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    高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.3 直线的交点坐标与距离公式学案

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    这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.3 直线的交点坐标与距离公式学案,共16页。

    点P(x0,y0)在直线Ax+By+C=0上,那么我们会有Ax0+By0+C=0,当P(x0,y0)同时在两条直线A1x+B1y+C1=0和A2x+B2y+C2=0上时,我们会有Aix0+Biy0+Ci=0(i=1,2),那么点P就是这两条直线的交点.
    下面我们就来研究两直线的交点问题.
    知识点1 两条直线的交点
    已知两条直线的方程是l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,设这两条直线的交点为P,则点P既在直线l1上,也在直线l2上.所以点P的坐标既满足直线l1的方程A1x+B1y+C1=0,也满足直线l2的方程A2x+B2y+C2=0,即点P的坐标就是方程组A1x+B1y+C1=0,A2x+B2y+C2=0的解.
    知识点2 两直线的位置关系和方程组解的个数的关系
    直线l1:A1x+B1y+C1=0(A1,B1不同时为0);l2:A2x+B2y+C2=0(A2,B2不同时为0)的位置关系如表所示.
    1.直线x+y=5与直线x-y=3交点坐标是( )
    A.(1,2) B.(4,1)
    C.(3,2) D.(2,1)
    B [解方程组x+y=5,x-y=3,得x=4,y=1,
    因此交点坐标为(4,1),故选B.]
    2.若方程组A1x+B1y+C1=0,A2x+B2y+C2=0 无解,则直线l1:A1x+B1y+C1=0与直线l2:A2x+B2y+C2=0的位置关系是________.
    l1∥l2 [方程组无解,则l1与l2无公共点,从而l1∥l2.]
    3.直线l1:4x-y+3=0与直线l2:3x+12y-11=0的位置关系是________.
    l1⊥l2 [由4×3+(-1)×12=0得l1⊥l2.]
    类型1 求相交直线的交点坐标
    【例1】 求经过两直线l1:3x+4y-2=0和l2:2x+y+2=0的交点且过坐标原点的直线l的方程.
    [解] 由方程组3x+4y-2=0,2x+y+2=0,
    解得x=-2,y=2, 即l1与l2的交点坐标为(-2,2).
    ∵直线过坐标原点,
    ∴其斜率k=2-2=-1.
    故直线方程为y=-x,
    即x+y=0.
    求与已知两直线的交点有关的问题,先通过解二元一次方程组求出交点坐标,然后再利用其他条件求解.
    [跟进训练]
    1.求经过两直线l1:x-2y+4=0和l2:x+y-2=0的交点P,且与直线l3:3x-4y+5=0垂直的直线l的方程.
    [解] 由方程组x-2y+4=0,x+y-2=0,
    得x=0,y=2,即P(0,2).
    ∵l⊥l3,l3的斜率为34,
    ∴kl=-43,
    ∴直线l的方程为y-2=-43x,
    即4x+3y-6=0.
    类型2 判断两条直线位置关系的方法
    【例2】 (源自湘教版教材)判断下列各组中直线的位置关系,若相交,求出交点的坐标:
    (1)l1:2x+y+3=0,l2:x-2y-1=0;
    (2)l1:x+y+2=0,l2:2x+2y+3=0;
    (3)l1:x-y+1=0,l2:2x-2y+2=0.
    [解] (1)解方程组2x+y+3=0,x-2y-1=0,
    得x=-1,y=-1.
    因此直线l1和l2相交,交点坐标为(-1,-1).
    (2)解方程组x+y+2=0, ① 2x+2y+3=0, ②
    ①×2-②得1=0,矛盾.
    由此可知方程组无解,因此直线l1与l2平行.
    (3)解方程组x-y+1=0, ① 2x-2y+2=0, ②
    ①×2得 2x-2y+2=0.
    说明方程②是方程①的2倍,方程①的解都是方程②的解.
    因此直线l1与l2重合.
    (1)判断两直线位置关系的方法,关键是看两直线的方程组成的方程组的解的情况.
    A1x+B1y+C1=0,A2x+B2y+C2=0 有唯一解的等价条件是A1B2-A2B1≠0,即两条直线相交的等价条件是A1B2-A2B1≠0.
    (2)虽然利用方程组解的个数可以判断两直线的位置关系,但是由于运算量较大,一般较少使用.
    [跟进训练]
    2.(源自人教B版教材)判断下列各对直线的位置关系,如果相交,求出交点的坐标:
    (1)l1:x-y+1=0,l2:2x-2y+1=0;
    (2)l1:x-2y+1=0,l2:x+2y+5=0.
    [解] (1)将l1与l2的方程分别化为斜截式可知l1:y=x+1,l2:y=x+12.
    因此l1与l2的斜率相等,但截距不相等,所以它们平行.
    (2)解方程组x-2y+1=0,x+2y+5=0,可得x=-3,y=-1,
    因此,l1与l2相交,而且交点坐标为(-3,-1).
