高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.1 空间向量及其运算导学案

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.1 空间向量及其运算导学案，共24页。
回忆平面向量数量积的概念与性质，思考能否将它们从平面推广到空间中，如果能，尝试说出推广后的不同之处，如果不能，说明理由．
知识点1 空间向量的夹角
(1)夹角的定义已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉．
(2)夹角的范围
空间任意两个向量的夹角θ的取值范围是[0，π] ．特别地，当θ＝0时，两向量同向共线；当θ＝π时，两向量反向共线，所以若a∥b，则〈a，b〉＝0或π；当〈a，b〉＝π2时，两向量垂直，记作a⊥b．
因为向量是自由向量，空间中的任意两个向量都能平移到同一平面内，因此，空间中两向量的夹角的实质就是平面内两向量的夹角．
知识点2 空间向量的数量积
(1)定义
已知两个非零向量a，b，则|a||b|cs〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b.即a·b＝|a||b|·cs〈a，b〉．
规定：零向量与任意向量的数量积为0．
(2)空间向量的数量积的运算律
①(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R；
②a·b＝b·a(交换律)；
③(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．
(3)空间两向量的数量积的性质
对于向量a，b，c，(a·b)·c＝a·(b·c)成立吗？为什么？
提示：不成立．例如，任取三个不共面向量a，b，c，(a·b)·c是一个数与向量c作数乘，a·(b·c)是一个数与向量a作数乘，而a，c不在同一个方向上，所以(a·b)·c与a·(b·c)不可能相等．
知识点3 向量的投影
(1)向量a向向量b(直线l)的投影
如图1，在空间，向量a向向量b投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c＝|a|cs〈a，b〉bb，向量c称为向量a在向量b上的投影向量．类似地，可以将向量a向直线l投影(如图2)．
(2)向量a向平面β的投影
如图3，向量a向平面β投影，就是分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′，B′，得到向量A'B'，向量A'B'称为向量a在平面β上的投影向量．这时，向量a，A'B'的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角．
空间向量a在b上的投影向量可以先将a平移到与b共起点，再作投影向量．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)向量a在向量b上的投影向量与向量b的方向相同．( )
(2)向量a在直线l上的投影向量c与向量a－c垂直．( )
(3)向量a在平面β上的投影向量为c，则向量a所在直线与平面β所成的角为〈a，c〉．( )
(4)向量a在直线l上的投影是一个数量．( )
(5)向量a在平面β上的投影是一个向量．( )
提示：(1)× 当〈a，b〉>π2时，反向．
(2)√ 根据向量向直线的投影定义可知，c与a－c垂直．
(3)√ 根据向量向平面的投影定义及直线与平面所成的角的定义可知正确．
(4)× (5)√
2．(源自人教B版教材)如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，
(1)〈AB，A1C1〉＝________；
(2)〈AB，C1A1〉＝________；
(3)〈AB，A1D1〉＝________；
(4)〈AB，B1A1〉＝________．
(1)π4 (2)3π4 (3)π2 (4)π
[(1)〈AB，A1C1〉＝〈AB，AC〉＝π4；
(2)〈AB，C1A1〉＝〈AB，CA〉＝π－〈AB，AC〉＝3π4；
(3)〈AB，A1D1〉＝〈AB，AD〉＝π2；
(4)〈AB，B1A1〉＝〈AB，BA〉＝π．]
3．正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长等于2，则AC·AD1＝________．
4 [|AC|＝|AD1|＝22，〈AC，AD1〉＝60°，
∴AC·AD1＝|AC||AD1|cs 60°＝22×22×12＝4．]
类型1 空间向量数量积的运算
【例1】 (源自人教B版教材)如图所示长方体ABCD-A′B′C′D′中，E是AA′的中点，AA′＝AD＝2，AB＝4，求：
(1)BC'·AE；
(2)B'D·AE.
[解] (1)法一：因为是长方体，而且AA′＝AD＝2，
所以〈BC'，AE〉＝∠B′BC′＝45°，
|AE|＝12AA′＝1，
|BC'|＝BC′＝22+22＝22，
因此BC'·AE＝|BC'||AE|cs 〈BC'，AE〉＝22×1×22＝2.
法二：由图可以看出，BC'在AE上的投影是AA'，而且|AE|＝12AA′＝1，
注意到AA'与AE的方向相同，所以BC'·AE等于AA'的长，
即BC'·AE＝|AA'|＝2.
(2)由图可以看出，B'D在AE上的投影是A'A，
而且|AE|＝12AA′＝1，
注意到A'A与AE的方向相反，
所以B'D·AE等于A'A的长的相反数，
即B'D·AE＝－|A'A|＝－2.
