高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.4 圆的方程导学案

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.4 圆的方程导学案，共18页。


把圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2展开得到
x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－r2＝0.
可见，任何一个圆的方程都可以写成下面的形式：
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.
反之，这个方程表示的图形是否都是圆呢？
知识点 圆的一般方程
(1)圆的一般方程
当D2＋E2－4F>0时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程，此时方程表示以-_D2，-_E2为圆心，12D2+E2-4F为半径的圆．
(2)方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形
(1)一般地，二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是：A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0.
(2)圆的一般方程中有三个系数，这说明确定一个圆需要三个独立条件．
点M(x0，y0)和圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的位置关系怎么判断？
提示：点M在圆外⇔x02+y02＋Dx0＋Ey0＋F>0；点M在圆上⇔x02+y02＋Dx0＋Ey0＋F＝0；点M在圆内⇔x02+y02＋Dx0＋Ey0＋F<0.
1．方程x2＋y2－2x＋2k＋3＝0表示圆，则k的取值范围是________．
(－∞，－1) [由x2＋y2－2x＋2k＋3＝0得(x－1)2＋y2＝－2k－2，
因为方程x2＋y2－2x＋2k＋3＝0表示圆，
所以－2k－2>0，解得k<－1．]
2．已知圆C的一般方程为x2＋y2＋2ax＋9＝0，它的圆心C(5，0)，则圆C的半径r＝________．
4 [由x2＋y2＋2ax＋9＝0得(x＋a)2＋y2＝a2－9.
由－a＝5得a＝－5，所以r2＝16.
所以圆C的半径r＝4．]
类型1 圆的一般方程的辨析
【例1】 若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆．
(1)求实数m的取值范围；
(2)写出圆心坐标和半径．
[解] 法一：根据D2＋E2－4F>0求解．
(1)由表示圆的条件，
得(2m)2＋(－2)2－4(m2＋5m)>0，解得m<15，
即实数m的取值范围为-∞，15.
(2)－D2＝－m，－E2＝1，12D2+E2-4F
＝122m2+-22-4m2+5m
＝1-5m，
故圆心坐标为(－m，1)，半径r＝1-5m.
法二：化为圆的标准方程求解．
(1)方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0可化为(x＋m)2＋(y－1)2＝1－5m.
由题意知1－5m>0，即m<15.
所以实数m的取值范围是-∞，15.
(2)将方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0写成标准方程为(x＋m)2＋(y－1)2＝1－5m，故圆心坐标为(－m，1)，半径r＝1-5m.
圆的一般方程的辨析
(1)由圆的一般方程的定义，若D2＋E2－4F>0成立，则表示圆，否则不表示圆．
(2)将方程配方后，根据圆的标准方程的特征求解．
[跟进训练]
1．(源自人教B版教材)判断下列方程是否是圆的方程，如果是，写出圆的圆心坐标与半径；如果不是，说明理由：
(1)x2＋y2＋4x－6y－12＝0；
(2)4x2＋4y2－8x＋4y－15＝0；
(3)x2＋y2－6x＋10＝0.
[解] (1)原方程可以化为x2＋4x＋4＋y2－6y＋9＝25，
即(x＋2)2＋(y－3)2＝25，所以是圆心坐标为(－2，3)，半径为5的圆的方程．
(2)方程两边除以4，得x2＋y2－2x＋y－154＝0.
将左边配方，得(x－1)2＋y+122＝5，
所以是圆心坐标为1，-12，半径为5的圆的方程．
(3)因为原方程可以化为x2－6x＋9＋y2＝－1，即(x－3)2＋y2＝－1，
又因为满足上述方程的实数x，y不存在，所以原方程不是圆的方程．
类型2 求圆的一般方程
【例2】 (源自湘教版教材)已知A(0，0)，B(6，0)，C(－1，7)，求△ABC的外接圆的圆心坐标和半径．
[思路导引] 不在同一直线上的三点可以确定一个圆待定 系数法 设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0代入A，B，C 的坐标 建立关于D，E，F的方程组解方程 组 求出D，E，F的值 回代 圆的一般方程 配方 圆的标准方程→ 写出圆心坐标和半径．
[解] 设外接圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.①
将圆上三点的坐标依次代入方程①，得到一个关于D，E，F的三元一次方程组F=0， 36+6D+F=0， 50-D+7E+F=0.
