高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.4 空间向量的应用第2课时学案设计

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.4 空间向量的应用第2课时学案设计，共22页。

平行是立体几何中主要的位置关系，那么如何用向量方法进行研究呢？
知识点 空间中直线、平面平行的向量表达式
若已知平面外一直线的方向向量和平面的法向量，则这两向量满足哪些条件可说明直线与平面平行？
提示：可探究直线的方向向量与平面的法向量是否垂直，进而确定线面是否平行．
用向量方法证明线线平行时，必须说明两直线不重合；证明线面平行时，必须说明直线不在平面内；证明面面平行时，必须说明两个平面不重合．
1．若平面β外的一条直线l的方向向量是u＝(－1，2，－3)，平面β的法向量为n＝(4，－1，－2)，则l与β的位置关系是________．
l∥β [由u·n＝(－1)×4＋2×(－1)＋(－3)×(－2)＝0知，l∥β．]
2．若两个不同平面α，β的法向量分别为u＝(1，2，－1)，v＝(－4，－8，4)，则平面α，β的位置是________．
α∥β [由v＝－4u知u∥v，所以α∥β．]
类型1 直线和直线平行
【例1】 在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝3，AD＝4，AA1＝2，点M在棱BB1上，且BM＝2MB1，点S在棱DD1上，且SD1＝2SD，点N，R分别为A1D1，BC的中点．求证：MN∥RS.
[证明] 法一：如图所示，建立空间直角坐标系，根据题意得M3，0，43，N(0，2，2)，R(3，2，0)，S0，4，23.
则MN，RS分别为MN，RS的方向向量，
所以MN＝-3，2，23，RS＝-3，2，23，
所以MN＝RS，所以MN∥RS，
因为M∉RS，
所以MN∥RS.
法二：设AB＝a，AD＝b，AA1＝c，
则MN＝MB1+B1A1+A1N＝13c－a＋12b，
RS＝RC+CD+DS＝12b－a＋13c.
所以MN＝RS，所以MN∥RS.
又R∉MN，所以MN∥RS.
向量法证明直线平行的两种思路
[跟进训练]
1．如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD，E为CP的中点，N为DE的中点，DM＝14DB，DA＝DP＝1，CD＝2.求证：MN∥AP.
[证明] 法一：由题意知，直线DA，DC，DP两两垂直．如图所示，以D为坐标原点，DA，DC，DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴
建立空间直角坐标系，则D(0，0，0)，A(1，0，0)，B(1，2，0)，P(0，0，1)，E0，1，12，N0，12，14，M14，12，0，
所以AP＝(－1，0，1)，MN＝(-14，0，14)，
所以MN＝14AP，故MN∥AP.
法二：由题意可得MN＝MD+DN＝14BD＋12DE＝14BD＋12×12(DC+DP)＝14BD＋14DC＋14DP＝14BC＋14DP＝14(AD+DP)＝14AP，
所以MN∥AP.
类型2 直线和平面平行
【例2】 如图所示，在空间图形P-ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC＝2，在四边形ABCD中，CD∥AB，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝4，CD＝1，点M在PB上，且PB＝4PM，∠PBC＝30°，求证：CM∥平面PAD．
[思路导引] PC⊥平面ABCD ∠ABC=∠BCD=90°―→建立空间直角坐标系 ∠PBC=30°，PC=2 BC，PB―→点A，C，D，P的坐标 PB=4PM 点M的坐标―→CM，DP，DA设平面PAD的 法向量为n=x，y，z n·DP＝0，n·DA＝0―→n―→CM⊥nCM在平面 PAD外 CM∥平面PAD．
[证明] 建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz.
因为∠PBC＝30°，PC＝2，
所以BC＝23，PB＝4.
于是D(1，0，0)，C(0，0，0)，A(4，23，0)，P(0，0，2)．
因为PB＝4PM，
所以PM＝1，M0，32，32.
所以CM＝0，32，32，DP＝(－1，0，2)，DA＝(3，23，0)．
设平面PAD的法向量为n＝(x，y，z)，
则有n·DP=0，n·DA=0，即-x+2z=0， 3x+23y=0.
令x＝1，解得z＝12，y＝－32.
故n＝1，-32，12.
又因为CM·n＝0，32，32·1，-32，12＝0.
所以CM⊥n，又CM⊄平面PAD，
所以CM∥平面PAD．
[母题探究]
在本例条件下，在PA上是否存在一点N，使得DN∥平面PBC？若存在，求出点N的位置；若不存在，请说明理由．
[解] 建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz.
