高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.3 直线的交点坐标与距离公式学案

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.3 直线的交点坐标与距离公式学案，共16页。

点P(x0，y0)在直线Ax＋By＋C＝0上，那么我们会有Ax0＋By0＋C＝0，当P(x0，y0)同时在两条直线A1x＋B1y＋C1＝0和A2x＋B2y＋C2＝0上时，我们会有Aix0＋Biy0＋Ci＝0(i＝1，2)，那么点P就是这两条直线的交点．
下面我们就来研究两直线的交点问题．
知识点1 两条直线的交点
已知两条直线的方程是l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，设这两条直线的交点为P，则点P既在直线l1上，也在直线l2上．所以点P的坐标既满足直线l1的方程A1x＋B1y＋C1＝0，也满足直线l2的方程A2x＋B2y＋C2＝0，即点P的坐标就是方程组A1x+B1y+C1=0，A2x+B2y+C2=0的解．
知识点2 两直线的位置关系和方程组解的个数的关系
直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不同时为0)；l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不同时为0)的位置关系如表所示．
1．直线x＋y＝5与直线x－y＝3交点坐标是( )
A．(1，2) B．(4，1)
C．(3，2) D．(2，1)
B [解方程组x+y=5，x-y=3，得x=4，y=1，
因此交点坐标为(4，1)，故选B．]
2．若方程组A1x+B1y+C1=0，A2x+B2y+C2=0 无解，则直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0的位置关系是________．
l1∥l2 [方程组无解，则l1与l2无公共点，从而l1∥l2．]
3．直线l1：4x－y＋3＝0与直线l2：3x＋12y－11＝0的位置关系是________．
l1⊥l2 [由4×3＋(－1)×12＝0得l1⊥l2．]
类型1 求相交直线的交点坐标
【例1】 求经过两直线l1：3x＋4y－2＝0和l2：2x＋y＋2＝0的交点且过坐标原点的直线l的方程．
[解] 由方程组3x+4y-2=0，2x+y+2=0，
解得x=-2，y=2， 即l1与l2的交点坐标为(－2，2)．
∵直线过坐标原点，
∴其斜率k＝2-2＝－1.
故直线方程为y＝－x，
即x＋y＝0.
求与已知两直线的交点有关的问题，先通过解二元一次方程组求出交点坐标，然后再利用其他条件求解．
[跟进训练]
1．求经过两直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点P，且与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直的直线l的方程．
[解] 由方程组x-2y+4=0，x+y-2=0，
得x=0，y=2，即P(0，2)．
∵l⊥l3，l3的斜率为34，
∴kl＝－43，
∴直线l的方程为y－2＝－43x，
即4x＋3y－6＝0.
类型2 判断两条直线位置关系的方法
【例2】 (源自湘教版教材)判断下列各组中直线的位置关系，若相交，求出交点的坐标：
(1)l1：2x＋y＋3＝0，l2：x－2y－1＝0；
(2)l1：x＋y＋2＝0，l2：2x＋2y＋3＝0；
(3)l1：x－y＋1＝0，l2：2x－2y＋2＝0.
[解] (1)解方程组2x+y+3=0，x-2y-1=0，
得x=-1，y=-1.
因此直线l1和l2相交，交点坐标为(－1，－1)．
(2)解方程组x+y+2=0， ① 2x+2y+3=0， ②
①×2－②得1＝0，矛盾．
由此可知方程组无解，因此直线l1与l2平行．
(3)解方程组x-y+1=0， ① 2x-2y+2=0， ②
①×2得 2x－2y＋2＝0.
说明方程②是方程①的2倍，方程①的解都是方程②的解．
因此直线l1与l2重合．
(1)判断两直线位置关系的方法，关键是看两直线的方程组成的方程组的解的情况．
A1x+B1y+C1=0，A2x+B2y+C2=0 有唯一解的等价条件是A1B2－A2B1≠0，即两条直线相交的等价条件是A1B2－A2B1≠0.
(2)虽然利用方程组解的个数可以判断两直线的位置关系，但是由于运算量较大，一般较少使用．
[跟进训练]
2．(源自人教B版教材)判断下列各对直线的位置关系，如果相交，求出交点的坐标：
(1)l1：x－y＋1＝0，l2：2x－2y＋1＝0；
(2)l1：x－2y＋1＝0，l2：x＋2y＋5＝0.
[解] (1)将l1与l2的方程分别化为斜截式可知l1：y＝x＋1，l2：y＝x＋12.
