人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.4 空间向量的应用第3课时学案

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.4 空间向量的应用第3课时学案，共25页。


由直线上一点及直线的方向向量可以刻画直线的位置，由平面内一点及平面的法向量可以刻画平面的位置，那么就可以利用向量运算来判定直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系．下面我们就利用向量来研究垂直问题．
知识点 空间中直线、平面垂直的向量表达式
思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若两条直线的方向向量的数量积为0，则这两条直线一定垂直相交．( )
(2)若一直线与平面垂直，则该直线的方向向量与平面内的所有直线的方向向量的数量积为0．( )
(3)两个平面垂直，则其中一平面内的直线的方向向量与另一平面内的直线的方向向量垂直．( )
(4)若两平面α，β的法向量分别为μ1＝(1，0，1)，μ2＝(0，2，0)，则平面α，β互相垂直．( )
提示：(1)× 两条直线可能异面垂直．
(2)√ 根据线面垂直的定义可知．
(3)× 也可能平行．
(4)√ 由μ1·μ2＝0知μ1⊥μ2，从而α⊥β.
类型1 直线和直线垂直
【例1】 如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，PA＝AB＝1，F是PB的中点，点E在边BC上移动．
求证：无论点E在边BC上的何处，都有PE⊥AF.
[证明] 法一：以A为原点，以AD，AB，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．设AD＝a，
则A(0，0，0)，P(0，0，1)，B(0，1，0)，C(a，1，0)，于是F0，12，12.
∵E在BC上，设E(m，1，0)，∴PE＝(m，1，－1)，AF＝0，12，12，
∴PE·AF＝0，∴PE⊥AF.
∴无论点E在边BC上何处，总有PE⊥AF.
法二：因为点E在边BC上，可设BE＝λBC，
于是PE·AF＝(PA+AB+BE)·12(AP+AB)＝12(PA+AB＋λBC)·(AB+AP)＝12(PA·AB+PA·AP+AB·AB+AB·AP＋λBC·AB＋λBC·AP)＝12(0－1＋1＋0＋0＋0)＝0.
因此PE⊥AF.
故无论点E在边BC上的何处，都有PE⊥AF.
用向量法证明直线与直线垂直的方法和步骤
(1)基底法：①选取三个不共面的已知向量(通常是它们的模及其两两夹角为已知)为空间的一个基底；②把两直线的方向向量用基底表示；③利用向量的数量积运算，计算出两直线的方向向量的数量积为0；④由方向向量垂直得到两直线垂直．
(2)坐标法：①根据已知条件和图形特征，建立适当的空间直角坐标系，正确地写出各点的坐标；②根据所求出点的坐标求出两直线方向向量的坐标；③计算两直线方向向量的数量积为0；④由方向向量垂直得到两直线垂直．
[跟进训练]
1．如图，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD＝2，∠ABC＝∠DBC＝120°，E，F分别为AC，DC的中点．求证：EF⊥BC．
[证明] 法一：(基底法)设BA＝a，BC＝b，BD＝c，
则{a，b，c}为空间的一个基底．
∵AE＝EC，DF＝FC，
∴EF∥AD，且EF＝12AD，
∴EF＝12AD＝12BD-BA＝12(c－a)．
又BC＝b，AB＝BC＝BD＝2，∠ABC＝∠DBC＝120°，
∴EF·BC＝12(c－a)·b＝12(c·b－a·b)＝0，
∴EF⊥BC，∴EF⊥BC．
法二：(坐标法)由题意，以点B为坐标原点，在平面DBC内过点B作垂直于BC的直线为x轴，BC所在直线为y轴，在平面ABC内过点B作垂直于BC的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
易得B(0，0，0)，A(0，－1，3)，D(3，－1，0)，C(0，2，0)，
所以E0，12，32，F32，12，0，
所以EF＝32，0，-32，BC＝(0，2，0)，
因此EF·BC＝0，从而EF⊥BC，
所以EF⊥BC．
类型2 直线和平面垂直
【例2】 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝CC1＝1，E是CD的中点．求证：B1E⊥平面AED1.