由原例题的解析可知，
D(1，0，0)，C(0，0，0)，A(4，23，0)，P(0，0，2)．
因为PN与PA共线，
所以可设PN＝λPA，
所以CN-CP＝λ(CA-CP)，
所以CN＝λCA＋(1－λ)CP＝λ(4，23，0)＋(1－λ)(0，0，2)＝(4λ，23λ，2(1－λ))，
DN＝CN-CD＝(4λ－1，23λ，2(1－λ))，
由PC⊥平面ABCD，知PC⊥CD，
又BC⊥CD，PC∩BC＝C，
所以CD⊥平面PBC，
所以平面PBC的一个法向量为CD＝(1，0，0)，
若DN∥平面PBC，则DN·CD＝4λ－1＝0，
解得λ＝14，所以PN＝14PA.
即存在点N在PA上，且满足PN∶PA＝1∶4时，DN∥平面PBC．
利用空间向量证明线面平行的三种方法
(1)证明直线的方向向量与平面内任意两个不共线的向量共面，即可用平面内的一组基底表示．
(2)证明直线的方向向量与平面内某一向量共线，转化为线线平行，利用线面平行判定定理得证．
(3)先求直线的方向向量，然后求平面的法向量，证明直线的方向向量与平面的法向量垂直．
[跟进训练]
2．在正方体ABCD -A1B1C1D1中，M，N分别是CC1，C1B1的中点．求证：MN∥平面A1BD．
[证明] 法一：如图，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，
则D(0，0，0)，A1(1，0，1)，B(1，1，0)，M0，1，12，N12，1，1，于是DA1＝(1，0，1)，DB＝(1，1，0)，MN＝12，0，12.
设平面A1BD的法向量为n＝(x，y，z)，
则n⊥DA1，n⊥DB，即n·DA1=x+z=0，n·DB=x+y=0，
取x＝1，则y＝－1，z＝－1，
所以平面A1BD的一个法向量为n＝(1，－1，－1)．
又MN·n＝12，0，12·(1，－1，－1)＝0，
所以MN⊥n.又MN⊄平面A1BD，
所以MN∥平面A1BD．
法二：MN＝C1N-C1M＝12C1B1－12C1C
＝12(D1A1-D1D)＝12DA1，
所以MN∥DA1，又MN⊄平面A1BD，
所以MN∥平面A1BD．
法三：MN＝C1N-C1M＝12C1B1－12C1C＝12DA－12A1A＝12(DB+BA)－12(A1B +BA)＝12DB－12A1B.即MN可用A1B与DB线性表示，故MN与A1B，DB是共面向量，又MN⊄平面A1BD，故MN∥平面A1BD．
类型3 平面与平面平行
【例3】 (源自湘教版教材)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，M，N，E，F分别是棱A1D1，A1B1，D1C1，B1C1的中点．
求证：平面AMN∥平面BDEF.
[证明] 如图所示，以点D为原点，分别以DA，DC，DD1为x轴、y轴、z轴的正方向，并均以1为单位长度，建立空间直角坐标系，
则 D(0，0，0)，A(a，0，0)，B(a，a，0)，Ma2，0，a，
Na，a2，a，E0，a2，a，Fa2，a，a.
于是AM＝-a2，0，a，MN＝a2，a2，0，
DE＝0，a2，a，EF＝a2，a2，0.
设n1＝(x1，y1，z1)是平面AMN的法向量，
则n1·AM=-a2x1+az1=0，n1·MN=a2x1+a2 y1=0，
取z1＝1，得x1＝2，y1＝－2，则n1＝(2，－2，1)．
设n2＝(x2，y2，z2)是平面BDEF的法向量，
则n2·EF=a2x2+a2 y2=0，n2·DE=a2y2+az2=0，
取z2＝1，得y2＝－2，x2＝2，则n2＝(2，－2，1)＝n1.
又平面AMN与平面BDEF不重合，
故平面AMN∥平面BDEF.
证明面面平行问题可用以下方法去证明：
(1)转化为相应的线线平行或线面平行．
(2)分别求出这两个平面的法向量，然后证明这两个法向量平行．
[跟进训练]
3．在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB＝4，BC＝CD＝2，AA1＝2，F是棱AB的中点．试用向量的方法证明：平面AA1D1D∥平面FCC1．
[证明] 因为AB＝4，BC＝CD＝2，F是棱AB的中点，所以BF＝BC＝CF，
所以△BCF为正三角形．
因为ABCD为等腰梯形，AB＝4，BC＝CD＝2，
所以∠BAD＝∠ABC＝60°.
