高中数学1.3 空间向量及其运算的坐标表示学案及答案

这是一份高中数学1.3 空间向量及其运算的坐标表示学案及答案，共22页。


平面向量运算的坐标表示：
设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则a±b＝(a1±b1，a2±b2)，λa＝(λa1，λa2)(λ∈R)，a·b＝a1b1＋a2b2.
你能由平面向量运算的坐标表示类比得到空间向量运算的坐标表示吗？它们是否成立？为什么？
知识点1 空间向量运算的坐标表示
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，空间向量的坐标运算法则如下表所示：
知识点2 空间向量的平行、垂直、模与夹角公式的坐标表示
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则
若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则a∥b一定有a1b1＝a2b2＝a3b3成立吗？
提示：当b1，b2，b3均不为0时，a1b1＝a2b2＝a3b3成立．
知识点3 向量的坐标及两点间的距离公式
在空间直角坐标系中，设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)，
则P1P2＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)；
P1P2＝|P1P2|＝_x2-x12+y2-y12+z2-z12．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若a＝(1，2，0)，b＝(－2，0，1)，则|a|＝|b|．( )
(2)若a＝(0，0，1)，b＝(1，0，0)，则a⊥b．( )
(3)在空间直角坐标系中，若A(1，2，3)，B(4，5，6)，则AB＝(－3，－3，－3)．( )
(4)已知a＝(x1，y1，z1)，若x1＝y1＝z1＝1，则a为单位向量．( )
提示：(1)√ |a|＝12+22+02＝5，|b|＝-22+02+12＝5，所以|a|＝|b|.
(2)√ 由a·b＝0，得a⊥b.
(3)× 由A(1，2，3)，B(4，5，6)，得AB＝(4－1，5－2，6－3)＝(3，3，3)．
(4)× 若x1＝y1＝z1＝1，则|a|＝12+12+12＝3，所以a不是单位向量．
2．已知空间向量m＝(1，－3，5)，n＝(－2，2，－4)，则m＋n＝______，3m－n＝________，2m·(－3n)＝________．
(－1，－1，1) (5，－11，19) 168 [m＋n＝(1，－3，5)＋(－2，2，－4)＝(－1，－1，1)；
3m－n＝3(1，－3，5)－(－2，2，－4)＝(3，－9，15)－(－2，2，－4)＝(5，－11，19)；
2m·(－3n)＝(2，－6，10)·(6，－6，12)＝2×6＋(－6)×(－6)＋10×12＝168．]
3．若点A(0，1，2)，B(1，0，1)，则AB＝__________，|AB|＝________．
(1，－1，－1) 3 [AB＝(1，－1，－1)，
|AB|＝12+-12+-12＝3．]
类型1 空间向量的坐标运算
【例1】 (1)若向量a＝(1，1，x)，b＝(1，2，1)，c＝(1，1，1)，满足条件(c－a)·2b＝－2，则x＝________．
(2)已知O为坐标原点，A，B，C三点的坐标分别是(2，－1，2)，(4，5，－1)，(－2，2，3)．求出点P的坐标使AP＝12(AB-AC)．
(1)2 [c－a＝(0，0，1－x)，2b＝(2，4，2)，
由(c－a)·2b＝－2得2(1－x)＝－2，解得x＝2．]
(2)[解] AB＝(2，6，－3)，AC＝(－4，3，1)，
∴AB-AC＝(6，3，－4)．
设点P的坐标为(x，y，z)，则AP＝(x－2，y＋1，z－2)，
∵12(AB-AC)＝AP＝3，32，-2，
∴x＝5，y＝12，z＝0，则点P的坐标为5，12，0.
关于空间向量坐标运算的两类问题
(1)直接计算问题：首先将空间向量用坐标表示出来，然后准确运用空间向量坐标运算公式计算；
(2)由条件求向量或点的坐标：首先把向量坐标形式设出来，然后通过建立方程组，解方程组求出其坐标．
[跟进训练]
1．已知空间四点A，B，C，D的坐标分别是(－1，2，1)，(1，3，4)，(0，－1，4)，(2，－1，－2)．若p＝AB，q＝CD，求下列各式的值：
(1)p＋2q；
(2)3p－q；
(3)(p－q)·(p＋q)；
(4)cs 〈p，q〉．
[解] 由于A(－1，2，1)，B(1，3，4)，C(0，－1，4)，D(2，－1，－2)，
所以p＝AB＝(2，1，3)，q＝CD＝(2，0，－6)．
(1)p＋2q＝(2，1，3)＋2(2，0，－6)＝(6，1，－9)．
(2)3p－q＝3(2，1，3)－(2，0，－6)
＝(6，3，9)－(2，0，－6)＝(4，3，15)．
(3)(p－q)·(p＋q)＝p2－q2＝|p|2－|q|2
＝(22＋12＋32)－[22＋02＋(－6)2]＝－26.