[思路导引] 建立空间直角坐标系 要证B1E⊥平面AED1 写出相关点的坐标―→求平面AED1的一个法向量―→证明B1E与平面AED1的法向量平行―→B1E⊥平面AED1
[证明] 建立如图所示空间直角坐标系，
∴D(0，0，0)，A(1，0，0)，D1(0，0，1)，C(0，2，0)，B1(1，2，1)．
又E为CD的中点，∴E(0，1，0)，∴B1E＝(－1，－1，－1)，AE＝(－1，1，0)，AD1＝(－1，0，1)．
设平面AED1的法向量为n＝(x，y，z)，
则AE·n=-x+y=0，AD1·n=-x+z=0，取x＝1，
则y＝1，z＝1，∴n＝(1，1，1)是平面AED1的一个法向量．
又B1E＝－n，∴B1E∥n，
∴B1E⊥平面AED1.
证明直线与平面垂直的方法
(1)选基底，将相关向量用基底表示出来，然后利用向量的计算来证明．
(2)建立空间直角坐标系，利用坐标将向量的运算转化为实数(坐标)的运算，以达到证明的目的．
[跟进训练]
2．如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，D1B1的中点．求证：EF⊥平面B1AC．
[证明] 法一：设AB＝a，AD＝c，AA1＝b，
则EF＝EB1+B1F＝12(BB1+B1D1)
＝12(AA1+BD)＝12(AA1+AD-AB)
＝12(－a＋b＋c)．
∵AB1＝AB+AA1＝a＋b，
∴EF·AB1＝12(－a＋b＋c)·(a＋b)
＝12(b2－a2＋c·a＋c·b)＝12(|b|2-|a|2＋0＋0)＝0.
∴EF⊥AB1，即EF⊥AB1.同理，EF⊥B1C．又AB1∩B1C＝B1，AB1，B1C⊂平面B1AC，∴EF⊥平面B1AC．
法二：设正方体的棱长为2，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A(2，0，0)，C(0，2，0)，B1(2，2，2)，E(2，2，1)，F(1，1，2)．
∴EF＝(－1，－1，1)，AB1＝(0，2，2)，AC＝(－2，2，0)．
∴EF·AB1＝(－1，－1，1)·(0，2，2)＝(－1)×0＋(－1)×2＋1×2＝0，
EF·AC＝(－1，－1，1)·(－2，2，0)＝2－2＋0＝0，
∴EF⊥AB1，EF⊥AC，
∴EF⊥AB1，EF⊥AC．
又AB1∩AC＝A，AB1，AC⊂平面B1AC，
∴EF⊥平面B1AC．
法三：由法二得AB1＝(0，2，2)，
AC＝(－2，2，0)，EF＝(－1，－1，1)．
设平面B1AC的法向量n＝(x，y，z)，则AB1·n＝0，AC·n＝0，
即2y+2z=0，-2x+2y=0.
取x＝1，则y＝1，z＝－1，
∴n＝(1，1，－1)，∴EF＝－n，
∴EF∥n，∴EF⊥平面B1AC．
类型3 平面与平面垂直
【例3】 (源自湘教版教材)在四面体ABCD中，AB⊥平面BCD，BC＝CD，∠BCD＝90°，∠ADB＝30°，E，F分别是AC，AD的中点．
求证：平面BEF⊥平面ABC．
[证明] 如图所示，以点B为原点，分别以BD，BA为y轴、z轴的正方向，并取相同的单位长度，建立空间直角坐标系．
设A(0，0，a)，则B(0，0，0)，C32a，32a，0，D(0，3a，0)，E34a，34a，a2，F0，32a，a2.
于是AB＝(0，0，－a)，BC＝32a，32a，0，
BE＝34a，34a，a2，BF＝0，32a，a2.
