高中1.2 空间向量基本定理课时作业

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一、选择题
1．已知{a，b，c}是空间的一个基底，则下列可以构成基底的一组向量是( )
A．a＋b，a，a－b B．a＋b，b，a－b
C．a＋b，c，a－bD．a＋b，2a－b，a－b
2．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，M为A1C1的中点，若BA＝a，BC＝b，BB1＝c，则下列向量与BM相等的是( )
A．－12a－12b＋cB．12a＋12b－c
C．－12a＋12b＋cD．12a＋12b＋c
3．若向量MA，MB，MC的起点M与终点A，B，C互不重合，且点M，A，B，C中无三点共线，满足下列关系(O是空间任一点)，则能使向量MA，MB，MC成为空间一个基底的关系是( )
A．OM＝13OA+13OB+13OC
B．MA≠MB+MC
C．OM＝OA+OB+OC
D．MA＝2MB-MC
4．已知正方体ABCD-A1B1C1D1，点E为上底面A1B1C1D1的中心，若AE＝AA1＋xAB＋yAD，则x，y的值分别为( )
A．1，1 B．1，12 C．12，12 D．12，1
5．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC为正三角形，侧棱垂直于底面，AB＝4，AA1＝6．若E是棱BB1的中点，则异面直线A1E与AC1所成角的余弦值为( )
A．1313 B．21313 C．31313 D．1326
二、填空题
6．已知向量a，b，c构成空间的一个基底{a，b，c}，若d＝3a＋4b＋c，且d＝x(a＋2b)＋y(b＋3c)＋z(c＋a)，则x＝________．
7．如图，平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝5，AD＝3，AA1＝7，∠BAD＝π3，∠BAA1＝∠DAA1＝π4，则AC1的长为________．
8．正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝2，AA1＝22，D为棱A1B1的中点，则异面直线AD与CB1所成角的大小为________．
三、解答题
9．如图所示，已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都等于a，点M，N分别是AB，CD的中点．
(1)求证：MN⊥AB，MN⊥CD；
(2)求MN的长．
10．(多选)在三棱锥P-ABC中，三条侧棱PA，PB，PC两两垂直，且PA＝PB＝PC＝3，G是△PAB的重心，E，F分别为BC，PB上的点，且BE∶EC＝PF∶FB＝1∶2，则下列说法正确的是( )
A．EG⊥PGB．EG⊥BC
C．FG∥BCD．FG⊥EF
11．(多选)如图，一个结晶体的形状为平行六面体ABCD-A1B1C1D1，其中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是( )
A．AC1＝66
B．AC1⊥DB
C．向量B1C与AA1的夹角是60°
D．BD1与AC所成角的余弦值为63
12．化学中，将构成粒子(原子、离子或分子)在空间按一定规律呈周期性重复排列构成的固体物质称为晶体．在结构化学中，可将晶体结构截分为一个个包含等同内容的基本单位，这个基本单位叫做晶胞．已知钙、钛、氧可以形成如图所示的立方体晶胞(其中Ti原子位于晶胞的中心，Ca原子均在顶点位置，O原子位于棱的中点)．则图中原子连线BF与B1E所成角的余弦值为________．
13．棱长为a的正四面体ABCD中，E，F分别为棱AD，BC的中点，则异面直线EF与AB所成角的大小是________，线段EF的长度为________．
14．如图所示，在四棱锥E-ABCD中，底面ABCD是正方形，AC与BD交于点O，EC⊥底面ABCD，F为BE的中点．
(1)求证：DE∥平面ACF．
(2)求证：BD⊥AE．
(3)若AB＝2CE，在线段EO上是否存在点G，使CG⊥平面BDE？若存在，求出EGEO的值；若不存在，请说明理由．
15．如图，在三棱锥O-ABC中，G是△ABC的重心(三条中线的交点)，P是空间任意一点．
(1)用向量OA，OB，OC表示向量OG，并证明你的结论；
(2)设OP＝xOA＋yOB＋zOC，x，y，z∈R，请写出点P在△ABC的内部(不包括边界)的充要条件(不必给出证明)．