(4)cs 〈p，q〉＝p·qpq
＝2，1，3·2，0，-622+12+32×22+02+-62
＝-1414×210＝－3510.
类型2 空间向量平行、垂直的坐标表示及应用
由向量平行、垂直关系求参数
【例2】 已知向量a＝(1，1，1)，b＝(－1，0，2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则k＝________．
35 [因为a＝(1，1，1)，b＝(－1，0，2)，
所以ka＋b＝k(1，1，1)＋(－1，0，2)＝(k－1，k，k＋2)，
又2a－b＝2(1，1，1)－(－1，0，2)＝(3，2，0)．
又ka＋b与2a－b垂直，
所以3(k－1)＋2k＝0，解得k＝35．]
[母题探究]
本例的条件“垂直”改为“平行”，其他条件不变，试求k的值．
[解] 因为a＝(1，1，1)，b＝(－1，0，2)，
所以ka＋b＝k(1，1，1)＋(－1，0，2)＝(k－1，k，k＋2)，2a－b＝2(1，1，1)－(－1，0，2)＝(3，2，0)，
又ka＋b与2a－b互相平行，
所以存在λ，使得ka＋b＝λ(2a－b)，(k－1，k，k＋2)＝λ(3，2，0)，
所以k-1=3λ，k=2λ， k+2=0， 解得λ=-1，k=-2.
利用平行与垂直求参数时要注意：
(1)适当引入参数(比如向量a，b平行，可设a＝λb)，建立关于参数的方程；
(2)最好选择坐标形式，以达到简化运算的目的．
[跟进训练]
2．已知a＝(λ＋1，1，2λ)，b＝(6，2m－1，2)．
(1)若a∥b，分别求λ与m的值；
(2)若|a|＝5，且与c＝(2，－2λ，－λ)垂直，求a.
[解] (1)因为a∥b，所以设(λ＋1，1，2λ)＝k(6，2m－1，2)，所以λ+1=6k， 1=k2m-1，2λ=2k
解得λ=k=15，m=3， 所以λ＝15，m＝3.
(2)因为|a|＝5且a⊥c，
所以(λ+1)2+12+(2λ)2=5， 2(λ+1)-2λ×1-λ×2λ=0，
化简得5λ2+2λ=3，2-2λ2=0， 解得λ＝－1.
因此a＝(0，1，－2)．
向量的平行、垂直关系在立体几何证明中的应用
【例3】 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，已知E，F，G，H分别是CC1，BC，CD和A1C1的中点．求证：
(1)AB1∥GE，AB1⊥EH；
(2)A1G⊥平面EFD．
[证明] 如图，以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为1，则A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，D(0，1，0)，A1(0，0，1)，B1(1，0，1)，C1(1，1，1)．
由中点坐标公式，得E1，1，12，F1，12，0，G12，1，0，H12，12，1.
(1)AB1＝(1，0，1)，GE＝12，0，12，EH＝-12，-12，12.
因为AB1＝2GE，AB1·EH＝1×-12＋1×12＝0，
所以AB1∥GE，AB1⊥EH，
即AB1∥GE，AB1⊥EH.
(2)A1G＝12，1，-1，DF＝1，-12，0，DE＝1，0，12.
因为A1G·DF＝12－12＋0＝0，A1G·DE＝12＋0－12＝0，
所以A1G⊥DF，A1G⊥DE，
所以A1G⊥DF，A1G⊥DE，
因为DF∩DE＝D，所以A1G⊥平面EFD．
利用向量的坐标运算证明平行或垂直，要建立恰当的空间直角坐标系，求出相关向量的坐标，利用向量平行、垂直的充要条件证明．
[跟进训练]
3．如图所示，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，AD＝DE＝2AB，F为CD的中点．
(1)求证：AF∥平面BCE；
(2)求证：平面BCE⊥平面CDE.
