高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.1 空间向量及其运算导学案

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.1 空间向量及其运算导学案，共24页。


回忆平面向量的有关概念与约定，思考能否将它们从平面推广到空间中，如果能，尝试说出推广后的不同之处，如果不能，请说明理由．
知识点1 空间向量的有关概念
(1)定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量．
(2)长度：空间向量的大小叫做空间向量的长度或模．
(3)表示法：①几何表示法：空间向量用有向线段表示；②字母表示法：用字母表示，若向量a 的起点是A，终点是B，则向量a记作 AB，其模记为a或AB．
(4)几类特殊的空间向量
1．平面向量与空间向量有什么区别与联系？
提示：(1)区别：平面向量研究的是二维平面的向量，空间向量研究的是三维空间的向量．
(2)联系：向量的定义、表示方法及零向量、单位向量、相反向量、相等向量的概念等在平面和空间中都适用．
单位向量有无数个，它们的方向并不确定，它们不一定相等；零向量也有无数个，它们的方向是任意的，但规定所有的零向量都相等．
知识点2 空间向量的线性运算及其运算律
知识点3 共线向量与共面向量
(1)
(2)直线的方向向量
在直线l上取非零向量a，与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量．
2.(1)已知空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，存在有序实数对(x，y)，满足关系OP＝OA＋xAB＋yAC，则点P与点A，B，C是否共面？
(2)对于不共线的三点A，B，C和平面ABC外的一点O，空间一点P满足关系式OP＝xOA＋yOB＋zOC，则点P在平面ABC内的充要条件是什么？
提示：(1)共面．由OP＝OA＋xAB＋yAC，可得AP＝xAB＋yAC，所以向量AP与向量AB，AC共面，故点P与点A，B，C共面．
(2)x＋y＋z＝1.
证明如下：①充分性
∵OP＝xOA＋yOB＋zOC可变形为OP＝(1－y－z)OA＋yOB＋zOC，
∴OP-OA＝y(OB-OA)＋z(OC-OA)，
∴AP＝yAB＋zAC，∴点P与A，B，C共面．
②必要性
∵点P在平面ABC内，不共线的三点A，B，C，
∴存在有序实数对(m，n)使AP＝mAB＋nAC，
OP-OA＝m(OB-OA)＋n(OC-OA)，
∴OP＝(1－m－n)OA＋mOB＋nOC，
∵OP＝xOA＋yOB＋zOC，
点O在平面ABC外，
∴OA，OB，OC不共面，
∴x＝1－m－n，y＝m，z＝n，∴x＋y＋z＝1.
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若a∥b，b∥c，则a∥c．( )
(2)若a∥b，则存在唯一的实数λ，使得a＝λb．( )
(3)任意两个空间向量必共面，任意三个空间向量也一定共面．( )
(4)若向量a，b，c共面，则表示这三个向量的有向线段所在的直线共面．( )
(5)若点P，M，A，B四点共面，则存在唯一的有序实数对(x，y)，使MP＝xMA＋yMB．( )
提示：(1)× 当b＝0时，a∥c不一定成立．
(2)× 当a是非零向量，b＝0时，不存在实数λ，使得a＝λb.