解这个方程组，得D＝－6，E＝－8，F＝0.
因此，外接圆的方程为x2＋y2－6x－8y＝0.
整理得(x－3)2＋(y－4)2＝52.
所以外接圆的圆心坐标为(3，4)，半径为5.
[母题探究]
若点M(0，b)在△ABC的外接圆外，求b的取值范围．
[解] 由M(0，b)在圆x2＋y2－6x－8y＝0外得b2－8b>0，
解得b<0或b>8，所以b的取值范围是(－∞，0)∪(8，＋∞)．
待定系数法求圆的一般方程的步骤
(1)根据题意设所求的圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.
(2)根据已知条件，建立关于D，E，F的方程组．
(3)解此方程组，求出D，E，F的值．
(4)将所得的值代回所设的圆的方程中，就得到所求的圆的一般方程．
[跟进训练]
2．已知圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋3＝0，圆心在直线x＋y－1＝0上，且圆心在第二象限，半径长为2，求圆的一般方程．
[解] 圆心C-D2，-E2，
∵圆心在直线x＋y－1＝0上，∴－D2－E2－1＝0，
即D＋E＝－2. ①
又∵半径长r＝D2+E2-122＝2，
∴D2＋E2＝20. ②
由①②可得D=2，E=-4，或D=-4，E=2.
又∵圆心在第二象限，
∴－D2<0，即D>0，则D=2，E=-4.
故圆的一般方程为x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.
类型3 圆的轨迹问题
【例3】 已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2，0)，点B(1，1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点．
(1)求线段AP中点的轨迹方程；
(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．
[解] (1)设线段AP的中点M的坐标为(x，y)，P的坐标为(x0，y0)，
∵x=2+x02，y=0+y02，∴x0=2x-2，y0=2y.
又P(x0，y0)在圆x2＋y2＝4上，
∴(2x－2)2＋(2y)2＝4，∴(x－1)2＋y2＝1.
(2)设PQ的中点为N(x，y)，
在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|，
设O为坐标原点，连接ON，则ON⊥PQ(图略)，
∴|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝ON2+BN2，
∴x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.
故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.
[母题探究]
1．本例条件不变，求BP的中点E的轨迹方程．
[解] 设点E(x，y)，P(x0，y0)．因为B(1，1)，所以x=x0+12，y=y0+12. 整理得x0＝2x－1，y0＝2y－1，
因为点P在圆x2＋y2＝4上，
所以(2x－1)2＋(2y－1)2＝4，
整理得点E的轨迹方程为x2＋y2－x－y－12＝0.
2．在本例条件不变的情况下，求过点B的弦的中点T的轨迹方程．
[解] 设T(x，y)．因为点T是弦的中点，所以OT⊥BT.当斜率存在时有kOT·kBT＝－1.
即yx×y-1x-1＝－1，整理得x2＋y2－x－y＝0.
当x＝0或1时，点(0，0)，(0，1)，(1，0)，(1，1)也都在圆上．
故所求轨迹方程为x2＋y2－x－y＝0.
求与圆有关的轨迹问题的方法
(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程．
(2)定义法：根据圆、直线等定义列方程．
(3)代入法：若动点P(x，y)依赖圆上的某一个动点Q(x0，y0)而运动，找到两点的关系，把x0，y0用x，y表示，再将点Q的坐标代入到已知圆的方程中得P点的轨迹方程．
[跟进训练]
3．设定点M(－3，4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM，ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹．
[解] (1)法一：(定义法)设P(x，y)．|MP|＝|ON|＝2，所以动点P在以M为圆心，半径为2的圆上．
又因为四边形MONP为平行四边形，
所以O，M，P不共线．当点P在直线OM上时有x＝－95，y＝125或x＝－215，y＝285.
因此所求轨迹为圆(x＋3)2＋(y－4)2＝4，
除去点-95，125和点-215，285.
法二：(代入法)如图所示，
设P(x，y)，N(x0，y0)，则线段OP的中点坐标为x2，y2，
线段MN的中点坐标为x0-32，y0+42.
由于平行四边形的对角线互相平分，故x2＝x0-32，y2＝y0+42，从而x0=x+3，y0=y-4，
又点N(x＋3，y－4)在圆上，
故(x＋3)2＋(y－4)2＝4.
