高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.4 圆的方程学案设计

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.4 圆的方程学案设计，共15页。

月亮，是中国人心目中的宇宙精灵，古代人们在生活中崇拜、敬畏月亮，在文学作品中也大量描写、吟咏月亮．有诗道：“明月四时有，何事喜中秋？瑶台宝鉴，宜挂玉宇最高头；放出白豪千丈，散作太虚一色．万象入吾眸，星斗避光彩，风露助清幽．”
如果把天空看作一个平面，在上面建立一个平面直角坐标系，那么月亮的坐标方程如何表示？
知识点1 圆的标准方程
(1)圆的定义
圆是平面上到定点的距离等于定长的点的集合，定点称为圆的圆心，定长称为圆的半径．用集合表示为P＝{M||MA|＝r}．
(2)圆的标准方程
确定圆的标准方程需要两个条件：圆心坐标与半径．
相同的圆，建立坐标系不同时，圆心坐标不同，导致圆的方程不同，但是半径是不变的．
(1)方程(x＋a)2＋(y＋b)2＝m2一定是圆的方程吗？
(2)若方程表示圆，m满足什么条件？此时圆的圆心和半径分别是什么？
提示：(1)当m＝0时，方程(x＋a)2＋(y＋b)2＝m2表示点(－a，－b)．
(2)当m≠0时，方程表示圆，此时圆的圆心为(－a，－b)，半径为|m|.
知识点2 点与圆的位置关系
圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，其圆心为C(a，b)，半径为r，点P(x0，y0)，设d＝|PC|＝x0-a2+y0-b2.
1．点P(－2，－2)和圆x2＋y2＝4的位置关系是( )
A．在圆上 B．在圆外
C．在圆内 D．以上都不对
B [∵(－2)2＋(－2)2＝8>4，
∴点P(－2，－2)在圆外，故选B．]
2．若圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋5)2＝3，则此圆的圆心坐标为________，半径为________．
[答案] (1，－5) 3
3．圆心为(1，－2)，半径为3的圆的方程是____________．
[答案] (x－1)2＋(y＋2)2＝9
类型1 求圆的标准方程
【例1】 (源自北师大版教材)求经过A(1，3)，B(4，2)两点，且圆心C在直线l：x＋y－3＝0上的圆的标准方程．
[解] 法一：设该圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
由圆经过A，B两点且圆心C在直线l上，可得方程组
(1-a)2+3-b2=r2 ， ①4-a2+2-b2=r2， ②a+b-3=0. ③
①－②，得
(1－a)2＋(3－b)2＝(4－a)2＋(2－b)2，④
化简、整理，得3a－b－5＝0.⑤
联立③⑤解得a=2，b=1. 代入①，得r2＝5.
故所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5(如图1)．
法二：如图2，连接AB，作AB的垂直平分线交AB于点D，则圆心C是线段AB的垂直平分线与直线l的交点．线段AB的垂直平分线的方程为3x－y－5＝0.
联立线段AB的垂直平分线方程和直线l的方程得方程组3x-y-5=0，x+y-3=0.
解得x=2，y=1，即圆心C的坐标为(2，1)．
又该圆经过点A，则r2＝(1－2)2＋(3－1)2＝5，
故所求圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.
[母题探究]
如何求经过A(1，3)，B(4，2)两点，周长最小的圆的标准方程？
[解] 当线段AB为圆的直径时，过点A、B的圆的半径最小，从而周长最小，
即所求圆以线段AB的中点52，52为圆心，
12|AB|＝1210为半径，故所求圆的标准方程为x-522＋y-522＝52.
求圆的标准方程的方法
确定圆的标准方程只需确定圆心C(a，b)和半径r，其求解方法：一是几何法，常用到中点坐标公式，两点间距离公式，有时还用到平面几何知识，如“弦的中垂线必过圆心”“两条弦的中垂线交点必为圆心”等；二是待定系数法，由三个独立的条件建立关于a，b，r的方程组，进而求得圆的方程，它是求圆的方程的常用方法．
[跟进训练]
1．求满足下列条件的圆的标准方程．
(1)圆心在y轴上，半径长为5，且过点(3，－4)；
(2)△ABC的三个顶点的坐标分别为A(1，0)，B(3，0)，C(3，4)，求△ABC的外接圆方程．
[解] (1)设圆心C(0，b)，则(3－0)2＋(－4－b)2＝52，
整理得(b＋4)2＝16，解得b＝0或b＝－8.
∴圆的标准方程为x2＋y2＝25或x2＋(y＋8)2＝25.
(2)法一：(待定系数法)
设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则
(1-a)2+b2=r2， (3-a)2+b2=r2， (3-a)2+(4-b)2=r2
解得a=2， b=2， r=5，
所以外接圆的方程为(x－2)2＋(y－2)2＝5.
法二：(几何法)
易知△ABC是直角三角形，∠B＝90°，所以圆心是斜边AC的中点(2，2)，半径是斜边长的一半，即r＝5，所以外接圆的方程为(x－2)2＋(y－2)2＝5.
类型2 点与圆的位置关系
【例2】 已知圆N的标准方程为(x－5)2＋(y－6)2＝a2(a>0)．
(1)若点M(6，9)在圆上，求a的值；
(2)已知点P(3，3)和点Q(5，3)，线段PQ(不含端点)与圆N有且只有一个公共点，求a的取值范围．
[解] (1)因为点M在圆上，
所以(6－5)2＋(9－6)2＝a2，
又a>0，可得a＝10.
(2)由两点间距离公式可得：
|PN|＝3-52+3-62＝13，
|QN|＝5-52+3-62＝3.
因为线段PQ与圆有且只有一个公共点，即P，Q两点一个在圆N内，另一个在圆N外，又3