[证明] 设AD＝DE＝2AB＝2a，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A(0，0，0)，C(2a，0，0)，B(0，0，a)，D(a，3a，0)，E(a，3a，2a)．
∵点F为CD的中点，
∴F32a，32a，0.
(1)∵AF＝32a，32a，0，BE＝(a，3a，a)，BC＝(2a，0，－a)，
∴AF＝12(BE+BC)，
又AF⊄平面BCE，∴AF∥平面BCE.
(2)∵AF＝32a，32a，0，CD＝(－a，3a，0)，ED＝(0，0，－2a)，∴AF·CD＝0，AF·ED＝0，
∴AF⊥CD，AF⊥ED，
∴AF⊥CD，AF⊥ED．
又CD∩ED＝D，∴AF⊥平面CDE.
又AF∥平面BCE，
∴平面BCE⊥平面CDE.
类型3 利用空间向量的坐标运算解决
夹角和距离问题
【例4】 (源自北师大版教材)如图所示，三棱柱ABC-A′B′C′中，侧棱与底面垂直，CA＝CB＝1，∠BCA＝π2，棱AA′＝2，点M，N分别是A′B′和A′A的中点．
(1)求|BN|；
(2)求cs 〈BA'，CB'〉的值；
(3)求证：A'B⊥C'M.
[解] 如图所示，以点C为原点，CA，CB，CC′所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．
(1)由题意，得B(0，1，0)，N(1，0，1)．
则BN＝(1，－1，1)，|BN|＝12+-12+12＝3.
(2)由题意，得B(0，1，0)，C(0，0，0)，A′(1，0，2)，B′(0，1，2)．
因为BA'＝(1，－1，2)，CB'＝(0，1，2)，
所以|BA'|＝12+-12+22＝6，
|CB'|＝02+12+22＝5，
BA'·CB'＝1×0＋(－1)×1＋2×2＝3，
cs 〈BA'，CB'〉＝BA'·CB'BA'CB'＝36×5＝3010.
故cs 〈BA'，CB'〉的值为3010.
(3)证明：由题意，得A′(1，0，2)，B(0，1，0)，C′(0，0，2)，M12，12，2.
因为A'B＝(－1，1，－2)，C'M＝12，12，0，
所以A'B·C'M＝(－1)×12＋1×12＋(－2)×0＝0，
即A'B⊥C'M.
用空间向量的坐标运算解决夹角和距离问题的基本思路是什么？
提示：(1)根据条件建立适当的空间直角坐标系；
(2)写出相关点的坐标，用向量表示相关元素；
(3)通过向量的坐标运算求夹角和距离．
[跟进训练]
4．如图所示，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是矩形，AB＝a，AD＝2，SA＝1，且SA⊥底面ABCD，若边BC上存在异于B，C的一点P使得PS⊥PD．
(1)求a的最大值；
(2)当a取得最大值时，求异面直线AP与SD所成角的余弦值．
[解] 如图所示，以A为坐标原点，AB，AD，AS所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设BP＝x(0∴PS＝(－a，－x，1)，PD＝(－a，2－x，0)．
(1)∵PS⊥PD，∴PS·PD＝0，
∴a2－x(2－x)＝0，即a2＝－(x－1)2＋1，
∴当x＝1时，a取得最大值1.
(2)由(1)知，当a取得最大值1时，AP＝(1，1，0)，SD＝(0，2，－1)，
∴cs 〈AP，SD〉＝AP·SDAPSD＝105，
即异面直线AP与SD所成角的余弦值为105.