(3)× 任意两个空间向量必共面，但任意三个空间向量不一定共面．
(4)× 三条直线不一定在同一平面内．
(5)× 当MA与MB共线，MP与MA不共线时，x，y不存在．
2．下列命题中：
①向量AB与BA的长度相等；
②将空间中所有单位向量的起点移到同一点，则它们的终点构成一个圆；
③空间向量就是空间中的一条有向线段；
④方向相同且模相等的两个向量是相等向量．
是真命题的为________(填序号)．
①④ [对于②，其终点构成一个球面，所以②是假命题；对于③空间向量可以用一条有向线段表示，但空间向量不是有向线段，所以③是假命题；易知①，④为真命题．故填①④．]
3．化简MN+PM-PN＝________．
0 [MN+PM-PN＝MN+NM＝0．]
类型1 空间向量的有关概念及其简单应用
【例1】 给出下列结论：
①若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；
②若空间向量a，b满足|a|＝|b|，则a＝±b；
③若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m＝p；
④空间中任意两个单位向量必相等；
⑤在如图1所示的正方体ABCD-A1B1C1D1中，必有AC＝A1C1；
⑥如图2所示，在平行六面体ABCD-A′B′C′D′的所有棱对应的向量中，与AA'相等的向量有3个．
其中正确的是________．(填序号)
③⑤⑥ [当两个向量的起点相同，终点也相同时，这两个向量必相等，但两个相等向量不一定起点相同，终点也相同，故①错误；
要保证两向量相等，则需模相等且方向相同，要保证两向量是相反向量，则需模相等且方向相反，但②中仅给出向量a与向量b的模相等，所以这两个向量不一定为相等向量或相反向量，故②错误；
命题③是相等向量的传递性，显然正确；
空间中任意两个单位向量的模均为1，但方向不一定相同，故④错误；
在正方体ABCD-A1B1C1D1中，向量AC与A1C1的方向相同，模也相等，所以AC＝A1C1，故⑤正确；
在平行六面体ABCD-A′B′C′D′的所有棱对应的向量中，与AA'相等的向量分别为BB'，CC'，DD'，故⑥正确．]
(1)向量的两个要素是大小与方向，两者缺一不可；
(2)单位向量的方向虽然不一定相同，但长度一定为1；
(3)两个向量的模相等，即它们的长度相等，但方向不确定，即两个向量(非零向量)的模相等是两个向量相等的必要不充分条件；
(4)由于方向不能比较大小，因此“大于”“小于”对向量来说是没有意义的，但向量的模是可以比较大小的．
[跟进训练]
1．如图所示，以长方体ABCD-A1B1C1D1的8个顶点中的两点为起点和终点的向量中：
(1)试写出与AB相等的所有向量；
(2)试写出AA1的相反向量；
(3)若AB＝AD＝2，AA1＝1，求向量AC1的模．
[解] (1)与向量AB相等的所有向量(除它自身之外)有A1B1，DC及D1C1共3个．
(2)向量AA1的相反向量为A1A，B1B，C1C，D1D.
(3)|AC1|＝AB2+BC2+CC12
＝22+22+12＝9＝3.
类型2 空间向量的线性运算
【例2】 (源自北师大版教材)如图所示，已知平行六面体ABCD-A′B′C′D′，化简下列向量表达式，并在图中标出化简后的结果所对应的向量．
(1)AB+AD+AA'；
(2)DD'-AB+BC；
(3)AB+AD＋12(DD'-BC)．
[解] (1)AB+AD+AA'＝AC+AA'＝AC+CC'＝AC'；
(2)DD'-AB+BC＝BB'+BA+BC＝BA'＋BC＝BA'+A'D'＝BD'；
(3)设点M为CB′的中点，则
AB+AD＋12(DD'-BC)
＝AC＋12(BB'-BC)
＝AC＋12CB'＝AM.
即化简后所对应的向量如图所示．
向量的线性运算，实质上是在运用数乘向量运算律的基础上进行向量求和，即通过运用平行四边形法则或三角形法则求和．运算的关键是将相应的向量放到同一个三角形或平行四边形中．
[跟进训练]
2．已知正方形ABCD，P是平面ABCD外的一点，点P在平面ABCD上的射影恰好是正方形ABCD的中心O，Q是CD的中点，求下列各式中x，y的值：
(1)OQ＝PQ＋xPC＋yPA；
(2)PA＝xPO＋yPQ+PD.
[解] (1)如图所示，OQ＝OP+PQ，由向量加法运算的平行四边形法则可得PO＝12(PC+PA)，
故OP＝－12PC－12PA，
所以OQ＝OP+PQ＝PQ－12PC－12PA.
所以x＝－12，y＝－12.
(2)因为PC+PA＝2PO，所以PA＝2PO-PC①，同理PC＝2PQ-PD②，
将②代入①得PA＝PD＋2PO－2PQ，
所以x＝2，y＝－2.
类型3 空间向量的共线和共面问题
共线问题
【例3】 如图，已知M为四面体ABCD的面BCD的重心，连接BM并延长交CD于点E，G为AM的中点，N在AE上，且AN＝λAE，且B，G，N三点共线．试求λ的值．
[解] 设AB＝a，AC＝b，AD＝c，
所以AM＝AB+BM＝AB＋23×12(BC+BD)＝AB＋13(AC-AB+AD-AB)＝13(a＋b＋c)．
所以BG＝BA+AG＝BA＋12AM
＝－a＋16(a＋b＋c)＝－56a＋16b＋16c.