法一：(利用平面的法向量)设n1＝(x1，y1，z1)是平面ABC的法向量，
则n1·AB=-az1=0， n1·BC=32ax1+32ay1=0，
取x1＝1，得y1＝－1，z1＝0，则n1＝(1，－1，0)是平面ABC的一个法向量．
设n2＝(x2，y2，z2)是平面BEF的法向量，
则n2·BE=34ax2+34ay2+a2 z2=0，n2·BF=32ay2+a2 z2=0，
取x2＝1，得y2＝1，z2＝－3，则n2＝(1，1，－3)是平面BEF的一个法向量．
因为n1·n2＝(1，－1，0)·(1，1，－3)＝0，
所以平面BEF⊥平面ABC．
法二：(利用线面垂直)∵EF＝-34a，34a，0，
∴EF·AB＝0，EF·BC＝0，∴EF⊥AB，EF⊥BC，
又AB∩BC＝B，AB⊂平面ABC，BC⊂平面ABC
∴EF⊥平面ABC，又EF⊂平面BEF
∴平面BEF⊥平面ABC．
证明面面垂直的两种方法
(1)常规法：利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明．
(2)法向量法：证明两个平面的法向量互相垂直．
[跟进训练]
3．如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥BC，AB＝BC＝2，BB1＝1，E为BB1的中点，证明：平面AEC1⊥平面AA1C1C．
[证明] 由题意得AB，BC，B1B两两垂直．以B为原点，BA，BC，BB1分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
则A(2，0，0)，A1(2，0，1)，C(0，2，0)，C1(0，2，1)，E0，0，12，
则AA1＝(0，0，1)，AC＝(－2，2，0)，AC1＝(－2，2，1)，
AE＝-2，0，12.
法一：(利用平面的法向量)设平面AA1C1C的一个法向量为n1＝(x1，y1，z1)．
则n1·AA1=0，n1·AC=0，⇒z1=0， -2x1+2y1=0.
令x1＝1，得y1＝1.∴n1＝(1，1，0)．
设平面AEC1的一个法向量为n2＝(x2，y2，z2)．
则n2·AC1=0，n2·AE=0 ⇒-2x2+2y2+z2=0，-2x2+12 z2=0，
令z2＝4，得x2＝1，y2＝－1.
∴n2＝(1，－1，4)．
∵n1·n2＝1×1＋1×(－1)＋0×4＝0.
∴n1⊥n2，∴平面AEC1⊥平面AA1C1C．
法二：(利用线面垂直)取AC1的中点D，连接ED(图略)．
则D1，1，12，ED＝(1，1，0)，
∴ED·AC1＝0，ED·AC＝0，
∴ED⊥AC1，ED⊥AC，
又AC1∩AC＝A，AC1，AC⊂平面AA1C1C，
∴ED⊥平面AA1C1C，
又ED⊂平面AEC1，
∴平面AEC1⊥平面AA1C1C．
1．已知直线l1的方向向量a＝(1，2，－2)，直线l2的方向向量b＝(－2，3，m)．若l1⊥l2，则m＝( )
A．1 B．2 C．12 D．3
B [由于l1⊥l2，所以a⊥b，故a·b＝－2＋6－2m＝0，即m＝2．]
2．若直线l的一个方向向量为a＝(1，0，2)，平面α的一个法向量为n＝(－2，0，－4)，则( )
A．l∥α B．l⊥α
C．l⊂α D．l与α斜交
B [∵n＝(－2，0，－4)＝－2(1，0，2)＝－2a，
∴n∥a，∴l⊥α．]
3．如图，在空间直角坐标系中，正方体的棱长为2，点E是棱AB的中点，点F(0，y，z)是正方体的面AA1D1D上一点，且CF⊥B1E，则点F(0，y，z)满足方程( )
A．y－z＝0 B．2y－z－1＝0
C．2y－z－2＝0 D．z－1＝0
D [因为E(1，0，0)，B1(2，0，2)，C(2，2，0)，
所以B1E＝(－1，0，－2)，CF＝(－2，y－2，z)，
因为CF⊥B1E，所以B1E·CF＝0，
即2－2z＝0，即z＝1．]
4．已知平面α与平面β垂直，若平面α与平面β的法向量分别为u＝(－1，0，5)，v＝(t，5，1)，则t的值为________．
5 [∵平面α与平面β垂直，∴平面α的法向量u与平面β的法向量v互相垂直，
∴u·v＝0，即－1·t＋0×5＋5×1＝0，解得t＝5．]
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．两直线垂直的向量表达式是什么？
提示：设直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2，则l1⊥l2⇔u1⊥u2⇔u1·u2＝0.