    类型3 直线系过定点问题
    【例3】 (1)直线mx-3y+2m+3=0,当m变动时,所有直线都经过的定点坐标为( )
    A.(-2,1) B.(1,2)
    C.(1,-2) D.(2,1)
    (2)过两直线2x-3y-3=0和x+y+2=0的交点且与直线3x+y-1=0平行的直线方程为________.
    (1)A (2)15x+5y+16=0 [(1)方程mx-3y+2m+3=0可化为m(x+2)-3y+3=0,
    令x+2=0,3-3y=0,得x=-2,y=1,
    即直线mx-3y+2m+3=0过定点(-2,1),故选A.
    (2)法一:解方程组2x-3y-3=0,x+y+2=0,
    得x=-35,y=-75,所以两直线的交点坐标为-35,-75.
    又所求直线与直线3x+y-1=0平行,所以所求直线的斜率为-3.
    故所求直线方程为y+75=-3x+35,
    即15x+5y+16=0.
    法二:设所求直线方程为(2x-3y-3)+λ(x+y+2)=0,
    即(2+λ)x+(λ-3)y+(2λ-3)=0.(*)
    由于所求直线与直线3x+y-1=0平行,
    所以有(2+λ)×1-(λ-3)×3=0, 得λ=112.
    代入(*)式,得2+112x+112-3y+2×112-3=0,
    即15x+5y+16=0.符合条件.]
    [母题探究]
    本例(2)中若将“平行”改为“垂直”,如何求解?
    [解] 设所求直线方程为(2x-3y-3)+λ(x+y+2)=0,
    即(2+λ)x+(λ-3)y+(2λ-3)=0,
    由于所求直线与直线3x+y-1=0垂直,
    则3(2+λ)+(λ-3)×1=0,得λ=-34,
    所以所求直线方程为5x-15y-18=0.
    1.含有参数的直线恒过定点的问题
    (1)法一:任给直线中的参数赋两个不同的值,得到两条不同的直线,然后验证这两条直线的交点就是题目中含参数直线所过的定点,从而问题得解.
    (2)法二:若能整理为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0,其中λ是参数,这就说明了它表示的直线必过定点,其定点可由方程组A1x+B1y+C1=0,A2x+B2y+C2=0 解得.若整理成y-y0=k(x-x0)的形式,则表示的直线必过定点(x0,y0).
    2.经过两直线交点的直线方程
    经过两直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0交点的直线方程可写为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(它不能表示直线l2).反之,当直线的方程写为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0时,直线一定过直线l1:A1x+B1y+C1=0与直线l2:A2x+B2y+C2=0的交点.
    [跟进训练]
    3.已知直线(a-2)y=(3a-1)x-1,求证:无论a为何值,直线总经过第一象限.
    [证明] 将直线方程整理为a(3x-y)+(-x+2y-1)=0.
    因为直线3x-y=0与x-2y+1=0的交点为15,35,
    即直线系恒过第一象限内的定点15,35,
    所以无论a为何值,直线总经过第一象限.
    1.直线2x+y+1=0与直线x-y+2=0的交点在( )
    A.第一象限 B.第二象限
    C.第三象限 D.第四象限
    B [联立2x+y+1=0,x-y+2=0, 解得x=-1,y=1.
    ∴交点(-1,1)在第二象限.故选B.]
    2.若直线ax+by-11=0与3x+4y-2=0平行,并且经过直线2x+3y-8=0和x-2y+3=0的交点,则a,b的值分别为( )
    A.-3,-4 B.3,4
    C.4,3 D.-4,-3
    B [由2x+3y-8=0,x-2y+3=0,得x=1,y=2.
    由题意得a+2b-11=0,a3=b4, 得a=3,b=4. ]
    3.已知直线l1:ax+y-6=0与l2:x+(a-2)y+a-1=0相交于点P,若l1⊥l2,则点P的坐标为________.
    (3,3) [∵直线l1:ax+y-6=0与l2:x+(a-2)y+a-1=0相交于点P,且l1⊥l2,
    ∴a×1+1×(a-2)=0,解得a=1,
    联立方程x+y-6=0,x-y=0, 易得x=3,y=3,
    ∴点P的坐标为(3,3).]
    4.若a∈R,则直线(a-1)x-y+2a-1=0恒过定点________.
    (-2,1) [方程(a-1)x-y+2a-1=0可化为
    a(x+2)-x-y-1=0
    令x+2=0 -x-y-1=0,得x=-2y=1,
    即直线(a-1)x-y+2a-1=0恒过定点(-2,1).]
    回顾本节知识,自主完成以下问题:
    1.如何求两直线的交点坐标?
    提示:解两直线方程组成的方程组,方程组的解就是交点的坐标.
    2.直线方程具有什么特点时,直线恒过定点?
    提示:当x或y的系数含有字母参数时,直线恒过定点.
    3.对于直线l1:A1x+B1y+C1=0,直线l2:A2x+B2y+C2=0.两直线相交、平行和垂直的充要条件是什么?