BN＝BA+AN＝BA＋λAE＝BA＋12λ(AC +AD)＝－a＋12λb＋12λc.
因为B，G，N三点共线，故存在实数k，使BG＝kBN，
即－56a＋16b＋16c＝k-a+12λb+12λc，
故-56=-k，16=12λk，解得k＝56，λ＝25.
[母题探究]
将本例条件改为：已知M，N分别为四面体ABCD的面BCD与面ACD的重心，且G为AM上一点，且GM∶GA＝1∶3.求证：B，G，N三点共线．
[解] 设AB＝a，AC＝b，AD＝c，
则BG＝BA+AG＝BA＋34AM＝－a＋14(a＋b＋c)＝－34a＋14b＋14c，
BN＝BA+AN＝BA＋13(AC+AD)＝－a＋13b＋13c＝43BG.
所以BN∥BG，即B，G，N三点共线．
证明空间三点共线有哪些方法？
提示：对于空间三点P，A，B，可通过证明下列结论来证明三点共线：
(1)存在实数λ，使PA＝λPB成立．
(2)对空间任一点O，有OP＝xOA＋yOB(x＋y＝1)．
[跟进训练]
3．如图，四边形ABCD和ABEF都是平行四边形，且不共面，M，N分别是AC，BF的中点，则CE与MN是否共线？
[解] 法一：∵M，N分别是AC，BF的中点，且四边形ABCD和ABEF都是平行四边形，
∴MN＝MA+AF+FN
＝12CA+AF＋12FB.①
又∵MN＝MC+CE+EB+BN
＝－12CA+CE-AF－12FB，②
①＋②得2MN＝CE，
∴CE∥MN，即CE与MN共线．
法二：∵M，N分别是AC，BF的中点，且四边形ABCD和ABEF都是平行四边形，
∴MN＝AN-AM
＝12(AB+AF)－12AC
＝12(AB+AF)－12(AB+AD)
＝12(AF-AD)
＝12(BE-BC)
＝12CE.
∴MN∥CE，即MN与CE共线．
共面问题
【例4】 如图所示，已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，连接PA，PB，PC，PD，点E，F，G，H分别为△PAB，△PBC，△PCD，△PDA的重心．求证：E，F，G，H四点共面．
[证明] 如图，分别连接PE，PF，PG，PH并延长交AB，BC，CD，AD于点M，N，Q，R，
连接EG，MQ，EF，EH.
∵E，F，G，H分别是所在三角形的重心，
∴M，N，Q，R分别为所在边的中点．
∴顺次连接M，N，Q，R所得的四边形为平行四边形，且有PE＝23PM，PF＝23PN，PG＝23PQ，PH＝23PR.
∵四边形MNQR为平行四边形，
∴EG＝PG-PE＝23PQ－23PM＝23MQ＝23(MN+MR)＝23(PN-PM)＋23(PR-PM)＝23×32PF-32PE＋23×32PH-32PE＝EF+EH.
∴EG，EF，EH为共面向量，
又∵三向量有相同的起点E，
∴E，F，G，H四点共面．
证明空间三向量共面或四点共面的方法
(1)向量表示：设法证明其中一个向量可以表示成另两个不共线向量的线性组合，即若p＝xa＋yb(x，y为实数)，则向量p，a，b共面．
(2)若存在有序实数组(x，y，z)使得对于空间任一点O，有OP＝xOA＋yOB＋zOC且x＋y＋z＝1成立，则P，A，B，C四点共面．
[跟进训练]
4．如图所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，点M，N分别在对角线BD，AE上，且BM＝13BD，AN＝13AE．
求证：向量MN，CD，DE共面．
[证明] 因为M在BD上，且BM＝13BD，
所以MB＝13DB＝13DA＋13AB.
同理，AN＝13AD＋13DE.
所以MN＝MB+BA+AN＝13DA＋13AB+BA＋13AD＋13DE＝23BA＋13DE＝23CD＋13DE.