在几何体中求空间向量的数量积的步骤
(1)将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式；
(2)利用向量的运算律将数量积展开，转化成已知模和夹角的向量的数量积；
(3)根据向量的方向，正确求出向量的夹角及向量的模；
(4)代入公式a·b＝|a||b|cs 〈a，b〉求解．
[跟进训练]
1．(2022·云南昆明高二月考)已知单位向量a，b满足|a|＝|a＋b|，则a+12b·b＝( )
A．32 B．1 C．12 D．0
D [∵a，b是单位向量，∴a2＝b2＝1.
∵|a|＝|a＋b|，∴a2＋2a·b＋b2＝1，故a·b＝－12，
∴a+12b·b＝a·b＋12b2＝－12＋12＝0.故选D．]
2．已知空间四面体D-ABC的每条棱长都等于1，点E，F分别是AB，AD的中点，则FE·CD等于( )
A．14 B．－14 C．34 D．－34
B [如图，∵点E，F分别是AB，AD的中点，
∴EF＝12BD，
∵空间四面体D-ABC的每条棱长都等于1，∴每个面都是等边三角形，
∴FE·CD＝EF·DC＝12BD·DC＝－12DB·DC＝－12·|DB|·|DC|·cs π3＝－12×1×1×12＝－14，故选B．]
类型2 利用数量积证明空间中的垂直关系
【例2】 如图所示，在正方体ABCD -A1B1C1D1中，O为AC与BD的交点，G为CC1的中点，求证：A1O⊥平面GBD．
[证明] 设A1B1＝a，A1D1＝b，A1A＝c，
则a·b＝0，b·c＝0，a·c＝0，|a|＝|b|＝|c|.
∵A1O＝A1A+AO
＝A1A＋12(AB+AD)
＝c＋12a＋12b，
BD＝AD-AB＝b－a，
OG＝OC+CG＝12(AB+AD)＋12CC1
＝12a＋12b－12c，
∴A1O·BD ＝c+12a+12b·(b－a)＝c·b－c·a＋12a·b－12a2＋12b2－12b·a＝12(b2－a2)＝12(|b|2－|a|2)＝0.
于是A1O⊥BD，即A1O⊥BD．
同理可证A1O⊥OG，即A1O⊥OG.
又∵OG∩BD＝O，OG⊂平面GBD，BD⊂平面GBD，
∴A1O⊥平面GBD．
用向量法证明垂直关系的步骤是什么？
提示：(1)把几何问题转化为向量问题；
(2)用已知向量表示所证向量；
(3)结合数量积公式和运算律证明数量积为0；
(4)将向量问题回归到几何问题．
[跟进训练]
3．已知空间四边形OABC中，∠AOB＝∠BOC＝∠AOC，且OA＝OB＝OC，M，N分别是OA，BC的中点，G是MN的中点，求证：OG⊥BC．
[证明] 如图，连接ON，设∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝θ，
又设OA＝a，OB＝b，OC＝c，
则|a|＝|b|＝|c|.
又OG＝12(OM+ON)
＝1212OA+12OB+OC
＝14(a＋b＋c)，BC＝c－b.
∴OG·BC＝14(a＋b＋c)·(c－b)
＝14(a·c－a·b＋b·c－b2＋c2－b·c)
＝14(|a|2·cs⁡θ-|a|2·cs⁡θ-|a|2+|a|2)＝0.
∴OG⊥BC，即OG⊥BC．
类型3 利用数量积求夹角和距离
用数量积求角
【例3】 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BCA＝90°，CA＝CB＝1，棱AA1＝2，点N为AA1的中点．求cs 〈BA1，CB1〉的值．
[解] 因为BA1＝CA1-CB＝CA+CC1－CB，CB1＝CB+CC1，
所以|BA1|2＝BA12＝(CA+CC1-CB)2＝CA2+CC12＋CB2＝12＋22＋12＝6，即|BA1|＝6，
|CB1|2＝CB12＝(CB+CC1)2＝CB2+CC12＝12＋22＝5，即|CB1|＝5，
BA1·CB1＝(CA+CC1-CB)·(CB+CC1)＝CC12－CB2＝22－12＝3，
所以cs 〈BA1，CB1〉＝BA1·CB1BA1CB1＝36×5＝3010.
［母题探究］
1．本例中条件不变，求BN与CB1夹角的余弦值．
[解] 由例题知，BN=3，CB1=5，
BN·CB1=CA+12CC1-CB·CB+CC1＝12CC12-CB2=12×22-12=1，
所以cs〈BN，CB1〉=BN·CB1BNCB1=13×5=1515.
2．本例中条件不变，求异面直线CA1与AB夹角的余弦值．
[解] 由已知得CA=CB=1，CC1=2，
CA·CC1=CB·CC1=CA·CB=0.