取AF的中点M，连接DM，
则DM⊥AB，所以DM⊥CD．
以D为原点，DM为x轴，DC为y轴，DD1为z轴建立空间直角坐标系Dxyz，则D(0，0，0)，D1(0，0，2)，A(3，－1，0)，F(3，1，0)，C(0，2，0)，C1(0，2，2)，
所以DD1＝(0，0，2)，DA＝(3，－1，0)，
CF＝(3，－1，0)，CC1＝(0，0，2)，
所以DD1∥CC1，DA∥CF，
所以DD1∥CC1，DA∥CF，
因为DD1⊂平面AA1D1D，CC1⊄平面AA1D1D，
所以CC1∥平面AA1D1D．
因为DA⊂平面AA1D1D，CF⊄平面AA1D1D，
所以CF∥平面AA1D1D．
又CF∩CC1＝C，CF⊂平面FCC1，
CC1⊂平面FCC1，
所以平面AA1D1D∥平面FCC1.
1．若不重合的直线l1，l2的方向向量分别为a＝(1，2，－2)，b＝(－3，－6，6)，则( )
A．l1∥l2 B．l1⊥l2
C．l1，l2相交但不垂直 D．不能确定
A [因为1-3＝2-6＝-26，所以a∥b.又直线l1，l2不重合，所以l1，l2平行．]
2．(2022·辽宁高二月考)若直线l的方向向量为a＝(1，0，2)，平面α的法向量为n＝(－2，1，1)，则( )
A．l∥α B．l⊥α
C．l⊂α或l∥α D．l与α斜交
C [因为a＝(1，0，2)，n＝(－2，1，1)，所以a·n＝1×(－2)＋0×1＋2×1＝0，所以l⊂α或l∥α.故选C．]
3．设平面α的法向量为(1，2，－2)，平面β的法向量为(－2，－4，k)，若α∥β，则k＝( )
A．2 B．－4
C．4 D．－2
C [因为α∥β，所以1-2＝2-4＝-2k，所以k＝4．]
4．若平面α外的一条直线l的一个方向向量是n＝(－1，2，－3)，平面α的一个法向量为m＝(4，－1，－2)，则l与α的位置关系是________．
平行 [n·m＝(－1，2，－3)·(4，－1，－2)＝0，
所以n⊥m.又l⊄α，所以直线l与平面α平行，即l∥α．]
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．两直线平行的向量表达式是什么？
提示：设μ1，μ2分别是直线l1，l2的方向向量，则l1∥l2⇔μ1∥μ2⇔∃λ∈R，使得μ1＝λμ2.
2．直线和平面平行的向量表达式是什么？
提示：设μ是直线l的方向向量，n是平面α的法向量，且l⊄α，则l∥α⇔μ⊥n⇔μ·n＝0.
3．平面和平面平行的向量表达式是什么？
提示：设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则α∥β⇔n1∥n2⇔∃λ∈R，使得n1＝λn2.
4．证明线面平行有哪些方法？
提示：(1)证明直线的方向向量与平面内的某一向量是共线向量且直线不在平面内；
(2)证明直线的方向向量与平面内两个不共线向量共面且直线不在平面内；
(3)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直且直线不在平面内．
课时分层作业(七) 空间中直线、平面的平行
一、选择题
1．(多选)设a，b分别是不重合直线l1，l2的方向向量，则根据下列条件能判断l1∥l2的是( )
A．a＝12，1，0，b＝(－2，－4，0)
B．a＝(4，6，－2)，b＝(－2，－3，1)
C．a＝(5，0，2)，b＝(0，1，0)
D．a＝(－2，－1，1)，b＝(4，－2，－8)
AB [对于A，易知a＝－14b，所以l1∥l2，A正确；对于B，a＝－2b，所以l1∥l2，B正确；对于选项C、D，由于a与b不共线，所以不能判断l1∥l2.故选AB．]
2．若AB＝λCD＋μCE，则直线AB与平面CDE的位置关系是( )
A．相交 B．平行
C．直线在平面内 D．平行或直线在平面内
D [因为AB＝λCD＋μCE，所以AB，CD，CE共面，则AB与平面CDE的位置关系是平行或直线在平面内．]
3．在空间直角坐标系中，A(1，2，3)，B(－2，－1，6)，C(3，2，1)，D(4，3，0)，则直线AB与CD的位置关系是( )
A．垂直 B．平行
C．异面 D．是同一条直线
B [∵AB＝(－3，－3，3)，AC＝(2，0，－2)，CD＝(1，1，－1)，
∴AB＝－3CD，AB与AC不共线．
∴AB∥CD，且点C不在直线AB上，
∴AB∥CD，故选B．]
4．如图所示，在棱长为a的正方体A1B1C1D1-ABCD中，M，N分别为A1B和AC上的点，A1M＝AN＝23a，则MN与平面BB1C1C的位置关系是( )
A．相交但不垂直 B．平行
C．垂直 D．不能确定
B [如图，分别以C1B1，C1D1，C1C所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，因为A1M＝AN＝23a，
所以Ma，23a，a3，N23a，23a，a，
所以MN＝-a3，0，23a.