因此l1与l2的斜率相等，但截距不相等，所以它们平行．
(2)解方程组x-2y+1=0，x+2y+5=0，可得x＝－3，y＝－1，
因此，l1与l2相交，而且交点坐标为(－3，－1)．
类型3 直线系过定点问题
【例3】 (1)直线mx－3y＋2m＋3＝0，当m变动时，所有直线都经过的定点坐标为( )
A．(－2，1) B．(1，2)
C．(1，－2) D．(2，1)
(2)过两直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点且与直线3x＋y－1＝0平行的直线方程为________．
(1)A (2)15x＋5y＋16＝0 [(1)方程mx－3y＋2m＋3＝0可化为m(x＋2)－3y＋3＝0，
令x+2=0，3-3y=0，得x=-2，y=1，
即直线mx－3y＋2m＋3＝0过定点(－2，1)，故选A．
(2)法一：解方程组2x-3y-3=0，x+y+2=0，
得x=-35，y=-75，所以两直线的交点坐标为-35，-75.
又所求直线与直线3x＋y－1＝0平行，所以所求直线的斜率为－3.
故所求直线方程为y＋75＝－3x+35，
即15x＋5y＋16＝0.
法二：设所求直线方程为(2x－3y－3)＋λ(x＋y＋2)＝0，
即(2＋λ)x＋(λ－3)y＋(2λ－3)＝0.(*)
由于所求直线与直线3x＋y－1＝0平行，
所以有(2＋λ)×1－(λ－3)×3＝0, 得λ＝112.
代入(*)式，得2+112x＋112-3y＋2×112-3＝0，
即15x＋5y＋16＝0.符合条件．]
[母题探究]
本例(2)中若将“平行”改为“垂直”，如何求解？
[解] 设所求直线方程为(2x－3y－3)＋λ(x＋y＋2)＝0，
即(2＋λ)x＋(λ－3)y＋(2λ－3)＝0，
由于所求直线与直线3x＋y－1＝0垂直，
则3(2＋λ)＋(λ－3)×1＝0，得λ＝－34，
所以所求直线方程为5x－15y－18＝0.
1．含有参数的直线恒过定点的问题
(1)法一：任给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线，然后验证这两条直线的交点就是题目中含参数直线所过的定点，从而问题得解．
(2)法二：若能整理为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0，其中λ是参数，这就说明了它表示的直线必过定点，其定点可由方程组A1x+B1y+C1=0，A2x+B2y+C2=0 解得．若整理成y－y0＝k(x－x0)的形式，则表示的直线必过定点(x0，y0)．
2．经过两直线交点的直线方程
经过两直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线方程可写为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(它不能表示直线l2)．反之，当直线的方程写为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0时，直线一定过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点．
[跟进训练]
3．已知直线(a－2)y＝(3a－1)x－1，求证：无论a为何值，直线总经过第一象限．
[证明] 将直线方程整理为a(3x－y)＋(－x＋2y－1)＝0.
因为直线3x－y＝0与x－2y＋1＝0的交点为15，35，
即直线系恒过第一象限内的定点15，35，
所以无论a为何值，直线总经过第一象限．
1．直线2x＋y＋1＝0与直线x－y＋2＝0的交点在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
B [联立2x+y+1=0，x-y+2=0， 解得x=-1，y=1.
∴交点(－1，1)在第二象限．故选B．]
2．若直线ax＋by－11＝0与3x＋4y－2＝0平行，并且经过直线2x＋3y－8＝0和x－2y＋3＝0的交点，则a，b的值分别为( )
A．－3，－4 B．3，4
C．4，3 D．－4，－3
B [由2x+3y-8=0，x-2y+3=0，得x=1，y=2.
由题意得a+2b-11=0，a3=b4， 得a=3，b=4. ]
3．已知直线l1：ax＋y－6＝0与l2：x＋(a－2)y＋a－1＝0相交于点P，若l1⊥l2，则点P的坐标为________．
(3，3) [∵直线l1：ax＋y－6＝0与l2：x＋(a－2)y＋a－1＝0相交于点P，且l1⊥l2，
∴a×1＋1×(a－2)＝0，解得a＝1，
联立方程x+y-6=0，x-y=0， 易得x＝3，y＝3，
∴点P的坐标为(3，3)．]
4．若a∈R，则直线(a－1)x－y＋2a－1＝0恒过定点________．
(－2，1) [方程(a－1)x－y＋2a－1＝0可化为
a(x＋2)－x－y－1＝0
令x+2=0 -x-y-1=0，得x=-2y=1，
即直线(a－1)x－y＋2a－1＝0恒过定点(－2，1)．]
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．如何求两直线的交点坐标？
提示：解两直线方程组成的方程组，方程组的解就是交点的坐标．
2．直线方程具有什么特点时，直线恒过定点？
提示：当x或y的系数含有字母参数时，直线恒过定点．
3．对于直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0.两直线相交、平行和垂直的充要条件是什么？
提示：l1与l2相交⇔A1B2≠A2B1；
l1与l2平行⇔A1B2＝A2B1；
l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.