因为CA12=CA12=CA+CC12=CA2+CC12=12+22=5，
所以CA1=5．
因为AB2=AB2=CB-CA2=CB2+CA2=12+12=2，
所以AB=2，
又因为CA1·AB=CA+CC1CB-CA=-CA2=-1，
所以cs〈CA1，AB〉=CA1·ABCA1AB=-15×2=-1010．
所以异面直线CA1与AB夹角的余弦值为-1010．
利用向量求异面直线夹角的步骤
[跟进训练]
4．已知空间四边形OABC各边及对角线长都相等，E，F分别为AB，OC的中点，则异面直线OE与BF所成角的余弦值为________．
23 [如图，设OA＝a，OB＝b，OC＝c，
且|a|＝|b|＝|c|＝1，易知∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝π3，则a·b＝b·c＝c·a＝12.
因为OE＝12(OA+OB)＝12(a＋b)，
BF＝OF-OB＝12OC-OB＝12c－b，
所以OE·BF＝12(a＋b)·12c-b＝14a·c＋14b·c－12a·b－12b2＝－12.
又因为|OE|＝|BF|＝32，
所以cs 〈OE，BF〉＝OE·BFOEBF＝－23.
所以异面直线OE与BF所成角的余弦值为23．]
利用数量积求距离(线段长)
【例4】 如图所示，在平行四边形ABCD中，AB＝AC＝1，∠ACD＝90°，沿着它的对角线AC将△ACD折起，使AB与CD成60°角，求此时B，D间的距离．
[思路导引] ∠ACD＝90°→AC·CD＝0，AC·BA＝0→AB与CD成60°角→〈BA，CD〉＝60°或〈BA，CD〉＝120°用已知表示 所求 BD＝BA+AC+CD 利用a2=a·a 求|BD|→B，D间的距离．
[解] ∵∠ACD＝90°，∴AC·CD＝0，同理可得AC·BA＝0.
∵AB与CD成60°角，
∴〈BA，CD〉＝60°或〈BA，CD〉＝120°.
又BD＝BA+AC+CD，
∴|BD|2＝|BA|2＋|AC|2＋|CD|2＋2BA·AC＋2BA·CD＋2AC·CD＝3＋2×1×1×cs 〈BA，CD〉．
∴当〈BA，CD〉＝60°时，|BD|2＝4，此时B，D间的距离为2；
当〈BA，CD〉＝120°时，|BD|2＝2，此时B，D间的距离为2.
求解距离问题时，先选择以两点为端点的向量，将此向量表示为几个向量和的形式，求出这几个已知向量的两两之间的夹角以及它们的模，利用公式|a|＝a·a求解即可．
[跟进训练]
5．如图所示，正三棱柱(底面是正三角形的直三棱柱)ABC-A1B1C1的各棱长都为2，E，F分别是AB，A1C1的中点，求EF的长．
[解] 设AB＝a，AC＝b，AA1＝c.
由题意，知|a|＝|b|＝|c|＝2，
且〈a，b〉＝60°，〈a，c〉＝〈b，c〉＝90°.
因为EF＝EA+AA1+A1F＝－12AB+AA1＋12AC＝－12a＋12b＋c，
所以|EF|2＝EF2＝14a2＋14b2＋c2＋2-12a·12b+12b·c-12a·c
＝14×22＋14×22＋22＋2×-14×2×2cs 60°
＝1＋1＋4－1＝5，
所以|EF|＝5，即EF＝5.
1．已知|a|＝4.向量e为单位向量，〈a，e〉＝2π3，则向量a在向量e上的投影向量为( )
A．2e B．－2e C．－12e D．12e
B [由题意得向量a在向量e上的投影向量为
|a|cs 〈a，e〉ee＝4cs 2π3e＝－2e．]
2．已知e1，e2是夹角为60°的两个单位向量，则a＝e1＋e2与b＝e1－2e2的夹角是( )
A．60° B．120° C．30° D．90°
B [由题意得：a·b＝(e1＋e2)·(e1－2e2)
＝e12-e1·e2-2e22＝1－1×1×12－2＝－32，
|a|＝a2＝e1+e22
＝e12+2e1·e2+e22
＝1+1+1＝3，
|b|＝b2＝e1-2e22
＝e12-4e1·e2+4e22
＝1-2+4＝3.