当点P在直线OM上时，有x＝－95，y＝125或x＝－215，y＝285.
因此所求轨迹为圆(x＋3)2＋(y－4)2＝4，除去点-95，125和点-215，285.
1．圆x2＋y2＋4x－6y－3＝0的圆心和半径分别为( )
A．(4，－6)，16 B．(2，－3)，4
C．(－2，3)，4 D．(2，－3)，16
C [圆的方程可化为(x＋2)2＋(y－3)2＝16，因此圆心坐标为(－2，3)，半径r＝4，故选C．]
2．方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则a的取值范围是( )
A．a＜－2或a＞23 B．－23＜a＜2
C．－2＜a＜0 D．－2＜a＜23
D [方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，
所以a2＋4a2－4(2a2＋a－1)＞0，
所以3a2＋4a－4＜0，
所以(a＋2)(3a－2)＜0，
所以－2＜a＜23．]
3．在平面直角坐标系中，经过三点(0，0)，(1，1)，(2，0)的圆的方程为________．
x2＋y2－2x＝0 [设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，又因为圆经过三点(0，0)，(1，1)，(2，0)，
所以F=0， 1+1+D+E+F=0， 22+02+2D+0+F=0，
解得D＝－2，E＝0，F＝0，
所以圆的方程为x2＋y2－2x＝0．]
4．长度为6的线段AB的两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，则线段AB的中点M的轨迹方程为________．
x2＋y2＝9 [设M(x，y)，因为△AOB是直角三角形，所以|OM|＝12|AB|＝3为定值，故M的轨迹为以O为圆心，3为半径的圆，故x2＋y2＝9即为所求．]
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．试写出圆的一般方程．
提示：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)．
2．二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆，需满足什么条件？
提示：A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0.
3．求动点的轨迹方程有哪些常用方法？
提示：直接法、定义法、代入法．
课时分层作业(二十) 圆的一般方程
一、选择题
1．方程x2＋y2＋2ax＋2by＋a2＋b2＝0表示的图形为( )
A．以(a，b)为圆心的圆
B．以(－a，－b)为圆心的圆
C．点(a，b)
D．点(－a，－b)
D [原方程可化为(x＋a)2＋(y＋b)2＝0，
∴x+a=0，y+b=0，即x=-a，y=-b，∴方程表示点(－a，－b)．故选D．]
2．已知圆C的圆心坐标为(2，－3)，且点(－1，－1)在圆上，则圆C的一般方程为( )
A．x2＋y2－4x＋6y＋8＝0
B．x2＋y2－4x＋6y－8＝0
C．x2＋y2－4x－6y＝0
D．x2＋y2－4x＋6y＝0
D [由已知得圆C的半径r＝2+12+-3+12＝13，所以圆C的标准方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝13，展开得圆C的一般方程为x2＋y2－4x＋6y＝0.故选D．]
3．(2022·广东实验中学月考)方程|x－1|＝1-y+12表示的曲线是( )
A．一个圆 B．两个半圆
C．两个圆 D．半圆
A [方程|x－1|＝1-y+12两边平方得(x－1)2＝(1-y+12)2，(y＋1)2≤1，即－2≤y≤0，即(x－1)2＋(y＋1)2＝1，所以方程表示的曲线为一个圆．故选A．]
4．若点(2，3)在圆C：x2＋y2＋2x－2my＋4m＝0(m∈R)的外部，则实数m的取值范围是( )
A．-∞，172
B．-172，2-3
C．(－∞，2－3)∪2+3，172
D．(2＋3，＋∞)
C [因为方程x2＋y2＋2x－2my＋4m＝0(m∈R)表示圆，所以22＋(－2m)2－4×4m>0，即m2－4m＋1>0，解得m>2＋3或m<2－3.又(2，3)在圆C：x2＋y2＋2x－2my＋4m＝0(m∈R)的外部，所以22＋32＋2×2－2m×3＋4m>0，解得m<172.从而2＋35．已知两定点A(－2，0)，B(1，0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则点P的轨迹所包围的图形的面积等于( )
A．π B．4π C．8π D．9π
B [设P(x，y)，由条件知x+22+y2＝2x-12+y2，整理得x2＋y2－4x＝0，即(x－2)2＋y2＝4，故点P的轨迹所包围的图形面积等于4π．]
二、填空题
6．若直线x＋y＋a＝0平分圆x2＋y2－2x＋4y＋1＝0的面积，则实数a＝________．
1 [根据题意，圆的方程为x2＋y2－2x＋4y＋1＝0，其圆心为(1，－2)．
因为直线x＋y＋a＝0平分圆x2＋y2－2x＋4y＋1＝0的面积，所以圆心(1，－2)在直线x＋y＋a＝0上，则有a＋1－2＝0，解得a＝1．]
7．已知点A(1，2)在圆x2＋y2＋2x＋3y＋m＝0外部，则实数m的取值范围是________．
-13，134 [由点A(1，2)在圆x2＋y2＋2x＋3y＋m＝0的外部．
得1＋4＋2＋6＋m>0，解得m>－13.