又CD与DE不共线，根据向量共面的充要条件可知MN，CD，DE共面．
1．下列关于空间向量的命题中，正确的命题是( )
A．任一向量与它的相反向量都不相等
B．长度相等、方向相同的两个向量是相等向量
C．平行且模相等的两个向量是相等向量
D．若a≠b，则|a|≠|b|
B [对于A，零向量与它的相反向量相等，故A错．
对于B，根据相等向量的定义知，B正确．
对于C，两向量平行，方向不一定相同，故C错．
对于D，a≠b，但可能两个向量的模相等而方向不同，故D错．因此选B．]
2．(多选)如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列各式中运算结果为向量AC1的有( )
A．(AB+BC)＋CC1
B．(AA1+A1D1)＋D1C1
C．(AB+BB1)＋B1C1
D．(AA1+A1B1)＋B1C1
ABCD [对于A，(AB+BC)＋CC1＝AC+CC1＝AC1；对于B，(AA1+A1D1)＋D1C1＝AD1+D1C1＝AC1；
对于C，(AB+BB1)＋B1C1＝AB1+B1C1＝AC1；
对于D，(AA1+A1B1)＋B1C1＝AB1+B1C1＝AC1.故选ABCD．]
3．下列条件，能说明空间中不重合的A，B，C三点共线的是( )
A．AB+BC＝AC B．AB-BC＝AC
C．AB＝BC D．|AB|＝|BC|
C [对于空间中的任意向量，都有AB+BC＝AC，选项A错误；若AB-BC＝AC，则AC+BC＝AB，而AC+CB＝AB，据此可知BC＝CB，即B，C两点重合，选项B错误；AB＝BC，则A，B，C三点共线，选项C正确；若|AB|＝|BC|，则线段AB的长度与线段BC的长度相等，不一定有A，B，C三点共线，选项D错误．]
4．已知A，B，C三点不共线，O是平面ABC外一点．若由OP＝15OA＋23OB＋λOC可确定点P与A，B，C共面，则λ＝________．
215 [∵A，B，C三点不共线，O是平面ABC外一点，且由OP＝15OA＋23OB＋λOC可确定点P与A，B，C共面，
∴15＋23＋λ＝1，解得λ＝215．]
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．平面向量的有关概念与约定推广到空间中后得到相应空间向量的有关概念与约定，它们有什么不同之处？
提示：适用范围不同，一个在平面内，一个在空间中．
2．向量a与b共线，则一定存在λ使得a＝λb成立吗？
提示：当b＝0时，不一定存在λ值．
3．如何证明点P，A，B，C四点共面？
提示：可转化为证明向量PA，PB，PC共面．
课时分层作业(一) 空间向量及其线性运算
一、选择题
1．(2022·仓山区校级期末)已知三棱锥O-ABC，点M，N分别为AB，OC的中点，且OA＝a，OB＝b，OC＝c，用a，b，c表示MN，则MN等于( )
A．12(b＋c－a) B．12(a＋b＋c)
C．12(a－b＋c) D．12(c－a－b)
D [∵点M为AB的中点，
∴OM＝12(OA+OB)＝12a＋12b，
∵点N为OC的中点，
∴ON＝12OC＝12c，
∴MN＝ON-OM＝12c－12a－12b＝12(c－a－b)．故选D．]
2．点O为空间中任意一点，对于点A、B、C，若OA＝mOB＋nOC(m，n∈R)，m＋n＝1，则( )
A．A、B、C三点一定在同一条直线上
B．A、B、C三点一定不在同一条直线上
C．A、B、C三点可能在同一条直线上，也可能不在同一条直线上
D．AB一定与BC的方向相反
A [因为m＋n＝1，所以m＝1－n，又OA＝mOB＋nOC(m，n∈R)，所以OA＝(1－n)·OB＋nOC＝OB＋n(OC-OB)，
所以BA＝OA-OB＝n(OC-OB)＝nBC，所以BA与BC共线，又BA与BC过同一点B，所以A、B、C三点一定在同一条直线上，A正确，AB与BC的方向不一定相反，D错误．故选A．]
3．O为空间中任意一点，满足OP＝34OA＋18OB＋18OC，则A，B，C，P四点( )
A．一定不共面 B．一定共面
C．不一定共面 D．无法判断
B [因为OP＝34OA＋18OB＋18OC，
又34＋18＋18＝1，
所以A，B，C，P四点共面．故选B．]
4．(多选)在以下命题中，不正确的命题是( )
A．已知A，B，C，D是空间任意四点，则AB+BC+CD+DA＝0