1．已知a＝(1，－2，1)，a＋b＝(－1，2，－1)，则b＝( )
A．(2，－4，2) B．(－2，4，－2)
C．(－2，0，－2) D．(2，1，－3)
B [b＝(a＋b)－a＝(－1，2，－1)－(1，－2，1)＝(－2，4，－2)，故选B．]
2．已知空间直角坐标系O-xyz中的点A(2，－1，－3)关于xOy平面的对称点为B，则|AB|的值为( )
A．14 B．4 C．6 D．210
C [A(2，－1，－3)关于xOy平面的对称点为B(2，－1，3)，
所以|AB|＝2-22+-1+12+-3-32＝6.故选C．]
3．已知a＝(1，x，3)，b＝(－2，4，y)，若a∥b，则x－y＝________．
4 [由a∥b得a＝λb，所以1=-2λ，x=4λ， 3=yλ，
解得λ=-12，x=-2，y=-6，所以x－y＝4．]
4．已知空间三点A(1，1，1)，B(－1，0，4)，C(2，－2，3)，则AB与CA的夹角的大小是______．
2π3 [∵AB＝(－2，－1，3)，CA＝(－1，3，－2)，
∴|AB|＝14，|CA|＝14，
AB·CA＝(－2)×(－1)＋(－1)×3＋3×(－2)＝－7，
∴cs 〈AB，CA〉＝AB·CAABCA＝-714×14＝－12，又〈AB，CA〉∈[0，π]，
∴〈AB，CA〉＝2π3．]
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．如何用空间向量的坐标运算表示平行、垂直、模及夹角？
提示：设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，
则当b≠0时 ，a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)；
a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0；
|a|＝a·a＝a12+a22+a32；
cs 〈a，b〉＝a·bab＝a1b1+a2b2+a3b3a12+a22+a32b12+b22+b32.
2．你是如何用空间向量的坐标运算来研究平行、垂直、夹角和距离的？
提示：(1)根据条件建立适当的空间直角坐标系；
(2)求出相关点的坐标，用向量表示相关元素；
(3)通过向量的坐标运算研究平行、垂直、夹角和距离．
课时分层作业(五) 空间向量运算的坐标表示
一、选择题
1．已知向量a＝(3，5，－1)，b＝(2，2，3)，c＝(1，－1，2)，则向量a－b＋4c的坐标为( )
A．(5，－1，4) B．(5，1，－4)
C．(－5，1，4) D．(－5，－1，4)
A [a－b＋4c＝(3，5，－1)－(2，2，3)＋4(1，－1，2)＝(1，3，－4)＋(4，－4，8)＝(5，－1，4)，故选A．]
2．已知向量a＝(－2，x，2)，b＝(2，1，2)，c＝(4，－2，1)．若a⊥(b－c)，则x的值为( )
A．－2 B．2 C．3 D．－3
A [∵b－c＝(－2，3，1)，a⊥(b－c)，
∴a·(b－c)＝4＋3x＋2＝0，解得x＝－2．]
3．在空间直角坐标系中，已知A(1，2，3)，B(－2，－1，6)，C(3，2，1)，D(4，3，0)，则直线AB与CD的位置关系是( )
A．垂直 B．平行
C．异面 D．相交但不垂直
B [因为A(1，2，3)，B(－2，－1，6)，C(3，2，1)，D(4，3，0)，所以AB＝(－3，－3，3)，CD＝(1，1，－1)，可得AB＝－3CD，所以AB∥CD.又同理可得AB与AC不平行，所以直线AB与CD的位置关系是平行．故选B．]
4．若在△ABC中，∠C＝90°，A(1，2，－3k)，B(－2，1，0)，C(4，0，－2k)，则k的值为( )
A．10 B．－10
C．25 D．±10
D [∵CB＝(－6，1，2k)，CA＝(－3，2，－k)，
∴CB·CA＝(－6)×(－3)＋2＋2k·(－k)＝-2k2＋20＝0，
∴k＝±10．]
5．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为B1D1的中点，则直线PB与AD1所成的角为( )
A．π2 B．π3 C．π4 D．π6
D [如图所示，建立空间直角坐标系，设AB＝1，
则A(1，0，0)，
D1(0，0，1)，B(1，1，0)，
B1(1，1，1)，
故P12，12，1，
所以AD1＝(－1，0，1)，BP＝-12，-12，1，
所以cs 〈AD1，BP〉＝AD1·BPAD1BP＝32，
所以直线PB与AD1所成的角为π6．]
二、填空题
6．已知A(3，－2，4)，B(0，5，－1)，若OC＝23AB(O为坐标原点)，则C的坐标是________．
-2，143，-103 [∵AB＝(－3，7，－5)，
∴OC＝23(－3，7，－5)＝-2，143，-103.
