为F(1，0)，准线为x＝－1，由|BF|＝32及抛物线的定义知点B的横坐标为12，代入抛物线方程得B12，±2.根据抛物线的对称性，不妨取B12，-2，则直线l的方程为y＝223(x－2)，
联立y=223x-2，y2=4x， 得A(8，42)，
于是λ＝AMBM＝4.故选C．]
12．(2020·新高考Ⅰ卷)斜率为3的直线过抛物线C：y2＝4x的焦点，且与C交于A，B两点，则|AB|＝________．
163 [由题意得直线方程为y＝3(x－1)，联立抛物线与直线方程得y=3x-1，y2=4x，
得3x2－10x＋3＝0，
∴xA＋xB＝103，
故|AB|＝1＋xA＋1＋xB＝2＋103＝163．]
13．抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F，其准线与双曲线x23－y23＝1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝________．
6 [抛物线的焦点坐标为F0，p2，准线方程为y＝－p2.
将y＝－p2代入x23－y23＝1得|x|＝3+p24.要使△ABF为等边三角形，则tan π6＝xp＝3+p24p＝33，解得p2＝36，p＝6．]
14．已知抛物线方程为y2＝2px(p>0)，过此抛物线的焦点的直线与抛物线交于A，B两点，且|AB|＝52p，求AB所在直线的方程．
[解] 由题意知焦点Fp2，0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
若AB⊥x轴，则|AB|＝2p<52p，不满足题意．
所以直线AB的斜率存在，设为k，
则直线AB的方程为y＝kx-p2，k≠0.
由y=kx-p2，y2=2px， 消去y，
整理得k2x2－(k2p＋2p)x＋k2p24＝0.
由根与系数的关系得x1＋x2＝p＋2pk2.
所以|AB|＝x1＋p2＋x2＋p2＝x1＋x2＋p＝2p＋2pk2＝52p，解得k＝±2.
所以AB所在直线的方程为y＝2x-p2或y＝－2x-p2，即2x－y－p＝0或2x＋y－p＝0.
15．点M(m，4)(m>0)为抛物线x2＝2py(p>0)上一点，F为其焦点，已知|FM|＝5.
(1)求m与p的值；
(2)以M点为切点作抛物线的切线，交y轴于点N，求△FMN的面积．
[解] (1)由抛物线定义知，|FM|＝p2＋4＝5，所以p＝2.所以抛物线的方程为x2＝4y，又由M(m，4)在抛物线上，所以m＝4.故p＝2，m＝4.
(2)设过M点的切线方程为y－4＝k(x－4)，代入抛物线方程消去y得，x2－4kx＋16k－16＝0，其判别式Δ＝16k2－64(k－1)＝0，所以k＝2，切线方程为y＝2x－4，切线与y轴的交点为N(0，－4)，抛物线的焦点F(0，1)，所以S△FMN＝12|FN|·m＝12×5×4＝10.
学习任务
1．掌握抛物线的几何性质．(数学抽象)
2．掌握直线与抛物线的位置关系的判断及相关问题．(直观想象、数学运算)
3．能利用方程及数形结合思想解决焦点弦等问题．(逻辑推理、数学运算)
标准
方程
y2＝2px
(p＞0)
y2＝－2px
(p＞0)
x2＝2py
(p＞0)
x2＝－2py
(p＞0)
图形
性质
焦点
p2，0
-p2，0
0，p2
0，-p2
准线
x＝－p2
x＝p2
y＝－p2
y＝p2
范围
x≥0，
y∈R
x≤0，
y∈R
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R
对称
轴
x轴
y轴
顶点
(0，0)
离心率
e＝1