B．|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共线的充要条件
C．若AB与CD共线，则AB与CD所在直线平行
D．对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若OP＝xOA＋yOB＋zOC(其中x，y，z∈R)，则P，A，B，C四点共面
BCD [AB+BC+CD+DA＝AC+CD+DA＝AD+DA＝0，A正确；若a，b同向共线，则|a|－|b|<|a＋b|，故B不正确；由向量平行知C不正确；D中只有x＋y＋z＝1时，才有P，A，B，C四点共面，故D不正确．故选BCD．]
5．已知四边形ABCD，O为空间任意一点，且AO+OB＝DO+OC，则四边形ABCD是( )
A．空间四边形 B．平行四边形
C．等腰梯形 D．矩形
B [由已知可得AB＝DC，由相等向量的定义可知，四边形ABCD的一组对边平行且相等，所以四边形ABCD是平行四边形，无法判断其是不是矩形．故选B．]
二、填空题
6．设e1，e2是空间中两个不共线的向量，已知AB＝2e1＋ke2，CB＝e1＋3e2，CD＝2e1－e2，且A，B，D三点共线，则k的值为________．
－8 [因为CB＝e1＋3e2，CD＝2e1－e2，所以BD＝CD-CB＝(2e1－e2)－(e1＋3e2)＝e1－4e2.因为A，B，D三点共线，所以AB＝λBD，所以2e1＋ke2＝λ(e1－4e2)＝λe1－4λe2.因为e1，e2是空间中两个不共线的向量，所以2=λ， k=-4λ，
所以k＝－8．]
7．已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，A1E＝14A1C1，若AE＝xAA1＋y(AB+AD)，则x＝__________，y＝________．
1 14 [AE＝AA1+A1E＝AA1＋14A1C1＝AA1＋14(AB+AD)．所以x＝1，y＝14．]
8．已知a，b，c是空间三个不共面的向量，下列各组向量中不共面的是________．
①la，mb，nc(lmn≠0)；②a＋2b，2b＋3c，－9c＋3a；③a＋2b，b＋2c，c＋2a.
①③ [对于①，∵a，b，c是空间三个不共面的向量，
∴la，mb，nc(lmn≠0)是不共面的向量，故①正确；
对于②，a＋2b，2b＋3c，－9c＋3a，
假设存在实数s，t，使得－9c＋3a＝s(a＋2b)＋t(2b＋3c)＝sa＋(2s＋2t)b＋3tc，
则s＝3，2s＋2t＝0，3t＝－9，
解得：s＝3，t＝－3，
∴假设成立，因此a＋2b，2b＋3c，－9c＋3a共面，故②不正确．
对于③，假设存在实数s，t，使得a＋2b＝s(b＋2c)＋t(c＋2a)＝2ta＋sb＋(2s＋t)c，则2t＝1，s＝2，2s＋t＝0，无解，
∴假设不成立，因此a＋2b，b＋2c，c＋2a不共面，故③正确．
故答案为①③．]
三、解答题
9．(源自北师大版教材)如图，点M，N分别是四面体ABCD的棱AB和CD的中点，求证：MN＝12(AD+BC)．
[证明] 由题意可得，
MN＝MA+AD+DN， ①
MN＝MB+BC+CN， ②
因为M，N分别为棱AB和CD的中点，
所以MA＝－MB，DN＝－CN，
①＋②得2MN＝AD+BC，
即MN＝12(AD+BC)．
10．(多选)下列命题正确的是( )
A．若p＝xa＋yb，则p与a，b共面
B．若p与a，b共面，则p＝xa＋yb
C．若MN＝xMA＋yMB，则M，N，A，B四点共面
D．若M，N，A，B四点共面，则MN＝xMA＋yMB
AC [在A中，若p＝xa＋yb，
则由平面向量基本定理得p与a，b一定在同一平面内，故A正确；
在B中，p与a，b共面，但如果a，b共线，p就不一定能用a，b来表示，故B错误；
在C中，若MN＝xMA＋yMB，则MN，MA，MB三向量在同一平面内，
所以M，N，A，B四点共面，故C正确；
在D中，若M，N，A，B四点共面，其中M，A，B共线，N与M，A，B不共线，则不存在x，y使MN＝xMA＋yMB一定成立，故D错误，故选AC．]
11．如图，在四面体ABCD中，点M是棱BC上的点，且BM＝2MC，点N是棱AD的中点．若MN＝xAB＋yAC＋zAD，其中x，y，z为实数，则xyz的值是( )
A．－19 B．－18 C．19 D．18
C [∵BM＝2MC，点N是棱AD的中点，
∴MB＝－23BC，AN＝12AD.