    提示:l1与l2相交⇔A1B2≠A2B1;
    l1与l2平行⇔A1B2=A2B1;
    l1⊥l2⇔A1A2+B1B2=0.
    课时分层作业(十六) 两条直线的交点坐标
    一、选择题
    1.直线3x+2y+6=0和2x+5y-7=0的交点坐标为( )
    A.(-4,-3) B.(4,3)
    C.(-4,3) D.(3,4)
    C [由3x+2y+6=0,2x+5y-7=0 得x=-4,y=3, 故选C.]
    2.直线(x-2)+m(x-y+3)=0(m∈R)一定过定点( )
    A.(4,0) B.(0,4)
    C.(2,5) D.(3,2)
    C [由x-2=0, x-y+3=0,得x=2,y=5,
    故直线(x-2)+m(x-y+3)=0恒过定点(2,5).故选C.]
    3.已知点M(0,-1),点N在直线x-y+1=0上,若直线MN垂直于直线x+2y-3=0,则N点的坐标是( )
    A.(2,3) B.(-2,-1)
    C.(-4,-3) D.(0,1)
    A [由题意知,直线MN过点M(0,-1)且与直线x+2y-3=0垂直,其方程为2x-y-1=0. 直线MN与直线x-y+1=0的交点为N,联立方程2x-y-1=0,x-y+1=0, 解得x=2,y=3,即N点坐标为(2,3).]
    4.直线l1:x+my-6=0与l2:(m-2)x+3y+2m=0只有一个公共点,则( )
    A.m≠-1且m≠3
    B.m≠-1且m≠-3
    C.m≠1且m≠3
    D.m≠1且m≠-1
    A [因为直线l1:x+my-6=0与直线
    l2:(m-2)x+3y+2m=0只有一个公共点,
    所以两条直线不平行也不重合,
    所以m(m-2)≠3,解得m≠-1,m≠3,
    所以m的取值范围是m≠-1且m≠3,故选A.]
    5.(2022·北京西城区高二期中)已知直线kx-y+2k+1=0与x+2y-4=0的交点在第四象限,则实数k的取值范围为( )
    A.(-6,2) B.-16,0
    C.-12,-16 D.12,+∞
    C [联立kx-y+2k+1=0,x+2y-4=0,
    解得x=2-4k2k+1,y=6k+12k+1.
    由直线kx-y+2k+1=0与x+2y-4=0的交点在第四象限可得x=2-4k2k+1>0,y=6k+12k+1<0,
    解得-12<k<-16,
    即实数k的取值范围为-12,-16.故选C.]
    二、填空题
    6.已知直线ax+2y-1=0与直线2x-5y+c=0垂直相交于点(1,m),则m=________.
    -2 [由两直线垂直得2a-10=0,解得a=5.
    又点(1,m)在直线5x+2y-1=0上,
    所以5+2m-1=0,
    所以m=-2.]
    7.已知直线Ax+3y+C=0与直线2x-3y+4=0的交点在y轴上,则C的值为______.
    -4 [因为两条直线的交点在y轴上,且直线2x-3y+4=0与y轴的交点是0,43,所以点0,43在直线Ax+3y+C=0上,则A×0+3×43+C=0,解得C=-4.]
    8.若三条直线l1:3x+my-1=0,l2:3x-2y-5=0,l3:6x+y-5=0不能围成三角形,则实数m的值为________.
    2或-2或12 [当三条直线交于一点或其中任意两条平行或重合时,它们不能围成三角形.
    由3x-2y-5=0,6x+y-5=0, 解得x=1, y=-1,
    将x=1,y=-1代入l1的方程,得m=2.
    即当m=2时,三条直线共点,不能围成三角形.
    又m=-2时,l1∥l2,m=12时,l1∥l3,此时三条直线也不能围成三角形.
    故当m=±2或m=12时,l1,l2和l3不能围成三角形.]
    三、解答题
    9.如图,△ABC中,BC边上的高所在直线的方程为x-2y+1=0,∠BAC的平分线所在直线的方程为y=0,若点B的坐标为(1,2),求点A和点C的坐标.
    [解] 由方程组x-2y+1=0,y=0,
    得顶点A(-1,0),则边AB所在直线的斜率kAB=2-01--1=1.
    ∵∠BAC的平分线所在直线的方程为y=0,
    ∴直线AC的斜率为-1,AC所在直线的方程为
    y=-(x+1).
    ∵BC边上的高所在直线的方程为x-2y+1=0,
    ∴kBC=-2.
    又点B的坐标为(1,2),
    ∴BC所在直线的方程为y=-2(x-1)+2.
    由y=-2x-1+2,y=-x+1 得C(5,-6).
    综上,A(-1,0),C(5,-6).
    10.若直线l:y=kx-3与直线x+y-3=0相交,且交点在第一象限,则直线l的倾斜角θ的取值范围是( )
    A.{θ|0

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