人教A版 (2019)选择性必修 第一册第三章 圆锥曲线的方程3.1 椭圆习题

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9．解：(1)由椭圆的定义，得2a＝|PF1|＋|PF2|＝4，∴a＝2．
在△PF1F2中，由余弦定理可得，|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cs 120°，
∴4c2＝15，∴c＝152，b2＝a2－c2＝4－154＝14，
故椭圆C的方程为x24＋4y2＝1．
(2)设点P(m，n)，由题意可知m＞0，
∵S△PF1F2＝12|PF1||PF2|sin 120°＝12×(2＋3)×(2－3)×32＝12×2c×|n|，∴n＝±510．
将点P的坐标代入椭圆的方程可得m24＋15＝1，解得m＝455，
故点P的坐标为455，-510或455，510．
10．BCD [由椭圆方程得a2＝4，b2＝3，所以c2＝1，
所以F1(－1，0)，F2(1，0)．
选项A中，|MF2|max＝a＋c＝3，A错误；
选项B中，|MF1|·|MF2|≤MF1+MF222＝4，
当且仅当|MF1|＝|MF2|时取等号，B正确；
选项C中，当点M为椭圆与y轴的交点时，∠F1MF2取得最大值，由M(0，3)，得tan ∠F1MF22＝33，
所以∠F1MF22＝30°，∠F1MF2＝60°，C正确；
选项D中，设P(x，y)，A(x1，y)，B(－x1，y)．
因为|PA|·|PB|＝2，
所以|x－x1|·|x＋x1|＝2，
所以|x2-x12|＝2，即x12＝x2＋2或x12＝x2－2．
又由题意知x124＋y23＝1，
所以x2+24＋y23＝1或x2-24＋y23＝1，
化简得x22＋2y23＝1或x26＋2y29＝1，D正确．故选BCD．]
11．ACD [设椭圆C与y轴的两交点分别为B1，B2，易知∠F1PF2≤∠F1B1F2＝∠F1B2F2，
选项A中，a＝2b时，b＝c，∠F1B1O＝12∠F1B1F2＝45°，∠F1B1F2＝∠F1B2F2＝90°，A正确；
选项B中，a