又C1(0，0，0)，D1(0，a，0)，
所以C1D1＝(0，a，0)．
所以MN·C1D1＝0.
所以MN⊥C1D1.
因为C1D1是平面BB1C1C的一个法向量，且MN⊄平面BB1C1C，
所以MN∥平面BB1C1C．]
5．(2022·上海十二校联考)如图所示，已知正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直，AB＝2，AF＝1，M在EF上，且AM∥平面BDE，则M点的坐标为( )
A．(1，1，1) B．23，23，1
C．22，22，1 D．24，24，1
C [∵M在EF上，∴不妨设ME＝x，
则M22x，22x，1，
∵A(2，2，0)，D(2，0，0)，E(0，0，1)，B(0，2，0)，
∴ED＝(2，0，－1)，EB＝(0，2，－1)，
AM＝22x－2，22x－2，1.
设平面BDE的法向量为n＝(a，b，c)，
易求其中一个法向量为n＝(1，1，2)，
∴有n·AM＝0，即22x－2＋22x－2＋2＝0，
∴2x＝2，∴x＝1.
∴M22，22，1，故选C．]
二、填空题
6．若a＝x，2y-1，-14是平面α的一个法向量，且b＝(－1，2，1)，c＝3，12，-2均与平面α平行，则向量a＝________．
-952，126，-14 [由题意知a·b=0，a·c=0，
即-x+22y-1-14=0，3x+122y-1+12=0，
解得x=-952，y=2752， ∴a＝-952，126，-14．]
7．已知两个不重合的平面α与平面ABC，若平面α的法向量为n1＝(2，－3，1)，AB＝(1，0，－2)，AC＝(1，1，1)，则平面α与平面ABC的位置关系是________．
平行 [因为n1·AB＝0，n1·AC＝0，AB∩AC＝A，所以n1也是平面ABC的法向量，又平面α与平面ABC不重合，所以平面α与平面ABC平行．]
三、解答题
8．(2022·吉林四平高二上期中)如图，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为菱形，且∠BAD＝60°，AA1＝AB＝2，E为BB1的延长线上一点，D1E⊥平面D1AC．
(1)求平面EAC的一个法向量；
(2)在线段D1E上取一点P，满足D1PPE＝32，证明：A1P∥平面EAC．
[解] (1)连接BD，交AC于点O，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(3，0，0)，C(－3，0，0)，D1(0，－1，2)，设E(0，1，2＋h)，则D1E＝(0，2，h)，CA＝(23，0，0)，D1A＝(3，1，－2)．
因为D1E⊥平面D1AC，所以D1E⊥D1A，
所以D1E·D1A＝2－2h＝0，
所以h＝1，即E(0，1，3)，所以AE＝(－3，1，3)．
设平面EAC的法向量为m＝(x，y，z)，
由m·CA=0m·AE=0，得23x=0 -3x+y+3z=0，故x＝0，
令z＝－1，则y＝3，
所以平面EAC的一个法向量为m＝(0，3，－1)．(答案不唯一)
(2)证明：易知D1P＝35D1E＝0，65，35.