∴点C的坐标为-2，143，-103．]
7．已知a＋b＝(2，2，23)，a－b＝(0，2，0)，则cs 〈a，b〉＝________．
63 [由已知得a＝(1，2，3)，b＝(1，0，3)，
∴cs 〈a，b〉＝a·bab＝1+0+36×4＝63．]
8．在空间直角坐标系中，已知点A(1，0，2)，B(1，－3，1)，点M在y轴上，且点M到点A与到点B的距离相等，则点M的坐标是________．
(0，－1，0) [设M(0，y，0)．由|MA|＝|MB|得(1－0)2＋(0－y)2＋(2－0)2＝(1－0)2＋(－3－y)2＋(1－0)2，解得y＝－1.所以M(0，－1，0)．]
三、解答题
9．已知空间三点A(－2，0，2)，B(－1，1，2)，C(－3，0，4)，设a＝AB，b＝AC.若ka＋b与ka－2b互相垂直，求k的值．
[解] 由题意知a＝AB＝(1，1，0)，b＝AC＝(－1，0，2)，若ka＋b与ka－2b互相垂直，则(ka＋b)·(ka－2b)＝0，即k2(12＋12＋02)－k(－1＋0＋0)－2×[(－1)2＋02＋22]＝0，化简得2k2＋k－10＝0，解得k＝－52或k＝2.
10．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱AA1的中点，F是棱A1B1上的点，且A1F∶FB1＝1∶3，则异面直线EF与BC1所成角的正弦值为( )
A．153 B．155 C．53 D．55
B [建立如图所示的空间直角坐标系，令正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4，则
E(4，0，2)，F(4，1，4)，B(4，4，0)，C1(0，4，4)，
所以EF＝(0，1，2)，BC1＝(－4，0，4)，
所以cs 〈EF，BC1〉＝EF·BC1EFBC1＝85×42＝105.
设异面直线EF与BC1所成的角为θ，则sin θ＝155．]
11．在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P是底面ABCD(含边界)上一动点，满足A1P⊥AC1，则线段A1P长度的取值范围是( )
A．62，2 B．62，3
C．[1，2] D．[2，3]
A [如图，建立空间直角坐标系，则A(0，0，0)，A1(0，0，1)，C1(1，1，1)，
∵P是底面ABCD(含边界)上一动点，
∴设P(x，y，0)(0≤x≤1，0≤y≤1)，则A1P＝(x，y，－1)，AC1＝(1，1，1)，
∵A1P⊥AC1，∴A1P·AC1＝x＋y－1＝0，
∴A1P2＝x2＋y2＋1＝x2＋(1－x)2＋1＝2x2－2x＋2＝2x-122＋32，∴当x＝12时，A1P2取最小值32，此时线段A1P的长度为62；当x＝0或x＝1时，A1P2取最大值2，此时线段A1P的长度为2，
∴线段A1P长度的取值范围是62，2.故选A．]
12．如图该几何体由半圆柱体与直三棱柱构成，半圆柱体底面直径BC＝4，AB＝AC，∠BAC＝90°，D为半圆弧的中点，若异面直线BD和AB1所成角的余弦值为23，则该几何体的体积为( )
A．16＋8π B．32＋16π
C．32＋8π D．16＋16π
A [设D在底面半圆上的射影为D1，连接AD1交BC于O，连接A1D交B1C1于点O1.
依题意知半圆柱体底面直径BC＝4，AB＝AC，∠BAC＝90°，D为半圆弧的中点，所以AD1⊥BC，A1D⊥B1C1，O，O1分别是下底面、上底面半圆的圆心．连接OO1，则OO1与上下底面垂直，所以OO1⊥OB，OO1⊥OA，OA⊥OB，所以以OB，OA，OO1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设几何体的高为h(h>0)，则B(2，0，0)，D(0，－2，h)，A(0，2，0)，B1(2，0，h)，所以BD＝(－2，－2，h)，AB1＝(2，－2，h)，由异面直线BD和AB1所成角的余弦值为23，
所以|cs 〈BD，AB1〉|＝BD·AB1BDAB1＝h28+h2·8+h2＝23，即h28+h2＝23，所以h＝4(负值舍去)．所以几何体的体积为12×π×22×4＋12×4×2×4＝16＋8π.故选A．]
13．如图所示的正方体是一个三阶魔方(由27个全等的棱长为1的小正方体构成)，正方形ABCD是上底面正中间的一个正方形，正方形A1B1C1D1是下底面最大的正方形，已知点P是线段AC上的动点，点Q是线段B1D上的动点，则线段PQ长度的最小值为________．
33434 [以B1为坐标原点，B1C1，B1A1，B1B所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则B1(0，0，0)，A(1，2，3)，C(2，1，3)，D(2，2，3)，
设B1Q＝λB1D，AP＝μAC，λ，μ∈[0，1]，
则B1Q＝λ(2，2，3)＝(2λ，2λ，3λ)，B1P＝B1A+AP＝B1A＋μAC＝(1，2，3)＋μ(1，－1，0)＝(1＋μ，2－μ，3)，
∴QP＝B1P-B1Q＝(1＋μ－2λ，2－μ－2λ，3－3λ)．
∴|QP|2＝(1＋μ－2λ)2＋(2－μ－2λ)2＋(3－3λ)2＝17λ2－30λ＋2μ2－2μ＋14＝17λ-15172＋2μ-122＋934.