又由4＋9－4m>0得m<134，
所以－138．设圆x2＋y2－4x＋2y－11＝0的圆心为A，点P在圆上，则线段PA的中点M的轨迹方程是________．
x2＋y2－4x＋2y＋1＝0 [设PA的中点M的坐标为(x，y)，P(x1，y1)，因为圆x2＋y2－4x＋2y－11＝0的圆心为A(2，－1)，所以x1+22=x，y1-12=y，即x1=2x-2，y1=2y+1.又P点在圆A上，
所以x12+y12－4x1＋2y1－11＝0，所以(2x－2)2＋(2y＋1)2－4(2x－2)＋2(2y＋1)－11＝0，即x2＋y2－4x＋2y＋1＝0．]
三、解答题
9．(2022·湖南娄底高二期中)已知曲线C：(1＋a)x2＋(1＋a)y2－4x＋8ay＝0.
(1)当a取何值时，方程表示圆？
(2)求证：不论a为何值，曲线C必过两定点．
(3)当曲线C表示圆时，求圆面积最小时a的值．
[解] (1)当a＝－1时，方程为x＋2y＝0，表示一条直线．
当a≠－1时，方程化为x-21+a2＋y+4a1+a2＝4+16a21+a2表示圆．
(2)证明：方程变形为x2＋y2－4x＋a(x2＋y2＋8y)＝0.
由于a取任何值，上式都成立，
则有x2+y2-4x=0，x2+y2+8y=0，解得x=0，y=0或x=165，y=-85，
所以曲线C过定点A(0，0)，B165，-85.
(3)由(2)知曲线C过定点A，B，在这些圆中，以AB为直径的圆的面积最小(其余不以AB为直径的圆的直径大于AB的长，圆的面积也大)，
从而以AB为直径的圆的方程为x-852＋y+452＝165，
所以21+a＝85，4a1+a＝45，4+16a21+a2＝165，解得a＝14.
10．圆x2＋y2－ax－2y＋1＝0关于直线x－y－1＝0对称的圆的方程是x2＋y2－4x＋3＝0，则a的值为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
C [由于圆x2＋y2－ax－2y＋1＝0的圆心为Ma2，1，圆x2＋y2－4x＋3＝0的圆心为N(2，0)，又两圆关于直线x－y－1＝0对称，故有1-0a2-2×1＝－1，解得a＝2．]
11．若曲线C：x2＋y2＋2ax－4ay＋5a2－4＝0上所有的点均在第二象限内，则a的取值范围为( )
A．(－∞，－2) B．(－∞，－1)
C．(1，＋∞) D．(2，＋∞)
D [由题意得，曲线C的标准方程为(x＋a)2＋(y－2a)2＝4，
因此曲线C是圆心为(－a，2a)，半径为2的圆．
∵曲线C上所有的点均在第二象限内，
∴-a<-2，2a>2，解得a>2，
∴a的取值范围是(2，＋∞)．]
12．已知圆C经过点(4，2)，(1，3)和(5，1)，则圆C与两坐标轴的四个截距之和为________．
－2 [设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
将(4，2)，(1，3)，(5，1)代入方程中，
得16+4+4D+2E+F=0，1+9+D+3E+F=0，25+1+5D+E+F=0，解得D=-2，E=4， F=-20，
所以圆的方程为x2＋y2－2x＋4y－20＝0.