课时分层作业(十六) 两条直线的交点坐标
一、选择题
1．直线3x＋2y＋6＝0和2x＋5y－7＝0的交点坐标为( )
A．(－4，－3) B．(4，3)
C．(－4，3) D．(3，4)
C [由3x+2y+6=0，2x+5y-7=0 得x=-4，y=3， 故选C．]
2．直线(x－2)＋m(x－y＋3)＝0(m∈R)一定过定点( )
A．(4，0) B．(0，4)
C．(2，5) D．(3，2)
C [由x-2=0， x-y+3=0，得x=2，y=5，
故直线(x－2)＋m(x－y＋3)＝0恒过定点(2，5)．故选C．]
3．已知点M(0，－1)，点N在直线x－y＋1＝0上，若直线MN垂直于直线x＋2y－3＝0，则N点的坐标是( )
A．(2，3) B．(－2，－1)
C．(－4，－3) D．(0，1)
A [由题意知，直线MN过点M(0，－1)且与直线x＋2y－3＝0垂直，其方程为2x－y－1＝0. 直线MN与直线x－y＋1＝0的交点为N，联立方程2x-y-1=0，x-y+1=0， 解得x=2，y=3，即N点坐标为(2，3)．]
4．直线l1：x＋my－6＝0与l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0只有一个公共点，则( )
A．m≠－1且m≠3
B．m≠－1且m≠－3
C．m≠1且m≠3
D．m≠1且m≠－1
A [因为直线l1：x＋my－6＝0与直线
l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0只有一个公共点，
所以两条直线不平行也不重合，
所以m(m－2)≠3，解得m≠－1，m≠3，
所以m的取值范围是m≠－1且m≠3，故选A．]
5．(2022·北京西城区高二期中)已知直线kx－y＋2k＋1＝0与x＋2y－4＝0的交点在第四象限，则实数k的取值范围为( )
A．(－6，2) B．-16，0
C．-12，-16 D．12，+∞
C [联立kx-y+2k+1=0，x+2y-4=0，
解得x=2-4k2k+1，y=6k+12k+1.
由直线kx－y＋2k＋1＝0与x＋2y－4＝0的交点在第四象限可得x=2-4k2k+1＞0，y=6k+12k+1＜0，
解得－12＜k＜－16，
即实数k的取值范围为-12，-16.故选C．]
二、填空题
6．已知直线ax＋2y－1＝0与直线2x－5y＋c＝0垂直相交于点(1，m)，则m＝________．
－2 [由两直线垂直得2a－10＝0，解得a＝5.
又点(1，m)在直线5x＋2y－1＝0上，
所以5＋2m－1＝0，
所以m＝－2．]
7．已知直线Ax＋3y＋C＝0与直线2x－3y＋4＝0的交点在y轴上，则C的值为______．
－4 [因为两条直线的交点在y轴上，且直线2x－3y＋4＝0与y轴的交点是0，43，所以点0，43在直线Ax＋3y＋C＝0上，则A×0＋3×43＋C＝0，解得C＝－4．]
8．若三条直线l1：3x＋my－1＝0，l2：3x－2y－5＝0，l3：6x＋y－5＝0不能围成三角形，则实数m的值为________．
2或－2或12 [当三条直线交于一点或其中任意两条平行或重合时，它们不能围成三角形．
由3x-2y-5=0，6x+y-5=0， 解得x=1， y=-1，
将x＝1，y＝－1代入l1的方程，得m＝2.
即当m＝2时，三条直线共点，不能围成三角形．
又m＝－2时，l1∥l2，m＝12时，l1∥l3，此时三条直线也不能围成三角形．
故当m＝±2或m＝12时，l1，l2和l3不能围成三角形．]
三、解答题
9．如图，△ABC中，BC边上的高所在直线的方程为x－2y＋1＝0，∠BAC的平分线所在直线的方程为y＝0，若点B的坐标为(1，2)，求点A和点C的坐标．
[解] 由方程组x-2y+1=0，y=0，
得顶点A(－1，0)，则边AB所在直线的斜率kAB＝2-01--1＝1.
∵∠BAC的平分线所在直线的方程为y＝0，
∴直线AC的斜率为－1，AC所在直线的方程为
y＝－(x＋1)．
∵BC边上的高所在直线的方程为x－2y＋1＝0，
∴kBC＝－2.
又点B的坐标为(1，2)，
∴BC所在直线的方程为y＝－2(x－1)＋2.
由y=-2x-1+2，y=-x+1 得C(5，－6)．
综上，A(－1，0)，C(5，－6)．
10．若直线l：y＝kx－3与直线x＋y－3＝0相交，且交点在第一象限，则直线l的倾斜角θ的取值范围是( )
A．{θ|0