因为A1(3，0，2)，D1(0，－1，2)，
所以A1D1＝(－3，－1，0)，
所以A1P＝A1D1+D1P＝-3，15，35，
所以A1P·m＝－3×0＋3×15＋(－1)×35＝0，
又A1P不在平面EAC内，所以A1P∥平面EAC．
9．如图，在正方体AC1中，PQ与直线A1D和AC都垂直，则直线PQ与BD1的关系是( )
A．异面直线
B．平行直线
C．相交但不垂直
D．垂直
B [设正方体的棱长为1，取D点为坐标原点建立如图所示坐标系，则DA1＝(1，0，1)，AC＝(－1，1，0)，
设PQ＝(a，b，c)，
∴PQ·DA1=0，PQ·AC=0，
则a+c=0， -a+b=0，取PQ＝(1，1，－1)，
∵BD1＝(0，0，1)－(1，1，0)＝(－1，－1，1)＝－PQ，∴PQ∥BD1，∴PQ∥BD1．]
10．(2022·山东烟台高二检测)如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，M，P，Q分别为棱AB，CD，BC的中点，若平行六面体的各棱长均相等，则①A1M∥D1P；②A1M∥B1Q；③A1M∥平面DCC1D1；④A1M∥平面D1PQB1.
以上结论中正确的是________．(填写正确的序号)
①③④ [因为A1M＝AM-AA1＝DP-DD1＝D1P，所以A1M∥D1P.因为D1P⊂平面D1PQB1，A1M⊄平面D1PQB1，
所以A1M∥平面D1PQB1.
又D1P⊂平面DCC1D1，A1M⊄平面DCC1D1，
所以A1M∥平面DCC1D1.因为B1Q为平面DCC1D1的斜线，所以B1Q与D1P不平行，所以A1M与B1Q不平行．]
11．如图所示，平面PAD⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点．求证：平面EFG∥平面PBC．
[证明] 因为平面PAD⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD，
所以AB，AP，AD两两垂直，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，E(0，0，1)，F(0，1，1)，G(1，2，0)．
所以PB＝(2，0，－2)，FE＝(0，－1，0)，FG＝(1，1，－1)，BC＝(0，2，0)，
设n1＝(x1，y1，z1)是平面GEF的法向量，则n1⊥FE，n1⊥FG，
即n1·FE=0，n1·FG=0，得-y1=0， x1+y1-z1=0，
令z1＝1，则x1＝1，y1＝0，所以n1＝(1，0，1)．
设n2＝(x2，y2，z2)是平面PBC的一个法向量．
由n2⊥PB，n2⊥BC，得
n2·PB=2x2-2z2=0，n2·BC=2y2=0， 得y2=0， x2-z2=0，
令z2＝1，得x2＝1，y2＝0，
所以n2＝(1，0，1)．
所以n1＝n2，所以平面EFG∥平面PBC．
12．如图，在多面体ABCDEF中，平面ADEF⊥平面ABCD，四边形ADEF为正方形，四边形ABCD为梯形，且AD∥BC，△ABD是边长为1的等边三角形，BC＝3.问：线段BD上是否存在点N(不包括端点)，使得直线CE∥平面AFN？若存在，求出BNBD的值；若不存在，请说明理由．
[解] 存在．理由如下：
∵平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD＝AD，四边形ADEF为正方形，AF⊂平面ADEF，∴AF⊥平面ABCD，
∴DE⊥平面ABCD．过点D作DG⊥BC于点G.
如图，以点D为原点，建立空间直角坐标系，
则A(1，0，0)，B12，32，0，C-52，32，0，D(0，0，0)，E(0，0，1)，F(1，0，1)，
∴AF＝(0，0，1)，CE＝52，-32，1，
AB＝-12，32，0，BD＝-12，-32，0.
设BNBD＝λ，0<λ<1，
则BN＝λBD＝-12λ，-32λ，0，
则AN＝AB+BN＝-12-12λ，32-32λ，0.
设n＝(x，y，z)是平面AFN的法向量，
则n·AF=0，n·AN=0，即z=0， -12-12λx+32-32λy=0，
∴z=0， 31-λy=1+λx，
取x＝3，则y＝1+λ1-λ，
∴n＝3，1+λ1-λ，0是平面AFN的一个法向量．
由n·CE＝532－32×1+λ1-λ＝0，得λ＝23，符合题意，即存在点N，使得直线CE∥平面AFN，此时BNBD＝23.
学习任务
1．能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系．(数学抽象)
2．熟练掌握用方向向量、法向量证明线线、线面、面面间的平行关系．(逻辑推理、数学运算)
位置关系
向量表达式
线线平行
设μ1，μ2分别是直线l1，l2的方向向量，则l1∥l2⇔μ1∥μ2⇔∃λ∈R，使得μ1＝λμ2
线面平行
设μ是直线l的方向向量，n是平面α的法向量，l⊄α，则l∥α⇔μ⊥n⇔μ·n＝0
面面平行
设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则α∥β⇔ n1∥n2⇔∃λ∈R，使得n1＝λn2