令x＝0，则y2＋4y－20＝0，
由根与系数的关系得y1＋y2＝－4；
令y＝0，则x2－2x－20＝0，
由根与系数的关系得x1＋x2＝2，
故圆C与两坐标轴的四个截距之和为y1＋y2＋x1＋x2＝－4＋2＝－2．]
13．公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯在《平面轨迹》一书中，曾研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下结果：平面内到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆．后世把这种圆称之为阿波罗尼斯圆．已知直角坐标系中A(－2，0)，B(2，0)，则满足|PA|＝2|PB|的点P的轨迹的圆心为________，面积为________．
103，0 649π [设点P(x，y)，
代入|PA|＝2|PB|得x+22+y2＝2x-22+y2，整理得3x2＋3y2－20x＋12＝0.配方得x-1032＋y2＝649.所以点P的轨迹的圆心为103 ，0，半径为83.圆的面积为649π．]
14．如图，已知正方形ABCD的四个顶点坐标分别为A(0，－2)，B(4，－2)，C(4，2)，D(0，2)．
(1)求对角线AC所在直线的方程；
(2)求正方形ABCD外接圆的方程；
(3)若动点P为外接圆上一点，点N(－2，0)为定点，问线段PN中点的轨迹是什么？并求出该轨迹方程．
[解] (1)由两点式可知，对角线AC所在直线的方程为y-2-2-2＝x-40-4，整理得x－y－2＝0.
(2)设G为外接圆的圆心，则G为AC的中点，
∴G0+42，-2+22，即(2，0)，
设r为外接圆的半径，则r＝12|AC|，
则|AC|＝4-02+2+22＝42，
∴r＝22.
∴外接圆方程为(x－2)2＋y2＝8.
(3)设点P坐标为(x0，y0)，线段PN的中点M坐标为(x，y)，则x＝x0-22，y＝y02，
∴x0＝2x＋2，y0＝2y，①
∵点P为外接圆上一点，∴x0-22+y02＝8，
将①代入并整理，得x2＋y2＝2，
∴该轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆，轨迹方程为x2＋y2＝2.
15．在平面几何中，通常将完全覆盖某平面图形且直径最小的圆，称为该平面图形的最小覆盖圆．
最小覆盖圆满足以下性质：
①线段AB的最小覆盖圆就是以AB为直径的圆．
②锐角△ABC的最小覆盖圆就是其外接圆．
已知曲线W：x2＋y4＝16，A(0，t)，B(4，0)，C(0，2)，D(－4，0)为曲线W上不同的四点．
(1)求实数t的值及△ABC的最小覆盖圆的方程；
(2)求四边形ABCD的最小覆盖圆的方程；
(3)求曲线W的最小覆盖圆的方程．
[解] (1)由题意，得t＝－2，
由于△ABC为锐角三角形，其外接圆就是△ABC的最小覆盖圆．
设△ABC的外接圆方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
则4-2E+F=0，16+4D+F=0，4+2E+F=0，解得D=-3，E=0， F=-4.
所以△ABC的最小覆盖圆的方程为x2＋y2－3x－4＝0.
(2)因为线段DB的最小覆盖圆就是以DB为直径的圆，
所以线段DB的最小覆盖圆的方程为x2＋y2＝16.
又因为|OA|＝|OC|＝2<4(O为坐标原点)，所以点A，C都在圆内．
所以四边形ABCD的最小覆盖圆的方程为x2＋y2＝16.
(3)由题意知曲线W为中心对称图形．
设P(x0，y0)，则x02+y04＝16.
所以|OP|2＝x02+y02(O为坐标原点)，且－2≤y0≤2.
故|OP|2＝x02+y02＝16-y04+y02
＝－y02-122＋654，
所以当y02＝12时，|OP|max＝652，
所以曲线W的最小覆盖圆的方程为x2＋y2＝654.
学习任务
1．理解圆的一般方程及其特点．(数学抽象)
2．掌握圆的一般方程和标准方程的互化．(数学运算)
3．会求圆的一般方程以及与圆有关的简单的轨迹方程问题．(逻辑推理)
条件
图形
D2＋E2－4F<0
不表示任何图形
D2＋E2－4F＝0
表示一个点-_D2，-_E2
D2＋E2－4F>0
表示以-D2，-E2为圆心，以12D2+E2-4F为半径的圆