设a，b夹角为θ，cs θ＝a·bab＝-323＝－12，0°≤θ≤180°，
∴θ＝120°，故选B．]
3．(多选)已知空间四边形ABCD的四条边和两条对角线的长都为a，且E，F，G分别是AB，AD，DC的中点，则下列选项中运算结果为－a2的是( )
A．2BA·AC B．2AD·BD
C．2GF·AC D．2EF·CB
AC [如图所示，2BA·AC＝2|BA||AC|cs 120°＝2a·a cs 120°＝－a2，故A正确；2AD·BD＝2|AD||BD|·cs 60°＝2a·a cs 60°＝a2，故B错误；2GF·AC＝2|GF|·|AC|cs 180°＝2·a2·a cs 180°＝－a2，故C正确；
2EF·CB＝2|EF||CB|·cs 120°＝2·a2·a cs 120°＝－a22，故D错误．故选AC．]
4．如图，在三棱锥A-BCD中，底面边长与侧棱长均为a，M，N分别是棱AB，CD上的点，且MB＝2AM，CN＝12ND，则MN的长为________．
53a [因为MN＝MB+BC+CN＝23AB＋(AC-AB)＋13(AD-AC)＝－13AB＋13AD＋23AC，
所以MN2＝-13AB+13AD+23AC2
＝19AB2－29AD·AB－49AB·AC＋49AC·AD＋19AD2＋49AC2
＝19a2－19a2－29a2＋29a2＋19a2＋49a2＝59a2.
所以|MN|＝53a，即MN＝53a．]
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．空间向量的夹角和数量积的定义与平面向量的夹角和数量积的定义是否一致？
提示：一致．
2．向量a在向量b上的投影向量为向量c，则如何求|c|？试列举出你知道的方法．
提示：|c|＝|a|cs 〈a，b〉或|c|＝a·bb.
3．利用空间向量的数量积可研究哪些问题？
提示：可以解决立体几何问题中涉及垂直、距离、夹角的一些问题．
课时分层作业(二) 空间向量的数量积运算
一、选择题
1．(多选)已知a、b是空间中的两个向量，下列说法正确的是( )
A．空间中两个向量的夹角是唯一确定的，且〈a，b〉＝〈b，a〉
B．空间中两个向量的夹角〈a，b〉的取值范围是[0，π]
C．a⊥b⇔〈a，b〉＝π2
D．cs 〈a，b〉＝－cs 〈－a，－b〉
ABC [A、B、C显然正确，对于选项D，〈a，b〉＝〈－a，－b〉，从而cs 〈a，b〉＝cs 〈－a，－b〉，D错误．故选ABC．]
2．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，若AB⊥BC，AB＝2BC＝2BB1＝2，则AB1·BC1的值为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
A [由题意知，AB1＝BB1-BA，BC1＝BB1+BC，所以AB1·BC1＝(BB1-BA)·(BB1+BC)＝BB12＝1.故选A．]
3．如图所示，在四面体A-BCD中，△ABC为等边三角形，AB＝1，CD＝12，∠ACD＝60°，AB⊥CD，则BD＝( )
A．32 B．72 C．52 D．32
D [由题意，得BD＝BA+AC+CD.因为△ABC为等边三角形，所以AC＝AB＝1.因为AB⊥CD，所以AB·CD＝0，所以BD2＝(BA+AC+CD)2＝BA2＋AC2+CD2＋2BA·AC＋2AC·CD＋2BA·CD＝1＋1＋14＋2×1×1×cs 120°＋2×1×12×cs 120°＋2×0＝34，所以|BD|＝32．]
4．(多选)如图，已知四边形ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，连接AC，BD，PB，PC，PD，则下列各组向量中，数量积为零的是( )
A．PC与AD B．DA与PB
C．PD与AB D．PA与CD
BCD [因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥CD，故PA·CD＝0；因为AD⊥AB，AD⊥PA，且PA∩AB＝A，所以AD⊥平面PAB，故AD⊥PB，则DA·PB＝0；同理可得PD·AB＝0；而PC与AD所成角为∠PCB，显然不垂直．]
5．如图，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形，AA1＝AB＝2，∠BAD＝60°，M是BB1的中点，则异面直线A1M与B1C所成角的余弦值为( )
A．－105 B．－15 C．15 D．105
D [由题意可得A1M＝A1B1+B1M＝AB－12BB1，|A1M|＝A1B1+B1M2＝5，B1C＝BC-BB1，
|B1C|＝BC-BB12＝22，
cs 〈A1M，B1C〉＝A1M·B1CA1MB1C
＝AB-12BB1·BC-BB1210
＝AB·BC+12BB12210
＝2×2×cs60°+12×4210＝105.
故选D．]
二、填空题
6．已知空间向量a，b，c，则下列结论中正确的是________(填序号)．
①a·b＝a·c(a≠0)⇒b＝c；
②a·b＝0⇒a＝0或b＝0；
③(a·b)c＝(b·c)a；
④a·(λb)＝λ(a·b)；
⑤若a·b2时，该圆与边BC相交，存在2个点Q满足题意；当a2