当λ＝1517且μ＝12时，|QP|2取得最小值934，
∴线段PQ长度的最小值为33434．]
14．如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB＝3，BC＝1，PA＝2，E为PD的中点．
(1)求AC与PB所成角的余弦值；
(2)在侧面PAB内找一点N，使NE⊥平面PAC，求N点的坐标．
[解] (1)由题意，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(0，0，0)，B(3，0，0)，C(3，1，0)，D(0，1，0)，P(0，0，2)，E0，12，1，
从而AC＝(3，1，0)，PB＝(3，0，－2)．
设AC与PB的夹角为θ，则cs θ＝AC·PBAC·PB＝327＝3714.
∴AC与PB所成角的余弦值为3714.
(2)由于N点在侧面PAB内，故可设N点坐标为(x，0，z)，则NE＝-x，12，1-z，由NE⊥平面PAC可得，NE·AP=0，NE·AC=0，
即-x，12，1-z·0，0，2=0，-x，12，1-z·3，1，0=0，
化简得z-1=0， -3x+12=0，∴x=36，z=1，
即N点的坐标为36，0，1时，NE⊥平面PAC．
15．如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD．在四边形ABCD中，AB⊥AD，AB＋AD＝4，CD＝2，∠CDA＝45°.设AB＝AP，在线段AD上是否存在一点G，使得点G到点P，B，C，D的距离都相等？并说明理由．
[解] ∵PA⊥平面ABCD，且AB⊂平面ABCD，AD⊂平面ABCD，
∴PA⊥AB，PA⊥AD．
∵AB⊥AD，∴AP，AB，AD两两垂直．
∴以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.
在平面ABCD内，作CE∥AB交AD于点E，则CE⊥AD．
在Rt△CDE中，DE＝CE＝1.
设AB＝AP＝t，则B(t，0，0)，P(0，0，t)．
由AB＋AD＝4，得AD＝4－t，
∴E(0，3－t，0)，C(1，3－t，0)，D(0，4－t，0)．
假设在线段AD上存在一点G，使得点G到点P，B，C，D的距离都相等．
设G(0，m，0)(其中0≤m≤4－t)，则GC＝(1，3－t－m，0)，GD＝(0，4－t－m，0)，GP＝(0，－m，t)，GB＝(t，－m，0)．
由|GC|＝|GD|得12＋(3－t－m)2＝(4－t－m)2，即t＝3－m.①
由|GD|＝|GP|，得(4－t－m)2＝m2＋t2.②
由①②消去t，化简得m2－3m＋4＝0.③
由于方程③没有实数根，所以在线段AD上不存在一点G，使得点G到点P，B，C，D的距离都相等．
学习任务
1.掌握空间向量运算的坐标表示，并据此会判断两个向量是否共线或垂直．(数学运算)
2．掌握空间向量的模、夹角公式和两点间距离公式，并能运用这些公式解决简单几何体中的问题．(数学运算、逻辑推理)
运算
坐标表示
加法
a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)
减法
a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)
数乘
λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R
数量积
a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3
平行(a∥b)
a∥b(b≠0)⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)
垂直(a⊥b)
a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0(a，b均为非零向量)
模
|a|＝a·a＝a12+a22+a32
夹角公式
cs 〈a，b〉＝a·ba·b＝a1b1+a2b2+a3b3a12+a22+a32b12+b22+b32