2．直线和平面垂直的向量表达式是什么？
提示：设直线l的方向向量为u，平面α的法向量为n，则l⊥α⇔u∥n⇔∃λ∈R，使得u＝λn.
3．平面和平面垂直的向量表达式是什么？
提示：设平面α，β的法向量分别为n1，n2，则
α⊥β⇔n1⊥n2⇔n1·n2＝0.
4．证明线面垂直有哪些方法？
提示：(1)基底法：把直线的方向向量和平面内两个不共线向量用同一个基底表示，然后再证明它们垂直．
(2)坐标法，利用线线垂直：建立空间直角坐标系，把直线的方向向量和平面内两条不共线向量用坐标表示，再证明它们垂直．
(3)坐标法，利用平面的法向量：建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量和平面的法向量的坐标，然后证明它们平行．
课时分层作业(八) 空间中直线、平面的垂直
一、选择题
1．已知三条直线l1，l2，l3的一个方向向量分别为a＝(4，－1，0)，b＝(1，4，5)，c＝(－3，12，－9)，则( )
A．l1⊥l2，但l1与l3不垂直
B．l1⊥l3，但l1与l2不垂直
C．l2⊥l3，但l2与l1不垂直
D．l1，l2，l3两两互相垂直
A [因为a·b＝(4，－1，0)·(1，4，5)＝4－4＋0＝0，a·c＝(4，－1，0)·(－3，12，－9)＝－12－12＋0＝－24≠0，b·c＝(1，4，5)·(－3，12，－9)＝－3＋48－45＝0，所以a⊥b，a与c不垂直，b⊥c，所以l1⊥l2，l2⊥l3，但l1不垂直于l3．]
2．已知点A(0，1，0)，B(－1，0，－1)，C(2，1，1)，P(x，0，z)．若PA⊥平面ABC，则点P的坐标为( )
A．(1，0，－2) B．(1，0，2)
C．(－1，0，2) D．(2，0，－1)
C [由题意知AB＝(－1，－1，－1)，AC＝(2，0，1)，AP＝(x，－1，z)，
因为PA⊥平面ABC，所以AB·AP=0AC·AP=0，
即-x+1-z=02x+z=0 ，得x=-1z=2，
故点P的坐标为(－1，0，2)．]
3．(多选)下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是( )
A．两条不重合直线l1，l2的方向向量分别是a＝(2，3，－1)，b＝(－2，－3，1)，则l1∥l2
B．直线l的方向向量a＝(1，－1，2)，平面α的法向量是u＝(6，4，－1)，则l⊥α
C．平面α，β的法向量分别是u＝(2，2，－1)，v＝(－3，4，2)，则α⊥β
D．直线l的方向向量a＝(0，3，0)，平面α的法向量是u＝(0，－5，0)，则l∥α
AC [对于A，两条不重合直线l1，l2的方向向量分别是a＝(2，3，－1)，b＝(－2，－3，1)，且b＝－a，所以l1∥l2，故A正确；
对于B，直线l的方向向量a＝(1，－1，2)，平面α的法向量是u＝(6，4，－1)且a·u＝1×6－1×4＋2×(－1)＝0，所以l∥α或l⊂α，故B错误；
对于C，平面α，β的法向量分别是u＝(2，2，－1)，v＝(－3，4，2)，且u·v＝2×(－3)＋2×4－1×2＝0.所以α⊥β，故C正确；
对于D，直线l的方向向量a＝(0，3，0)，平面α的法向量是u＝(0，－5，0)，且u＝－53a，所以l⊥α，故D错误．故选AC．]
4．已知平面α，β的法向量分别为a＝(3λ＋1，0，2λ)，b＝(1，λ－1，λ)，若α⊥β，则λ的值为( )
A．1或－12 B．1或12
C．－1或12 D．－1或－12
D [由题意知，a⊥b，所以3λ＋1＋2λ2＝0，所以λ＝－1或－12.故选D．]
5．(多选)如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，M，N分别是棱DD1，D1C1的中点，则直线OM( )
A．和AC垂直
B．和AA1垂直
C．和MN垂直
D．与AC，MN都不垂直
AC [以D为原点，分别以DA，DC，DD1所在的直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示．
设正方体的棱长为2，则
D(0，0，0)，D1(0，0，2)，M(0，0，1)，A(2，0，0)，
C(0，2，0)，O(1，1，0)，N(0，1，2)，
∴OM＝(－1，－1，1)，MN＝(0，1，1)，AC＝(－2，2，0)，AA1＝DD1＝(0，0，2)，
∴OM·AC＝0，OM·MN＝0，OM·AA1＝2，
∴OM⊥AC，OM⊥MN，故选AC．]
二、填空题
6．已知a＝(0，1，1)，b＝(1，1，0)，c＝(1，0，1)分别是平面α，β，γ的法向量，则α，β，γ三个平面中互相垂直的有________对．
0 [∵a·b＝(0，1，1)·(1，1，0)＝1≠0，a·c＝(0，1，1)·(1，0，1)＝1≠0，b·c＝(1，1，0)·(1，0，1)＝1≠0，∴a，b，c中任意两个都不垂直，即α，β，γ中任意两个平面都不垂直．]
7．已知u＝(a＋b，a－b，2)是直线l的一个方向向量，n＝(2，3，1)是平面α的一个法向量，若l⊥α，则a，b的值分别为________．
5，－1 [∵l⊥α，∴u∥n，∴a+b2＝a-b3＝21，
∴a＝5，b＝－1．]
8．在△ABC中，A(1，－2，－1)，B(0，－3，1)，C(2，－2，1)．若向量n是与AB共线的单位向量，则向量n的坐标为________；若向量n与平面ABC垂直，且|n|＝21，则n的坐标为________．
66，66，-63或-66，-66，63 (－2，4，1)或(2，－4，－1) [据题意，得AB＝(－1，－1，2)，AC＝(1，0，2)．
设n＝(x，y，z)，若向量n是与AB共线的单位向量，则x-1=y-1=z2， x2+y2+z2=1，
可得n＝66，66，-63或n＝-66，-66，63.
若n与平面ABC垂直，
则n·AB=0，n·AC=0，即-x-y+2z=0，x+2z=0，
可得y=4z，y=-2x.又因为|n|＝21，
所以x2+y2+z2＝21，解得y＝4或y＝－4.
当y＝4时，x＝－2，z＝1；
当y＝－4时，x＝2，z＝－1.
所以n＝(－2，4，1)或n＝(2，－4，－1)．]
三、解答题
9．已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都为1，M是底面上BC边的中点，N是侧棱CC1上的点，且CN＝14CC1.
求证：AB1⊥MN.
[证明] 设AB的中点为O，作OO1∥AA1.
以O为坐标原点，OB所在直线为x轴，OC所在直线为y轴，OO1所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.
由已知得
A-12，0，0，B12，0，0，C0，32，0，N0，32，14，B112，0，1，
∵M为BC的中点，∴M14，34，0.
∴MN＝-14，34，14，AB1＝(1，0，1)，
∴MN·AB1＝－14＋0＋14＝0.
∴MN⊥AB1，∴AB1⊥MN.
10．如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面A1B1C1，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1＝1，D是棱CC1的中点，P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点，若点Q在线段B1P上，则下列结论正确的是( )
A．当点Q为线段B1P的中点时，DQ⊥平面A1BD
B．当点Q为线段B1P的三等分点时，DQ⊥平面A1BD
C．在线段B1P的延长线上，存在一点Q，使得DQ⊥平面A1BD
D．不存在DQ与平面A1BD垂直
D [以A1为坐标原点，A1B1，A1C1，A1A所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(图略)，则由已知得A1(0，0，0)，B1(1，0，0)，C1(0，1，0)，B(1，0，1)，D0，1，12，P(0，2，0)，
所以A1B＝(1，0，1)，A1D＝0，1，12，
B1P＝(－1，2，0)，DB1＝1，-1，-12.
设平面A1BD的法向量为n＝(x，y，z)，
则n·A1B=x+z=0，n·A1D=y+12z=0.取z＝－2，
则x＝2，y＝1，所以平面A1BD的一个法向量为n＝(2，1，－2)．
假设DQ⊥平面A1BD，且B1Q＝λB1P＝λ(－1，2，0)＝(－λ，2λ，0)，则DQ＝DB1+B1Q＝1-λ，-1+2λ，-12.
因为DQ也是平面A1BD的一个法向量，
所以n与DQ共线，
所以1-λ2＝-1+2λ1＝-12-2＝14成立，但此方程关于λ无解，所以不存在DQ与平面A1BD垂直．]
11．(多选)下列说法正确的是( )
A．如果平面α，β的法向量分别为n1，n2，那么α⊥β⇔n1·n2＝0
B．如果l⊥平面α，l＝(3，－1，－2)为直线l的一个方向向量，n＝(2，2，2)为平面β的一个法向量，那么α⊥β
C．若直线l的方向向量为(4，2，m)，平面α的法向量为(2，1，－1)，且l⊥α，则m＝2
D．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是A1D1，C1D1的中点，则B1D⊥平面CEF
AB [对于A，由n1·n2＝0，得n1⊥n2，进而得α⊥β，反之亦成立，从而A正确；对于B，l·n＝3×2＋(－1)×2＋(－2)×2＝0，从而l⊥n，进而得α⊥β，从而B正确；对于C，因为l⊥α，直线l的方向向量为(4，2，m)，平面α的法向量为(2，1，－1)，所以直线l的方向向量与平面α的法向量平行．则存在实数λ，使(4，2，m)＝λ(2，1，－1)，即4=2λ，2=λ，m=-λ，
∴m＝－2.从而C错误；
对于D，建立如图所示的空间直角坐标系，设AB＝2，平面CEF的法向量为n＝(x，y，z)．
C(0，2，0)，E(1，0，2)，F(0，1，2)，B1(2，2，2)，D(0，0，0)．
DB1＝(2，2，2)，EF＝(－1，1，0)，CF＝(0，－1，2)，
所以n·EF=0，n·CF=0，则-x+y=0，-y+2z=0，
令x＝2，得y＝2，z＝1，所以n＝(2，2，1)．
因为DB1＝(2，2，2)，所以DB1与n不平行，所以B1D不垂直于平面CEF，从而选项D错误．故选AB．]
12．(2022·辽宁沈阳同泽高中高二上月考)如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，且AB＝BC＝2AD＝4，E，F分别为AB，CD的中点，沿EF把AEFD折起，使平面AEFD⊥平面EBCF，得到如图2所示的立体图形，且以E为坐标原点，EB的方向为x轴的正方向建立空间直角坐标系．若在线段EC上存在点G，使得AG∥平面CDF，则平面CDF的一个法向量n＝________，EG＝________．
(－1，2，1)(答案不唯一) 253 [由题得E(0，0，0)，A(0，0，2)，D(0，2，2)，F(0，3，0)，C(2，4，0)，
所以DF＝(0，1，－2)，DC＝(2，2，－2)，EC＝(2，4，0)．
设n＝(x，y，z)，则n·DF=0n·DC=0，
即y-2z=0 2x+2y-2z=0，不妨令z＝1，可得n＝(－1，2，1)为平面CDF的一个法向量．
设EG＝λEC＝(2λ，4λ，0)，
则G(2λ，4λ，0)，AG＝(2λ，4λ，－2)．
因为AG∥平面CDF，所以AG⊥n，则AG·n＝0，
即－2λ＋2×4λ－2＝0，解得λ＝13，
即EG＝23，43，0，故EG＝|EG|＝253．]
13．如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是以∠ABC为直角的等腰三角形，AC＝2a，BB1＝3a，D是A1C1的中点，点E在棱AA1上，要使CE⊥平面B1DE，则AE＝________．
a或2a [建立如图所示的空间直角坐标系，
则B1(0，0，3a)，C(0，2a，0)，D2a2，2a2，3a.
设E(2a，0，z)(0≤z≤3a)，
则CE＝(2a，－2a，z)，
B1E＝(2a，0，z－3a)，B1D＝2a2，2a2，0.
又CE·B1D＝a2－a2＋0＝0，
CE·B1E＝2a2＋z2－3az＝0，
解得z＝a或2a.
故AE＝a或2a．]
14．如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD＝DC，E，F分别是AB，PB的中点．
(1)求证：EF⊥CD；
(2)在平面PAD内求一点G，使GF⊥平面PCB，并证明你的结论．
[解] (1)以DA，DC，DP所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系(如图)，
设AD＝a，则D(0，0，0)，B(a，a，0)，C(0，a，0)，
Ea，a2，0，P(0，0，a)，Fa2，a2，a2，
所以EF＝-a2，0，a2，DC＝(0，a，0)，
EF·DC＝-a2，0，a2·(0，a，0)＝0，
所以EF⊥DC．
(2)因为G∈平面PAD，设G(x，0，z)，
所以FG＝x-a2，-a2，z-a2.
由(1)知，CB＝(a，0，0)，CP＝(0，－a，a)．
由题意，要使GF⊥平面PCB，只需FG·CB＝x-a2，-a2，z-a2·(a，0，0)＝ax-a2＝0，
FG·CP＝x-a2，-a2，z-a2·(0，－a，a)＝a22＋az-a2＝0，
所以x＝a2，z＝0.
所以点G的坐标为a2，0，0，即点G为AD的中点．
15．如图，正方形ADEF所在平面和等腰梯形ABCD所在的平面互相垂直，已知BC＝4，AB＝AD＝2.
(1)求证：AC⊥BF；
(2)在线段BE上是否存在一点P，使得平面PAC⊥平面BCEF？若存在，求出BPPE的值；若不存在，请说明理由．
[解] (1)证明：∵平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD＝AD，AF⊥AD，AF⊂平面ADEF，∴AF⊥平面ABCD．
∵AC⊂平面ABCD，∴AF⊥AC．
过A作AH⊥BC于H(图略)，则BH＝1，AH＝3，CH＝3，
∴AC＝23，∴AB2＋AC2＝BC2，
∴AC⊥AB．
∵AB∩AF＝A，AB，AF⊂平面FAB，
∴AC⊥平面FAB．
∵BF⊂平面FAB，∴AC⊥BF.
(2)存在．理由：由(1)知，AF，AB，AC两两垂直．以A为坐标原点，AB，AC，AF的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，
则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，23，0)，E(－1，3，2)．
假设在线段BE上存在一点P满足题意，则易知点P不与点B，E重合，设BPPE＝λ，则λ>0，P2-λ1+λ，3λ1+λ，2λ1+λ.
设平面PAC的法向量为m＝(x，y，z)．
由AP＝2-λ1+λ，3λ1+λ，2λ1+λ，AC＝(0，23，0)，
得m·AP=2-λ1+λx+3λ1+λy+2λ1+λz=0，m·AC=23y=0，
即y=0， z=λ-22λx，
令x＝1，则z＝λ-22λ，所以m＝1，0，λ-22λ为平面PAC的一个法向量．
同理，可求得n＝1，33，1为平面BCEF的一个法向量．
当m·n＝1＋λ-22λ＝0，即λ＝23时，平面PAC⊥平面BCEF，故存在满足题意的点P，此时BPPE＝23.
学习任务
1．能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系．(数学抽象)
2．熟练掌握用方向向量、法向量证明线线、线面、面面间的垂直关系．(逻辑推理、数学运算)
位置关系
向量表达式
线线垂直
设直线l1，l2的方向向量分别为μ1，μ2，则l1⊥l2⇔μ1⊥μ2⇔μ1·μ2＝0
线面垂直
设直线l的方向向量为μ，平面α的法向量为n，则l⊥α⇔μ∥n⇔∃λ∈R，使得μ＝λn
面面垂直
设平面α，β的法向量分别为n1，n2，则
α⊥β⇔n1⊥n2⇔n1·n2＝0