高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.3 抛物线课时练习

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一、选择题
1．(2022·浙江省台州市期末)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P是侧面BB1C1C内一动点，若点P到直线BC与直线C1D1的距离相等，则动点P的轨迹所在的曲线是( )
A．直线B．圆
C．椭圆D．抛物线
2．(2022·河北徐水综合高级中学高二上月考)已知抛物线y2＝8x，过焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，若|AF|＝6，则|BF|＝( )
A．1 B．2 C．3 D．4
3．已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，|AF|·|BF|＝16，则p的值为( )
A．2 B．4 C．22 D．8
4．已知抛物线y2＝2px(p>0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( )
A．x＝1B．x＝－1
C．x＝2D．x＝－2
5．M是抛物线y2＝x上一点，N是圆(x＋1)2＋(y－4)2＝1关于直线x－y＋1＝0的对称曲线C上的一点，则|MN|的最小值是( )
A．2 B．3－1
C．112 D．112－1
二、填空题
6．(2022·江苏扬州开学考试)直线l过抛物线x2＝2py(p>0)的焦点，且与抛物线交于A，B两点，若线段AB的长是6，AB的中点到x轴的距离是1，则此抛物线方程是________．
7．已知抛物线y2＝4x，过点P(4，0)的直线与抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则y12+y22的最小值是________．
8．已知抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴上，且抛物线上有一点P(4，m)到焦点的距离为6．则抛物线C的方程为________；若抛物线C与直线y＝kx－2相交于不同的两点A，B，且AB中点横坐标为2，则k＝________．
三、解答题
9．在平面直角坐标系Oxy中，设点F(1，0)，直线l：x＝－1，点P在直线l上移动，R是线段PF与y轴的交点，RQ⊥FP，PQ⊥l．
(1)求动点Q的轨迹方程；
(2)记Q的轨迹为曲线E，过点F作两条互相垂直的直线交曲线E的弦为AB，CD，设AB，CD的中点分别为点M，N，求证：直线MN过定点(3，0)．
10．设抛物线y2＝4x上一点P到y轴的距离为d1，到直线l：3x＋4y＋12＝0的距离为d2，则d1＋d2的最小值为( )
A．2 B．153 C．163 D．3
11．过抛物线C：y2＝4x的焦点F，且斜率为3的直线交C于点M(M在x轴的上方)，l为C的准线，点N在l上，且MN⊥l，则M到直线NF的距离为( )
A．5 B．22 C．23 D．33
12．(多选)已知点F是抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点，AB，CD是经过点F的弦且AB⊥CD，直线AB的斜率为k，且k＞0，C，A两点在x轴上方，则下列结论中一定成立的是( )
A．1AB+1CD＝12p
B．若|AF|·|BF|＝43p2，则k＝33
C．OA·OB＝OC·OD
D．四边形ACBD面积的最小值为16p2
13．定长为3的线段AB的端点A，B在抛物线y2＝x上移动，则AB的中点到y轴距离的最小值为________，此时AB中点的坐标为________．
14．过抛物线y2＝2px(p>0)的顶点O作两条互相垂直的弦交抛物线于A，B两点，求证：
(1)A，B两点的横坐标之积、纵坐标之积分别为定值；
(2)直线AB过定点．
15．如图，已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，若过点F且斜率为1的直线与抛物线相交于M，N两点，且|MN|＝8．
(1)求抛物线C的方程；
(2)设直线l为抛物线C的切线，且l∥MN，P为l上一点，求PM·PN的最小值．