∴MN＝MB+BA+AN＝－23(AC-AB)－AB＋12AD＝－13AB－23AC＋12AD.
又MN＝xAB＋yAC＋zAD，
∴x＝－13，y＝－23，z＝12，
∴xyz＝-13×-23×12＝19．]
12．设a，b，c是空间三个不共面的向量，m＝a－b＋c，n＝xa＋yb＋c，若m，n共线，则x＝________，y＝________．
1 －1 [因为m，n共线，且n≠0，故存在λ∈R，使得m＝λn，即a－b＋c＝λxa＋λyb＋λc，
所以1=λx，-1=λy，1=λ，解得λ=1，x=1，y=-1.]
13．光岳楼，亦称“余木楼”“鼓楼”“东昌楼”，位于山东省聊城市，始建于公元1374年，在《中国名楼》站台票纪念册中，光岳楼与鹳雀楼、黄鹤楼、岳阳楼、太白楼、滕王阁、蓬莱阁、镇江楼、甲秀楼、大观楼共同组成中国十大名楼．其墩台为砖石砌成的正四棱台，直观图如图所示，其上边边长与底边边长之比约为910，则HE+FB＋19DC＝________．
HA [如图，延长EA，FB，GC，HD相交于一点O，则FBFO＝110，DCHG＝910，
∴HE+FB＋19DC＝HE＋110FO＋110HG＝HE＋110FO＋110EF＝HE＋110EO＝HE+EA＝HA．]
14．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别在棱DD1，BB1上，且2DE＝ED1，BF＝2FB1.证明：点C1在平面AEF内．
[证明] 连接C1F(图略)．
因为EA＝ED+DA，C1F＝C1B1+B1F，C1B1＝CB＝DA，B1F＝13B1B＝13D1D＝ED，
所以EA＝C1F，所以EA綉C1F，所以点E，A，C1，F四点共面，即点C1在平面AEF内．
15．如图所示，平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别在B1B和D1D上，且BE＝13BB1，DF＝23DD1.
(1)求证：A，E，C1，F四点共面；
(2)若EF＝xAB＋yAD＋zAA1，求x＋y＋z的值．
[解] (1)证明：∵AC1＝AB+AD+AA1＝AB+AD＋13AA1＋23AA1＝AB＋13AA1 +AD＋23AA1＝(AB+BE)＋(AD+DF)＝AE+AF，
∴A，E，C1，F四点共面．
(2)∵EF＝AF-AE＝AD+DF－(AB+BE)＝AD＋23DD1-AB－13BB1＝-AB+AD＋13AA1，
∴x＝－1，y＝1，z＝13，
∴x＋y＋z＝13.
学习任务
1．经历由平面向量推广到空间向量的过程，了解空间向量的概念．(数学抽象)
2．经历由平面向量的线性运算推广到空间向量的过程，掌握空间向量的线性运算及其运算律．(逻辑推理、数学运算)
3．掌握空间向量共线、共面的充要条件及其应用．(数学抽象、逻辑推理)
名称
定义及表示
零向量
长度为0的向量叫做零向量，记为0
单位向量
模为1的向量叫做单位向量
相反向量
与向量a长度相等而方向相反的向量，叫做a的相反向量，记为－a
相等向量
方向相同且模相等的向量叫做相等向量，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量
共线向量
(平行向量)
如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量
空间向量的线性运算
加法
a＋b＝OA+AB＝OB
减法
a－b＝OA-OC＝CA
数乘
当λ>0时，λa＝λOA＝PQ；
当λ<0时，λa＝λOA＝MN；
当λ＝0时，λa＝0
运算律
交换律：a＋b＝b＋a；
结合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c，λ(μa)＝(λμ)a；
分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb
共线(平行)向量
共面向量
定义
位置
关系
表示空间向量的有向线段所在的直线的位置关系：互相平行或重合
平行于同一个平面的向量
特征
方向相同或相反
特例
零向量与任意向量共线
充要条件
共线向量定理：对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb
共面向量定理：向量p与两个不共线向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb