高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.2 直线的方程学案

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.2 直线的方程学案，共13页。

我们知道，一点与一个方向可以确定一条直线．例如，如图所示，直线l经过点P(0，3)，且斜率k＝2，则直线l上的每个点在平面直角坐标系中的位置就被确定了．也就是说，对于直线l上不同于点P的每一个点，其坐标都和已知点P的坐标与斜率存在某种恒定的数量关系．那么，这一数量关系是什么呢？
知识点1 直线的点斜式方程
经过点P0(x0，y0)的直线有无数条，可分为两类：①斜率存在的直线，方程为y－y0＝k(x－x0)；②斜率不存在的直线，方程为x＝x0.
知识点2 直线的斜截式方程
(1)截距：我们把直线l与y轴的交点(0，b)的纵坐标b叫做直线l在y轴上的截距；
(2)斜截式：方程y＝kx＋b由直线的斜率k与它在y轴上的截距b确定，我们把方程y＝kx＋b叫做直线的斜截式方程，简称斜截式．
1.斜截式方程适用于斜率存在的直线，不能表示斜率不存在的直线，故利用斜截式设直线方程时也要讨论斜率是否存在．
2．纵截距不是距离，它是直线与y轴交点的纵坐标，所以可以取一切实数，即可为正数、负数或零．
知识点3 根据直线的斜截式方程判断两直线平行与垂直
对于直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2.
(1)l1∥l2⇔k1＝k2，且b1≠b2；
(2)l1⊥l2⇔k1k2＝－1.
1．已知直线l经过点P(2，－3)，且倾斜角α＝60°，则直线的点斜式方程是________．
y＋3＝3(x－2) [所求直线的斜率k＝tan 60°＝3，直线的点斜式方程为y＋3＝3(x－2)．]
2．已知直线l的方程为y＝－2x－2，则直线l在y轴上的截距b＝________．
－2 [由直线的斜截式方程可知b＝－2．]
3．已知直线l1：y＝x＋2与l2：y＝－2ax＋1平行，则a＝________．
－12 [由l1∥l2得－2a＝1，解得a＝－12．]
类型1 直线的点斜式方程
【例1】 (源自湘教版教材)已知直线l经过点P(2，3)，斜率为2，求直线l的方程，并画出该直线．
[解] 经过点P(2，3)，斜率为2的直线的点斜式方程是y－3＝2(x－2)．
画该直线时，可在直线l上另取一点P1(x1，y1)，如取x1＝1，y1＝1，得P1(1，1)，过P，P1作直线即为所求，如图所示．
求直线的点斜式方程的步骤及注意点
(1)求直线的点斜式方程的步骤：定点(x0，y0)→定斜率k→写出方程y－y0＝k(x－x0)．
(2)点斜式方程y－y0＝k(x－x0)可表示过点P(x0，y0)的所有直线，但直线x＝x0除外．
[跟进训练]
1．求满足下列条件的直线的点斜式方程．
(1)过点P(－4，3)，斜率k＝－3；
(2)过点P(3，－4)，且与y轴平行；
(3)过点P(－2，3)，Q(5，－4)两点．
[解] (1)因为直线过点P(－4，3)，斜率k＝－3，由直线方程的点斜式得直线方程为y－3＝－3(x＋4)．
(2)直线与y轴平行，斜率不存在，其直线方程为x＝3.
(3)过点P(－2，3)，Q(5，－4)的直线的斜率kPQ＝-4-35--2＝-77＝－1.又因为直线过点P(－2，3)，
所以直线的点斜式方程为y－3＝－(x＋2)．
类型2 直线的斜截式方程
【例2】 根据条件写出下列直线的斜截式方程：
(1)倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3；
(2)在y轴上的截距为－6，且与y轴夹角为60°.
[思路导引] 结合截距、斜率的几何意义→确定各题中直线的截距、斜率→
写出直线的斜截式方程
[解] (1)因为直线的倾斜角为60°，所以斜率k＝tan 60°＝3.因为直线与y轴的交点到坐标原点的距离为3，所以直线在y轴上的截距b＝3或b＝－3，故所求直线的斜截式方程为y＝3x＋3或y＝3x－3.
(2)与y轴夹角为60°的直线倾斜角为30°或150°，所以斜率k为tan 30°或tan 150°，即k＝±33，故所求直线的斜截式方程为y＝±33x－6.
求直线的斜截式方程的策略
(1)斜截式方程的应用前提是直线的斜率存在．
(2)直线的斜截式方程y＝kx＋b中只有两个参数，因此要确定直线方程只需两个独立条件即可．
[跟进训练]
2．已知直线l的斜率为16，且和两坐标轴围成面积为3的三角形，求l的斜截式方程．
[解] 设直线方程为y＝16x＋b，则x＝0时，y＝b；y＝0时，x＝－6b.
由已知可得12·|b|·|－6b|＝3，即6|b|2＝6，∴b＝±1.
故所求直线方程为y＝16x＋1或y＝16x－1.
类型3 利用斜截式方程求平行与垂直的条件
【例3】 (1)当a为何值时，直线l1：y＝－x＋2a与直线l2：y＝(a2－2)x＋2平行？
(2)当a为何值时，直线l1：y＝(2a－1)x＋3与直线l2：y＝4x－3垂直？
[解] (1)由题意可知，kl1＝-1，kl2＝a2－2，
∵l1∥l2，∴a2-2=-1，2a≠2， 解得a＝－1.
故当a＝－1时，直线l1：y＝－x＋2a与直线l2：y＝(a2－2)x＋2平行．
(2)由题意可知，kl1＝2a-1，kl2＝4，
∵l1⊥l2，∴4(2a－1)＝－1，
解得a＝38.
故当a＝38时，直线l1：y＝(2a－1)x＋3与直线l2：y＝4x－3垂直．
已知两直线的斜截式方程，判定两直线平行与垂直
设直线l1的方程为y＝k1x＋b1，直线l2的方程为y＝k2x＋b2.
(1)l1∥l2⇔k1＝k2，且b1≠b2；
(2)l1与l2重合⇔k1＝k2，且b1＝b2；
(3)l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.
[跟进训练]
3．已知直线l1：y＝－3m8x＋10-3m8和l2：6my＝－x＋4，问m为何值时，l1与l2平行或垂直？
[解] 当m＝0时，l1：8y－10＝0；l2：x－4＝0，l1与l2垂直；
当m≠0时，l2的方程可化为y＝－16mx＋23m.
由－3m8＝－16m得m＝±23；由10-3m8≠23m，得m≠23或m≠83，－3m8·-16m＝－1无解．
故当m＝－23时，l1与l2平行；
当m＝0时，l1与l2垂直．
1．经过点P(2，－3)，且倾斜角为45°的直线方程为( )
A．y－3＝－(x－2)
B．y＋3＝－(x－2)
C．y＋3＝－x－2
D．y＋3＝x－2
D [倾斜角为45°的直线的斜率为tan 45°＝1，又该直线经过点P(2，－3)，所以用直线的点斜式求得直线的方程为y＋3＝x－2．]
2．倾斜角为120°且在y轴上的截距为－2的直线方程为( )
A．y＝－3x＋2 B．y＝－3x－2
C．y＝3x＋2 D．y＝3x－2
B [斜率为tan 120°＝－3，则直线方程为y＝－3x－2．]
3．与直线y＝2x＋1垂直，且在y轴上的截距为4的直线的斜截式方程为( )
A．y＝12x＋4 B．y＝2x＋4
C．y＝－2x＋4 D．y＝－12x＋4
D [由题意可设所求直线方程为y＝kx＋4，又由2k＝－1，得k＝－12，∴所求直线方程为y＝－12x＋4．]
4．在平面直角坐标系中，下列三个结论：
①每一条直线都有点斜式方程；
②方程k＝y+1x-2与方程y＋1＝k(x－2)可表示同一条直线；
③直线l过点P0(x0，y0)，倾斜角为90°，则其方程为x＝x0.
其中正确结论的序号为________．
③ [直线的点斜式方程不能表示斜率不存在的直线，所以①错误．点(2，－1)不在方程k＝y+1x-2所表示的直线上，所以②错误．③显然正确．]
课时分层作业(十三) 直线的点斜式方程
一、选择题
1．过点(4，－2)，倾斜角为150°的直线的点斜式方程为( )
A．y－2＝－33(x＋4)
B．y－(－2)＝－33(x－4)
C．y－(－2)＝33(x－4)
D．y－2＝32(x＋4)
B [所求直线的斜率k＝tan 150°＝－33，直线的点斜式方程为y－(－2)＝－33(x－4)．故选B．]
2．(2022·江苏句容高二期中)经过两点A(－3，2)，B(0，－3)的直线的方程为( )
A．y＋3＝13x B．y－2＝－13(x＋3)
C．y＋3＝53x D．y－2＝－53(x＋3)
D [因为直线的斜率为k＝2+3-3＝－53，所以直线的方程为y－2＝－53(x＋3)．故选D．]
3．过点P(1，12)且倾斜角为45°的直线在y轴上的截距是( )
A．－10 B．10 C．－11 D．11
D [因为tan 45°＝1，所以直线的方程为y－12＝x－1，即y＝x＋11，所以直线在y轴上的截距为11.故选D．]
4．已知等边三角形ABC的两个顶点A(0，0)，B(4，0)，且第三个顶点在第四象限，则BC边所在直线的方程是( )
A．y＝－3x B．y＝－3(x－4)
C．y＝3(x－4) D．y＝3(x＋4)
C [由题意，知直线BC的倾斜角为60°，故直线BC的斜率为3，由点斜式得所求直线的方程为y＝3(x－4)．]
5．过点(1，0)且与直线y＝12x－1平行的直线方程是( )
A．y＝12x－12 B．y＝12x＋12
C．y＝－2x＋2 D．y＝－12x＋12
A [过点(1，0)且与直线y＝12x－1平行的直线方程为y－0＝12(x－1)，
即y＝12x－12.故选A．]
二、填空题
6．直线l的方向向量为(1，3)，且在y轴上的截距为－2的斜截式方程为________．
y＝3x－2 [由于直线l的方向向量为(1，3)，也就是直线的斜率为k＝3，又因直线在y轴上的截距为－2，故方程为y＝3x－2．]
7．已知直线l与直线l1：y＝2x＋6在y轴上有相同的截距，且l的斜率与l1的斜率互为相反数，则直线l的方程为________．
y＝－2x＋6 [由直线l1的方程可知它的斜率为2，它在y轴上的截距为6，所以直线l的斜率为－2，在y轴上的截距为6.由直线斜截式方程可得直线l的方程为y＝－2x＋6．]
8．已知直线l与直线y＝12x＋4互相垂直，直线l与直线y＝x＋6在y轴上的截距相等，则直线l的方程为________．
y＝－2x＋6 [因为直线l与直线y＝12x＋4垂直，所以直线l的斜率k＝－2.
又因为直线y＝x＋6在y轴上的截距为6，
所以直线l在y轴上的截距为6，
所以直线l的方程为y＝－2x＋6．]
三、解答题
9．已知点A(3，3)和直线l：y＝34x－52.
(1)求过点A且与直线l平行的直线的斜截式方程；
(2)求过点A且与直线l垂直的直线的斜截式方程．
[解] (1)因为直线l的方程为y＝34x－52，所以该直线的斜率k＝34，所以过点A(3，3)且与直线l平行的直线的点斜式方程为y－3＝34(x－3)，其斜截式方程为y＝34x＋34.
(2)易知与直线l垂直的直线的斜率为－43，所以过点A(3，3)且与直线l垂直的直线的点斜式方程为y－3＝－43(x－3)．其斜截式方程为y＝－43x＋7.
10．(2022·杭州市期中)已知k＋b＝0，k≠0，则直线y＝kx＋b的位置可能是( )

A B C D
B [因为直线方程为y＝kx＋b，且k≠0，k＋b＝0，即b＝－k，所以y＝kx－k＝k(x－1)，令y＝0，得x＝1，所以直线与x轴的交点坐标为(1，0)．只有选项B中的图象符合要求．]
11．(多选)经过点B(3，4)，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形的直线方程为( )
A．x－y＋1＝0 B．x＋y－7＝0
C．2x－y－2＝0 D．2x＋y－10＝0
AB [由题意知，所求直线的斜率为±1，又过点(3，4)，
由点斜式得y－4＝±(x－3)．
所求直线的方程为x－y＋1＝0或x＋y－7＝0.故选AB．]
12．数学家欧拉提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称为三角形的欧拉线．已知△ABC的顶点A(4，0)，B(0，2)，且|AC|＝|BC|，则△ABC的欧拉线方程为( )
A．x－2y＋3＝0 B．2x＋y－3＝0
C．x－2y－3＝0 D．2x－y－3＝0
D [∵线段AB的中点为M(2，1)，kAB＝－12，
∴线段AB的垂直平分线方程为y－1＝2(x－2)，即2x－y－3＝0，
∵|AC|＝|BC|，∴△ABC的外心、重心、垂心都位于线段AB的垂直平分线上，
∴△ABC的欧拉线方程为2x－y－3＝0.故选D．]
13．将一张画有直角坐标系的图纸对折，使点A(0，2)与B(4，0)重合，若此时点C(0，4)恰与点D重合，则点D的坐标是________．
285，65 [设线段AB的中点为M，则M(2，1)．
又kAB＝2-00-4＝－12，
∴线段AB的垂直平分线的斜率为2，因此，AB的垂直平分线方程为y－1＝2(x－2)．
设D(a，b)，则kCD＝b-4a-0＝－12，
∴a＝－2b＋8. ①
又线段CD的中点a2，b+42在线段AB的垂直平分线上，
∴b+42－1＝2a2-2，
即b＝2a－10. ②
由①②得a=285，b=65，因此D285，65．]
14．三角形的三个顶点是A(4，0)，B(6，7)，C(0，3)．
(1)求BC边上的高所在直线的方程；
(2)求BC边上的中线所在直线的方程．
[解] (1)BC边所在直线的斜率为
kBC＝7-36-0＝23，因为BC所在直线的斜率与BC边上的高所在直线的斜率乘积为－1，所以BC边上的高所在直线的斜率为－32.
又因为BC边上的高所在的直线过A(4，0)，
所以BC边上的高所在的直线方程为
y－0＝－32(x－4)，
即3x＋2y－12＝0.
(2)设BC中点为M，则中点M(3，5)，又kAM＝－5，所以BC边上的中线AM所在的直线方程为y＝－5(x－3)＋5，即5x＋y－20＝0.
15．如图，在两条互相垂直的道路l1，l2的一角，有一个电线杆，电线杆底部到道路l1的垂直距离为4米，到道路l2的垂直距离为3米，现在要过电线杆的底部靠近道路的一侧修建一条人行直道，使得人行道与两条垂直的道路围成的直角三角形的面积最小，则人行道的长度为________米．
10 [如图，建立平面直角坐标系，
设人行道所在直线方程为y－4＝k(x－3)(k